阶段质量检测(三)

阶段质量检测（三）(A 卷 学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．3解析：选B 若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝0，解得m ＝2.2．已知a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若l ⊥α，则l 与a ，b 所在的直线垂直，∴c ⊥a ，c ⊥b ，∴c ·a ＝0，c ·b ＝0，是必要条件；∵a ≠b ，∴当a 与b 同向(或反向)时，由c ·a ＝0且c ·b ＝0可以推出c ⊥a 且c ⊥b ，但不能推出l ⊥α，不是充分条件．3．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( )A ．7B ．－20C ．28D ．11解析：选C 因为m ＝(0,8,3)，n ＝(－1,5，－4)，所以 m ·n ＝0＋40－12＝28.4．已知二面角α-l -β的大小为π3，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量．∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π3. 但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2， 故异面直线m ，n 所成的角为π3. 5．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量．∵AB ―→＝(－5，－1,1)，AC ―→＝(－4，－2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0， ∴⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－32，∴n ＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1. 又AD ―→＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝|AD ―→·n ||AD ―→||n |＝727＝12， ∴θ＝30°.6．在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝2OA ―→－2OB ―→－OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤ |(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．7．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3)，|a ＋b |＝14，cos α＝(a ＋b )·c |a ＋b ||c |＝12， 所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.8．在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 分别是x 轴、y 轴、z 轴的方向向量，设a 为非零向量，且〈a ，i 〉＝45°，〈a ，j 〉＝60°，则〈a ，k 〉＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C 如图所示，设|a |＝m (m ＞0)，a ＝OP ―→，PA ⊥平面xOy ，则在Rt △PBO 中，|PB |＝|OP ―→|·sin 〈a ，i 〉＝22m ， 在Rt △PCO 中，|OC |＝|OP ―→|·cos 〈a ，j 〉＝m 2，∴|AB |＝m 2， 在Rt △PAB 中， |PA |＝|PB |2－|AB |2＝ 24m 2－m 24＝m 2， ∴|OD |＝m 2，在Rt △PDO 中，cos 〈a ，k 〉＝|OD ||OP |＝12. 又∵0°≤〈a ，k 〉≤180°，∴〈a ，k 〉＝60°.9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34解析：选C 取DA ―→，DC ―→，DD 1―→分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1―→·n ||n |＝43. 10．三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A.13B.23C.33D.23解析：选B 如图，设A 1点在底面ABC 内的射影为点O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设△ABC 边长为1，则A ⎝⎛⎭⎫33，0，0，B 1⎝⎛⎭⎫－32，12，63， ∴AB 1―→＝⎝⎛⎭⎫－536，12，63.平面ABC 的法向量n ＝(0,0,1)，则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值为sin α＝|cos 〈AB 1―→，n 〉|＝637536＋14＋69＝23. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知a ＝(3λ，6，λ＋6)，b ＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________.解析：由题意知a ∥b ，∴3λλ＋1＝63＝λ＋62λ，解得λ＝2. 答案：212．若a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________．解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－27，得sin 〈a ，b 〉＝357， 由公式S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉可得结果．答案：6 513．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1―→＝a AB ―→＋2b AD ―→＋3cA 1A ―→，则abc ＝________.解析：∵AC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→＝a AB ―→＋2b AD ―→＋3cA 1A ―→，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13. ∴abc ＝－16. 答案：－1614.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为AF 的中点．沿EF 将矩形折成120°的二面角A -EF -B ，此时KG 的长为________．解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，垂足M 为EF 的中点，则向量MK―→与FC ―→的夹角为120°，〈KM ―→，FC ―→〉＝60°.又∵KG ―→＝KM ―→＋MG ―→＝KM ―→＋FC ―→，∴KG ―→ 2＝KM ―→2＋FC ―→2＋2KM ―→·FC ―→＝1＋1＋2×1×1×cos 60°＝3.∴|KG ―→|＝ 3. 答案： 3三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB ―→＝b ，AD ―→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP ―→；(2) A 1N ―→；(3)MP ―→＋NC 1―→.解：(1)∵点P 是C 1D 1的中点，∴AP ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1P ―→＝a ＋AD ―→＋12D 1C 1―→ ＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB ―→＋BN ―→＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP ―→＝MA ―→＋AP ―→＝12A 1A ―→＋AP ―→ ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又∵NC 1―→＝NC ―→＋CC 1―→＝12BC ―→＋AA 1―→ ＝12AD ―→＋AA 1―→＝12c ＋a ， ∴MP ―→＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 16．(本小题满分12分)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，∠BAC ＝90°，AB ＝AA 1＝2，AC ＝1，M ，N 分别是A 1B 1，BC 的中点．(1)证明：AB ⊥AC 1；(2)证明：MN ∥平面ACC 1A 1.证明：依条件可知AB ，AC ，AA 1两两垂直．如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系Axyz .根据条件容易求出如下各点坐标：A (0,0,0)，B (0,2,0)，B 1(0,2,2)，C 1(－1,0,2)，M (0,1,2)，N ⎝⎛⎭⎫－12，1，0. (1)∵AB ―→＝(0,2,0)，AC 1―→＝(－1,0,2)，∴AB ―→·AC 1―→＝0×(－1)＋2×0＋0×2＝0.∴AB ―→⊥AC 1―→，即AB ⊥AC 1.(2)因为MN ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－2， AB ―→＝(0,2,0)是平面ACC 1A 1的一个法向量，且MN ―→·AB ―→＝－12×0＋0×2＋(－2)×0＝0， 所以MN ―→⊥AB ―→.又因为MN ⊄平面ACC 1A 1，所以MN ∥平面ACC 1A 1.17．(本小题满分12分)如下(左)图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别为AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如下(右)图．(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小．解：(1)∵AC ⊥BC ，DE ∥BC ，∴DE ⊥AC .∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴DE ⊥平面A 1DC .∴DE ⊥A 1C .又∵A 1C ⊥CD ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)如图所示，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0，0，23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3，0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B ―→＝0，n ·BE ―→＝0.又A 1B ―→＝(3,0，－23)，BE ―→＝(－1,2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0. 令y ＝1，则x ＝2，z ＝3，∴n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.∵CM ―→＝(0,1，3)，∴sin θ＝|cos 〈n ，CM ―→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM ―→|n |·|CM ―→|＝48×4＝22. ∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4. 18．(本小题满分12分)如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ；(2)试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与CD 所成的角是60°.解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系．设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则N ⎝⎛⎭⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝⎛⎭⎫22，22，1， ∴AM ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1. ∴NE ―→＝AM ―→，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF ―→＝(2－t ，2－t,1)，CD ―→＝(2，0,0)．又∵PF ―→与CD ―→所成的角为60°，|(2－t )·2|(2－t )2＋(2－t )2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．19.(本小题满分12分)(天津高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F -AB -P 的余弦值．解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系，如图，可得B (1,0,0)，C (2，2,0)，D (0,2,0)，P (0，0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1，1,1)．(1)证明：BE ―→＝(0,1,1)，DC ―→＝(2,0,0)，故BE ―→·DC ―→＝0.所以，BE ⊥DC .(2)BD ―→＝(－1,2,0)，PB ―→＝(1,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD ―→＝0，n ·PB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE ―→〉＝n ·BE ―→|n |·|BE ―→|＝26×2＝33， 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)BC ―→＝(1,2,0)，CP ―→＝(－2，－2,2)，AC ―→＝(2,2,0)，AB ―→＝(1,0,0)． 由点F 在棱PC 上，设CF ―→＝λCP ―→,0≤λ≤1.故BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋λCP ―→＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ―→·AC ―→＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34. 即BF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ―→＝0，n 1·BF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F -AB -P 是锐角， 所以其余弦值为31010.20.(本小题满分12分)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝a ，BC ＝2a ，PD ⊥底面ABCD .(1)在PD 上是否存在一点F ，使得PB ∥平面ACF ，若存在，求出PFFD 的值；若不存在，试说明理由．(2)在(1)的条件下，若PA 与CD 所成的角为60°，求二面角A -CF -D 的余弦值． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A (0，a,0)，B (a ，a,0)，C (a ，－a,0)．设PD ＝b ，则P (0,0，b )，假设存在点F 使PB ∥平面ACF ，F (0,0，λb )(0＜λ＜1)， 设平面ACF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，AC ―→＝(a ，－2a,0)，FA ―→＝(0，a ，－λb )，PB ―→＝(a ，a ，－b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·FA ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ax －2ay ＝0，ay －λbz ＝0，则n ＝⎝⎛⎭⎫2，1，aλb ， 所以n ·PB ―→＝0，即2a ＋a －a λ＝0，解得λ＝13.所以PFDF＝2.(2)PA ―→＝(0，a ，－b )，DC ―→＝(a ，－a,0)， 因为PA 与CD 所成的角为60°，所以cos 60°＝|cos 〈PA ―→，DC ―→〉|＝|PA ―→·DC ―→||PA ―→||DC ―→|＝a 2a 2＋b 2·2a ＝12.则a ＝b .由(1)知平面ACF 的一个法向量为n ＝(2,1,3)． 因为∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝a ，BC ＝2a ， 所以CD ＝2a ，BD ＝2a .所以BC 2＝CD 2＋BD 2.所以BD ⊥CD . 又因为PD ⊥底面ABCD ，则BD ⊥平面CDF . 所以DB ―→＝(a ，a,0)是平面CDF 的一个法向量． 所以cos 〈n ，DB ―→〉＝n ·DB ―→|n ||DB ―→|＝3a 14×2a ＝3714. 所以二面角A -CF -D 的余弦值为3714.(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．已知a ＝(λ＋1,1,1)，b ＝(2，2μ－1，λ)，若a ⊥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－1,1C ．－1,2D ．1,2解析：选A 由题意知：2(λ＋1)＋2μ－1＋λ＝0，即3λ＋2μ＋1＝0，令λ＝－1，有μ＝1，故选B.2．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA ―→，OB ―→，下列关系中能表示l ∥α的是( )A ．a ＝OA ―→B ．a ＝k OB ―→C ．a ＝p OA ―→＋λOB ―→D ．以上均不能解析：选D 对a ＝OA ―→，a ＝k OB ―→以及a ＝p OA ―→＋λOB ―→均可能有l ⊂α，故都不能表示l ∥α.3．已知a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)，c ＝ma ＋nb ＋(4，－4，1)．若c 与a 及b 都垂直，则m ，n 的值分别为 ( )A ．－1,2B ．1，－2C ．1,2D ．－1，－2解析：选A 由已知得c ＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)， 故a ·c ＝3m ＋n ＋1＝0，b ·c ＝m ＋5n －9＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.4．已知点B 是点A (3,7，－4)在xOz 平面上的射影，则OB ―→2等于( ) A ．(9,0,16) B ．25 C ．5D ．13解析：选B A 在xOz 平面上的射影为B (3,0，－4)，则OB ―→＝(3,0，－4)，OB ―→2＝25. 5．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：选A由题意知⎩⎨⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.6．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152 C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：选D 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.7．已知向量m 、n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A 设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，∴θ＝30°.8．已知AB ―→＝(1,5，－2)，BC ―→＝(3,1，z )，若AB ―→⊥BC ―→，BP ―→＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB ―→⊥BC ―→，∴AB ―→·BC ―→＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC ―→＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )A.33 B.12C.66D.32解析：选C 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．令AB ＝2，则A (2，0,0)，O (1,2,1)，所以AO ―→＝(－1,2,1)．又DD 1―→＝(0,0,2)为平面ABCD 的法向量，设AO 与平面ABCD 所成角为α，则sin α＝|cos 〈AO ―→，DD 1―→〉|＝|AO ―→·DD 1―→||AO ―→||DD 1―→|＝26×2＝66.10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和为( )A ．1 B.12 C.32D ．2解析：选A 以D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设CE ＝x ，DF ＝y ， 则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)， ∴B 1E ―→＝(x －1,0,1)． 又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)， ∴FB ―→＝(1,1，y )．由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ， 只需FB ―→·B 1E ―→＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________.解析：由已知得89＝a ·b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2·9，∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.答案：－2或25512．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．解析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a ，n 所成的角为φ，sin θ＝|cos φ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(－2，3，2)·(4，0，1)17×17＝617.答案：61713．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→，则cos 〈a ，b 〉＝________.解析：a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010.答案：－101014．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________． 解析：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1，0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1―→＝(－1,1,1)，BC 1―→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：63三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请问EF ―→与BC ―→，AD ―→是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由．解：EF ―→与BC ―→，AD ―→共面．证明如下：在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，由加法法则，得EF ―→＝EA ―→＋AD ―→＋DF ―→，EF ―→＝EB ―→＋BC ―→＋CF ―→.① 又E ，F 分别是AB ，CD 的中点， 故有EA ―→＝－EB ―→，DF ―→＝－CF ―→.②将②代入①中，再两式相加得2EF ―→＝AD ―→＋BC ―→. 所以EF ―→＝12AD ―→＋12BC ―→，即EF ―→与BC ―→，AD ―→共面．16．(本小题满分12分)如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，P 点是四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA 、PB 、PC 、PD .设点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心．试用向量方法证明E 、F 、G 、H 四点共面．证明：如图，分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交对边于M 、N 、Q 、R .因为E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，所以M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连接M 、N 、Q 、R 得到的四边形MNQR 为平行四边形，且有：PE ―→＝23PM ―→，PF ―→＝23PN ―→，PG ―→＝23PQ ―→，PH ―→＝23PR ―→.因为四边形MNQR 是平行四边形，所以MQ ―→＝MN ―→＋MR ―→＝(PN ―→－PM ―→)＋(PR ―→－PM ―→)＝32(PF ―→－PE ―→)＋ 32(PH ―→－PE ―→)＝32(EF ―→＋EH ―→)． 又MQ ―→＝PQ ―→－PM ―→＝32PG ―→－32PE ―→＝32EG ―→，所以32EG ―→＝32(EF ―→＋EH ―→)，即EG ―→＝EF ―→＋EH ―→，由共面向量定理知，E 、F 、G 、H 四点共面．17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝2，E 是PC 的中点，作EF ⊥BP 交BP 于点F .(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设DC ＝2.(1)连接AC ，交BD 于G ，连接EG .依题意得A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0，1,1)．因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为(1,1,0)， 且PA ―→＝(2,0，－2)，EG ―→＝(1,0，－1)． 所以PA ―→＝2EG ―→，这表明PA ∥EG . 而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， 所以PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (2,2,0)，PB ―→＝(2,2，－2)，DE ―→＝(0,1,1)， 故PB ―→·DE ―→＝0＋2－2＝0，所以PB ⊥DE ， 由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .18．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．解：(1)证明：以A 为原点，AB ―→，AD ―→，AA 1―→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)， 故AD 1―→＝(0,1,1)，B 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1―→＝(a,0,1)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫a2，1，0.∵AD 1―→·B 1E ―→＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP ―→＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1―→，n ⊥AE ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ―→，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.19.(本小题满分12分)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝1，AA 1＝2，D 为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，CO ⊥侧面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝OA ，求直线C 1D 与平面ABC 所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意可知，在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD AB ＝22，在Rt △ABB 1中，tan∠AB 1B ＝AB BB 1＝22.又因为0<∠ABD ，∠AB 1B <π2，所以∠ABD ＝∠AB 1B ，所以∠ABD ＋∠BAB 1＝∠AB 1B ＋∠BAB 1＝π2，所以AB 1⊥BD .又CO ⊥侧面ABB 1A 1，且AB 1⊂侧面ABB 1A 1， ∴AB 1⊥CO .又BD 与CO 交于点O ，所以AB 1⊥平面CBD . 又因为BC ⊂平面CBD ，所以BC ⊥AB 1.(2)如图所示，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，－33，0，B ⎝⎛⎭⎫－63，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，0，33，B 10，233，0，D ⎝⎛⎭⎫66，0，0.又因为CC 1―→＝2AD ―→，所以C 1⎝⎛⎭⎫63，233，33.所以AB ―→＝⎝⎛⎭⎫－63，33，0，AC ―→＝⎝⎛⎭⎫0，33，33，DC 1―→＝⎝⎛⎭⎫66，233，33. 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧AB ―→·n ＝0， AC ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧－63x ＋33y ＝0，33y ＋33z ＝0，令y ＝2，则z ＝－2，x ＝1，故n ＝(1，2，－2)是平面ABC 的一个法向量． 设直线C 1D 与平面ABC 所成的角为α，则sin α＝|DC 1―→·n ||DC 1―→||n |＝35555.20．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小； (2)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)．(1)BF ―→＝(－1,0,1)，DE ―→＝(0，－1，1)，于是cos 〈BF ―→，DE ―→〉＝BF ―→·DE ―→|BF ―→||DE ―→|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°. (2)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )． CE ―→＝(－1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE ―→＝0，u ·DE ―→＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0，0,1)． 所以cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13×1＝33. 因为二面角A -CD -E 为锐角，所以其余弦值为33.。