济南市2019-2020年度九年级上学期期末数学试题D卷
济南市2019-2020年度九年级上学期期末数学试题D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题
1 . 在中，，是边的中点，以为圆心，长为半径作，则、、、
四点中，在圆内的有（）
A．个B．个C．个D．个
2 . 如图，老师出示了小黑板上的题目后，小敏回答：“方程有一根为4”，小聪回答：“方程有一根为－1”．则你认为（）
A．只有小敏回答正确B．只有小聪回答正确
C．小敏、小聪回答都正确D．小敏、小聪回答都不正确
3 . 九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多与最少的相差6个．”上面两名同学的议论能反映出的统计量是（）
A．平均数和众数B．众数和极差C．众数和方差D．中位数和极差
4 . 袋子内有3个红球和2个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取出一个球，取出红球的概率是
A．B．C．D．
5 . 抛物线的顶点坐标是（）
A．(2, 1)B．(2, -1)C．(-2, 1)D．(-2, -1)
6 . 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）
A．35°B．140°C．70°D．70°或140°
7 . 圆锥的母线长为8cm，底面半径为6cm，则圆锥的侧面积是（）
A．96πcm2B．60πcm2C．48πcm2D．24πcm2
8 . 如图，点的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），若点的横坐标的最小值为0，则点的横坐标最大值为（）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题
9 . 关于的方程的根是_________________．
10 . 同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚硬币落地后，都是正面朝上的概率是______.
11 . 某公司招聘一名公关人员甲，对甲进行了笔试和面试，其面试和笔试的成绩分别为86分和90分，面试成绩和笔试成绩的权分别是6和4，则甲的平均成绩为__分．
12 . 对于实数、，我们定义符号的意义为：时，；当时，；如：，.解答下列问题：
（1）______．
（2）若关于的函数为，则函数的最小值是______．
13 . 如图，一段抛物线y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进行下去，得到一条“波浪线”．若
点P（37，m）在此“波浪线”上，则m的值为______．
14 . 已知二次函数y＝ax2﹣bx+c的y与x的部分对立值如表：
x﹣1013
y﹣3131
下列结论①抛物线的开口向下：②其图象的对称轴为x＝1：③当x＜1时．函数值y随x的增大而增大，④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有_____
15 . 2016年11月11日，某网站销售额1207亿人民币. 2018年，销售额增长到2135亿人民币，设这两年销售额的平均增长率为，则根据题意可列出方程______.
16 . 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（4,a）且（a>2）半径为4，函数的图像被⊙P截得的
弦AB的长为，则a的值是____________．
三、解答题
17 . 适当的学前教育对幼儿智力及其日后的发展有很大的作用，积木玩具对孩子的学前教育帮助非常大，孩子会因好奇和本能去探索这个世界．某网店店主经营某种品牌积木玩具，购进时的单价是20元/件，根据市场调查：在一段时间内，销售量（件）与销售单价（元/件）满足函数关系（如图所示）．若该店主销售玩具的售价高于进价，但不高于40元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若该店主想获得9000元的利润，该品牌积木玩具的销售单价应定为多少元?
（3）若玩具厂规定该店销量不少于540件的情况下，求该店主将销售单价定为多少时，该品牌积木玩具获得的利润最大，最大利润是多少？
18 . 解方程
（1）x2﹣4x﹣4＝0
（2）2（x+5）2＝x（x+5）
19 . 已知k为实数，关于x的一元二次方程（k+3）x²-2（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根。
试判断关于x 的方程（k-1）x²-（2k+1）x+k=0 的根的情况.
20 . 地铁检票处有三个进站闸口A、B、C.
①人选择A进站闸口通过的概率是________；
②两个人选择不同进站闸口通过的概率.（用树状图或列表法求解）
21 . 李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11•千米，应收29.10元”．该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价
N(N<12)．
22 . 已知：如图在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的负半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交线段AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交线段OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）如图2将∠EDC绕点D按逆时针方向旋转后，角的一边与y轴的负半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，求证：EF=2GO；
（3）对于（2）中的点G，在位于第四象限内的该跑物像上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
23 . 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、．抛物线
过、两点．
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点从点出发．沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒．过点作交于点．
①过点作于点，交抛物线于点．当为何值时，线段最长？
②连接．在点、运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的值．
24 . 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学某专业学院从本专业450人中随机抽取了30名学生参加环保
知识测试，得分（十分制）情况如图所示：
（1）这30名学生的测试成绩的众数，中位数，平均数分别是多少？
（2）学院准备拿出2000元购买奖品奖励测试成绩优秀的学生，奖品分为三等，成绩为10分的为一等，成绩为8分和9分的为二等，成绩为7分的为三等；学院要求一等奖奖金，二等奖奖金，三等奖奖金分别占20%、40%、40%，问每种奖品的单价各为多少元？
（3）如果该专业学院的学生全部参加测试，在（2）问的奖励方案下，请你预测该专业学院将会拿出多少奖金
来奖励学生，其中一等奖奖金为多少元？
25 . 图示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面的距离为2m．
(1)若图中的拱形呈抛物线形状，当水面下降1m后，水面宽为多少？
(2)若图中的拱形呈圆弧形状，当水面下降1m后，水面宽又为多少？
26 . 如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；
（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．27 . 求出y=2(x-1)2－8与坐标轴的交点坐标，直接写出y>0时x的取值范围．。
山东省济南市莱芜区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
2023—2024学年度第一学期期末考试九年级数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确．2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡．选择题部分 共40分一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列几何体中，其俯视图是三角形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，随的增大而减小的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．不透明的盒子中装有红色棋子和蓝色棋子若干个；其中红色棋子15个．每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是，则蓝色棋子个数是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．204．下列说法正确的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角D ．圆的切线垂直于半径5．如图，在中，，则（）y x 3(0)y x x=<3y x =-22(0)y x x =-<14y x =25%ABC △90,8,33B BC BAC ∠=︒=∠=︒AB =第5题图A ．B．C ．D ．6．如图，是的切线，是切点，是弦，过圆心，若，则（）第6题图A ．B ．C ．D ．7．如果，点，都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8tan 33︒8sin 33︒8cos33︒8tan 33︒AB O A AC BC O 34B ∠=︒C ∠=17︒28︒33︒56︒1230x x x <<<()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 21k y x +=-123,,y y y 123y y y <<213y y y <<321y y y <<231y y y <<16cm 90︒2cm3cm4cm6cm2(0)y ax bx c a =++≠y ax b =+y xc =10．已知：二次函数．下列结论：①抛物线的开口向上，当时，随增大而增大；②当时，抛物线与轴有两个交点；③若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是；④抛物线与直线可以存在唯一公共点．⑤若是抛物线上的两点，则．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5非选择题部分 共110分二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．）11．线段的正投影，其形状可能是______．（写出一个即可）12．圆中一条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆周角的度数是______．13．抛物线图象向左平移3个单位，再向上平移7个单位，所得图象的解析式为，则______．14．如图，正方形的边在正六边形的边上，则______度．第14题图15．如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半径为10．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为______．（结果保留）第15题图1 第15题图216．如图，在Rt 中，，延长斜边到点，使，连接，若，221y x x m =-+-2x >y x 2m >x x 2210x x m -+-=24x <<m 71m -<<221y x x m =-+-y mx =()()121,,4,A y B y -12y y <30︒245y x x =--2y x bx c =++b =AMNP AM ABCDEF AB PAF ∠=90︒A O CD πABC △90ACB ∠=︒AB D 4AB BD =CD 3tan 4ABC ∠=则______．第16题图三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分6分）计算：18．（本题满分6分）已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．第18题图（1）求一次函数的解析式和的值；（2）求的面积．19．（本题满分6分）莱芜红石公园西北角有一红色八角空心七层宝塔“赢圣塔”．某校数学兴趣小组的同学对其高度进行了测量．如图，他们在处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至处，测得仰角为，问该塔的高度，结果精确到）第19题图20．（本题满分8分）tan BCD ∠=201(2024)1tan 602π-⎛⎫---︒+ ⎪⎝⎭(,2),(2,3)A n B -y kx b =+my x=m AOB △A 45︒17m B 60︒CD 1.7≈0.1m如图，是的弦，是的半径，垂足为是的切线，为切点，连结并延长交切线于．第20题图（1）求证：；（2）若，求的长（结果保留）．21．（本题满分8分）在一个不透明的口袋里，装有四个分别标有汉字“大”、“美”、“莱”、“芜”的小球，这些小球除标的汉字不同之外，没有任何区别，标有汉字“大”、“美”、“莱”、“芜”的小球分别用字母“A ”、“B ”、“C ”、“D ”表示．（1）若从袋中任取一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率是______；（2）若同时从袋中任取两个球，请用列表法或画树状图法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“大美”或“莱芜”的概率．22．（本题满分8分）随着数字转型世界大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末数学小达人小华利用无人机来测量汶河上两点之间的距离（位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得河岸边处的俯角为，若小华的身高（点在同一平面内）．第22题图（1）求小华的仰角的正切值；（2）求、两点之间的距离．23．（本题满分10分）随着科技的日新月异，冬天人们也可以吃到香甜可口的草莓，草莓被誉为“水果皇后”．近日“牛奶草莓”上市，深受广大消费者的青睐，市场销售情况喜人．某水果店以每公斤30元的价格购进一批“牛奶草莓”，若按每公斤46元的价格销售，平均每天可售出65公斤，结合销售记录发现，若售价每降低2元，平均每天的销售量增加10公斤，水果店恰遇店庆，为答谢新老顾客，该水果店决定降价销售．AB O OC O OC AB ⊥,E CD O C OA CD D AB CD ∥45,4O AB ∠=︒=AC π5G 5G ,A B ,A B A C α31.7m C B 45︒1.7m,50m AD CD ==,,,A B C D αA B（1）若一次降价4元，则每天的销售利润为多少元；（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售“牛奶草莓”获得的利润最大？最大利润是多少元？24．（本题满分10分）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．第24题图（1）求证：是的切线；（2）若，且的半径，求的长．25．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点．第25题图（1）求反比例函数和直线的表达式；（2）求点的坐标；（3）在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．26．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，.w CD O AC O 2,AOC BAC AB CB ∠=∠⊥B AB O 3cos 7ACD ∠=O 7r =BC 16y x =(0)kxy x =>(,1)A a OA 83y C B BC B x P PAB △PA P 3y x =+x A y C A x B 2y ax bx c =++A B C第26题图1 第26题图2（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标．2023—2024学年度第一学期期末考试九年级数学试题参考答案及评分意见一、选择题（每小题4分，共40分）题号12345678910答案DAACDBDCAB二、填空题（每小题4分，共24分）11．线段或点；12．或；13．2；14．．15．；16．．三、解答题（本大题共10小题，共86分）17．解：原式．18．解：（1）由题意可得：点在反比例函数图象上，∴反比例函数的解析式为，将代入，得：，即，AC P ACP △P M Q x M Q A C AC ,M Q 15︒165︒30︒503π32011)43=-+-1143=+-3=(2,3)B -my x=6,m =-∴6y x=-(,2)A n 6y x=-3n =-(3,2)A -∵一次函数图象经过，∴，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）设一次函数的图象与轴交于点，当时，点，∴．19．解：设“赢圣塔”的高度，由题意可知，∵，∵，在Rt 中，∵，∴即，答：塔的高度约为．20．解：（1）∵，∵是的切线，∴，∴；（2）∵，又∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴的长．21．解：（1）；（2）列表如下：y kx b =+(3,2),(2,3)A B --3223k b k b -+=⎧⎨+=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--1y x =--x C 0y =1,x =-∴(1,0),1C OC -∴=1151213222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=m CD x =90D ∠=︒45,m A AD CD x ∠=︒∴==17m,(17)m AB BD x =∴=-BDC △60DBC ∠=︒tan 60CDBD︒==39.2m 17xx x =∴≈-CD 39.2m ,90OC AB AEO ⊥∴∠=︒CD O 90OCD ∠=︒,AEO OCD AB CD ∠=∠∴∥,4,22ABOC AB AB AE ⊥=∴==45,O AOE ∠=︒∴△2OE AE ==OA ===AC ==14ABC D∵一共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“大美”或“莱芜”的有4种结果，∴取出的两个球上的汉字恰能组成“大美”或“莱芜”的概率为．22．解：（1）作于于，∵无人机的飞行高度为，∴，由题意可得，四边形是矩形，∴，∴，∵，∴在Rt 中，，∴，∴；（2）∵四边形是矩形，∴，∵无人机测得河岸边处的俯角为，∴，∵，即，解得，∴，∴两点之间的距离．23．解：（1）根据题意，降价4元则销售量为：，销售利润为：，答：若降价4元，则每天的销售利润是1020元；（2）设每公斤销售单价降了元，根据题意得：A (A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)(C,D)D(D,A)(D,B)(D,C)41123=CE AB ⊥,E DF CE ⊥F 31.7m 31.7m CE =AEFD 1.7m EF AD ==30m CF CE EF =-=,50m DF CE CD ⊥=CDF △222222503040DF CD CF =-=-=40m DF =303tan 404CF DF α===AEFD 40m AE DF ==C B 45︒45CBE ∠=︒tan tan 45CECBE BE∠=︒=31.71BE =31.7BE =4031.771.7AB AE BE =+=+=,A B 71.7m 46510852+⨯=(46304)851020--⨯=x，∵当时，有最大值，最大值为1051.25，此时，答：销售单价定为每公斤44.5元时，每天销售“牛奶草莓”获得的利润最大，最大利润是1051.25元．24．（1）证明：连接，∵，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，即，∴是的切线；（2）∵，且的半径，∴，∴，∵，∴，∴．25．解：（1）把代入中，，∴，∴，∵，且向上平移个单位，∴直线表达式为；(4630)65102x w x ⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭25151040x x =-++2351051.252x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭50,-<∴32x =w 4646 1.544.5x -=-=w AD 2,2AOC BAC AOC D ∠=∠∠=∠,,BAC D AO DO DAO D ∠=∠=∴∠=∠ BAC DAO ∠=∠CD O 90CAD ∠=︒90DAO CAO ∠+∠=︒90BAC CAO ∠+∠=︒90BAO ∠=︒,OA AB AB ⊥∴O 3cos 7ACD ∠=O 7r =3sin 7AC D CD ∠==3,6277AC AC =∴=⨯,90AB CB ABC ⊥∴∠=︒3sin sin 7BAC D ∠=∠=318,677BC BC =∴=(,1)A a 6xy =6a =(6,1)A 6166,k y x=⨯=∴=BC OA ∥83BC 1863y x =+（2）由题意得：，∴，∴（舍去），∴；（3）设，当时，，∴；当时，，∴．综上所述，点．26．解：（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，∴，∴设抛物线表达式为，将代入得，∴抛物线表达式为，（2）存在点，使的面积最大．过点作轴于，交直线于点，设，则，由题意得：，故，∴当时，最大．此时，，∴；（3）由抛物线的解析式可知，其对称轴为直线，设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时，18663x x+=216360x x +-=122,18x x ==-3,(2,3)y B =∴(,0)P t PA PB =2222(6)(10)(2)(03)t t -+-=-+-3,(3,0)t P =∴PA BA =2222(62)(13)(6)(10)t -+-=-+-6t =±(3,0),(6P ±3y x =+x A y ,(3,0),(0,3)C A C -A x B (1,0)B (3)(1)y a x x =+-(0,3)C 1a =-223y x x =--+P ACP △P PE x ⊥E 3y x =+F ()2,23P m m m --+(,3)F m m +30m -<<()2223(3)3,PF m m m m m ∴=--+-+=--()2213327332228ACP S m m m ∆⎛⎫=--⨯=-++ ⎪⎝⎭32m =-ACP S ∆215234m m --+=315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭1x =-(1,),(,0)M n Q x -,,,M Q A C AC点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，同理点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，∴且，∴或，∴或．A C M Q 13x -±=30n ±=23x n =⎧⎨=-⎩43x n =-⎧⎨=⎩11(1,3),(2,0)M Q --22(1,3),(4,0)M Q --。
2023-2024学年山东省济南市市中区九年级上学期数学期末试题及答案
2023-2024学年山东省济南市市中区九年级上学期数学期末试题及答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何体的三视图．根据观察方向即可求解．【详解】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形且两个长方形在左侧位置对齐故选：A2. 已知23mn=，则mm n+的值为（）A. 35B.25C.75D.23【答案】B 【解析】【分析】由23mn=，设()20,m k k=≠则3,n k=再代入分式mm n+求值即可.【详解】解：23mn=，设()20,m k k=≠3, n k ∴=∴22.235 m km n k k== ++故选：.B 【点睛】本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键.3. 已知反比例函数k y x =的图象经过点()2,6A -，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ）A. ()2,6 B. ()1,12- C. ()3,4-- D. ()4,3【答案】B【解析】【分析】首先利用待定系数法求出k 的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于k 的值的就在反比例函数图象上，反之则不在．【详解】解：∵反比例函数k y x=的图象经过点()2,6A -，∴2612k =-⨯=-，A 、261212⨯=≠-，故此点不在此函数图象上；B 、()11212⨯-=-，故此点在此函数图象上；C 、()3412-⨯-=，故此点不在此函数图象上；D 、4312⨯=，故此点不在此函数图象上．故选：B ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．4. 抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ）A. (9,3)- B. (9,3)-- C. (9,3) D. (9,3)-【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的顶点式2()y a x h k =-+可得顶点坐标为(,)h k 即可得到结果．【详解】∵二次函数解析式为22(9)3y x =+- ，∴顶点坐标为(9,3)--；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．5.在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个．A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】【分析】设黑球可能有x 个，根据摸到白球的频率稳定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率为25%，根据概率公式即可求出黑球的个数．【详解】解：设黑球可能有x 个∵摸到白球的频率稳定在25%附近∴口袋中摸到白球的概率为25%∴525%45x=++∴11x =经检验：x=11是原方程的解，也符合题意.∴黑球可能有11个故选：B ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点，由频率估计概率是解答本题的关键．6. 如图，在84⨯的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan ACB ∠的值为（ ）的A. 1B. 13C. 12【答案】B【解析】【分析】在Rt ACD △中利用正切函数的定义即可求解．本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键【详解】解：如图，在Rt ACD △中，2AD =，6CD =，则21tan 63AD ACB CD ∠===．故选：B ．7. 如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点，设15ABC ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A. 85︒B. 75︒C. 70︒D. 65︒【答案】B【解析】【分析】本题考查了直径所对的圆周角为90︒，直角三角形两锐角互余，以及同弧所对的圆周角相等，由AB 是直径可得90ACB ∠=︒，由ABC ∠=︒15可知75CAB ∠=︒，再根据同弧所对的圆周角相等，可得BDC ∠的度数，即可得出答案．【详解】解：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，15ABC ∠=︒ ，75CAB ∴∠=︒，BCBC = ，75BDC CAB ∴∠=∠=︒，故选：B ．8. 如图，在直角坐标系中，点()22P ，是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为()01，，()31，．则木杆AB 在x 轴上的投影长为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．利用中心投影，延长PA 、PB 分别交x 轴于A '、B '，作PE x ⊥轴于E ，交AB 于D ，如图，证明PAB PA B ''∽ ，然后利用相似比可求出A B ''的长．【详解】解：延长PA 、PB 分别交x 轴于A '、B '，作PE x ⊥轴于E ，交AB 于D ，如图，∵()22P ，，木杆AB 两端的坐标分别为()01，，()31，，∴1PD =，2PE =，3AB =，∵AB A B ''∥，∴PAB PA B ''∽ ，∴AB PD A B PE ''=，即312A B =''，∴6A B ''=，故选：C ．9.一次函数y ax b =+与反比例函数ab y x=（a ，b 为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据一次函数图象确定a 、b 的符号，进而求出ab 的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A 、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴00a b >>，，∴0ab >，∴反比例函数ab y x=的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A 不符合题意；B 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴00a b <>，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x=的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B 不符合题意；C 、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴00a b ><，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x=的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C 不符合题意；D 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴00a b <>，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x =的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．10.已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量），当03x ≤≤时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（ ）A. 10a -<< B. 3a >C. <1a -或3a > D. 10a -<<或0<<3a 【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．首先根据题意求出对称轴212a x a -=-=，然后分两种情况：0a >和0a <，分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵二次函数223y ax ax =-+，∴对称轴212a x a-=-=，当0a >时，∵当03x <<时对应的函数值y 均为正数，∴此时抛物线与x 轴没有交点，∴()22430a a ∆=--⨯<，∴解得0<<3a ；当0a <时，∵当03x ≤≤时对应的函数值y 均为正数，∴当3x =时，963>0y a a =-+，∴解得>1a -，∴10a -<<，∴综上所述，当03x ≤≤时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为10a -<<或0<<3a ．故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11. 若α为锐角，cos α=α=________︒．【答案】30【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的关键．根据“cos30=°”即可解答．【详解】解：∵cos cos30α=︒=，∴30α=︒．故答案为：30．12. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，13OA OD =，ABC 的面积为2，则DEF 的面积为 _______．【答案】18【解析】【分析】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．利用位似的性质得到ABC DEF △△∽，AB DE ∥，所以13AB OA DE OD ==，然后根据相似三角形的性质求解．【详解】解：∵ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，∴ABC DEF △△∽，AB DE ∥，∴13AB OA DE OD ==∵ABC DEF △△∽，∴219ABC DEF S AB S DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴99218DEF ABC S S ==⨯= ．故答案为：18．13.如图，点A 是反比例函数k y x=（0k ≠，0x >）的图象上一点，过点A 作AB x 轴于点B ，点P 是y 轴上任意一点，连接PA ，PB ．若ABP 的面积等于3，则k 的值为 _____．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查反比例函数k y x=中k 的几何意义．连接AO ，由于同底等高的两个三角形面积相等，则3ABO ABP S S == ，然后根据反比例函数k y x=中k 的几何意义有12ABO S k = ，再结合函数图象所在的象限，确定k 的值．【详解】连接AO，∵AB x 轴∴132ABO ABP S AB OB S =⋅== ∴132k =，∴6k =±，∵反比例函数k y x=图象的一支位于第一象限，∴0k >，∴6k =，故答案为：614.如图抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝﹣1，与x 轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为_____．【答案】﹣5＜x ＜3【解析】【分析】先根据抛物线的对称性得到A 点坐标（3，0），由y ＝ax 2+bx+c ＞0得函数值为正数，即抛物线在x 轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax 2+bx+c ＞0的解集．【详解】解：根据图示知，抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象的对称轴是x ＝﹣1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象与x 轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，的即抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象与x 轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x ＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∵不等式ax 2+bx+c ＞0，即y ＝ax 2+bx+c ＞0，∴抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图形在x 轴上方，∴不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是﹣5＜x ＜3．故答案为﹣5＜x ＜3．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x 轴的交点，然后由图象找出当y ＞0时，自变量x 的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．15.如图，将半径为2cm 的圆形纸片翻折，使得 AB ， BC，折痕为AB BC ，，则阴影部分的面积为___________________2cm ．【答案】4π3##4π3【解析】【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、扇形面积的计算等．作OD AB ⊥于点D ，连接AO BO CO ，，，求出30OAD ∠=︒，得到2120AOB AOD ∠=∠=︒，进而求得120AOC ∠=︒，再利用阴影部分的面积AOC S =扇形得出阴影部分的面积是O 面积的13，即可得出结果．【详解】解：作OD AB ⊥于点D ，连接AO BO CO ，，．由折叠知12OD AO =，∴30OAD ∠=︒，∴2120AOB AOD ∠=∠=︒，同理120BOC ∠=︒，∴120AOC ∠=︒，∴阴影部分的面积()22114π2πcm 333O AOC S S ==⨯=⨯⨯=圆扇形，故答案为：4π3．16. 如图，5AB =，10BC =，以AC 为斜边在AC 的右侧作ACD ，其中90ADC ∠=︒，43AD CD =，当BD 长度最大时，点D 到BC 的距离是___________________．【答案】335【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，构造出与ADC △相似的三角形得出BD 取最大时的情况是本题解题的关键；以AB 为斜边构造与ADC △相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出BD 最大时的情况，再根据相似三角形的判定和性质进行求解即可．【详解】解：作直角三角形AEB ，使90AEB ∠=︒，4AE =，3BE =，连接DE ，∵90ADC ∠=︒，43AD CD =，∴设4AD a =，3CD a =，则5AC a ==，∵90ADC AEB ∠=∠=︒，43AD AE CD BE ==，∴ADC AEB ∽，∴BAE CAD ∠=∠，∴BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠，∵54AB AC AE AD ==，∴ABC AED V :V ，∴45DE AE BC AB ==，∵5AB =，10BC =，∴8DE =，当D E B 、、在同一直线上时，即AE BD ⊥时，BD 长度最大，∵ADC AEB ∽，∴ACD ABE ∠=∠，∴A B C D 、、、四点共圆，∴90ABC ADC ∠=∠=︒，作DF BC ⊥于F ，∴DF AB ，∴ABE BDF ∠=∠，∴ABE BDF △∽△，∴AB BE BD DF =，即5338DF=+，∴335DF =，故答案为：335三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 计算：101(1)2sin 302π-⎛⎫++-︒+ ⎪⎝⎭．【答案】5【解析】【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：101(1)2sin 302π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝⎭121232=+-⨯+2113=+-+5=．18. 已知如图，D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，AED B ∠=∠，3AD =，8AB =，4AE =．求AC 的长度．【答案】6AC =【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意得到AED B ∠=∠，A A ∠=∠，可得ADE ACB ∽，即可解题．【详解】 AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ADE ACB ∽．::AD AC AE AB ∴=，∵3AD =，8AB =，4AE =，∴3:4:8AC =，∴6AC =19.如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N ，阻力臂长为0.5m ．设动力为y(N)，动力臂长为(m)x ．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）（1）求y 关于x 的函数解析式．（2）当动力臂长为1.5m 时，撬动石头至少需要多大力？【答案】（1）600y x=； （2）当动力臂长为1.5m 时，撬动石头至少需要400N 的力．【解析】【分析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y 关于x 的函数表达式；(2)将x=1.5代入(1)中所求解析式，即可得出y 的值．【小问1详解】解：由题意，得12000.5xy =⨯，则600y x=，∴y关于x 的函数解析式为600y x =．【小问2详解】的解：∵600y x=，∴当 1.5x =时，6004001.5y ==，故当动力臂长为1.5m 时，撬动石头至少需要400N 的力．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y 与x 之间的关系是解题关键．20.随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出人车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出人闸口，分别记为A 、B 、C 、D ．（1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择A 闸口通过的概率；（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．【答案】（1）14 （2）14，作图见解析【解析】【分析】（1）直接运用概率公式计算即可；（2）先画出树状图确定所有等可能结果数和两名乘客选择相同闸口的结果数，然后运用概率公式求解即可．【小问1详解】解：一名乘客通过该站闸口时，他选择A 闸口通过的概率为14．【小问2详解】解：根据题意画出画树状图如下：由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，∴两名乘客选择相同闸口通过的概率41164==．【点睛】本题主要考查了运用树状图求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图、正确确定所有等可能结果数和两名乘客选择相同闸口的结果数是解答本题的关键．21.如图大楼AB 的高度为37m ，小可为了测量大楼顶部旗杆AC 的高度，他从大楼底部B 处出发，沿水平地面前行32m 到达D 处，再沿着斜坡DE 走20m 到达E 处，测得旗杆顶端C 的仰角为30︒．已知斜坡ED 与水平面的夹角37EDG ∠=︒，图中点A ，B ，C ，D ，E ，G 在同一平面内（结果精确到0.1m ）（1）求斜坡ED 的铅直高度EG 和水平宽度GD ．（2）求旗杆AC 的高度．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈1.73≈）【答案】（1）斜坡ED 的铅直高度EG 约为12m ，水平宽度GD 约为16m（2）2.7m【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．（1）在Rt DEG V 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）过点E 作EH BC ，垂足为H ，根据题意可得：32m DB =，则48m EH GB ==，然后在Rt CEH △中，利用锐角三角函数定义求出CH 的长，最后利用线段的和差关系的进行计算即可解答．【小问1详解】解：在Rt DEG V 中，=37EDG ∠︒，∴()=sin37200.60=12m EG DE ⋅︒≈⨯，()=cos37200.80=16m DG DE ⋅︒≈⨯，∴斜坡ED 的铅直高度EG 约为12m ，水平宽度GD 约为16m ；【小问2详解】解：过点E 作EH BC ⊥，垂足为H ，由题意得：32m DB =，∴()===1632=48m EH GB GD DB ++，在Rt CEH △中，30CEH ∠=︒，∴)tan 3048m CH EH =⋅︒==，∴()1237 2.7m AC CH BH AB =+-=+-≈，∴旗杆AC 的高度约为2.7m ．22.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以OB 为半径的O 与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D（1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）已知3cos 5ABC ∠=，6AB =，求O 的半径r ．【答案】（1）详见解析（2）94r =【解析】【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质得到OD AC ⊥，进而得到∥OD BC ，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）根据余弦的定义求出BC ，根据AOD ABC ∽△△列出比例式，把已知数据代入计算即可．【小问1详解】证明：连接OD ，如图所示：∵AC 切O 于点D ，∴OD AC ⊥，∵90C ∠=︒，∴∥OD BC ，∴ODB CBD ∠=∠，∵OB OD =，∴ODB OBD ∠=∠，∴OBD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ；【小问2详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∵3cos 5ABC ∠=，6AB =，∴365BC BC AB ==，解得：185BC =，∵∥OD BC ，∴AOD ABC ∽△△，∴OD AO BC AB =，即61865r r -=，解得：94r =．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23.把边长为44cm 的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），长方体形的无盖盒子的侧面积为2cm S ．（1）①求S 与x 的函数关系式；②直接写出x 的取值范围；（2）求当x 取何值时，S 达到最大，并求出最大值．【答案】（1）()4442S x x =-①，022x <<②；（2）当剪掉的正方形的边长x 为11cm 时，长方形盒子的侧面积S 最大为2968cm ．【解析】【分析】（1）①依据题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为()442cm x -，进而列式可以得解；②依据题意，列不等式44200x x ->⎧⎨>⎩，进而计算可以得解；（2）依据题意，结合（1）得()()2244428176811968S x x x x x =-=-+=--+，从而根据二次函数的性质进行判断可以得解；本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能找到关键描述语从而根据等量关系准确地列出函数关系式是解题的关键．【小问1详解】①由题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为()442cm x -，∴盒子的侧面积()4442S x x =-；②由题意，44200x x ->⎧⎨>⎩，∴022x <<；【小问2详解】由题意得，()4442S x x =-，即28176S x x =-+，即()2811968S x =--+，∴当11x =时，968S =最大，即当剪掉的正方形的边长x 为11cm 时，长方形盒子的侧面积S 最大为2968cm ．24. 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线()0k y x x=>经过点()2,2A ，在第一象限内存在一点(),B m n ，满足4mn >．（1）求k 的值；（2）如图1，过点B 分别作平行于x 轴，y 轴的直线()0k y x x=>于点C 、D ，记线段BC 、BD 、双曲线所围成的区域为W （含边界），①当4m n ==时，区域W 的整点个数为 ；②直线()540y ax a a =-+>过一个定点，若点B 为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为1W ，直线下方（不包含直线）的区域记为2W ，当1W 与2W 的整点个数之差不超过2时，请求出a 的取值范围．【答案】（1）4；（2）①11，②112a <≤．【解析】【分析】（1）根据点A 在k y x=的图象上，可求出k 的值；（2）①标出区域W ，再统计区域内的整数点即可；②过定点即表示与a 的取值无关，则有a 的系数()5x -等于0，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可；本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．【小问1详解】∵双曲线k y x=经过点()2,2A ，∴224k =⨯=，即k 的值为4；【小问2详解】①当4m n ==时，由图1可知，BC 上的整点有4个，BD 上的整点有4个，双曲线上CD 段的整点有3个，区域W 内部的整点有3个，又点B ，C ，D 都被算了2次，所以区域W 的整点个数为：4433311+++-=，故答案为：11；②由题知，()5454y ax a x a =-+=-+，则不论a 为何值，5x =时，即直线过定点()5,4，∴()5,4B ，如图所示，当()5,4B 时，区域W 内的整点共有15个，又被分成的区域1W 和2W 的整点个数之差不超过2，则当直线经过点()4,3时，1W 的整点个数是7，2W 的整点个数是5，满足要求，此时4543a a -+=，得1a =，当直线过点()3,3时，1W 的整点个数是5，2W 的整点个数是8，不满足要求，故当点()3,3在直线上方时，即可，此时3543a a -+=，得12a =，故a 的取值范围是：112a <≤．25.（1）问题发现：如图1，在OAB 和OCD 中，=OA OB ，40AOB COD ∠∠︒==，连接AC ，填空：AC BD= ；AMB ∠= ；（2）类比探究：如图2，在OAB 和OCD 中，0AOB COD ∠∠︒==9，连接AC 交BD 的延长线于点M ，请判断AC BD ，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将OCD 绕点O 旋转至点C 与点M 重合，1,OD =OB=AC = ．【答案】（1）1；40︒；（2；（3）【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 交AD 于J ．证明()SAS OAC OBD ≌，推出AC BD =，CAO DBO ∠=∠可得结论．（2）设AO 交BM 于J ．证明COA DOB ∽ ，推出AC OC BD OD==JAM JBO ∠=∠可得结论．（3）正确画图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得AOC BOD ：∽ ，则90AMB ∠︒＝，AC BD =，可得AC 的长．【详解】解：（1）如图1中，设BD 交AD 于J ．∵40OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠=︒，，，∴DOB COA ∠=∠，∴()SAS OAC OBD ≌，∴AC BD CAO DBO =∠=∠，，∵AJM BJO ∠=∠，∴40AMJ BOJ ∠=∠=︒，∴1AC BD=，40AMB ∠=︒，故答案为：1，40︒．（2）如图2中，结论：AC BD =理由：设AO 交BM 于J ．在Rt COD 中，∵9030DOC DCO ∠=︒∠=︒，，∴tan 60OC OD︒==同理可得：AO BO，∴CO OA OD OB=，∵90COD AOB ∠=∠=︒，∴COA DOB ∠=∠，∴COA DOB ∽ ，∴AC OC BD OD==（3）拓展延伸①点C 与点M 重合时，如图（3），同（2）得：AOC BOD ∽ ，∴CAO DBO ∠=∠，AC BD =，在AMB 中，180()AMB MAB ABM ∠=︒-∠+∠180()OAB ABM DBO =︒-∠+∠+∠90=︒；∵90AOB COD ∠=∠=︒，CO AO DO BO==∴60ODC OBA ∠=∠=︒，∴30OCD OAB ∠=∠=︒，设BD x =，则AC =，Rt COD 中，301OCD OD ∠=︒=，，∴2CD =，∴2BC x =-，Rt AOB △中，30OAB OB ∠=︒=，，∴2A B O B ==，在Rt AMB △中，由勾股定理得：222AC BC AB +=，∴)()(2222x +-=，整理得：260x x --=，∴(3)(2)0x x -+=，∴1232x x ==-，（舍去），∴3BD =，∴AC =②点C 与点M 重合时，如图（4），同理得：90AMB ∠=︒，AC BD =，设BD x =，则AC =，在Rt AMB △中，2BC BD CD x =+=+，由勾股定理得：222AC BC AB +=，∴)()(2222x ++=，整理得260x x +-=，∴(3)(2)0x x +-=，∴13x =-（舍去），22x =，∴2BD =，∴AC =综上所述，AC 的长为故答案为：【点睛】本题是三角形的综合题，勾股定理、解一元二次方程、主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：AOC BOD ∽ ，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题．26.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线2x =，点A 的坐标为()1,0A ．（1）该抛物线的表达式为 ；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），连接PC ．当PCB ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q ，将线段PQ 绕点Q 顺时针旋转90︒，使点P '恰好落在抛物线上？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）243y xx =-+ （2）1116,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）10(2,)9Q 或31(2,)9Q 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2x =，点A 的坐标为(1,0)，得出(3,0)B ，通过交点式得出函数关系式；（2）设抛物线对称轴交x 轴于点F ，交BC 于点D ，连接AD 并延长交CP 于E ，则可得AD BD =，AD BC ，且得点D 的坐标，证明CDA CDE ≌，得D 为CE 中点，由中点公式求出E 的坐标，由待定系数法求出直线CE 的关系式，与抛物线联立即可求出交点P 的坐标；（3）分P 在Q 上方和下方两种情况，当P 在Q 上方时，构造出PDQ QEP '△≌△，得1(2,)9P m m '+-代入抛物线即可，当Q 在P 上方时，得出31(2,)9Q ．【小问1详解】解： 对称轴为直线2x =，点A 的坐标为(1,0)，(3,0)∴B ，2(1)(3)43y x x x x ∴=--=-+；【小问2详解】解：设抛物线对称轴交x 轴于点F ，交BC 于点D ，连接AD 并延长交CP 于E ，如图，∵对称轴为直线2x =，∴(2,0)F ，(3,0)B ，(1,0)A ，∴3121AB AF BF =-===，；在243y x x =-+中，令0x =，得3y =，∴(0,3)C ，(3,0)B ，3OB OC ∴==，∵OC OB ^，45OBC ∴∠=︒，∵DF OB ⊥，∴45BDF OBC ∠=∠=︒，∴1DF BF ==，∴由勾股定理得：AD ==∴BD AD ==，∴45DAB OBC ∠=∠=︒，∴90ADB ∠=︒，∴AD BC ，(2,1)D ，PCB ACB ∠=∠ ，90CD CD CDE CDA =∠=∠=︒，，∴(ASA)CDA CDE ≌，∴AD ED =，由中点坐标公式得：(3,2)E ，设直线CE 的关系式为：y kx n =+，把C 、E 两点坐标分别代入得：332n k n =⎧⎨+=⎩，解得：133k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线CE 关系式为：133y x =-+，联立二次函数与一次函数解析式并消去y 得：213433x x x -+=-+，解得：10x =（舍)，2113x =，当113x =时，111163339y =-⨯+=，∴1116,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问3详解】解：存在；点P 旋转后的对应点为P '，作PD ⊥对称轴于D ，P E '⊥对称轴于E ，当P 在Q 上方时，则115233PD =-=，设DQ m =，的将线段PQ 绕点Q 顺时针旋转90︒得线段QP '，∴90PQP '∠=︒，则90PQD P QE '∠+∠=︒，又90PQD DPQ ∠+∠=︒，∴P QE DPQ '∠=∠，又PQ P Q '=，90PDQ QEP '∠=∠=︒，()AAS PDQ QEP ∴' ≌，P E DQ m '∴==，53QE PD ==，1651619399QE DQ m m +-=+-=-，12,9P m m ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭'，P ' 恰好落在抛物线上，21(2)4(2)39m m m ∴+-++=-，解得123m =，253m =-（舍），∴点Q 的纵坐标为16210939-=；10(2,)9Q ∴，当Q 在P 上方时，作PD ⊥对称轴于D ，可知：PQP ' 为等腰直角三角形，∴53PD P D QD '===，∴点Q 的纵坐标为16531939+=，31 (2,9 Q，综上：10(2,)9Q或31(2,)9Q．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及运算能力等知识，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2023-2024学年山东省济南市历城区九年级上学期数学期末试题及答案
2023-2024学年山东省济南市历城区九年级上学期数学期末试题及答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. sin30°的值为（）A. 12【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】sin30°=12故答案为：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【详解】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形等长．∴左视图是：故选：A ．【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图是解本题的关键．3. 二次函数()213y x =-+的最小值是（ ）A 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值，是基础题，熟记二次函数的最值问题是解题的关键．根据二次函数的图像和性质解答．【详解】解：10a => ，∴二次函数()213y x =-+有最小值3，故选：B ．4.在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在直线AB 右侧圆弧上取一点C ，连接AC ，BC ，则ACB 的度数为（ ）A. 60︒B. 50︒C. 45︒D. 不确定【答案】C.【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．【详解】解：∵90AOB ∠=︒，∴1ACB 452AOB =∠=︒，故选C ．5. 已知关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）A. －3B. 2C. 3D. －4【答案】C【解析】【分析】设方程的一个根1x ＝1，另一个根为2x ，再根据根与系数的关系进行解答即可．【详解】解：设方程的一个根1x ＝1，另一个根为2x ，根据题意得：12x x ⨯ ＝3，将1x ＝1代入，得2x ＝3．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键．6.学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 34【答案】C【解析】【分析】本题考查简单随机事件发生的概率，先列出所有的可能性，在找出满足题意的可能性，根据概率公式计算即可．【详解】运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，共有224⨯=种等可能情况，其中两人恰好都选择铅球项目是其中一种情况，则两人恰好都选择铅球项目的概率是14．故选：C7.已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图，则一次函数y ax b =-和反比例函数c y x=的图像为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查反比例函数、一次函数、二次函数的图像，解题的关键是直接利用二次函数图像经过的象限得出a ，b ，c 的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案即可．【详解】解：∵二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像开口向下，∴a<0，∵该抛物线对称轴位于y 轴的右侧，∴02b a->，∴0b >，∵抛物线交y 轴的负半轴，∴0c <，∴一次函数y ax b =-的图像经过第二、三、四象限，反比例函数c y x=的图像在二、四象限．故选：B ．8.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:3:1DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF 的面积与DAF △的面积之比为（ ）A. 3:4B. 2:3C. 9:16D. 4:3【答案】A【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，证明DEF BAF △△∽，利用相似三角形的性质得到:3:4EF AF =，然后利用等高的三角形面积之比等于对应底边之比求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD AB =，CD AB ∥，∴DEF BAF ∠=∠，EDF ABF ∠=∠，∴DEF BAF △△∽，∴::DE AB EF AF =，∵:3:1DE EC =，∴::3:4DE AB DE DC ==，则:3:4EF AF =，∴::3:4DEF DAF S S EF AF ==△△．9.如图，菱形ABCD 中，2AB =，45BAD ∠=︒，E ，F ，P 分别是AB ，BC ，AC 上的动点，PE PF +的最小值等于（ ）A. 1【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．作点P 关于AC 的对称点G ，连接PG ，作EH CD ⊥，作DQ CD ⊥，可推出PE PF PG PF EG +=+≥，而EG EH DQ ≥=，再进一步得出结果．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点G ，连接PG ，作EH CD ⊥于H ，作DQ CD ⊥交AB 于Q ，∴PG PF =，∴PE PF PG PF EG +=+≥，∵四边形ABCD 是菱形，∴点G 在CD 上，2AD AB ==，EG EH DQ ≥=，∵DQ AD ==∴PE PF +，故选B ．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m =-+-，直线3y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 作垂直于y 轴的直线l 与抛物线2221y x mx m =-+-有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为P ，当OAP △为锐角三角形时，则m 的取值范围是（ ）A. 1m >- B. 2m <-C. 2m <-或1m > D. 21m -<<【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当OAP △为锐角三角形时，则023m <+<，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键．【详解】解：如图，∵直线3y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，当0x =时，得3y =；当0y =时，得：3x =，∴()3,0A ，()0,3B ，∴3OA =，∵过点B 作垂直于y 轴的直线l 与抛物线2221y x mx m =-+-有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为P ，当3y =时，22213y x mx m =-+-=，解得：2x m =+或2m -，∴点()2,0P m +，∵OAP △为锐角三角形，∴023m <+<，∴21m -<<．故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11. 已知12a b =，则a a b+的值为_____．【答案】13【解析】【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键，根据合比性质进行计算．【详解】解：12a b = ，11.123a ab ∴==++ 故答案为：13．12.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个．【答案】15【解析】【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，求出红球的个数，再计算出黄球的个数即可．【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在0.25左右，∴摸出红球的概率为0.25，∴袋子中红球的个数为200.255⨯=（个），∴ 袋子中黄球的个数为20515-=（个），故答案是：15．13.有6个大小相同的小正方形，恰好如图放置在ABC 中，则tan B 的值等于__________．【答案】12##0.5【解析】【分析】本题考查解直角三角形，设小正方形的边长为a ，依题意可得EH a =，2FH a =，90EHF FHD HDC ∠=∠=∠=︒，继而得到FH BC ∥，进而得B EFH ∠=∠，根据正切的定义可求出答案．解题的关键是准确识图，熟练掌握正方形的性质、平行线的判定及性质和正切的定义是解题的关键．【详解】解：如图，∵有6个大小相同的小正方形，恰好如图放置在ABC 中，设小正方形的边长为a ，∴EH a =，2FH a =，90EHF FHD HDC ∠=∠=∠=︒，∴FH BC ∥，∴B EFH ∠=∠，∴1tan tan 22EH a B EHF FH a =∠===．故答案为：12．14.如图，在O 的内接正方形ABCD 中，2AB =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，得到 BD，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质以及正多边形与圆，根据对称性将阴影部分的面积转化为()S S -弓形半圆，根据勾股定理求出圆的半径，再由扇形面积、弓形面积的计算方法进行计算即可．掌握正方形的性质，勾股定理以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．【详解】解：如图，连接BD ，∵正方形ABCD 是O 的内接正方形，2AB =，∴90BAD ∠=︒，2AD AB ==，∴BD 是O 的直径，BD ===∴O ，又∵圆和正方形都是轴对称图形，∴S S S =-弓形阴影部分半圆22190212223602ππ⎛⎫⨯=⨯--⨯⨯ ⎪⎝⎭()2ππ=--2=，∴图中阴影部分的面积为2．故答案为：2．15. 如图，点A 是反比例函数()0k y x x=<图像上的一点，过A 作AB x 轴于点B ，点D 为x 轴正半轴上一点且2DO BO =，连接AD 交y 轴于点C ，连接BC ．若COD △的面积为8，则k 的值为_________．【答案】12-【解析】【分析】本题考查反比例函数的比例系数k 的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OB m =-，k AB m=，由2DO BO =，COD △的面积为8得出33BD OB m ==-，COB △的面积为4，即可得出()131222k k m m ⨯-⨯=--，求解即可．得到关于k 的方程是解题的关键．【详解】解：设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴OB m =-，k AB m=，∵2DO BO =，COD △的面积为8，∴33BD OB m ==-，BOC 的面积为4，∴ABD △的面积为：()13322k k m m ⨯-⨯=-，∴ABC 的面积为：()33481222ABC ABD BOC COD k k S S S S =--=--+=-- ，∴()131222k k m m ⨯-⨯=--，解得：12k =-．故答案为：12-．16.如图，在正方形ABCD 中，10AB =，点M 为线段BD 上一点，将ADM △沿AM 所在直线翻折得到AEM △（点E 在正方形ABCD 内部），连接BE ，CE ，DE ，若2BAE DCE ∠=∠，则DE 的长为 ________________．【答案】【解析】【分析】过点A 作AH BE ⊥交BE 于H ，过点E 作EF CD ⊥交CD 于F ，利用互余逐步得出 =BAH EBC ∠∠，90BEC ∠=︒，可证得AHB BEC ≌，BEC CFE ∽，结合全等三角形和相似三角形的性质，利用勾股定理，可求得EF ，DF 的长，然后再次利用勾股定理即可求得DE 的长．【详解】解：如下图，过点A 作AH BE ⊥交BE 于H ，过点E 作EFCD ⊥交CD 于F ，由翻折性质得：AD AE =；四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，AB AE =∴，ABE 是等腰三角形，11,22BAH BAE BH BE ∴∠=∠=(三线合一)；90,90ABH BAH ABH EBC ∠+∠=︒∠+∠=︒Q ，=BAH EBC ∴∠∠；又12DCE BAE ∠=∠Q ，12BAH BAE ∠=∠，=DCE BAH EBC ∴∠=∠∠；=90DCE ECB ∠+∠︒ ，90EBC ECB ∴∠+∠=︒，即得：90BEC ∠=︒；=90AB BC BAH EBC AHB BEC =⎧⎪∠∠⎨⎪∠=∠=︒⎩，AHB BEC ∴ ≌(AAS)，12EC BH BE ∴==222100EC BE BC ∴+==(勾股定理)EC ∴又=90DCE EBC EFC BEC ∠∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，BEC CFE ∴ ∽；,EC EF EC CF BC EC BC BE∴==，2,4EF CF ∴== ，1046DF =-=；DE ∴==【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”性质，翻折性质，勾股定理等知识，借助辅助线构造三角形全等及相似转化线段之间的关系是解决问题的关键．三、解答题（共10小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.212cos3012-⎛⎫-︒++- ⎪⎝⎭【答案】3+【解析】【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据二次根式的性质，特殊角三角函数值，负整数指数幂及绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可．212cos3012-⎛⎫-︒++- ⎪⎝⎭241=-++-41=++3=．18. 解方程：x 2﹣2x﹣15＝0．【答案】x 1＝5，x 2＝﹣3．【解析】【分析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【详解】解：x 2﹣2x﹣15＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0，可得x﹣5＝0或x+3＝0，解得：x 1＝5，x 2＝﹣3．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．19. 如图，在ABCD Y 中，90ACB ∠=︒，过点D 作DE BC ⊥交BC 的延长线于点E ，连接AE 交CD 于点F ．（1）求证：四边形ACED 是矩形；（2）连接BF ，若60ABC ∠=︒，2CE =，求BF 的长．【答案】（1）见解析 （2）BF 的长是【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AD BC ∥，再证AC DE ∥，即可证明四边形ACED 是平行四边形，又90ACE ∠=︒，可证明四边形ACED 是矩形；（2）根据四边形ACED 是矩形得出2AD CE ==，AF EF =，AE CD =，证明ABE 是等边三角形，再根据勾股定理即可求出BF 的长．【小问1详解】证明：90ACB ∠=︒ ，AC BC ∴⊥，DE BC ⊥ ，AC DE ∴∥，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BC 延长线上，AD CE ∴∥，∴四边形ACED 是平行四边形，90ACE ∠=︒ ，∴四边形ACED 是矩形；【小问2详解】解： 四边形ACED 是矩形，四边形ABCD 是平行四边形，AE CD AB \==，AF EF =，2AD CE CB ===，60ABC ∠=︒ ，ABC ∴ 是等边三角形，BF AE ∴⊥，2224AB AE BE CE =´====，90AFB \а=，114222AF AE ==´=，BF ∴===，BF ∴的长是．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．20.为提高学生的法律意识，某中学开展了一系列的法律进校园活动，组织九年级全体学生进行了《法律知识知多少》知识竞答，学校随机抽取m 名学生的竞答成绩，对成绩（百分制）的进行整理、描述和分析，成绩划分为()90100A x ≤≤，()8090B x ≤<，()7080C x ≤<，()6070D x ≤<，四个等级，并制作出不完整的统计图，如图所示． 已知：B 等级数据（单位：分）：80、80、81、82、85、86、86、87、88、89；根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m = ，n = ；（2）补全条形统计图；（3）抽取的m 名学生中，成绩的中位数是分，在扇形统计图中，C 等级扇形圆心角的度数是 ；（4）这所学校共有2100名学生，若全部参加这次竞答，请你估计成绩能达到B 等级及以上的学生人数．【答案】（1）50，20（2）见解析 （3）85.5，108︒（4）成绩能达到B 等级及以上的学生人数约为1260名【解析】【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、求中位数、求扇形统计图圆心角度数、由样本估计总体，从不同的统计图得出必要的信息是解此题的关键．（1）由D 等级有5人，占10%，可求m ，从而求出n 的值；（2）求出C 等级的人数，即可补全条形统计图；（3）把数据按从小到大排列后，中间两个数是85、86，即可求出中位数，用360︒乘以C 等级人数的占比即可得出圆心角度数；（4）用总人数乘以成绩能达到B 等级及以上的学生人数的占比即可得出答案．【小问1详解】解：由图可得：D 等级有5人，占10%，510%50m ∴=÷=，10%100%20%50n ∴=⨯=，20n ∴=，故答案为：50，20；【小问2详解】解：等级C 的人数为：502010515---=（人），补全条形统计图如图：；【小问3详解】解：把数据按从小到大排列后，中间两个数是85、86，∴中位数是85.528586=+，1536010850︒⨯=︒，故答案：85.5，108︒；【小问4详解】解：101552100126050++⨯=（人），∴绩能达到B 等级及以上的学生人数为1260人．21.如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m 的墙AB 和一段长为26m 的篱笆围建一个矩形苗圃园．如果矩形苗圃园的一边由墙AB 和一节篱笆BF 构成，另三边由篱笆ACDF 围成，设平行于墙一边CD 长为m x ．为（1）当苗圃园的面积为260m 时，求x 的值．（2）当x 为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）12（2）当x 的值为8.5m 时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是272.25m 【解析】【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，（1）用含x 的式子表示CA ，根据“苗圃园的面积为260m ”列出关于x 的方程，求解即可；（2）设苗圃园的面积为2m S ，根据面积公式可得到二次函数，通过二次函数的性质即可求出最值；本题的关键是利用含x 的式子表示线段长度，根据二次函数的性质解题．【小问1详解】解：∵篱笆的总长为26m ，平行于墙一边CD 长为m x ，∴垂直于墙一边CA 长为()268217m 2x x +-=-，根据题意得：()1760x x -=，解得：15=x （不符合题意，舍去），212x =，∴x 的值为12；【小问2详解】设苗圃园的面积为2m S ，依题意，得：()17S x x =-，∴()28.572.25S x =--+，∴当8.5x =时，72.25S =最大，答：当x 的值为8.5m 时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是272.25m ．22.如图，在O 中，AB 为直径，CD 与O 相切于点C ，切点为C ，连接BC 、BD ，若BC BD ⊥．（1）求证：D ABC B C ∠=∠；（2）若68BC BD ==,，求O 的半径．【答案】（1）见解析 （2）154【解析】【分析】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）连接OC ，根据切线的性质可得90OCD ∠=︒，从而可得90BCD BCO ∠+∠=︒，再根据垂直定义可得90CBD ∠=︒，从而可得90D BCD ∠+∠=︒，进而可得D BCO ∠=∠，然后利用等腰三角形的性质可得OCB OBC ∠=∠，从而利用等量代换可得D ABC B C ∠=∠，即可解答；（2）连接AC ，则90ACB ∠=︒，所以ACB CBD ∠=∠，而D ABC B C ∠=∠，即可证明ABC CDB ∽，得AC BC BC BD =，求得292BC AC BD ==，由勾股定理得152AB ==，则12OA AB =154=，所以O 的半径是154．【小问1详解】证明：连接OC，CD 与O 相切于点C 90OCD ∴∠=︒，90BCD BCO ∴∠+∠=︒，BC BD ⊥ ，90CBD ∴∠=︒，90D BCD ∴∠+∠=︒，D BCO ∴∠=∠，OC OB =Q ，OCB OBC ∴∠=∠，BD ABC C ∴∠=∠；【小问2详解】解：连接AC ，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴ACB CBD ∠=∠，∵D ABC B C ∠=∠，∴ABC CDB ∽，∴AC BC BC BD=，∵68BC BD ==，，∴226982BC AC BD ===，∴152AB ===，∴12OA AB =11515224=⨯=，∴O 的半径是154．23.某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度200cm AB =，遮阳棚前端自然下垂边的长度25cm BC =，遮阳棚固定点A 距离地面高度296.8cm AD =，遮阳棚与墙面的夹角72BAD ∠=︒．如图3所示，靠墙放置一张圆桌，高度90cm MN =，直径100cm PQ =，当太阳光线与地面的夹角60CFG ∠=︒时，请问桌子是否被晒到？（参考数据：sin 720.951︒≈，cos 720.309︒≈，tan 72 3.078︒≈1.732≈）【答案】桌子晒不到，理由见解析【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是把所给的所有线段都整理到直角三角形或矩形中．在直角三角形AEB 中，利用72︒的三角函数值得到AE 、BE 的长，进而求得CI 的长，再根据60︒的三角函数值求得JI 的长，然后求得PJ 的长，再和桌子的半径PQ 比较后可判断阳光能否照到桌子上．【详解】解：如图，作BE AD ⊥于E ，CH AD ⊥于H ，延长BC 交DG 于K ，则BK DG ⊥，由题意知：AD DG ⊥，25BC =，∴四边形BEHC ，四边形HDKC 是矩形，由题意得：25EH BC ==，在Rt ABE △中，∵200AB =，72BAD ∠=︒，∴cos cos 722000.30920061.8AE AB BAD =⋅∠=︒⨯≈⨯=，sin sin 722000.951200190.2BE AB BAD =⋅∠=︒⨯≈⨯=，∴296.861.825210DH AD AE EH =--≈--=，∴210CK DH =≈，延长PQ 交CF 于J ，交CK 于I ，由题意知：MN DG ⊥，PQ DG ∥，∴PQ AD ⊥，60CJI CFG ∠=∠=︒，∴四边形MNKI ，四边形BEPI 是矩形，∴90IK MN ==，190.2PI BE =≈，∴21090120CI CK IK =-≈-=，在Rt CJI △中，12069.28tan 60CI JI CJI tan =≈=≈∠︒，∴190.269.28120.92PJ PI JI =-≈-=，∵120.92100>，∴桌子晒不到．24. 如图1，直线21y x =+与y 轴交于点B ，与反比例函数()0k y x x=>的图像交于点()1,A a ．（1）求反比例函数表达式；（2）将线段AB 向右平移m 个单位长度()0m >，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ．①如图2，当点D 恰好落在反比例函数图像上时，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交反比例函数图像于点E ，求CE EF的值；②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N ，使得以A ，D ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3y x= （2）①3；②存在，点N 坐标为()0,1或()6,1或()2,5【解析】【分析】（1）根据点()1,A a 在直线21y x =+上，可确定()1,3A ，再将点A 的坐标代入反比例函数()0k y x x=>中求出k 的值即可；（2）①先确定()0,1B ，再根据平移的性质及函数图像上点的坐标特征可得出()3,1D ，继而得到34EF =，3CF =，即可得出结论；②设(),N m n ，分三种情况讨论即可．【小问1详解】解：∵点()1,A a 在直线21y x =+上，∴ 2113a =⨯+=，∴()1,3A ，∵点()1,3A 在反比例函数()0k y x x =>的图像上，∴31k =，的∴反比例函数表达式为3y x=；【小问2详解】①∵直线21y x =+与y 轴交于点B ，当0x =时，得1y =，∴()0,1B ，∵将线段AB 向右平移m 个单位长度()0m >，得到对应线段CD ，且点D 恰好落在反比例函数3y x =的图像上， CF x ⊥轴，当1y =时，得：3x =，∴()3,1D ，∴3AC BD ==，∴()4,3C ，当4x =时，得：34y =，∴34EF =，3CF =，∴39344CE CF EF =-=-=，∴94334CE EF ==；②在坐标平面内存在点N ，使得以A ，D ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形．理由：设(),N m n ，由①知：()1,3A ，()3,1D ，()4,3C ，可分以下三种情况：当AN CD ∥且AN CD =，以AC 为对角线时，即将线段AD 向右平移1个单位再向上平移2个单位得到线段NC ，此时可得平行四边形此时点N 的坐标为()2,5；当AD CN ∥且AD CN =，以CD 为对角线时，即将线段AD 向右平移3个单位得到线段CN ，此时可得平行四边形ADNC ，此时点N 的坐标为()6,1；当C D A N ∥且CD AN =，以AD 为对角线时，即将线段CD 向左平移3个单位得到线段AN ，此时可得平行四边形ACDN ，此时点N 的坐标为()0,1；综上所述，点N 的坐标为()0,1或()6,1或()2,5时，以A ，D ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了平移的性质、点坐标平移的规律，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的判定等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．25.在菱形ABCD 中，ABC α∠=，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为一边向右侧作等腰APE V ，使AP PE =，APE ABC ∠=∠=α，点E 的位置随着点P 的位置变化而变化．（1）如图1，若60α=︒，当点E 在菱形ABCD 内时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；（2）若120α=︒，当点P 在线段BD 的延长线上时，①如图2，BP 与CE 有何数量关系，CE 与AD 有何位置关系？请说明理由；②如图3，连接BE ，若AB =BE =DP 的长．【答案】（1）BP CE =；CE AD ⊥（2）①CE =，CE AD ⊥【解析】【分析】（1）连接AC ，延长CE 交AD 于F ，证明()SAS APB AEC ≌，即可得出BP CE =，30ACE ABP ∠=∠=︒，得出90CFA ∠=︒即可；（2）①如图，连接AC 交BD 于点O ，延长AD 交CE 于点F ，过点P 作PG AE ⊥于点G ，证明BAP CAE ∽△△，继而得到CE =，A B P A C E ∠=∠，再根据菱形的性质可推出90AFC ∠=︒即可；②如图，连接AC ，CE ，由①知BAP CAE ∽△△，得到CE =，60ACE ABP ∠=∠=︒，继而得到90BCE ∠=︒，根据勾股定理可得7CE ==，可得BP =DP BP BD =-可得出答案．【小问1详解】如图，连接AC ，延长CE 交AD 于F ，∵菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，∴AB BC CD AD ===，60ADC ABC ∠=∠=︒，BD 平分ABC ，∴ABC 、ACD 是等边三角形，∴AB AC =，AC CD =，60BAC ACD ∠=∠=︒，∵AP PE =，60APE ∠=︒，∴APE V 是等边三角形，∴AP AE =，60PAE ∠=︒，∴BAP PAC PAC CAE ∠+∠=∠+∠，即BAP CAE ∠=∠，在BAP △与CAE V 中，AB AC BAP CAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS APB AEC ≌，∴BP CE =，A B P A C E ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴11603022ACE ABP ABC ∠=∠=∠=⨯︒=︒，∴12ACE ACD ∠=∠，∴CE 平分ACD ∠，∴CE AD ⊥，故答案：BP CE =；CE AD ⊥；【小问2详解】①BP 与CE的数量关系：CE =，CE 与AD 的位置关系：CE AD ⊥．理由如下：如图，连接AC 交BD 于点O ，延长AD 交CE 于点F ，过点P 作PG AE ⊥于点G ，∵菱形ABCD 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，∴180********BAD ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，90AOB ∠=︒，2AC AO =，BD 平分ABC ∠，AC 平分BAD ∠，∴11603022BAC BAD ∠=∠=⨯︒=︒，∴12OB AB =，∴2AC AO ====，∵APE V 是等腰三角形，AP PE =，120APE ∠=︒，PG AE ⊥，∴()1180120302PAE PEA ∠=∠=⨯︒-︒=︒，2AE AG =，∴12GP AP =，∴2AE AG ====，为∴30BAC PAE ∠=∠=︒，AB AP AC AE ==∴BAC PAC PAE PAC ∠+∠=∠+∠，即BAP CAE ∠=∠，∴BAP CAE ∽△△，∴BP CE =，即CE =，A B P A C E ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴111206022ACE ABP ABC ∠=∠=∠=⨯︒=︒，∴AC 平分BAD ∠， ∴1302CAD BAD ∠=∠=︒，∴180********AFC ACE CAD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴CE AD ⊥；②如图，连接AC ，CE ，∵四边形ABCD 是菱形，AB =BE =120APE ABC ∠=∠=︒，∴BC AD AB ===，BD 平分ABC ∠，AC 平分BCD ∠，18012060BCD ∠=︒-︒=︒，∴111206022ABD ABC ∠=∠=⨯︒=︒，∴ABD △是等边三角形，∴BD AB ==，由①知BAP CAE ∽△△，∴CE =，60ACE ABP ∠=∠=︒，∵AC 平分BCD ∠， ∴11603022ACB BCD ∠=∠==︒⨯︒，∴306090BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴7CE ===，∵CE =，∴BP ===，∴DP BP BD =-=-=．【点睛】本题考查四边形的综合知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．26.如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A B ，两点，与y 轴相交于点C ，点B 的坐标是()20-，，点C 的坐标是()02，，M 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段MB 上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，D 点坐标为()0m ，．①在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；②连接AC ，若PCD OCA ∠=∠，求m 的值．【答案】（1）22y x x =--+（2）①存在，223⎛⎫- ⎪⎝⎭或；②m =【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）①利用待定系数法求得直线BM 的解析式为332y x =+，由于90PDC ∠<︒，不可能为直角，分两种情况：当90CPD ∠=︒时，当90PCD ∠=︒时，分别求解即可；②连接AC ，过点D 作DE DC ⊥，交CP 延长线于点E ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，过点E 作EG y ⊥轴于点G ，交PD 于点H ，证明EFD DOC ∽得出1tan 2EF FD ED PCD OD OC DC ===∠=，由题意得332P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，()0D m ，从而得到112EF m DF =-=，，1112EH FD OG EF m EG FO m ====-==-，，，证明EPH ECG ∽得出PH EH CG EG=，代入计算即可得出答案．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =-++经过()20B -，，()02C ，两点， 4202b c c --+=⎧∴⎨=⎩，解得：12b c =-⎧⎨=⎩，∴该抛物线的解析式为22y x x =--+；【小问2详解】①存在，理由如下：2219224y x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭ ，∴抛物线的顶点为1924M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，设直线BM 的解析式为y kx d =+，则201924k d k d -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：323k d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BM 的解析式为332y x =+，90PDC CDO ∠=︒-∠ ，90PDC ∴∠<︒，不可能为直角；当90CPD ∠=︒时，则CPD PDB ∠=∠，PC x \∥轴，3322m ∴+=，解得：23m =-，223P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，；当90PCD ∠=︒时，过点P 作PK y ⊥轴于K ，如图，则90PKC COD ∠=︒=∠，，90DCO CDO ∴∠+∠=︒，90PCD ∠=︒ ，90DCO PCK ∴∠+∠=︒，PCK CDO ∴∠=∠，PCK CDO ∴ ∽，PK CK OC OD∴=，90PDO PKO DOK ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形PDOK 是矩形，PK OD m ∴==-，332OK PD m ==+，3332122CK OK OC m m ∴=-=+-=+，3122m m m +-∴=-，解得：1m =，2m =122m -≤≤-，m ∴=333322m ∴+==，P ∴，综上所述，当PCD 为直角三角形时，点P 的坐标为223⎛⎫- ⎪⎝⎭，或；②解：如图，连接AC ，过点D 作DE DC ⊥，交CP 延长线于点E ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，过点E 作EG y ⊥轴于点G ，交PD 于点H ，，在Rt OAC 中，12OA OC ==，，1tan 2OCA ∴∠=，PCD OCA ∠=∠ ，1tan 2PCD ∴∠=，⊥ DE DC ，90EDC ∴∠=︒，90EDF CDO ∴∠+∠=︒，90DCO CDO ∠+∠=︒ ，DCO EDF ∴∠=∠，90EFD DOC ∠=∠=︒ ，EFD DOC ∴ ∽，∴1tan 2EF FD ED PCD OD OC DC ===∠=，由题意得332P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，()0D m ，， ∴112EF m DF =-=，，由题意知，四边形EFDH 、四边形EFOG 都是矩形，∴1112EH FD OG EF m EG FO m ====-==-，，，90PEH CEG PHE CGE ∠=∠∠=∠=︒ ，，EPH ECG ∴ ∽，∴PH EH CG EG=，∴3131221122m m m m ++=-+，∴m =0m < ，∴m =．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，采用数形结合和分类讨论的思想，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．。
2022-2023学年山东省济南市天桥区九年级上学期期末考试数学试卷含详解
9.如图，菱形 的三个顶点 在 上，对角线 交于点 ，若 的半径是 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10.已知二次函数 ，当 时，函数值y随x增大而减小，且对于 相应的函数值y，总满足 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
【分析】根据四边形 是菱形，得 ，即 是等边三角形，根据 ，所以图中阴影部分的面积
【详解】解：∵四边形 是菱形，
是等边三角形，
图中阴影部分的面积 ．
故选∶A．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
10.已知二次函数 ，当 时，函数值y随x增大而减小，且对于 相应的函数值y，总满足 ，则实数a的取值范围是（ ）
1.一元二次方程 的根是（ ）
A. B. C.D.
3.已知反比例函数 ，下列各点中，在此函数图象上的点的是（）
A.（ ，1）B.（2，2）C.（1，2）D.（2， ）
4.在一个不透明 盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 左右，则n的值大约为（）
A. B. C. D.
B
【分析】根据周长比等于相似比进行解答即可．
【详解】解： 个相似三角形的对应中线比是 ，
两个相似三角形的相似比为 ，
它们的周长比是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的相似比，熟知相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
6.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A.对角线互相平分B.对角线相等C.邻边相等D.对角线互相垂直
2021-2022学年第一学期济南市市中区九年级数学期末测试题
山东省济南市市中区2021-2022学年上学期九年级期末考试数学试题2022．01 一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是A． B． C．D．2．若ab＝13，则a＋bb的值为A．－23 B．－13 C．23 D．433．若A(2，4)与B(－2，a)都是反比例函数图象上y＝kx(k≠0)的点，则a值是A．4 B．－4 C．2 D．－24．拋物线y＝3(x＋2)2－5的顶点坐标是( )A．(－2，5) B．(－2，－5) C．(2，5) D．(2，－5)5．在一个不透明的装子中有若干个除颜色外完全相同的小球，如果其中有6个红球，且摸出红球的概率是15，则袋子中小球的总个数是( )A．25 B．40 C．60 D．306．如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，则sin∠ACB为A．255 B．12 C．134 D．27．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，AD∶OD＝5∶3，则S△AOB∶S△DOC＝( ) A．2：3 B．9：25 C．4：9 D．9：48．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为( )A．7m B．8m C．6m D．9m9．如图，A，B，C为⊙O上三点，若∠ABC＝44°，则∠OAC的度数为A．46° B．44° C．40° D．50°10．如图，关于x的函数y＝－kx(k≠0)和y＝kx－k，它们在同一坐标系内的图象大致是A． B． C．D．11．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为( ) A．10－2 B．3－2 C．75 D．23－212．若点A在某一个函数的图象上，且点A的横、纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”．若二次函数y＝x2＋2x＋c(c为常数)图像上有两个不同的“好点”且两个“好点”横坐标都小于1，则c的取值范围是( )A．c＜－3 B．－3＜c＜14 C．－2＜c＜14 D．c＜14二、填空题(本大思共有6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上) 13．锐角∠A满足tan A＝33，则∠A＝________度；14．如田，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O为位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C′O的值为________；15．如图，a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，则EF的长为________；16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝kx上的图象上，则k的值为________；17．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点AD为圆心，以AB、DC为半径作扇形ABF、扇形DCE，则图中阴影部分的面积是________；18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC边上的中点，连接E 交AD于F，将△AFE沿若AC翻折到△AGE，若四边形AFEG恰好为菱形，连接BG，则tan∠ABG＝________．三、解答题(本大题共有7个小题，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤) 19．(本小题满分6分)计算：4cos30°－(2－3)＋2tan45°20．(本小题满分6分)如图，点D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，且∠ADE＝∠B，其中AE＝1．5，AC ＝2，BC＝3，求DE的长．21．(本小题满分6分)如图，一枚运载火情从距雷达站C处5km的地面O处发射(即OC＝5km)，发射方向BO ⊥OC，当火箭到达点A、B时，在雷达站C处测得点A、B的仰角分别为34°、45°，其中点O、A、B在同一条直线上．求AB的长(结果保留小数点后一位)(参考数据：sin34°≈0．56；cos34°≈0．83；tan34°≈0．67)22．(本小题满分8分)某品牌免洗洗手液技剂型分为凝胶型、液体型、泡沐型三种型号(分别用A、B、C依次表示这三种型号)．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是________；(2)请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．23．(本小题满分8分)如图，已知AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，CD是⊙O的切线，切点为C，连接AC 交⊙O于点E．(1)求证：∠DCB＝∠DEC；(2)若AB＝8，AC＝7，求AE的长．24．(本小题满分10分)济南市响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟修建一矩形绿地，绿地一边靠墙，可利用的墙长不超过18米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边AB＝x米，面积为y平方米(如图)．(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)求矩形绿地ABCD的最大面积．25．(本小题满分10分)如图，直线y＝12x，与反比例函数y＝kx在第一象限内的图象相交于点A(4，m)．(1)求该反比例函数的表达式；(2)将直线y＝12x沿y轴向上平移n个单位后与反比例函数在第一象队内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若BCOA＝12，求n的值．(3)在(2)的条件下，连接AB，在x轴上有一点P，使△ABP为等展三角形，直接写出点P的坐标．26．(本小题满分12分)(1)问题发现：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接BE，CD交于点F．则BECD＝________；∠BFC＝________；(2)类比探究：如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝3CD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求AFCE的值及∠AGC的度数，并说明理由；(3)拓展应用：在(2)的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF、CE所在直线交于点G，若DB＝1，AD＝21，当点G与点E重合时，求AF的长．27．(本小题满分12分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE上x轴于点B，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G、H，设点D的横坐标为m．①当DF＋HF取最大值时，求F点坐标；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．。
2022-2023学年山东省济南市历下区九年级上学期期末数学试卷及参考答案
2022-2023学年山东省济南市历下区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．如图所示，圆柱体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．2．下列各点在反比例函数9y x=−的图象上的是( ) A ．(9,1)−−B ．1(9−，1)C ．(9,1)−D ．1(9，1)3．60︒的正弦值为( ) A ．12B ．22C ．32D ．334．已知O 的半径为6，点P 在O 外部，则OP 需要满足的条件是( ) A ．6OP >B ．06OP <C ．3OP >D ．03OP <5．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，若OC ODOB OA=，则图中一定相似的三角形是( )A ．BOA BAD ∆∆∽B ．BOA COD ∆∆∽C ．BOC BCD ∆∆∽D ．COB CBA ∆∆∽6．已知二次函数2(2)2y x =−+，当点1(3,)y 、2(2.5,)y 、3(4,)y 在函数图象上时，则1y 、2y 、3y 的大小关系正确的是( ) A ．312y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．123y y y <<7．如图，点(2,)A m 在双曲线(ky k x=是常数）位于第一象限的图象上，AB x ⊥轴，B 为垂足，tan 2AOB ∠=，则k 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．88．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若56ACD ∠=︒，则DAB ∠的度数为( )A ．34︒B ．36︒C ．46︒D ．54︒9．某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小聪所在小组想测量古塔的高度，经研究得出一个测量方案如下：在点A 用距离地面高度为h 米的测角器测出古塔顶端的仰角为17︒，然后沿AD 方向前进a 米到达点B ，用同样的测角器测出古塔顶端的仰角为45︒，小聪小组计算出的古塔高度约为( )米．A ．tan171tan17ah ︒⨯++︒B ．sin171sin17ah ︒⨯+−︒C ．tan171tan17a︒⨯−︒D ．tan171tan17ah ︒⨯+−︒10．在学习二次函数2(0)y ax bx c a =++≠时，小明了解到二次函数的系数a ，b ，c 对函数图象的影响，于是他尝试用自己所学解释函数2||3y x bx =−−的性质并得到以下结论，请你判断小明得到的这些结论中正确的是( ) ①函数图象与y 轴交点为(0,3)−； ②若2b =，则y 有最小值为4−； ③若1b =，则当12x <时，y 随x 的增大而减小； ④若0b ≠，则直线(y m m =为任意实数）与函数图象的交点个数最多是4个．A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．②④二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11．二次函数261y x x =−+的对称轴是直线x = ．12．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，若70A ∠=︒，则C ∠的度数是 ．13．广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于 .（填“平行投影”或“中心投影” )14．如图，点B 在反比例函数4(0)y x x =>的图象上，点C 在反比例函数6(0)y x x =−>的图象上，且//BC y 轴，AB BC ⊥，垂足为点B ，交y 轴于点A ，则ABC ∆的面积为 ．15．如图，等边ABC ∆被矩形DEFG 所截，//EF BC ，线段AB 被截成三等份．若ABC ∆的面积为212cm ，图中阴影部分的面积为 2cm ．16．扇形AOB 的圆心角为90︒，O 为圆心，C 是弧AB 上的一点，连接AC ，CD AC ⊥交半径OB 于点D ．若8AC =，6CD =，则扇形AOB 的面积为 （结果保留)π．三、解答题（本大题共10题，满分86分） 17．计算：02022(3)2cos30(1)12π−−︒+−+． 18．如图，已知B D ∠=∠，12∠=∠．求证：AB BCAD DE=．19．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系．（1）过A ，B ，C 三点的圆的圆心M 坐标为 ． （2）求M 的面积（结果保留)π．20．如图，一次函数112y x =+的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(,3)A a ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点E ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点(2,)C b ，与x 轴交于点D ．求ADE ∆的面积．21．线上教学期间，很多同学采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角150AOB ∠=︒时，顶部边缘A 处离桌面的高度AC 的长为11cm ，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角108A OB '∠=︒时（点A '是A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长．（结果精确到1cm ；参考数据：sin180.31︒≈，cos180.95︒≈，tan180.32)︒≈22．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，以BD 为直径作O 交BC 于点F ，并且O 与AC 相切于点E ，连接OE ． （1）求证：//BC OE ；（2）若O 的半径为5，30A ∠=︒，求BC 的长．23．如图，双曲线1k y x =与直线232y x =交于A ，B 两点．点(2,)A a 和点(,3)B b −在双曲线上，点C 为x 轴正半轴上的一点．（1）求双曲线1ky x=的表达式和a ，b 的值； （2）请直接写出使得12y y >的x 的取值范围； （3）若ABC ∆的面积为12，求此时C 点的坐标．24．小腾所在的小区中心为了净化环境要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流与池中心水管的水平距离为x 米，距地面的高度为y 米．测量得到如下数值： /x m0 0.4 1 1.5 2 2.5 3 /y m2.53.33.93.853.32.250.7小腾根据学习函数的经验，发现y 是x 的函数，并对y 随x 的变化而变化的规律进行了探究，如图，他首先通过描点法画出了函数图象．（1）小腾结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度OC 为 m ．通过计算，可得到y 关于x 的函数表达式为 ，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为 m ；（2）如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度OC ，使水流落地点与水管的距离OA 缩短为3m ，请求出降低后的水管高度是多少米？25．【问题发现】（1）如图1所示，ABC ∆和ADE ∆均为正三角形，B 、D 、E 三点共线．猜想线段BD 、CE 之间的数量关系为 ；BEC ∠= ︒；【类比探究】（2）如图2所示，ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，90ACB AED ∠=∠=︒，AC BC =，AE DE =，B 、D 、E 三点共线，线段BE 、AC 交于点F ．此时，线段BD 、CE 之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出BEC∠的度数； 【拓展延伸】（3）如图3所示，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，8BC =，DE 为ABC ∆的中位线，将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，当DE 所在直线经过点B 时，请直接写出CE 的长．26．如图，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点(1,0)A −，(4,0)B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 为线段CB 上一个动点（不与点C ，B 重合），过点P 作//PQ y 轴交抛物线于点Q ． （1）求抛物线的表达式和对称轴；（2）设P 的横坐标为t ，请用含t 的式子表示线段PQ 的长，并求出线段PQ 的最大值；（3）已知点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 是平面直角坐标系内一点，当线段PQ 取得最大值时，是否存在这样的点M ，N ，使得四边形PBMN 是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．解：从正面看圆柱可得到一个长方形．故选：C ．2．解：9y x=−，9k xy ∴==−，A ．9(1)9xy k =−⨯−=≠，不符合题意；B ．11199xy k =−⨯=−≠，不符合题意；C ．9(1)9xy k =⨯−=−=，符合题意；D ．11199xy k =⨯=≠，不符合题意．故选：C ．3．解：60︒ 故选：C ．4．解：当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外， 6OP ∴>，故选：A ． 5．解：OC ODOB OA=，AOB DOC ∠=∠， BOA COD ∴∆∆∽，故选：B ．6．解：由二次函数2(2)2y x =−+知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线2x =． 由于点1(3,)y 、2(2.5,)y 、3(4,)y 在函数图象上，且|2.52||32||42|−<−<−， 所以213y y y <<． 故选：B ． 7．解：AB x ⊥轴，B 为垂足，tan 2AOB ∠=，∴2ABOB=， 点(2,)A m 在双曲线(ky k x=是常数）位于第一象限的图象上，2OB ∴=，AB m =， 4m ∴=，(2,4)A ∴， 248k ∴=⨯=；故选：D ．8．解：连接BC ，如图AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90905634DAB DCB ACD ∴∠=∠=︒−∠=︒−︒=︒．故选：A ．9．解：过点E 作EH CD ⊥于H ，则四边形ADHE 是矩形， DH AE h ∴==m ，设CH x =m ，在Rt CHF ∆中，45CFH FCH ∠=∠=︒， CH FH x ∴==m ，在Rt CHE ∆中， tan CHCEH EH∠=， ∴tan17xx a=︒+， tan171tan17a x ⋅︒∴=−︒，即tan17()1tan17a CH m ⋅︒=−︒，tan17()()1tan17a CD CH DH h m ⋅︒∴=+=+−︒，答：古塔CD 的高度为tan17()()1tan17a h m ⋅︒=+−︒，故选：D ．10．解：①将0x =代入函数2||3y x bx =−−得：3y =−，∴函数图象与y 轴交点为(0,3)−，①正确；②当0x >时，2223(1)4y x x x =−−=−−， y ∴有最小值为4−，当0x <时，2223(1)4y x x x =+−=+−， y ∴有最小值为4−，②正确；③当102x <<时，23y x x =−−， 对称轴为1122x −=−=， 10a =>，∴当102x <<时，y 随x 的增大而减小； 当0x <时，23y x x =+−， 对称轴为12x =−，10a =>，∴当12x <−时，y 随x 的增大而减小，当102x −<<时，y 随x 的增大而增大，③不正确；④函数2||3y x bx =−−的图象为：正确的为：①②④． 故选：B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11．解：二次函数2261(3)8y x x x =−+=−−，∴该函数的对称轴是直线3x =，故答案为：3．12．解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180C A ∴∠+∠=︒，18070110C ∴∠=︒−︒=︒．故答案为：110︒．13．解：广场上一个大型艺术字板块在地上的投影如图所示，则该投影属于中心投影． 故答案为：中心投影．14．解：过C 点作CH y ⊥轴于H 点，BC 交x 轴于D ，如图//BC y 轴，AB BC ⊥，∴四边形ABDO 和四边形ODCH 都是矩形，4ABDO S ∴=矩形，66ODCH S ==矩形，4610ABCH S ∴=+=矩形，ABC ∴∆的面积152ABCH S ==矩形． 故答案为：5．15．解：//DG BC ，AHM ABC ∴∆∆∽，AH HK KB ==，212ABC S cm ∆=， ∴2211()()39AHM ABC S AH S AB ∆∆===， 211412()993AHM ABC S S cm ∆∆∴==⨯=， //EF BC ，AKN ABC ∴∆∆∽，∴2224()()39AKN ABC S AK S AB ∆∆===， 2441612()993AKN ABC S S cm ∆∆∴==⨯=， ()2164433AKN AHM S S S cm ∆∆∴=−=−=阴影， ∴图中阴影部分的面积为24cm ，故答案为：4．16．解：过O 作OH AC ⊥于H ，交AD 于F ， 则142AH CH AC ===，AC CD ⊥，//OH CD ∴，AF DF ∴=，132FH CD ∴==，AC CD ⊥，90C ∴∠=︒，22226810AD AC CD ∴=+=+=，90AOB ∠=︒，152OF AD ∴==，8OH ∴=，22224845OA AH OH ∴=+=+=，∴扇形AOB 的面积290(45)20360ππ⋅⨯==，故答案为：20π．三、解答题（本大题共10题，满分86分）17．解：原式312123=−++1313=−+23=+． 18．证明：12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠， B D ∠=∠，BAC DAE ∴∆∆∽，∴AB BC AD DE=． 19．解：（1）如图所示：连接AB ，AC ，分别作AB 、AC 的垂直平分线，两直线交于点M ， 则点M 就是过A ，B ，C 三点的圆的圆心，由图形可知M 的坐标为(1,2)M −， 故答案为：(1,2)−；（2）连接MB ，由勾股定理得223110MB =+=，故圆的面积为10π．20．解：（1）将点(,3)A a 代入112y x =+， 得：1312a =+， 解得：4a =，则点(4,3)A ，将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：34k =， 解得：12k =；（2）反比例函数12y x =的图象过点(2,)C b ， 1262b ∴==． 设直线AC 的解析式为y mx n =+，(4,3)A ，(2,6)C ，∴4326m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：329m n ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为392y x =−+， ∴当0y =时，3902x −+=， 解得：6x =，(6,0)D ∴． 112y x =+， ∴当0y =时，1102x +=， 解得：2x =−，(2,0)E ∴−，6(2)8DE ∴=−−=，183122ADE S ∆∴=⨯⨯=． 21．解：150AOB ∠=︒，18030AOC AOB ∴∠=︒−∠=︒，在Rt ACO ∆中，11AC cm =，222()AO AC cm ∴==，由题意得：22AO A O cm ='=， 108A OB ∠'=︒，18072A OD A OB ∴∠'=︒−∠'=︒，在Rt △A DO '中，cos18220.9521()A D A O cm '='⋅︒≈⨯=， ∴此时顶部边缘A '处离桌面的高度A D '的长约为21cm ．22．（1）证明：AC 是O 的切线，OE AC ∴⊥，90ACB ∠=︒，BC AC ∴⊥，//BC OE ∴；（2）解：在Rt AOE ∆中，30A ∠=︒，5OE =， 210OA OE ∴==，10515AB OA OB ∴=+=+=，在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，17.52BC AB ∴==．23．解：（1）直线232y x =过点(2,)A a 和点(,3)B b −，3232a ∴=⨯=，332b =−，2b ∴=−． 双曲线1k y x =过点(2,3)A ，236k ∴=⨯=，∴双曲线1ky x =的表达式为16y x =；（2）观察图象，可得当2x <−或02x <<时，反比例函数值大于一次函数值， 即使得12y y >的x 的取值范围是2x <−或02x <<；（3）(2,3)A ，(2,3)B −−，12ABC AOC BOC S S S ∆∆∆=+=， ∴11331222OC OC ⨯+⨯=，4OC ∴=，∴此时C 点的坐标为(4,0)．24．解：（1）记水流与池中心水管的水平距离为x 米，距地面的高度为y 米，当0x =时， 2.5y =，∴水管出水口距地面的高度OC 为2.5m ； 故答案为：2.5；设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，将(0,2.5)，(1,3.9)，(2,3.3)代入得： 2.53.942 3.3c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：12.42.5a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，y ∴关于x 的函数表达式为2 2.4 2.5y x x =−++， 故答案为：2 2.4 2.5y x x =−++；222.4 2.5( 1.2) 3.94y x x x =−++=−−+， ∴该抛物线的顶点坐标为(1.2,3.94)，∴水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为1.2m ． 故答案为：1.2；（2）只降低水管出水口距离地面的高度OC ， ∴设降低水管出水口距离的抛物线的解析式为2 2.4y x x m =−++， 水流落地点与水管的距离OA 缩短为3m ， ∴抛物线2 2.4y x x m =−++经过(3,0)， 23 2.430m ∴−+⨯+=，1.8m ∴=，∴降低水管出水口距离的抛物线的解析式为2 2.4 1.8y x x =−++， 令0x =，则 1.8y =，∴降低后的水管高度为1.8米．25．解：（1）ACB ∆和ADE ∆均为等边三角形， AB AC ∴=，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒，60ADE AED ∠=∠=︒， BAC DAC DAE DAC ∴∠−∠=∠−∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，BD CE ∴=，BDA CEA ∠=∠，点B ，D ，E 在同一直线上，18060120ADB ∴∠=︒−︒=︒，120AEC ∴∠=︒，1206060BEC AEC AED ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒， 综上所述，BEC ∠的度数为60︒，线段BD 与CE 之间的数量关系是BD CE =， 故答案为：BD CE =，60；（2）结论：2BD CE =，45BEC ∠=︒，理由如下： ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，45BAC ABC ADE DAE ∴∠=∠=∠=∠=︒，90ACB AED ∠=∠=︒， BAD CAE ∴∠=∠，135ADB ∠=︒，Rt ABC ∆和Rt ADE ∆中，sin AC ABC AB ∠=，sin AE ADE DE ∠=，sin 45︒=∴2AC AE ABAD ==， ∴AB AC AD AE=， 又BAD CAE ∠=∠，ABD ACE ∴∆∆∽，135ADB AEC ∴∠=∠=︒，BDCE ABAC ADAE ==， 45BEC AEC AED ∴∠=∠−∠=︒，2AC AE AB AD ==，∴AB AC=∴BD AB CE AC==，BD ∴=；（3）分两种情况：①如图4，90BAC ∠=︒，30ABC ∠=︒，8BC =， 142AC BC ∴==， 22228443AB BC CB ∴=−=−=， DE 为ABC ∆的中位线，142DE BC ∴==，//DE AB ，12AE AC =，12AD AB =，30CDE ABC ∴∠=∠=︒，12AD AEAB AC ==，由旋转的性质得：BAD CAE ∠=∠，BAD CAE ∴∆∆∽，∴3BDABCE AC ==，180150ADB AEC ADE ∠=∠=︒−∠=︒， 9060AED CDE ∠=︒−∠=︒，1506090CEB AEC AED ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒， 设CE x =，则3BD x =，34BE BD DE x =+=+， 在Rt BCE ∆中，由勾股定理得：222(34)8x x ++=， 解得：153x =−或153x =−−（舍去） 153BE ∴=−；②如图5，同①得：AEC ABD ∆∆∽，则3BDADCE AE ==，90CEB ∠=︒，设CE y =，则3BD y =，34BE BD DE y =−=−， 在Rt BCE ∆中，由勾股定理得：222(34)8y y +−=， 解得：153y =+或153y =−−（舍去），CE ∴=综上所述，CE26．解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y x x x x =−−−， 即2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++， 则抛物线的对称轴为直线332(1)2x =−=⨯−；（2）设直线BC 的表达式为：4y kx =+， 将点B 的坐标代入上式得：044k =+，解得：1k =−， 故直线BC 的表达式为：4y x =−+， 设点(,4)P t t −+，则点2(,34)Q t t t −++， 则22(34)(4)4PQ t t t t t =−++−−+=−+， 10−<，故PQ 有最大值， 当2t =时，PQ 的最大值为4；（3）存在，理由：当2t =时，点(2,2)P ， 设点3(2M ，)m ，而点(4,0)B ； 四边形PBMN 是菱形，则BP BM =，即22223(42)2(4)2m −+=−+，解得：m =，即点M 的坐标为3(2或3(2，．。
2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期末试题及答案
2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期末试题及答案考试时间120分钟 满分150分第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 下列几何体中，左视图是三角形的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．【详解】解：A ． 长方体的左视图是长方形，不符合题意；B ． 该圆柱体的左视图是长方形，不符合题意；C ．圆锥的左视图是三角形，符合题意；D ．该三棱柱的左视图为矩形，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2. 下列四个点，在反比例函数6y x =的图象上的是（ ）A. ()3,3-- B. 11,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()3,2D. ()5,1【答案】C【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，根据反比例函数的解析式可知xy k =，四个选项中，横、纵坐标乘积为6的即为正确答案．【详解】解：A ，()3396-⨯-=≠，()3,3--不在6y x =的图象上，不合题意；B ，111666⨯=≠，11,6⎛⎫ ⎪⎝⎭不在6y x =的图象上，不合题意；C ，326⨯=，()3,2在6y x=的图象上，符合题意；D ，5156⨯=≠，()5,1不在6y x =的图象上，不合题意；故选C ．3. 已知⊙O的半径为5，若点P 在⊙O内，则OP 的长可以是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系可得5OP <，由此即可得出答案．【详解】解：O 的半径为5，点P 在O 内，5OP ∴<，观察四个选项可知，只有选项A 符合，故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．4. 如图，点A ，B ，C 均在O 上，当50A ∠=︒时，OBC ∠的度数是（ ）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】D【分析】本题主要考查了圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟知圆周角定理是解题的关键．由圆周角定理即可得2100BOC A ==∠∠°，再根据三角形内角和、等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：∵50A ∠=︒,∴2100BOC A ==∠∠°，∵OB OC =，∴180100402OBC OCB ︒-︒∠=∠==︒．故选D ．5.如图，利用标杆DA 测量楼高，点C ，A ，B 在同一直线上，DA CB ⊥，EB CB ⊥，垂足分别为A ，B.若测得影长16AB =米，3DA =米，影长4CA =米，则楼高EB 为（ ）A. 10米B. 12米C. 15米D. 20米【答案】B【解析】【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可．【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例，∴::EB BA AD AC =，即：:163:4EB =，解得：12EB =；故选B ．6. 如图，AB 与CD 相交于点O ，添加一个条件，不能判断AOC BOD ∽的是（ ）A. A B ∠=∠B. C D ∠=∠C. OA OC OB OD =D. OA AC OB BD=【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可解得．【详解】解：在AOC 和BOD 中，AOC BOD ∠=，A 、∵AB ∠=∠，∴AOC BOD ∽，故A 不符合题意；B 、CD ∠=∠ ，∴AOC BOD ∽，故B 不符合题意；C 、∵OA OC OB OD=∴AOC BOD ∽，故C 不符合题意；D 、OA AC OB BD =，不能判定AOC BOD ∽，故D 符合题意．故选：D ．7. 关于反比例函数2y x=，下列结论正确的是（ ）A. 图象位于第二、四象限 B. 当0x <时，y 随x 的增大而减小C. 当2x >时，1y > D. 图象与坐标轴有交点【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质，对各个选项逐一分析判断对错，即得．本题主要考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解决问题的关键．【详解】∵反比例函数2y x=的图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，∴故A 选项错误，D 选项错误；∵当0x <时，y 随x 的增大而减小，∴故B 选项正确；∵当2x >时，222y x =<，1y <，∴故C 选项错误．故选：B ．8. 已知二次函数2y ax 2x c =++，其中0ac <，则它的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由0ac <，可知a 、c 异号，分情况讨论，当0c >时，a<0，抛物线开口向下，对称轴y 轴右侧，当0c <时，0a >，抛物线开口向上，对称轴y 轴左侧，本题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质．【详解】0ac < ，a ∴、c 异号，当0c >时，a<0，与y 轴交点在正半轴，抛物线开口向下，对称轴202a->，在y 轴右侧，当0c <时，0a >，与y 轴交点在负半轴，抛物线开口向上，对称轴202a -<，在y 轴左侧，综上所述，只有选项C 符合题意，故选：C ．9.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼AB 的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面142m 的P 点，测得超然楼顶端A 的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行210m 到达Q 点，测得超然楼顶端A 的俯角为45°，则超然楼AB 的高度约为（ ）（参考数据：3tan374︒≈，3sin375︒≈，cos3745︒≈）A. 48mB. 50mC. 52mD. 54m【答案】C【解析】【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A 作AC PQ ⊥于点C ，证明ACQ 为等腰直角三角形，得出CQ AC =，设m AC CQ x ==，则()210m PC PQ CQ x =-=-，在Rt PCA △中，根据3tan 2104x APC x ∠=≈-，求出90m x ≈，得出90m AC =，即可得出答案．【详解】解：过点A 作AC PQ ⊥于点C ，如图所示：则90ACQ ACP ∠=∠=︒，由题意得，45AQC ∠=︒，37APC ∠=︒，∵在Rt ACQ 中，45AQC ∠=︒，∴ACQ 为等腰直角三角形，∴CQ AC =，设m AC CQ x ==，则()210m PC PQ CQ x =-=-，在Rt PCA △中，3tan tan 372104AC x APC PC x ∠=︒==≈-，解得：90m x ≈，∴90m AC =，∴()1429052m AB =-=．故选：C ．10.已知二次函数241y mx mx =-+，其中0m >．若当04x ≤≤时，对应的y 的整数值有6个，则m 的取值范围为（ ）A. 1324m << B. 514m <≤ C. 5342m <≤ D.5342m ≤<【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由()()224441241y m x x m m x m =-+-+=--+，可知函数的最小值为14m -，当04x ≤≤时，最大值为1，对应的y 的整数值有6个，则5144m -<-≤-，解得即可．【详解】 241y mx mx =-+∴()24441y m x x m =-+-+，()2241y m x m =--+，∴抛物线的顶点坐标为()2,14m -，∴当0x =或4x =时，1y =，∴当2x =时，y 有最小值为14m -，∵0m >，∴当04x ≤≤时，y 的最大值为1，0m >，当04x ≤≤时，对应的y 的整数值有6个，∴这6个整数值为：1、0、1-、2-、3-、4-，∴5144m -<-≤-解得：5342m ≤<故选：D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）11. 抛物线()2215y x =-+的顶点坐标是___________．【答案】（1，5）【解析】【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．【详解】解：∵抛物线()2215y x =-+，∴抛物线()2215y x =-+的顶点坐标为：（1，5），故答案为（1，5）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握根据顶点式得出顶点坐标：顶点式y=a （x-h ）2+k 中，顶点坐标是（h ，k ）．12.二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为2cm 的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为______2cm ．【答案】2.8【解析】【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为()2220.7 2.8cm ⨯⨯=，故答案为：2.8．13.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，若80BOD ∠=︒，则C ∠的度数是______°．【答案】140【解析】【分析】由圆周角定理可得，A ∠是BOD ∠的一半，由圆内接四边形对角互补，即可求出C ∠的度数，本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是：熟练掌握圆周角定理，和圆内接四边形的性质．【详解】80BOD ∠=︒ ，80240A ∴∠=︒÷=︒，180A C ∠+∠=︒ ，18040140C ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：140．14.如图，点A 是双曲线10y x=-上一点，过点A 分别作AB x 轴，AC y ⊥轴，垂足分别为B ，C 两点.AB ，AC 与双曲线k y x=分别交于D ，E 两点，若四边形ADOE 的面积为6，则k =______．【答案】4-【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数k 几何意义，掌握反比例函数上的点向轴和轴引垂线形成的矩形的面积等于反比例函数的k 值是解题的关键．由反比例函数的几何意义得12BOD S k =- ，12OCE S k =- ，10ABOC S =矩形，再根据OBD OCE ABOC ADOE S S S S --= 矩形四边形即可求出k 的值．【详解】解：∵D，E 在反比例函数k y x=的图像上且图像在第二象限，∴1122BOD S OB BD k =⋅=- ，12OCE S OC CE k =⋅=- ，∵点A 是双曲线10y x =-上一点，且图像在第二象限，∴10ABOC S OB OC k =⋅=-=矩形，∵OBD OCE ABOC ADOE S S S S --= 矩形四边形，∴1110622k k ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：4k =-．的故答案为：4-．15.如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，D ，E 均在格点上，且E 在 BCD上．AB 交 BCD于点C ，则 BC 的长为______．【解析】【分析】本题考查弧长公式，勾股定理，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．如图，设圆心为O ，连接OC OB ，．证明90BOC ∠=︒，再利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图，设圆心为O ，连接OC OB ，．∵OC OB BC ===∴222OC OB BC +=，∴90BOC ∠=︒，∴ BC 的长为==．．16. 如图，在菱形ABCD 中，5AB =.AD 上有一点E ，连接BE ，将ABE 沿BE 翻折使点A 的对应点A '落在CD 上，连接A B '，A E '.若3A C '=，则DE =______．【答案】158【解析】【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，延长AD 、BA '交于点G ，作EF AB ∥交A B '于点F ，由菱形性质得5C D C B A B A D ====，A C ∠=∠，AB CD ，则G B A B AC'∠=∠，再证明EG FG =，GDA GAB ' ∽即可得出答案，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.【详解】解：延长AD 、BA '交于点G ， 作EF AB ∥交A B '于点F ，∵四边形ABCD 是菱形，5AB =，∴5C D C B A B A D ====，A C ∠=∠，AB CD ，∴G B A B AC'∠=∠，由翻折得A B AB '=，∴C B AB'=，∴B ACC '∠=∠，∴G B A C A ∠=∠=∠，∴AG BG =，∵G FE G B A A G E F ∠=∠=∠=∠，∴EG FG =，∴A G E G B G FG -=-，∴AE BF =，∵FBE ABE ∠=∠，FE B A B E ∠=∠，∴FBE FEB ∠=∠，∴EF BF =，∴AE EF =,∵5CD =,3A C '=，∴532D A C D AC''=-=-=，∵∥'DA AB ，∴GDA GAB ' ∽ ∴25'==DG DA AG AB ， ∴255=+DG DG ，解得 103DG =，1025533=+=+=AG AD DG ，∵∽ GEF GAB ，∴=EG EF AG AB ∴2532553-=AE AE ，解得258AE =，2515588=-=-=DE AD AE ，故答案为：158．三、解答题（本大题共10个小题，共86分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 计算：()20232sin30tan602cos301-++-︒︒︒．【答案】0【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的计算和幂的运算，熟练掌握常用特殊锐角三角函数的值，以及幂的运算法则，即可解题．【详解】解：()20232sin30tan602cos301-++-︒︒︒，12212=⨯+-11=0=．18.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （单位：kPa ）是气体体积V （单位：3m ）的反比例函数，如图所示．（1）写出这一函数的表达式．（2）当气球内的气压大于160kPa 时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应不小于多少?【答案】（1）96p V= （2）气球的体积至少为30.6m ．【解析】【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像的性质等知识点，反比函数的图像和性质是握掌解题的关键．（1）设k p V =，将点()0.8,120A 代入k p V=，求得k 即可解答；（2）当160kPa V =时，代入解析式即可求解．【小问1详解】解：设k p V=，将点()0.8,120A 代入k p V =可得；1200.8=k ，解得：96k =，∴这个函数的解析式为96p V=．【小问2详解】解：当160kPa V =时，有96160V =，解得：0.6V =，所以为了安全起见，气体的体积应不少于30.6m ．19. 如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，ADE C ∠=∠，6AB =，9AC =，3DB =，求AE 的长．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得ADE ACB ∽是解题的关键．先线段的和差可得3AD =，再证明ADE ACB ∽，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可．【详解】证明：∵63AB DB ==，，∴3AD AB DE =-=，在AOD △和BOC 中，A A ADE C ∠=∠∠=∠，，∴ADE ACB ∽， ∴AD AE AC AB=，∵3,9,6AD AC AB ===,∴396AE =，解得：2AE =．20. 某校举行了第二届信息技术应用大赛，将该校九年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成不完整的统计表和扇形统计图．竞赛成绩不完整统计表组别成绩/x分人数A6070x≤<10B7080x≤<mC8090x≤<17D90100x≤<3竞赛成绩扇形统计图请观察上面的图表，解答下列问题：（1）统计表中m=______；统计图中n=______，B组的圆心角是______度．（2）D组的3名学生中，有2名男生和1名女生，从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请用画树状图或列表的方法求“至少1名女生被抽取参加5G体验活动”的概率．【答案】（1）20，34，144；（2）2 3【解析】【分析】本题是统计表与统计图的综合，考查了频数分布表与扇形统计图相关的内容，用树状图或列表法求概率．（1）由A组成绩的人数及占比可求得总人数，用总人数减去其它组别的人数即可求得B组成绩的人数m，从而可求得n及B组的圆心角的度数；（2）将2名男生分别记作“男1，男2”，列出表格，可求得总的结果数及至少一名女生被抽中参加体验活动的结果数，由概率计算公式即可求得．【小问1详解】解：参加竞赛的总人数为：1020%50÷=（名），则B组成绩的人数501017320m=---=（名），17%100%34%50n =⨯=，则34n =，B 组的圆心角为2036014450⨯=︒︒；故答案为：20，34，144；【小问2详解】解：将2名男生分别记作“男1，男2”，列表如下：男1男2女男1（男1，男2）（男1，女）男2（男2，男1）（男2，女）女（女，男1）（女，男2）总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中“至少一名女生被抽中参加体验活动”的有4种，∴P(至少一名女生被抽中参加体验活动)4263==．21.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图2，小丽坐在秋千的最低点F 处，O ，F ，A 共线.妈妈先将小丽拉到B 处，然后用力一推，爸爸在C 处接住她.若秋千OB 的长度为3米，25BOD ∠=︒，55COD ∠=︒．（参考数据：sin250.42︒≈，cos250.91︒≈，sin550.82︒≈，cos550.57︒≈）（1）求B 处到OA 的距离BD 的长度；（2）若秋千最低点F 到地面的距离AF 为0.3米，则C 处距地面的高度为多少?【答案】（1）1.26m（2）1.59m【解析】【分析】（1）在Rt OBD △中，利用余弦函数的定义即可求解；（2）过C 作CM OA ⊥，垂足为M，在Rt COM 中，先求出=1.71m CM ，从而得MA 的长，过C 作CN PQ ⊥于点N ，得四边形MANC 为矩形，进而即可求解【小问1详解】解：在Rt OBD △中，=3m =25OB BOD ∠︒，∴=sin 30.42 1.26m BD OB BOD ⋅∠≈⨯=，答：BD 的长度是是1.26m【小问2详解】由题，3m OC OB OF ===过C 作CM OA ⊥，垂足为M在Rt COM 中，3m =55CO COD =∠︒，∴=cos5530.57 1.71m CM OC ⋅︒≈⨯=.∴30.3 1.71 1.59m MA OA OM OF FA OM =-=+-=+-=∵过C 作CN PQ ⊥于点N∵平行线间的距离处处相等或四边形MANC 为矩形∴C到地面的高度= 1.59m MA =答：C 到地面的高度为1.59m22.如图，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，CD 与O 相切于点C ．连接AC ，BC ．（1）求证：CAB BCD ∠=∠；（2）若2BD =，4CD =，求AB 长．【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的判定等知识．（1）连接OC ，由AB 是O 直径，CD 与O 相切于C ，得90OCB BCD ∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，从而得出ACO BCD ∠=∠，即CAB ACO ∠=∠，即可证明结论；（2）由题意易证CAD BCD ∽ ，得BD CD CD AD=，得到8AD =，根据AB AD BD =-，从而求出AB 的长．【小问1详解】证明：连接OC ，∵CD 与O 相切于C ，∴OC CD ⊥，∴90OCD ∠=︒，∴90OCB BCD ∠+∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90OCB ACO ∠+∠=︒，∴ACO BCD ∠=∠，的∵OA OC =，∴CAB ACO ∠=∠，∴CAB BCD ∠=∠；【小问2详解】解：在CAD 与BCD △中，,CAB BCD D D ∠=∠∠=∠ ，∴CAD BCD ∽ ，∴BD CD CD AD= ，∵2,4BD CD ==，∴244AD=，∴8AD =，826AB AD BD ∴=-=-=．23.喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．如图2，将喷灌架置于坡度为1:5的坡地底部点O 处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．（1）求图2中抛物线表达式；（2）当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度AB 的长；（3）若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为3.5米，求水流与喷水头的水平距离．【答案】（1）()2120950y x =--+或2141505y x x =-++ （2）高度AB 的长为5米（3）5米或25米【解析】【分析】本题考查了抛物线的生活应用，待定系数法求解析式，坡度比的应用．（1）根据定义，得到抛物线的顶点坐标为()20,9，且过点()0,1，设抛物线的解析式为()2209y a x =-+，代入已知点，确定a 值即可．（2）设铅直高度AB 与水平面的交点为M ，根据坡比为1:5，得15BM OM =，20OM =，求BM ，继而计算即可．（3）设喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为 3.5PM =米,且PM 与水平面的交点为G ，设(),0G n ，则OG n =，根据坡比为1:5，得15MG OG =，求15MG n =，继而得到1, 3.55P n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据点P 在抛物线()2120950y x =--+上，列式计算即可．【小问1详解】∵ 抛物线的顶点坐标为()20,9，且过点()0,1，设抛物线的解析式为()2209y a x =-+，∴()210209a =-+，解得150a =-，故抛物线的解析式为()2120950y x =--+或2141505y x x =-++．【小问2详解】设铅直高度AB 与水平面的交点为N ，根据坡比为1:5，得15BN ON =，20ON =，解得4BN =，945AB AN BN =-=-=(米)．答：铅直高度AB 为5米．【小问3详解】设点P 为抛物线上的一点，且喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为 3.5PM =米且PM 与水平面的交点为G ，设(),0G n ，则OG n =，∵坡比为1:5，∴15MG OG =，解得15MG n =，∴1, 3.55P n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵点P 在抛物线()2120950y x =--+上，∴()2113.5209550n n +=--+，整理，得2301250n n -+=，解得125,25n n ==，答：水流与喷水头的水平距离为5米或25米．24.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，B 点坐标为()6,3，反比例函数()0k y x x=>与BC 交于点D ，与AB 交于点E ，2BD CD =．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，连接DE ，AC ，求证：∥D E A C ；（3）如图3，点P 在x 轴上，连接DP ，以点D 为旋转中心将线段DP 逆时针旋转90°得DP '，若点P '恰好落在反比例函数上，求点P 的坐标．【答案】（1）6y x= （2）见解析 （3）1,05P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由点B 的坐标及2BD CD =，可求得点D 的坐标，再代入k y x =中，即可求得结果；（2）先求出点E 的坐标，则可计算出23BE BA =，4263BD BC ==，再由B B ∠=∠，即可得BDE BCA ∽ ，利用对应角相等即可证明平行；（3）过P 作PM CB ⊥于M ，过P '作P N CB '⊥于N ，易得MPD NDP ' ≌，则有DN PM =且MD P N ='；设(,0)P t ，则可表示出P '的坐标，由此点在反比例函数图象上即可求得点P 坐标．【小问1详解】解：∵()6,3B ，∴63CB BA ==，，∵2BD CD =，∴42BD CD ==，，∴()2,3D ，将()2,3D 代入k y x=，得32k =， 解得6k =， ∴6y x=；【小问2详解】证明：将6x =代入6y x=，得1y =，∴1(6)E ，， ∴1AE =，∵()6,3B ，∴3AB =，∴312BE AB AE =-=-=，∴23BE BA =， ∵4263BD BC ==，∴BE BD BA BC =， ∵B B ∠=∠，∴BDE BCA ∽ ，∴BDE BCA ∠=∠，∴DE AC ∥；【小问3详解】解：∵旋转，∴PD P D '=，90PDP '∠=︒，∴90MDP P DN '∠+∠=︒；过P 作PM CB ⊥于M ，过P'作P N CB '⊥于N ，如图，则90PMD DNP PMC '∠=∠=∠=︒，∵四边形AOCB 为矩形，∴90AOC OCB ∠=∠=︒，∴四边形OPMC 是矩形，∴3PM OC CM OP ===，；∵90MPD MDP ∠+∠=︒，90MDP P DN '∠+∠=︒，∴MPD P DN '∠=∠，在MPD 与NDP '△中，PMD P ND MPD P DN PD P D ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴MPD NDP ' ≌，∴3DN PM ==，'MD P N =，设(,0)P t ，∴2D M MD x x t =-=-，∴'2P N t =-，∴()'321P y t t =--=+，'51P t ∴+（，），∵点P '在反比例函数6y x=的图象上，∴将51P t +'（，）代入6y x =，得15t =，∴1,05P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了求函数解析式，反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是关键．25. （1）已知ADC △为等边三角形，点B 是线段AD 上的动点，连接BC ．①如图1，AN AB =，60DAN ∠=︒，连接ND ，延长CB 交DN 于点E.则ND 和BC 的数量关系是______，ND 和BC 所夹的钝角NEC ∠=______︒；②如图2，点M 是BC 上任意一点，点N 在点M 的左侧，作12AN AM =，60MAN ∠=︒，连接BN ，当点B 运动到AD 的中点时，求BN MC的值和NBC ∠的度数；（2）如图3，已知ADC △为等腰直角三角形，90DAC ∠=︒，4AC =，点B ，O分别是线段AD ，AC 的中点，连接BC ，点M 是线段BC 上任意一点，点N 在点M 的左侧，作12AN AM =，90MAN ∠=︒，连接BN ，ON ，当ON 取最小值时，直接写出BM 的长．【答案】（1）ND BC =；120；（2）12，120︒；（3）BM =【解析】【分析】（1）①由ADC △为等边三角形，60DAN ∠=︒得AD AC =，60DAN CAB ∠=∠=︒，证明()SAS AND ABC ≌，然后根据全等三角形的性质即可；②由等边三角形的性质可以得出1122BA AD AC ==，90ABC ∠=︒，30BCA BCD ∠=∠=︒，从而证明NAB MAC ∽，再根据相似三角形的性质即可；（2）当ON NB ⊥时，ON 最小，设ON 与AB 的交点为P ，证明NBP ACB ∽和NAB MAC ∽，再根据相似三角形的性质即可．【详解】（1）∵ADC △为等边三角形，60DAN ∠=︒，∴AD AC =，60DAN CAB ∠=∠=︒，在AND △和ABC 中，AN AB DAN CAB AD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AND ABC ≌，∴ND BC =，N ABC ∠=∠，∴180N ABC ABC ABE ∠+∠=∠+∠=︒，∴()36036018060120NEC N ABE DAN ∠=︒-∠+∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为:ND BC =，120︒ ；（2）∵ABC 为等边三角形，∴AD DC AC ==，60BAC ∠=︒，∵B 为AB 的中点，∴1122BA AD AC ==，90ABC ∠=︒，30BCA BCD ∠=∠=︒，∴12BA AC =，∵12AN AM =，∴BA AN AC AM =，∵60BAC MAN ∠=∠=︒，∴BAC NAM MAN NAM ∠-∠=∠-∠，∴NAB MAC ∠=∠，∴NAB MAC ∽ ， ∴12BN AB MC AC ==30NBA BCA ∠=∠=︒，∴3090120NBC NBA ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）BM =，由（2）得，N 点在过B 点且与BC 垂直的直线上运动，∴当ON NB ⊥时，ON 最小，设ON 与AB 的交点为P ，此时9090180ONB NBC ∠+∠=︒+︒=︒，∴ON BC ∥，又∵O 为AC 的中点，∴12AP AO PB OC ==，∴112BP AB ==，∵NBA BCA ∠=∠，90BNP BAC ∠=∠=︒∴NBP ACB ∽，∴NB BP AC BC=，∵Rt BAC 中，2BA =，4AC =∴BC ===，∴4NB =，∴NB =，∵NAB MAC ∽，∴12NB AB MC AC ==，∴MC =，∴BM BC MC =-==．【点睛】此题考查了等边三角形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，垂线段最短等知识，熟练掌握正以上知识点的应用是解题的关键．26. 抛物线21y x mx m =-++与y 轴交于点A ，顶点为D ．（1）若抛物线过点()3,2B -，求抛物线顶点D 和点A 坐标；在的（2）如图，在（1）的条件下，连接AB ，点N 为线段AB 下方抛物线上一点，求ABN 面积的最大值；（3）已知点()23,2P m +，()21,3Q m+，若线段PQ 与抛物线恰有一个交点，求m 的取值范围．【答案】（1）顶点()1,2D --，()0,1A -（2）278ABN S = （3）4m ≤-或1m ≥-【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合、二次函数与不等式的综合等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．（1）将()3,2B -代入21y x mx m =-++求得2m =-，进而求得抛物线解析式；然后求得抛物线的对称轴即可求的顶点坐标；再将0y =代入得解析式可得1y =-，即可确定A 的坐标；（2）先用待定系数法求得直线AB 的解析式，进而可得()1322ABN A B S MN x x MN =-= ；设m x =n x =t ，M （t ,1t --），N （t ,221t t +-）,则23MN t t =--，然后求得MN 的最值即可；（3）由()22111y x mx m x m x =-++=++-+则抛物线恒过()12C ，且232m +>；再说明()21,3Q m +恒在二次函数上方，()232P m +，在直线2y =上；进而说明P 在E 点和C 点的左侧，或在C 点和E 点的右侧（可以和E 点或C 点重合），则有231231m m m +≤-⎧⎨+≤⎩或231231m m m +≥-⎧⎨+≥⎩,最后解不等式组即可解答．【小问1详解】解：∵将()3,2B -代入21y x mx m =-++，得 9312m m +++=，解得2m =-； ∴221y x x =+-，∴12b x a=-=-，代入得：=2y -，∴顶点()1,2D --，∵将0y =代入221y xx =+-得：1y =-，∴()0,1A -．【小问2详解】解：设直线AB 为(0)y kx b k =+≠，将()3,2B -，()0,1A -代入可得： 231k b b =-+⎧⎨-=⎩，解得：11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 为=1y x --，∵过点N 为MN x ⊥轴，交直线AB 于M ，∴()1322ABN A B S MN x x MN =-= ，∵设m x =n x =t ，M （t ,1t --），N （t ,221t t +-）,∴m n MN x x =-=()221213t t t t t ---+-=--，∵10a =-<，开口向下，MN 有最大值，∴当322b t a =-=-时，MN 有最大值94，∴此时有最大值， 278ABN S = ．【小问3详解】解：∵()22111y x mx m x m x =-++=++-+，∴抛物线恒过()12C ，且232m +>，∴()21,3Q m +恒在二次函数上方，()232P m +，在直线2y =上，∵点C 关于对称轴的对称点为()1,2E m -，又∵线段PQ 与抛物线恰有一个交点,∴P在E 点和C 点的左侧，或在C 点和E 点的右侧（可以和E 点或C 点重合）,∴231231m m m +≤-⎧⎨+≤⎩或231231m m m +≥-⎧⎨+≥⎩,∴4m ≤-或1m ≥-．四、附加题（本大题共2个小题，每小题20分，共40分）27.当整数k 为何值时，关于x 的一元二次方程()21210x k x k +++-=的两个根均为整数．【答案】5k =或1k =【解析】【分析】此题考查了根的判别式，解二元一次方程组，熟练掌握各知识点是解本题的关键．根据一元二次方程的两根均为整数，得到根的判别式为完全平方式，设2265k k m -+=（m 为整数），利用平方差公式分解因式得出关于k ，m 的方程组求解．【详解】解：()()2Δ1421k k =+--22184k k k =++-+265k k =-+，方程有两个整数根，265k k ∴-+为完全平方数，不妨设2265k k m -+=（m 为整数），22694k k m ∴-+-=，()2234k m ∴--=，∴()()334k m k m ---+=，∴3k m --与3k m -+同奇偶，3232k m k m --=-⎧∴⎨-+=-⎩或3232k m k m --=⎧⎨-+=⎩，5k ∴=或1k =，∴方程的两个根均为整数．28. 已知44xy x y ++=，22484x y xy +=，求33x y +．【答案】9196【解析】【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设=xy m ，x y n +=，等量代换后可得44m n =+、484mn =， 则m n 、为2444840t t -+=的根，可解得22m n ==，然后再对33x y +变形后将22m n ==代入计算即可．【详解】解：设=xy m ，x y n +=，44xy x y m n ∴=++=+，()22484x y xy xy x y mn =+=+=，m n ∴、为2444840t t -+=根，22m n ∴==，∴()()3322x y x y x y xy +=++- ()()23x y x y xy ⎡⎤=++-⎣⎦23n n m ⎡⎤=-⎣⎦33n mn=-9196=．的。
2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期末试题及答案(1)
2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期末试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断即可；【详解】的左视图、主视图是三角形，俯视图是圆，故A不符合题意；的左视图、主视图是长方形，俯视图是三角形，故B 不符合题意；的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故C 符合题意；的左视图、主视图是长方形，俯视图是圆，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了几何体三视图的判断，准确分析是解题的关键．2. 已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则α∠= （ ）A. 30︒ B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】A 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】∵α∠为锐角，且1sin 2α=，∴30α∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．3. 抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）A. 直线2x = B. 直线2x =- C. 直线1x = D. 直线=1x -【答案】C 【解析】【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【详解】解：∵223623(1)5y x x x =-++=--+，∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x =．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ．4. 若点()1,4-在反比例函数ky x=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭B. ()4,1-- C. 1,24⎛⎫⎪⎝⎭D. ()4,1-【答案】D 【解析】【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可．【详解】解：将()1,4-点代入反比例函数解析式ky x=，得：144k =-⨯=-，∴反比例函数解析式为：4y x=-．当14x =时，16y =-，故A 不符合题意，C 不符合题意；当4x =-时，1y =，故B 不符合题意，D 符合题意；故选：D ．5. 若x ＝﹣1是方程x 2+x+m ＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）A. ﹣1 B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】设x 2+x+m ＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．6.大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm ，则蜡烛火焰的高度是（ ）A 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm【答案】A 【解析】【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm ，则10915x ，解得：x=6，即蜡烛火焰的高度为6cm ，故答案为：A ．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．7.在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）A. 12 B.13C.23D.14【答案】B【解析】.【分析】利用列表法进行计算即可．【详解】解：设A 表示华山、B 表示华阳古镇、C 表示太白山，列表如下：ABCA(),A A (),A B (),A C B(),B A (),B B (),B C C(),C A (),C B (),C C 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，∴3193P ==；故选B ．【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键．8.在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象可知0a >，0b >，0c <，从而判断出二次函数2y ax bx c =++的图象．【详解】解：∵二次函数2y ax =的图象开口向上，∴0a >，∵次函数y bx c =+的图象经过一、三、四象限，∴0b >，0c <，对于二次函数2y ax bx c =++的图象，∵0a >，开口向上，排除A 、B 选项；∵0a >，0b >，∴对称轴02bx a=-<，∴D选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出0a >，0b >，0c <是解题的关键．9. 如图，点O 为ABC 的AB 边上的一点，O 经过点B 且恰好与边AC 相切于点C ，若30B ∠=︒，3AC =，则阴影部分的面积为（ ）2π-π-π2π-【答案】D 【解析】【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，根据等腰三角形的性质求出30B BCO ∠=∠=︒，可求出60AOC ∠=︒，根据切线的性质得出90ACO ∠=︒，然后解直角三角形求出OC ，最后根据AOC COD S S S =-阴影扇形 求解即可．【详解】解：连接OC ，∵OB OC =，30B ∠=︒，∴30B BCO ∠=∠=︒，∴60AOC B BCO ∠=∠+∠=︒，∵O 与边AC 相切，∴OC AC ⊥，即90ACO ∠=︒，∴tan AC OC AOC ===∠，∴AOC CODS S S =-阴影扇形132=⨯2π=-．故选：D．10.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当1x＝1，2x＝3时，12y y=．若对于任意实数x1、x2都有12y y+≥2，则c的范围是（）A. c≥5B. c≥6C. c＜5或c＞6D.5＜c＜6【答案】A【解析】【分析】由当1x＝1，2x＝3时，y1＝y2可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1＋y2的最小值，进而求解．【详解】∵当1x＝1，x2＝3时，12y y=．∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2b＝2，∴b＝﹣4，∴y＝2x﹣4x＋c＝()22x-＋c﹣4，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），∴当y1＝y2＝c﹣4时，y1＋y2取最小值为2c﹣8，∴2c﹣8≥2，解得c≥5．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11. 抛物线()223y x=-+-顶点坐标是______.的【答案】()2,3--【解析】【分析】根据顶点式写出顶点坐标即可．【详解】抛物线()223y x =-+-的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式求顶点坐标的方法是解答本题的关键．12.一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则可估计红球的个数约为________个．【答案】60【解析】【分析】本题考查了根据频率求总数，熟记频率×总数=个数是解题的关键．直接用频率乘以总数即可．【详解】解：由题意可知红球的个数约为2000.360⨯=（个），故答案为：60．13. 如图，点A 、B 、C 在O 上，若140AOB ∠=︒，则ACB 的度数为______︒．【答案】70【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求解．【详解】解：∵点A 、B 、C 在⊙O上，140AOB ∠=︒，∴1702ACB AOB ∠=∠=︒．故答案：70．14. 如图，ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则cos BAC ∠的值为______．【答案】35##0.6【解析】【分析】本题考查网格中的三角形函数，找到角所在的直角三角形是解题的关键．【详解】解：由图可知：3AC =，4BC =，90C ∠=︒，则5AB ==，∴3cos 5AC BAC AB ∠==，故答案为：35．15.如图，AB 表示一个窗户，窗户的下端到地面距离0.5m BC =，AM 和BN 表示射入室内的光线．若某一时刻BC 在地面的影长0.4m CN =，AC 在地面的影长2m CM =，则窗户的高度为______．【答案】2m 【解析】【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线AM 和BN 仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的AC 长，即窗户的高度．为【详解】解：AM BN ∥ ，ACM BCN ∴∽ ，AC CM BC CN ∴=， 0.5m BC =，0.4m CN =，2m CM =，2.5m AC ∴=，2m AB AC BC ∴=-=，则窗户的高度为2m ，故答案为：2m ．16. 如图，已知正方形ABCD ，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF 将AEF △沿EF 折叠得HEF △，延长FH 交BC 于M ，现在有如下5个结论：①EFM △定是直角三角形；②BEM HEM ≌△△；③当M 与C 重合时，有13DF AF =；④MF 平分正方形ABCD 的面积；③24FH MH AB ⋅=，在以上5个结论中，正确的有______．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由折叠的性质可得90FA FH EA EH A FHE ==∠=∠=，，°，由“HL ”可证Rt Rt EMH EMB ≌，可得MEH MEB ∠=∠，由平角的性质可求90FEM ∠=︒，故①和②正确；通过证明FHE EHM ∽，可得EH HM FH EH=，可得24AB HF HM =⋅，故⑤正确；如图1，设2AE EB a ==．则4AB BC AD CD a ====，通过证明AEF BCE ∽，可得12AF AE EB BC ==，可求AF a =，可得13DF AF =，故③正确；当点F 与点D 重合时，直线MF 不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∵E为AB 的中点，∴EA EB =，由翻折可知：90FA FH EA EH A FHE ==∠=∠=︒，，，∴90EHM B ∠=∠=︒，∵EM EM EH EB ==，，∴Rt Rt HL EMH EMB ≌（），∴MEH MEB ∠=∠，∵FEH FEA ∠=∠，∴()1902FEM FEH MEH AEH BEH ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴EFM △是直角三角形，故①②正确，∵90FEM FHE ∠=︒=∠，∴90FEH MEH FEH EFH ∠+∠=︒=∠+∠，∴EFH HEM ∠=∠，又∵90FHE EHM ∠=∠=︒，∴FHE EHM ∽，∴EH HM FH EH=，又∵12EH EB AB ==∴24AB HF HM =⋅，故⑤正确，如图1中，当M 与C 重合时，设2AE EB a ==．则4AB BC AD CD a ====，∵90FEM ∠=︒，∴90AEF CEB AEF AFE ∠+∠=︒=∠+∠，∴A FE E C B ∠=∠，又∵90A B ∠=∠=︒，∴AEF BCE ∽，∴12AF AE EB BC ==，∴AF a =，∴3DF a =，∴3DF AF =，∴13DF AF =，故③正确，如图2中，当点F 与点D 重合时，显然直线MF 不平分正方形的面积，故④错误，综上所述，正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°．【答案】﹣1.5【解析】【分析】把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可.详解】2sin30°+3cos60°﹣4tan45°=11234122⨯+⨯-⨯=-1.5.【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目【的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式的计算等考点．18. 解方程：2890x x --=．【答案】19x =，21x =-【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2890x x --=，分解因式得：()()910x x -+=，∴90x -=或10x +=，解得：19x =，21x =-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法分解因式，是解题的关键．19.如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，且AB=6，BC=8，DE=3，求DF 的长．【答案】7【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．【详解】解：∵AD∥BE∥CF，∴DE AB DF AC=，∵AB=6，BC=8，DE=3，∴3668DF =+，∴DF=7．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20.为了传承中国传统文化，某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如图的统计图表：组别正确字数x 人数A08x ≤<10B816x ≤<15C1624x ≤<25D2432x ≤<m E 3240x ≤<n根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m =_________，n =__________，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是____________；（3）已知该校七年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．【答案】（1）30，20；补全图形见解析（2）90︒（3）估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．【解析】【分析】（1）根据B 组人数以及百分比求出总人数，再根据D 、E 的百分比求出人数即可，再补全图形；（2）根据圆心角=360°×百分比即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【小问1详解】解：总人数=15÷15%=100，∴m=100×30%=30，n=100×20%=20，条形统计图如图所示：故答案为30，20；【小问2详解】25100%=25%,100´Q 所以扇形统计图中“C 组“所对应的圆心角的度数是360°×25%=90°．故答案为90°．【小问3详解】30+20800=400100´（人）， 答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，从频数分布表与直方图中获取互相关联的信息是解本题的关键．21.每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节．已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等，求脐橙的销量增长率是多少．【答案】脐橙的销量增长率是20%【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设销量增长率为x ，根据2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，列出方程，解方程即可．【详解】解：由题意，设销量增长率为x ，∴()2517.2x +=．∴0.2x =或 2.2x =-（不合题意，舍去）．∴0.220%=．答：脐橙的销量增长率为20%．22.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE 的倾斜角22EAD ∠=︒，真空管AB 与水平线AD 的夹角39BAD ∠=︒，真空管AB 的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管CE 的长度为0.6米．（参考数据：sin 390.629︒≈，cos390.777︒≈，tan 390.810︒≈，sin 220.375︒≈，cos 220.927︒≈，tan 220.404︒≈）（1）求水平横管BC 到水平线AD 的距离（结果精确到0.1米）；（2）求水平横管BC 的长度（结果精确到0.1米）．【答案】（1）水平横管BC 到水平线AD 的距离约为1.6米（2）水平横管BC 的长度约为0.5米【解析】【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，（1）作BF AD ⊥于F ，在Rt ABF 中，sin BF BAF AB∠=即可得sin 39 1.6BF AB =⋅︒≈；（2）根据矩形判定和性质求出1DE CD CE =-=，再在Rt ADE V 中，根据在Rt ADE △中，求出1 2.48tan220.404DE AD =≈≈ ，可求出AD 的长度，在Rt ABF △中，根据·cos AF AB BAF =∠可求出AF 的长度，从而可求出AD 与AF 的长度差．【小问1详解】解：过B 作BF AD ⊥于,90F AFB ∴∠=︒，在Rt ABF 中，sin BF BAF AB∠=，2.5AB = 米，39BAF ∠=︒，sin 39 2.50.629 1.5725 1.6BF AB ∴=⋅︒≈⨯=≈米．答：水平横管BC 到水平线AD 的距离约为1.6米；【小问2详解】90FBC BCD D ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形BCDF 为矩形，BC DF ∴=， 1.6CD BF ==米，0.6CE = 米，1.60.61DE CD CE ∴=-=-=米，在Rt ADE △中，tan DE DAE AD∠=，22,DAE ∠=︒ 11 2.48tan220.404AD ∴=≈≈ 米，又 在Rt ABF 中，cos AF BAF AB∠=，2.5AB = 米，39BAF ∠=︒，cos39 2.50.777 1.9425 1.94AF AB ∴=⋅︒≈⨯=≈米．2.48 1.940.540.5DF AD AF ∴=-=-=≈米．0.5BC DF ∴==米，答：水平横管BC 的长度约为0.5米．23.如图，已知AB 是O 的直径，直线DC 是O 的切线，切点为C ，AE DC ⊥，垂足为E ，连接AC ．（1）求证：AC 平分BAE ；（2）若10AC =，3tan 4ACE ∠=，求O 的半径．【答案】（1）见解析 （2）253【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC DC ⊥，从而可得∥O C A E ，再根据等腰三角形的性质和平行线的性质，即可证得答案；（2）连接BC ，先证明ABC ACE ∠=∠，则3tan tan 4ABC ACE ∠=∠=，根据三角函数的定义，可求得BC 的长，最后根据勾股定理可求得AB 的长，从而得到答案．【小问1详解】连接OC ，直线DC 是O 的切线，切点为C ，OC DC ∴⊥，又AE DC ⊥ ，OC AE ∴∥，EAC ACO ∴∠=∠，OC OA = ，ACO OAC ∴∠=∠，EAC OAC ∴∠=∠， AC ∴平分BAE ；【小问2详解】连接BC ，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90CAB ABC ∴∠+∠=︒又AE DC ⊥ ，90EAC ACE ∴∠+∠=︒由（1）得EAC OAC ∠=∠，ABC ACE ∴∠=∠，在Rt ABC △中，3tan tan 4ABC ACE ∠=∠=，1034AC BC BC ∴==403BC ∴=，在Rt ABC △中，503AB ==，253OA ∴=．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝34x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝kx交于点P（2，92），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．【答案】（1）k＝9，b＝3；（2）m；（3）（0，﹣34）或（0，398）【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点P（2，92）分别代入直线l和双曲线H的解析式中，即可求出k和b的值；（2）由题意可得E（m，34m+3），D（m，9m），可得ED＝34m+3﹣9m，利用ED＝BO，建立方程求解即可；（3）过点E作EF⊥y轴于点F，运用勾股定理求出BE＝54|m|，由于四边形BCDE是菱形，可得BE＝DE＝BC，建立方程求解即可．【详解】解：（1）把点P（2，92）代入y＝kx，得：92＝2k，解得：k＝9；把点P（2，92）代入y＝34x+b，得：32+b＝92，解得：b＝3；（2）在直线y＝34x+3中，令x＝0，得：y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，令y＝0，得：34x+3＝0，解得：x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∵直线x＝m分别与直线y＝34x+3和双曲线y＝9x交于点E、D．∴E（m，34m+3），D（m，9m），∵点E在线段AB上，∴﹣4≤m≤0，∴ED＝34m+3﹣9m，∵ED＝BO，∴34m+3﹣9m＝3，解得：m1m2＝经检验，m1m2＝（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，∵B（0，3），E（m，34m+3），D（m，9m），∴F（0，34m+3），∴BE2＝BF2+EF2＝[3﹣（34m+3）]2+m2＝2516m2，∴BE＝54|m|，又有DE＝|34m+3﹣9m|，∵四边形BCDE是菱形，∴BE＝DE＝BC，∴54|m|＝|34m+3﹣9m|，解得：m1＝﹣3，m2＝32，当m1＝﹣3时，D（﹣3，﹣3），E（﹣3，34），∴DE＝34﹣（﹣3）＝154，∴BC＝15 4，∴C（0，﹣34）；当m2＝32时，D（32，6），E（32，338），∴DE＝6﹣338＝158，∴BC＝15 8，∴C（0，398）；综上所述，点C的坐标为（0，﹣34）或（0，398）．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合题，待定系数法，勾股定理，菱形性质等，熟练掌握反比例函数图像和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．25. 综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点B 的坐标是()40-，，点C 的坐标是()04，，M 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 为线段MB 上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，D 点坐标为(),0m ，PCD 的面积为S ．①求PCD 的面积S 的最大值．②在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =--+（2）①5；②存在，点P 的坐标为1245⎛⎫-⎪⎝⎭，或()25-，【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）①利用待定系数法可得直线BM 的解析式为5102y x =+，由题意得()()2115510252224S PD OD m m m ⎛⎫=⋅=⋅+⋅-=-++ ⎪⎝⎭，运用二次函数的性质可求得答案；②由于90PDC ∠<︒，不可能为直角，故分两种情况：当90CPD ∠=︒时，当90PCD ∠=︒时，分别求出点P 的坐标即可．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点B 的坐标是()40-，，点C 的坐标是()04，，∴01644b c c =--+⎧⎨=⎩，解得：34b c =-⎧⎨=⎩，∴该抛物线的解析式为234y x x =--+．【小问2详解】解：①∵2229932534344424y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=-++-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴抛物线的顶点为32524M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线BM 的解析式为y kx d =+，则4032524k d k d -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：5210k d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BM 的解析式为5102y x =+由题意得5102P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，()0D m ，，其中342m -≤≤-，∴5102PD m =+，OD m =-，()()2115510252224S PD OD m m m ⎛⎫=⋅=⋅+⋅-=-++ ⎪⎝⎭∵504-<，∴当2m =-时，S 取得最大值为5；②存在，理由如下：∵90PDC CDO ∠=︒-∠，∴90PDC ∠<︒，不可能为直角；当90CPD ∠=︒时，则CPD PDB ∠=∠，∴PC x ∥轴，∴54102m =+解得：125m =-，∴点P 的坐标为1245⎛⎫- ⎪⎝⎭；当90PCD ∠=︒时，过点P 作PK y ⊥轴于K ，如图，则90PKC COD ∠=︒=∠，∴90DCO CDO ∠+∠=︒，∵90PCD ∠=︒，∴90DCO PCK ∠+∠=︒，∴PCK CDO ∠=∠，∴PCK CDO ∽，∴PK CK OC OD=，∵90PDO PKO DOK ∠=∠=∠=︒，∴四边形PDOK 是矩形，∴5102PK OD m OK PD m ==-==+，∴55104622CK OK OC m m =-=+-=+∴5624m m m +-=-，解得：12m =-，22m =，∵342m -≤≤-，∴2m =-，∴()521052OK PD ==⨯-+=综上所述，当PCD 为直角三角形时，点P 的坐标为1245⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()25-，【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，直角三角形性质，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质等；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题关键．26. （1）问题发现：如图（1）．在Rt ABC ∆和Rt BDE ∆中，30,3,A DEB BC BE Rt BDE ︒∠=∠===∆绕点B 逆时针旋转．H 为CD 边的中点，当点C 与点E 重合时．BH 与AE 的位置关系为 ，BH 与AE 的数量关系为 ．（2）问题证明：在Rt BDE ∆绕点B 逆时针旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2的情形给出证明，若不成立，请说明理山，（3）拓展应用：在Rt BDE ∆绕点B 逆时针旋转旋转的过程中，当//DE BC 时，直接写出2BH的长．【答案】（1）,BH AE BH AE ⊥=；（2）成立，见解析；（3）3+3【解析】【分析】（1）如图1，延长BH 交AC 于点G ，根据直角三角形斜边上的中线的性质及已知条件可得∠BDC=∠ABG=60°，进而得到∠A+∠ABG=90°，即可得到BH⊥AE，根据锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质即可得到BH AE =；（2）延长DB 至点P ，使BP DB =，根据“SAS”证明△DBE≌△PBE，得到30BEP DEB ︒∠=∠=，进而证明ABC EBP ∆∆ ，根据30°直角三角形的性质3AB =，从而得到AB BC BE BP ==，再证明ABE CBP ∆∆，得到AE AB CP BC ==，根据中位线定理得到1, //2BH CP BH CP =，即可得到BH AE=，BH AE ⊥；（3）分两种情况讨论，①①如图3-1中，当DE 在BC 下方时，延长AB 交DE 于点F ，根据边角关系以及勾股定理求出AE 2，再根据BH AE =，即可解答；②如图3-2中，当DE 在BC 的上方时，同法可得AF ，EF 的长度，求出求出AE 2，再根据BH AE =，即可解答．【详解】解：（1）如图1，延长BH 交AC 于点G ，的∵点H 是Rt△BDC中CD 的中点，∴BH=DH，∵30A DEB ︒∠=∠=，∴∠BDC=∠ABG=60°，∴∠A+∠ABG=90°，∴∠AGB=90°，即BH⊥AE，∵在Rt△ABC中，BC=3，∠A=30°，∴AE=2BC=6，在Rt△BDE中，∠DEB=30°，∴CD=cos30BC =︒，∵点H 为CD 的中点，∴BH=12CD =∴AE BH =，∴BH AE =故答案为：,BH AE BH AE ⊥=（2）成立证明如下：延长DB 至点P ，使BP DB =，连接,,EP CP CP 分别交, BE AE 于点,G O ，如图2所示.在△DBE与△PBE中，90BD BP EBD PBE BE BE ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩()DBE PBE SAS ∴∆∆≌,30BEP DEB ︒∴∠=∠=又30BAC ︒∠= ， 90ABC ︒∠=ABC EBP∴∆∆ AB BC BE BP∴=在Rt ABC ∆中，30CAB ︒∠= ，3,tan BC BC CAB AB=∠=3AB =AB ∴=AB BC BE BP∴==,ABE ABC CBE CBP EBP CBE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ,ABE CBP ∴∠=∠,ABE CBP ∴∆∆ ,AE ABCP BC∴==H 为CD 的中点，B 为DP 中点，1, //2BH CP BH CP ∴=,BH AE ∴=,AEB CPB CGE BGP ∠=∠∠=∠ ,90EOG PBG ︒∴∠=∠=，CP AE ∴⊥.又//BH CP ,BH AE ∴⊥.∴（1）中的结论仍然成立，（3）①如图3-1中，当DE 在BC 的下方时，延长AB 交DE 于点F ，∵DE∥BC，∴∠ABC=∠BFD=90°，由题意可知，BC=BE=3，∴BF=1322BE =，EF=tan 30BF=︒32，∴AE2=22223=36+(2AF EF++=，∵BHAE=，∴22112BHAE=，∴2BH==3+，②如图3-2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF=32，，∴AE2=22223=362(AF EF++-=，∴2BH==3综上所述，BH2为3+或3【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期末试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断即可；【详解】的左视图、主视图是三角形，俯视图是圆，故A不符合题意；的左视图、主视图是长方形，俯视图是三角形，故B 不符合题意；的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故C 符合题意；的左视图、主视图是长方形，俯视图是圆，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了几何体三视图的判断，准确分析是解题的关键．2. 已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则α∠= （ ）A. 30︒ B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】A 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】∵α∠为锐角，且1sin 2α=，∴30α∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．3. 抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）A. 直线2x = B. 直线2x =- C. 直线1x = D. 直线=1x -【答案】C 【解析】【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【详解】解：∵223623(1)5y x x x =-++=--+，∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x =．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ．4. 若点()1,4-在反比例函数ky x=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭B. ()4,1-- C. 1,24⎛⎫⎪⎝⎭D. ()4,1-【答案】D 【解析】【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可．【详解】解：将()1,4-点代入反比例函数解析式ky x=，得：144k =-⨯=-，∴反比例函数解析式为：4y x=-．当14x =时，16y =-，故A 不符合题意，C 不符合题意；当4x =-时，1y =，故B 不符合题意，D 符合题意；故选：D ．5. 若x ＝﹣1是方程x 2+x+m ＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）A. ﹣1 B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】设x 2+x+m ＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．6.大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm ，则蜡烛火焰的高度是（ ）A 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm【答案】A 【解析】【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm ，则10915x ，解得：x=6，即蜡烛火焰的高度为6cm ，故答案为：A ．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．7.在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）A. 12 B.13C.23D.14【答案】B【解析】.【分析】利用列表法进行计算即可．【详解】解：设A 表示华山、B 表示华阳古镇、C 表示太白山，列表如下：ABCA(),A A (),A B (),A C B(),B A (),B B (),B C C(),C A (),C B (),C C 共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，∴3193P ==；故选B ．【点睛】本题考查利用列表法求概率．熟练掌握列表法求概率是解题的关键．8.在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象可知0a >，0b >，0c <，从而判断出二次函数2y ax bx c =++的图象．【详解】解：∵二次函数2y ax =的图象开口向上，∴0a >，∵次函数y bx c =+的图象经过一、三、四象限，∴0b >，0c <，对于二次函数2y ax bx c =++的图象，∵0a >，开口向上，排除A 、B 选项；∵0a >，0b >，∴对称轴02bx a=-<，∴D选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出0a >，0b >，0c <是解题的关键．9. 如图，点O 为ABC 的AB 边上的一点，O 经过点B 且恰好与边AC 相切于点C ，若30B ∠=︒，3AC =，则阴影部分的面积为（ ）2π-π-π2π-【答案】D 【解析】【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，根据等腰三角形的性质求出30B BCO ∠=∠=︒，可求出60AOC ∠=︒，根据切线的性质得出90ACO ∠=︒，然后解直角三角形求出OC ，最后根据AOC COD S S S =-阴影扇形 求解即可．【详解】解：连接OC ，∵OB OC =，30B ∠=︒，∴30B BCO ∠=∠=︒，∴60AOC B BCO ∠=∠+∠=︒，∵O 与边AC 相切，∴OC AC ⊥，即90ACO ∠=︒，∴tan AC OC AOC ===∠，∴AOC CODS S S =-阴影扇形。
2019-2020年九年级数学期末考试试题及答案
2019-2020年九年级数学期末考试试题及答案2019-2020年九年级数学期末考试试题一、选择题：每小题3分，共30分．1.抛物线的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，-3）D．（-2，﹣3）2.将两个全等的直角三角形纸片构成如图的四个图形，其中属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（）A．30°B．40°C．60°D．80°4.方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定是否有实数根5.在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列事件中，不可能事件是（）A．摸出的2个球有一个是白球B．摸出的2个球都是黑球C．摸出的2个球有一个黑球D．摸出的2个球都是白球6.已知点，是反比例函数的图像上的两点，下列结论正确的是（）A．B．C．D．7.已知点，它关于原点的对称点是点，则点的坐标是（）A．（3，1）B．（1，-3）C．（-1，-3）D．（-3，﹣1）8.如图所示，边长为2的正三角形ABO 的边OB 在x 轴上，将△ABO 绕原点O 逆时针旋转30°得到三角形OA 1B 1，则点A 1的坐标为（）A．（，1）B．（，-1）C．（-1，）D．（2，1）9.如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数（k＞0，x ＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，2）D．（4，）10.已知函数的图像与x轴的交点坐标为且，则该函数的最小值是（）A．2B．-2C．10D．-10二、填空题：每小题3分，共18分．11.若函数，当时，函数值y随自变量x的增大而减少，则m的取值范围是_________.12.从点中任取一个点，则该点在的图像上的概率是_________.13.半径是2的圆的内接正方形的面积是__________14.若将抛物线的图像向右平移3个单位，则所得抛物线的解析式是__________15.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是_________16.如图是二次函数的部分图像，在下列四个结论中正确的是___________①不等式的解集是；②；③；④三、解答题：满分102分．解答题应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）解方程：．18．（9分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求弦AB的长19.（10分）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE绕点A顺时针旋转90°，设点E的对应点为F．（1）画出旋转后的三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求点E运动到点F所经过的路径的长20.（10分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．（2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．21.（12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．22.（12分）如图所示，AB为半圆O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，DE=，求线段AC的长23.（12分）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，△AOM 的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值24.（14分）如图1，已知矩形ABCD的宽AD=8，点E在边AB 上，P为线段DE上的一动点（点P与点D，E不重合），∠MPN=90°，M，N分别在直线AB，CD上，过点P作直线HK AB，作PF⊥AB，垂足为点F，过点N作NG⊥HK，垂足为点G（1）求证：∠MPF=∠GPN（2）在图1中，将直角∠MPN绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当MF=NG时，△MPN是什么特殊三角形？在图2中用直尺画出图形，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当∠EDC=30°时，设EP＝ｘ，△MPN 的面积为S，求出S关于ｘ的解析式，并说明S是否存在最小值？若存在，求出此时ｘ的值和△MPN面积的最小值；若不存在，请说明理由。
2022-2023学年山东省济南市市中区九年级上学期期末数学试卷及参考答案
2022-2023学年山东省济南市市中区初三数学第一学期期末试卷一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示的几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．2．如果32a b =，那么a bb+等于( ) A ．43B ．12C ．52 D ．533．已知反比例函数ky x=图象经过点(2,3)，则下列点中不在此函数图象上的是( ) A ．(3,2)B ．(1,6)C ．(1,6)-D ．(2,3)--4．如果将抛物线2y x =向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式为( ) A ．2(2)1y x =+-B ．2(2)1y x =--C ．2(2)1y x =++D ．2(2)1y x =-+5．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个 A ．25B ．20C ．15D ．106．如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ACB ∠值为( )A B C ．35D ．457．如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB ∆的OA 边上一点，:1:2AC OC =，过C 作//CD OB 交AB 于点D ，2CD =，则B 点的纵坐标为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，点A ，B ，C 均在O 上，若120ACB ∠=︒，则α∠的度数为( )A ．120︒B ．130︒C ．100︒D ．110︒9．一次函数1y ax =+与反比例函数ay x=-在同一坐标系中的大致图象是( ) A ．B ． C ． D ．10．函数2|23|y x mx =+-，当01x 时，函数图象上的点到x 轴的距离不超过4，则m 的取值范围( ) A ．03mB ．13m -C ．04mD ．14m -二．填空题（共24分，6小题，每小题4分） 11．已知α为锐角，且1sin 2α=，则α= 度． 12．如图，已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象交于点(1,3)A -，(4,2)B ．如图所示，则能使12y y <成立的x 的取值范围是 ．13．如图，在直角坐标系中，OAB ∆的顶点为(0,0)O ，(3,2)A ，(2,0)B ．以点O 为位似中心，在第三象限内作与OAB∆的位似比为13的位似图形OCD ∆，则点C 的坐标为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，M 为y 轴正半轴上一点，过点M 的直线//l x 轴，l 分别与反比例函数k y x =和3y x=的图象交于A 、B 两点，若2AOB S ∆=，则k 的值为 ．15．如图．将扇形AOB 翻折，使点A 与圆心O 重合，展开后折痕所在直线l 与AB 交于点C ，连接AC ．若6OA =，则图中阴影部分的面积是 ．16．如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 点沿线段AD 由A 向D 运动（到D 停止运动），F 点沿线段CB 由C 向B 运动（到B 停止运动），两点同时出发，速度相同，连结EF ，作BP EF ⊥于P 点，则在整个运动过程中P 点的运动轨迹长为 ．三．解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算：2023|3|tan 45(1)2sin60-+︒+--︒．18．如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 上的一点，BCD BAC ∠=∠．若1AD =，3BD =，求边BC 的长．19．如图，小明同学在晚上由路灯B 走向路灯A ，当他行到Q 处时发现，他在路灯A 下的影长为3米，且恰好位于路灯B 的正下方，接着他又走了6米到P 处（即6PQ =米），此时他在路灯B 下的影子恰好位于路灯A 的正下方（已知小明身高1.6米，路灯B 高8米） （1）小明站在Q 处在路灯A 下的影子是线段 ； （2）计算小明站在P 处在路灯B 下的影长．20．“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”，常用来描绘济南的风景名胜．周末妈妈计划带哥哥和弟弟出去玩，他们打算从A ．千佛山、B ．大明湖、C ．趵突泉、D ．五龙潭，四个景点中选择游玩地点． （1）弟弟选择“C ．趵突泉”景点的概率是 ；（2）请利用树状图或表格求弟弟和哥哥两人选择的景点相同的概率．21．某学校教学楼（甲楼）的顶部E 和大门A 之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A 距甲楼的距离AB 是40m ，在A 处测得甲楼顶部E 处的仰角是37︒． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（2）若小颖在甲楼楼底C 处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G 处的仰角为60︒，爬到甲楼楼顶F 处测得乙楼楼顶G 处的仰角为30︒，求乙楼的高度DG ．(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈22．如图，在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，过D 作O 的切线交AB 的延长线于E ，交BC 于F ．（1）求证：DF BC ⊥；（2）已知6DE =，3BE =，求O 的半径．23．已知：如图ABC ∆是边长为8的等边三角形，B 与原点重合，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，速度为每秒1个单位长度，PQ 交AC 于D ．运动时间为t 秒，(06)t << （1）写出点A 的坐标 ； （2）当PQ OA ⊥时，求t 的值；（3）若PCQ ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x b =-+的图象与反比例函数(0)ky x x=<的图象相交于点(1,6)A -，并与x 轴交于点C ．点D 是线段AC 上一点，ODC ∆与OAC ∆的面积比为2:3． （1）k = ，b = ；D 的坐标 ；（2）点P 为直线AC 在第一象限部分上一点，连结OP ，将OP 绕点O 逆时针旋转90︒，得到OP '，若点P '在反比例函数上，求出点P 坐标；（3）点Q 为y 轴上一点，若ODA ODQ S S ∆∆=，求出点Q 的坐标．25．（1）如图1，Rt ABC ∆与Rt ADE ∆，点D 在AB 上，点E 在AC 上，90ADE ABC ∠=∠=︒，12AB AD BC DE ==，则DEAE= ，BD CE = ； （2）如图2，在（1）的条件下，Rt ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定角度(0)BAC αα︒<<∠，连接BD ，CE ．BDCE的值是否发生改变？若不变请给出证明，若改变请求出新的比值．（3）拓展：如图3，矩形ABCD ，E 为线段AD 上一点，以CE 为边，在其右侧作矩形CEFG ，且A B C E B C E F ==，4AB =，连接BE ，BF ，求2BE BF +的最小值．26．如图，抛物线212y x bx c =-++的图象经过点C ，交x 轴于点(1,0)A -、(4B ，0)(A 点在B 点左侧），顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点Q ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点F ，过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，求矩形PQEF 的周长最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使45BMC ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的纵坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．解：从左边看，是一个矩形，矩形内部有一条横向的实线． 故选：B ． 2．解：32a b =， ∴32522a b b ++==， 故选：C ．3．解：反比例函数ky x=图象经过点(2,3)， 236k ∴=⨯=．A 、326⨯=，在反比例函数图象上，不符合题意；B 、166⨯=，在反比例函数图象上，不符合题意；C 、166-⨯=-，不在反比例函数图象上，符合题意；D 、2(3)6-⨯-=，在反比例函数图象上，不符合题意．故选：C ．4．解：原抛物线的顶点为(0,0)，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为(2,1)--． 可设新抛物线的解析式为：23()y x h k =--+，代入得：2(2)1y x =+-，化成一般形式得：2365y x x =---． 故选：A ．5．解：设白球个数为x 个，摸到红色球的频率稳定在0.2左右， ∴口袋中得到红色球的概率为0.2， ∴50.25x=+， 解得：20x =，即袋中的白球大约有20个； 故选：B ．6．解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，4AH =，3CH =，5AC ∴， 3cos 5CH ACB AC ∴∠==， 故选：C ．7．解：//CD OB ， ∴AC CDAO OB =， :1:2AC OC =，∴13AC AO =， 2CD =，∴213OB =， 解得：6OB =，B ∴点的纵坐标为6， 故选：C ．8．解：在优弧AB 上任意找一点D ，连接AD ，BD ．18060D ACB ∠=︒-∠=︒， 2120AOB D ∴∠=∠=︒，故选：A ．9．解：分两种情况：（1）当0a >，时，一次函数1y ax =+的图象过第一、二、三象限，反比例函数ay x=-图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当0a <，时，一次函数1y ax =+的图象过第一、二、四象限，反比例函数ay x=-图象在第一、三象限，故B 选项正确． 故选：B ．10．解：由题意得222|23||()3|y x mx x m m =+-=+--，抛物线对称轴为直线x m =-， 当01x 时，函数图象上的点到x 轴的距离不超过4， ①当01m -，即10m -时，2|3|4m --， 解得：11m -，10m ∴-；②当0m -<，或1m ->，即0m >或1m <-时，|123|4m +-， 解得：13m -，03m ∴<；综上，m 的取值范围为13m -， 故选：B ．二．填空题（共24分，6小题，每小题4分） 11．解：1sin302︒=，30α∴=︒． 12．解：两函数图象的交点坐标为(1,3)A -，(4,2)B ， ∴能使12y y <成立的x 的取值范围是14x -<<．故答案为：14x -<<．13．解：以点O 为位似中心，在第三象限内作与OAB ∆的位似比为13的位似图形OCD ∆，(3,2)A ，∴点C 的坐标为1(3()3⨯-，12())3⨯-，即2(1,)3--，故答案为：2(1,)3--．14．解：直线//l x 轴， AM y ∴⊥轴，BM y ⊥轴， 1||2AOM S k ∆∴=，13 1.52BOM S ∆=⨯=， 2AOB S ∆=， 0.5AOM S ∆∴=，||1k ∴=，0k <， 1k ∴=-，故答案为：1-．15．解：由翻折的性质可知，12AD OD OA ==，AC OC =，在Rt COD ∆中，132OD OC ==，30OCD ∴∠=︒，903060AOC ∴∠=︒-︒=︒，CD ∴=AOC AOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形 2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-故答案为：6π-16．解：连接BD ，交EF 于点O ，如图，由题意得：AE CF =． 四边形ABCD 为正方形， AD BC ∴=，//AD BC ．EDO FBO ∴∠=∠，DEO BFO ∠=∠，AD AE BC CF -=-，DE BF ∴=．在DEO ∆和BFO ∆中，DEO BFO DE BFEDO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DEO BFO ASA ∴∆≅∆，OD OB ∴=，OE OF =．O ∴为正方形ABCD 的中心．正方形ABCD 中，4AB =，4BC CD AC ∴===，DB ∴=BO ∴=BP EF ⊥，90BPO ∴∠=︒，∴在整个运动过程中点P 对B ，O 张开的角度为90︒，∴整个运动过程中P 点的运动轨迹为以OB 为直径的半圆，∴整个运动过程中P点的运动轨迹12⨯=，．三．解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解：原式3112=+--3= 18．证明：BCD BAC ∠=∠，B B ∠=∠，ABC CBD ∴∆∆∽， ∴BC AB BD CB=， 2BC AB BD ∴=⋅．1AD =，3BD =，4AB ∴=，BC ∴=19．解：（1）小明站在Q 处在路灯A 下的影子是线段QD ，故答案为：QD ；（2）//PE BD ，CEP CBD ∴∆∆∽， ∴PE PC BD CD =， ∴1.6863PC PC =++， 94PC ∴=， 答：小明站在P 处在路灯B 下的影长为94． 20．解：（1）弟弟选择“C ．趵突泉”景点的概率是14， 故答案为：14； （2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中弟弟和哥哥两人选择的景点相同的结果有4种，∴弟弟和哥哥两人选择的景点相同的概率为41164=． 21．解：（1）过点F 作FM GD ⊥，交GD 于M ，在Rt ABE ∆中，tan3740tan3730()BE AB m =⋅︒=⋅︒≈，4050()cos37AE m =≈︒， 则甲楼的高度约为30m ，彩旗的长度约为50m ；（2）过点F 作FM GD ⊥，交GD 于M ，在Rt GMF ∆中，tan30GM FM =⋅︒，在Rt GDC ∆中，tan60DG CD =⋅︒，设甲乙两楼之间的距离为x m ，FM CD x ==m ，根据题意得：tan60tan3030x x ︒-︒=，解得：x =，45DG m ∴==．则乙楼的高度DG 为45m ．22．（1）证明：连接OD ，DE 是O 的切线，OD DE ∴⊥，BA BC =，A C ∴∠=∠，OA OD =，A ODA ∴∠=∠，ODA C ∴∠=∠，//OD BC ∴，DF BC ∴⊥；（2）解：设O 的半径为r ，在Rt ODE ∆中，222OD DE OE +=，即2226(3)r r +=+，解得： 4.5r =，即O 的半径为4.5．23．解：（1）过点A 作AE OC ⊥于点E ，如图：ABC ∆是等边三角形，142OE OA ∴==，AE =∴点A 的坐标为(4，；故答案为：(4，；（2）根据题意得：AP CQ t ==，8OP t ∴=-，8OQ t =+，PQ OA ⊥，60AOC ∠=︒，30PQO ∴∠=︒，12OP OQ ∴=，即18(8)2t t -=+， 解得83t =， t ∴的值为83； （3）过点P 作PF OC ⊥于点F ，如图：8OP t =-，30OPE ∠=︒，82t OF -∴=，PF ==22114)22S CQ PF t t ∴=⨯=⨯=+=-+∴当4t =时，PCQ ∆的面积最大，S 的最大值为24．解：（1）把点(1,6)A -代入(0)k y x x=<得：6k =-， 把点(1,6)A -代入y x b =-+可得：5b =，如图所示：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，DF x ⊥轴于点F ，则//AE DF ， ∴DF DC AE AC=， ODC ∆与OAC ∆的面积比为2:3， ∴23DC AC =， ∴23DF AE =，即263DF =， 4DF ∴=，当54x -+=时，1x =，∴点D 的坐标为(1,4)，故答案为：6-，5，(1,4)；（2）如图所示：过点P 作PN x ⊥轴于点N ，过点P '作P M x '⊥轴于点M ，由（1）可得点C 的坐标为(5,0)设点(,5)P m m -+，且05m <<，则可得：5PN m =-+，ON m =，由旋转性质可得：90POP '∠=︒，OP OP '=，90PON P OM '∴∠+∠=︒，PN x ⊥轴，P M x '⊥轴，90P MO ONP '∴∠=∠=︒，90MP O P OM ''∴∠+∠=︒，MP O PON '∴∠=∠，在△P MO '和ONP ∆中，P MO ONP MP O PON OP OP '∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△()P MO ONP AAS '≅∆，P M ON m '∴==，5OM PN m ==-+，(5,)P m m '∴-点P '在反比例函数上，(5)6m m ∴-=-，解得：12m =，23m =，∴点P 的坐标为：(2,3)或(3,2)；（3）根据（2）可知，点C 的坐标为(5,0)，5OC ∴=，11522ODA OAC ODC A D S S S OC y OC y ∆∆∆∴=-=⋅⋅-⋅⋅=， 设点Q 的坐标为(0,)a ，||OQ a ∴=，5ODA ODQ S S ∆∆==， ∴152D OQ x ⋅⋅=，即||10a =， 10a ∴=或10-，∴点Q 的坐标为(0,10)或(0,10)-．25．解：（1）90ADE ABC ∠=∠=︒，12AB AD BC DE ==， //DE BC ∴，2DE AD =，AE ∴=，∴DE AE == //DE BC ，∴BD AD CE AE ===，； （2）BD CE的值不发生改变，证明如下： 90ADE ABC ∠=∠=︒，12AB AD BC DE ==， ADE ABC ∴∆∆∽， ∴AE AD AC AB=， BAC DAE ∠=∠，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠∆∽，∴BD AD CE AE == （3）AB CE BC EF ==，4AB =，BC ∴==，EF ，2CF CE ∴=，如图3，连接CF ，作FBI FCE ∆∆∽，连接IE ，延长IE 交BC 的延长线于L ，过I 作IM AD ⊥，交DA 的延长线于M ，BFI CFE ∴∠=∠，CF EF BF IF =，12IB CE BF CF ==， EFI CFB ∴∠=∠，CF BF EF IF =，12IB BF =， FEI FCB ∴∆∆∽，∴IE EF BC CF ==，FIE FBC ∠=∠，6IE ∴==， 作平行四边形1IEI B ，作点1I 关于AD 的对称点2I ，连接1I E ，2I E ，12I I 交BC 于N ，16IE BI ∴==，1IB I E =，12I E I E =，12212BE BF BE IB BE EI BE EI BI ∴+=+=+=+， FIE FBC ∠=∠，IEF BEL ∠=∠，L IFE ∴∠=∠，1//IE BI ，1L I BC ∴∠=∠，又190BNI FEC ∠=∠=︒，1BNI FEC ∴∆∆∽，∴1BN EF BI CF =，1112NI CE BI CF ==，1BN ∴==11132NI BI ==， 122(34)14I I ∴=⨯+=，214311NI ∴=-=，2BI ∴=，12BE BF ∴+的最小值为 2BE BF ∴+的最小值12()2BE BF =+= （3）方法二：如图4，以BC 为斜边构造Rt BCK ∆，90BKC ∠=︒，60BCK ∠=︒，过K 作KH BC ⊥于点H ，KG AB ⊥于点G ，连接CF 、EK ，则BCK FCE ∆∆∽，ECK FCB ∴∆∆∽，12EK BF ∴=， 作点B 关于AD 的对称点B '，连接B K '，则BE EK +的最小值为B K '，其中，HK BC ⊥，KG AB ⊥，3HK =，GK BH ==B K '∴=此时，122()2()2BE BF BE BF BE EK +=+=+=即2BE BF +的最小值为26．解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =--，则2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++；（2）由抛物线的表达式知，点(0,2)C ， 设直线BC 的表达式为：2y kx =+，将点B 的坐标代入上式得：042k =+， 解得：12k =-， 则直线BC 的表达式为：122y x =-+， 设点213(,2)22P x x x -++，则点1(,2)2Q x x -+， 则221311(2)(2)22222PQ x x x x x =-++--+=-+， 则矩形PQEF 的周长2222246PF PQ x x x x x =+=-+=-+， 10-<，故矩形PQEF 的周长有最大值， 当3x =时，矩形PQEF 的周长有最大值为9；（3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为32x =，设点M 的坐标为3(2，)t ， ①当点M 在BC 上方时，作BCM ∆的外接圆R ，连接RB 、RC ， 过点R 作RH y ⊥轴于点H ，过点B 作BG HR ⊥交HR 的延长线于点G ，设点(,)R m n ，45BMC ∠=︒，90CRB ∴∠=︒，90GRB HRC ∠+∠=︒，90GRB RBG ∠+∠=︒， HRC RBG ∴∠=∠，90G RHC ∠=∠=︒，RB RC =，()BGR RHC AAS ∴∆≅∆，BG RH ∴=且GR HC =，即m n =且42m n -=-，解得：3m n ==，第21页（共21页）即点(3,3)R ；RM RC =，则22223(3)(3)(30)(32)2t -+-=-+-，解得：3t =+，即点M的纵坐标为3②当点()R R '在BC 下方时， 由图象的对称性得，点(1,1)R '-， 由R C R M '='得：22223(1)(1)(10)(12)2t -+--=-+--，解得：1t =--，即点M的纵坐标为1--；综上，点M的纵坐标为：1--或3+。