人教版九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角PPT精品课件
5．巩固
如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦：
（1）如果 AB=CD，那么_A_B_=__C_D__，∠__A__O_B_=__∠__C_O_D__；
（2）如果 AB= CD，那么_A_B_=__C_D__，∠__A_O__B_=_∠__C__O_D__；
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_A_B__=_C__D_，_A_B_=__C_D_；
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）圆心角、弧、弦之间有哪些关系？
24.1.3 弧、弦、圆心角
1．思考
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心，
·
它具有旋转不变性.
2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度． 15°
N
O
2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
30°
N′
N
15°
O
2．性质
N
N′
n°
O
由此可以看出，点 N′仍落在圆上．
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2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
N′
n°
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4．定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所
对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相 等，那么它们所对的圆心角__相__等__ ，
所对的弦_相__等___；
O
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来 的圆重合．
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2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
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3．探究
如图，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A＇OB＇ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
∠AOB=∠A＇OB＇ AB= A＇B＇ AB=A ＇B＇
A＇ B
B＇
O
A
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同时整个圆也被分成了 360 份．
则每一份这样的弧叫做 1°的弧．这样，
1°的圆心角对着 1°的弧，
1°的弧
1°的弧对着 1°的圆心角.
n°的圆心角对着 n°的弧，
n°的弧对着 n°的圆心角. 性质：
1°
弧的度数和它所对圆
n°
心角的度数相等.
n°的弧
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（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE
与 OF 相等吗？为什么？ 相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．
又因为 AO=CO，BO=DO，
A
E
B D
所以 △AOB ≌ △COD．
又因为 OE 、OF 是 AB 与 CD 对应边上的高，
O F
所Байду номын сангаас OE=OF．
C
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6．例题
例1 如图，在⊙O 中， AB= AC，∠ACB =60°． 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
证明： ∵ AB = AC
∴ AB=AC，△ABC 等腰三角形．
又 ∠ACB=60°，
∴ △ABC 是等边三角形，
解： ∵ BC = CD = DE ∴ ∠BOC=∠COD=∠DOE =35°
∴ ∠AOE=180°-3×35°=75° E
D
C
A
O·
B
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N
N′
n°
O
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON′是 圆 O 的一个圆心角．
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2．性质
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
60°
N′
N
30°
O
2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
n°
N′
N 60°
O
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2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
6．例题
例3：如图，在⊙O 中，弦 AB 所对的劣弧为圆的 1 ，圆的半径为 4 cm，求 AB 的长． 3
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O
A
B
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7．课堂小结
A
AB=BC=CA．
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC．
O
B
C
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6．例题
例2 如图，AB 是⊙O 的直径，BC = CD = DE ， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它们所对的圆心角__相__等__， 所对的弧_相__等___．
同圆或等圆 中，两个圆心角、 两条弧、两条弦 中有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相等．
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如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦：
（1）如果 AB=CD，那么_A_B_=__C_D__，∠__A__O_B_=__∠__C_O_D__；
（2）如果 AB= CD，那么_A_B_=__C_D__，∠__A_O__B_=_∠__C__O_D__；
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_A_B__=_C__D_，_A_B_=__C_D_；
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）圆心角、弧、弦之间有哪些关系？
24.1.3 弧、弦、圆心角
1．思考
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心，
·
它具有旋转不变性.
2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度． 15°
N
O
2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
30°
N′
N
15°
O
2．性质
N
N′
n°
O
由此可以看出，点 N′仍落在圆上．
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2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
N′
n°
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4．定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所
对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相 等，那么它们所对的圆心角__相__等__ ，
所对的弦_相__等___；
O
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来 的圆重合．
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2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
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3．探究
如图，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A＇OB＇ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
∠AOB=∠A＇OB＇ AB= A＇B＇ AB=A ＇B＇
A＇ B
B＇
O
A
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同时整个圆也被分成了 360 份．
则每一份这样的弧叫做 1°的弧．这样，
1°的圆心角对着 1°的弧，
1°的弧
1°的弧对着 1°的圆心角.
n°的圆心角对着 n°的弧，
n°的弧对着 n°的圆心角. 性质：
1°
弧的度数和它所对圆
n°
心角的度数相等.
n°的弧
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（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE
与 OF 相等吗？为什么？ 相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．
又因为 AO=CO，BO=DO，
A
E
B D
所以 △AOB ≌ △COD．
又因为 OE 、OF 是 AB 与 CD 对应边上的高，
O F
所Байду номын сангаас OE=OF．
C
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6．例题
例1 如图，在⊙O 中， AB= AC，∠ACB =60°． 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
证明： ∵ AB = AC
∴ AB=AC，△ABC 等腰三角形．
又 ∠ACB=60°，
∴ △ABC 是等边三角形，
解： ∵ BC = CD = DE ∴ ∠BOC=∠COD=∠DOE =35°
∴ ∠AOE=180°-3×35°=75° E
D
C
A
O·
B
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N
N′
n°
O
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON′是 圆 O 的一个圆心角．
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2．性质
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
60°
N′
N
30°
O
2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
n°
N′
N 60°
O
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2．性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
6．例题
例3：如图，在⊙O 中，弦 AB 所对的劣弧为圆的 1 ，圆的半径为 4 cm，求 AB 的长． 3
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O
A
B
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7．课堂小结
A
AB=BC=CA．
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC．
O
B
C
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6．例题
例2 如图，AB 是⊙O 的直径，BC = CD = DE ， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它们所对的圆心角__相__等__， 所对的弧_相__等___．
同圆或等圆 中，两个圆心角、 两条弧、两条弦 中有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相等．
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人教版九年级数学上册24.弦、弧、圆心角教学课件(共26张)
二.新课学习
【定理及推论】
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量也相等。
D
(1)
. A
o
.
∵∠AOB=∠COD
C ∴ A︵B=CD︵ AB = CD
认真听课，细心做题，你会发现进步会悄然而来！
二.新课学习
【定理及推论】
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量也相等。
D
(2)
. A
o
.
∵ AB=CD
C ∴ ∠︵AOB︵=∠COD AB = CD
认真听课，细心做题，你会发现进步会悄然而来！
二.新课学习
【定理及推论】
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量也相等。
∴AB=AC
O·
又∵∠ACB=60°
B
C
∴AB=BC=CA
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
认真听课，细心做题，你会发现进步会悄然而来！
四.典型例题
例2:已知:AB是⊙O 的直径, BC＝CD DE, ∠COD=35°, 求∠AOE 的度数．
解： BC CD DE
ED
BOC=COD=DOE=35
(2)若 AC = BC,∠BOC=70°,
则∠AOC=__7_0_°_.
认真听课，细心做题，你会发现进步会悄然而来！
六.考题链接 相信自己一定行!
2.
40°
DA
3. 如图已知点C、D
C·
是 的三等分点,
B
若圆心角∠AOB=120°,
人教版数学-九年级上册- 24.1.3弧、弦、圆心角 课件
分析：理解弧、弦、圆心角之间的关系，注意在同圆或 等圆中的条件是解答本题的关键.
解：说法(1)不正确，在同圆或等圆中，圆心角相等，则 所对的弧相等，而本题中不是同圆或等圆，所以 AB ≠ AB. 说法(2)也不正确，弦 AB 或 CD 所对的弧有两条，在同圆或 等圆中，相等的弦所对的弧相等，应为“同是优弧或同是劣 弧”，即 AB＝ AB或 ACB＝CAD.
二、教材预习 自学课本 P82～83，完成第 2～6 题．
2. 顶点在____圆__心____的角叫做圆心角． 3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相__等 ___，所对 的弦___相__等_____．
4．如图 24-1-3-1，如果∠AOB＝ ∠A′OB′，那么 AB＝__A_B_， AB＝__A_′__B_′____.
证明：如图答 24-1-3-2 ，连接 OC，OD. ∵OA＝OB 且 OM＝12OA，ON＝12OB， ∴OM＝ON. ∵CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD， ∴Rt△CMO≌Rt△DNO， ∴∠COM＝∠DON.
∴ AC ＝ BD. 图答 24-1-3-2
*5.如图 24-1-3-15，在⊙O 中，AB，CD 是两条弦，OE ⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F.
C，D 是弧 BE 上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是( C )
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
图 24-1-3-11
图 24-1-3-12
2．如图 24-1-3-12，AC 是⊙O 的直径，AB，CD 是⊙O 的 两 条 弦 ， 且 AB ∥ CD ， 若 ∠ BAC ＝ 52°， 则 ∠ AOD ＝ ___1_0_4_°____.
解：能，证明如下： ∵AD＝BC， ∴ AD＝ AD. ∴ AD＋ AC ＝ AD＋CA，即 AB＝ AB. ∴AB＝CD.
解：说法(1)不正确，在同圆或等圆中，圆心角相等，则 所对的弧相等，而本题中不是同圆或等圆，所以 AB ≠ AB. 说法(2)也不正确，弦 AB 或 CD 所对的弧有两条，在同圆或 等圆中，相等的弦所对的弧相等，应为“同是优弧或同是劣 弧”，即 AB＝ AB或 ACB＝CAD.
二、教材预习 自学课本 P82～83，完成第 2～6 题．
2. 顶点在____圆__心____的角叫做圆心角． 3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相__等 ___，所对 的弦___相__等_____．
4．如图 24-1-3-1，如果∠AOB＝ ∠A′OB′，那么 AB＝__A_B_， AB＝__A_′__B_′____.
证明：如图答 24-1-3-2 ，连接 OC，OD. ∵OA＝OB 且 OM＝12OA，ON＝12OB， ∴OM＝ON. ∵CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD， ∴Rt△CMO≌Rt△DNO， ∴∠COM＝∠DON.
∴ AC ＝ BD. 图答 24-1-3-2
*5.如图 24-1-3-15，在⊙O 中，AB，CD 是两条弦，OE ⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F.
C，D 是弧 BE 上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是( C )
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
图 24-1-3-11
图 24-1-3-12
2．如图 24-1-3-12，AC 是⊙O 的直径，AB，CD 是⊙O 的 两 条 弦 ， 且 AB ∥ CD ， 若 ∠ BAC ＝ 52°， 则 ∠ AOD ＝ ___1_0_4_°____.
解：能，证明如下： ∵AD＝BC， ∴ AD＝ AD. ∴ AD＋ AC ＝ AD＋CA，即 AB＝ AB. ∴AB＝CD.
新人教版九年级上册数学24.1.3弧、弦、圆心角课件
作业布置 1．如果两个圆心角相等，那么( ) A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
2．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若直径 AB 上两点，且 AC＝BD，MC ⊥AB，ND⊥AB，M，N 在⊙O 上．
24．1 圆的有关性质
24．1.3 弧、弦、圆心角
1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角． 2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系， 并能应用此关系进行相关的证明和计算．
重点 圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用． 难点 从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相 等关系．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(1)求证：A︵M＝B︵N；
(2)若 C，D 分别为 OA，OB 中点，则A︵M＝M︵N＝B︵N成立吗？ 答案：1.D；2.3；3.(1)连接 OM，ON，证明△MCO≌△NDO，得 出∠MOA＝∠NOB，得出A︵M＝B︵N；(2)成立．
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午6时48分2秒18:48:0222.4.12
5．分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？ 6．定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探 究： (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角， 所对的弦也分别相等吗？ (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角， 所对的弧也分别相等吗？ 综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．
人教版九年级上册数学 24.1.3弧、弦、 圆心角 教学课件(共19张PPT)
•
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.1206:24:4006:24Aug-2112-Aug-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。06:24:4006:24:4006:24Thursday, August 12, 2021
∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什
么？
A1 B
B1
·
O
A
∵ ∠∴AAOB=BA=1∠BA11，O⌒AB1B⌒=A1B1 .
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB
=∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？
为什么?
A1 B
B1
O·
A
· O1
∵ ∠∴AAOBB==A∠1BA11，O⌒BA1B⌒=A1B1 .
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等.
B
∵
α
∠AOB=∠A1O⌒B1⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
Oα
A1
A B1
思考：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你 能得什么结论？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
等对等定理
同圆或等圆中，两 个圆心角、两条圆心角 所对的弧、两条圆心角 所对的弦中如果有一组 量相等，它们所对应的 其余各组量也相等。
人教版九年级上册
24.1.3弧、弦、圆心角
观察与发现
A
O
B
D C
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
九年级数学上册 24.1.3弧、弦、圆心角课件 人教版
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角, ②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中, 有一组量相等,那么它们所对应的其 余各组量都分别相等.
基础训练
1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果AB=CD，那么
，,
（2）如果弧AB=弧CD，那么 ，
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ，
。 ,。 ,。
E A
4. 如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN
交该圆于点D、E，且 BC=DE （1）求证：AC=AE
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平
分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留 作图痕迹，不写作法）求证：EF平分∠CEN。
课后思考题
如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分别 延长到E、F，使BE= DF。 求证：EF的垂直平分线必经过点O。
O
F
C
图3
B D
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º.同时整个圆也被分成了360份.
则每一份这样的弧叫做1º的弧.
这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
复习回顾 C
垂径定理： 垂直于弦的直径， 并且平分弦对的两条弧。
数学语言：
.O
∵ ①直线CD过圆心O
② CD⊥AB
A
M
B
∴ ③AM=BM
D
④AC=BC
⑤AD=BD
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF
B
O.
A EC
人教版九年级上册 24.1.3 弧、弦、圆心角(共23张PPT)
人教版九（上）数学精简课堂课件
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识回顾 获取新知 随堂演练
情景导入 例题讲解 课堂小结
情景导入 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
·
获取新知
知识点一：圆心角的定义
观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图 形重合吗？由此你得到什么结论呢？
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
谢谢观看
由圆的旋转不变性，我们发现：
B'
A' B
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'， 那么，A⌒B=A⌒'B'，弦AB=弦A'B'
·
O
A
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A'O′B'，你发现的 等量关系是否依然成立？为什么？ A'
B B'
O·
A
· O'
归纳 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 如果∠AOB=∠A′O′B′，那么A⌒B= A⌒'B' ，弦AB=弦A'B'.
2.下列说法中，正确的是( C ) A．弦相等所对的弧相等 B．弧相等所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦． (1)∵∠AOB＝∠COD，∴___A⌒_B_=_C_⌒_D_，___A__B_=_C_D．
(2)∵AB＝CD，∴___∠__A_O__B_＝__∠__C_O_，D _____A_⌒_B_=_C_⌒D． (3)∵A⌒B＝C⌒D，∴___∠__A__O_B_＝__∠__C__O，D_____A_B_=__C．D
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识回顾 获取新知 随堂演练
情景导入 例题讲解 课堂小结
情景导入 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
·
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知识点一：圆心角的定义
观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图 形重合吗？由此你得到什么结论呢？
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
谢谢观看
由圆的旋转不变性，我们发现：
B'
A' B
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'， 那么，A⌒B=A⌒'B'，弦AB=弦A'B'
·
O
A
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A'O′B'，你发现的 等量关系是否依然成立？为什么？ A'
B B'
O·
A
· O'
归纳 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 如果∠AOB=∠A′O′B′，那么A⌒B= A⌒'B' ，弦AB=弦A'B'.
2.下列说法中，正确的是( C ) A．弦相等所对的弧相等 B．弧相等所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦． (1)∵∠AOB＝∠COD，∴___A⌒_B_=_C_⌒_D_，___A__B_=_C_D．
(2)∵AB＝CD，∴___∠__A_O__B_＝__∠__C_O_，D _____A_⌒_B_=_C_⌒D． (3)∵A⌒B＝C⌒D，∴___∠__A__O_B_＝__∠__C__O，D_____A_B_=__C．D
人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件
的顺 的位序位置排置列关顺 关过，系序系点若，排，O列并并A作D，说说=O若明明BEC理理A，D由由=根A..BB据C于题，点意根E补据，全题交图意形补DC，全于探图点究形，AFB探, ，究 AB ，
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D
F
C
∵ AD=BC ，
12
O
A
E
B
∴ 1 2 .
G
∴ 1 2，
解： AB交交∥∵AACBBDA于于D. =点点BGGC ，，，
证明：∵∵∵ ∴连OAA接E1DD==OBBAACC2B，，，，，OB ， OC ， OD ，
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12
3 O4 E
G
B
∴
∴∴ ∴3DDDFFF4OOO，≌≌ CCCFFFOOO
， ， 90
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已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
例3 已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
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弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件
解和使用弧、弦、圆心角三者关系：在同圆 或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等 ，③所对的弦相等，三项“知一推二”，即 一项相等，二项相等．
达标检测 反思目标
60°或300° 90°
12 2
40°
A
B
C
B
课后作业
• 上交作业：教科书第89页第2，3题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后作业” 部分．
A
C
D
B
O
C B
AD
O
探究点二 弧、弦、圆心角的关系的应用
【针对训练】
BOC
DOE 105° 75°
解;OE=OF,证明△OEA≌△OFC或△OEB≌△OFD
总结梳理 内化目标
正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系； 在同圆或等圆中， 圆心角相等，所对的 弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二 ”，即一项相等，其余二项相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所条对弧的、两条弦中
圆心角__相__等_， 所对的弦____相__等__；
有一组量相等， 它们所对应的其
余各组量也相 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所等对．的
圆心角__相__等__，所对的弧____相__等___．
【针对训练】
C
(2)
O
A A′
B B′
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午1时16 分28秒下午1时16分13:16:2821.11.7
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，
两个圆心角、两
达标检测 反思目标
60°或300° 90°
12 2
40°
A
B
C
B
课后作业
• 上交作业：教科书第89页第2，3题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后作业” 部分．
A
C
D
B
O
C B
AD
O
探究点二 弧、弦、圆心角的关系的应用
【针对训练】
BOC
DOE 105° 75°
解;OE=OF,证明△OEA≌△OFC或△OEB≌△OFD
总结梳理 内化目标
正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系； 在同圆或等圆中， 圆心角相等，所对的 弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二 ”，即一项相等，其余二项相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所条对弧的、两条弦中
圆心角__相__等_， 所对的弦____相__等__；
有一组量相等， 它们所对应的其
余各组量也相 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所等对．的
圆心角__相__等__，所对的弧____相__等___．
【针对训练】
C
(2)
O
A A′
B B′
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午1时16 分28秒下午1时16分13:16:2821.11.7
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，
两个圆心角、两
最新-人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角新课课件(共19张PPT)-PPT文档资料
相等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
A
E
B
所以△AOB≌ △COD.
·O
D
又因为OE 、OF分别是AB与CD边上的高，
所以 OE = OF.
F C
六、练习
2.如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
解：
E
D
∵ BC = CD = DE
不能去掉. 反例：如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′， 但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么__A_B___=___C_D_，_____A_O_B_____C_O_D___．
（2）如果 AB = CD ，那么___A_B__=_C_D____，__A_O_B_____C_O_D__． （3）如果∠AOB=∠COD，那么__A_B____=__C_D___，__A__B_=_C__D_．
(2)把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合.由此可 见,圆具有旋转不变的特性.
2.圆心角的概念
顶点在 圆心 的角叫做圆心角.
3.弧、弦、圆心角关系定理及推论 (1)弧、弦、圆心角关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧
相等,所对的 弦 也相等.
(2)弧、弦、圆心角关系定理的推论:①在同圆或等圆中,如果两条弧相
A ·O
B
三、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠ 些等量关系？为什么？
A′
B B′
A′ O的B位′ 置，你能发现哪
A′ B
B′
·O