基本不等式学案
基本不等式教案范文
基本不等式教案范文一、教学目标1.知识与技能目标a.掌握基本不等式的定义和基本性质；b.掌握不等式的加减乘除性质；c.能够解决基本不等式的证明和计算问题。
2.过程与方法目标a.通过例题引导学生发现不等式的性质；b.引导学生进行探究性学习，提高独立解决问题的能力；c.培养学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感态度目标a.培养学生的数学思维和抽象思维能力；b.培养学生的合作意识和团队精神；c.培养学生的实际问题解决能力。
二、教学重点1.不等式的加减和乘除性质；2.不等式的证明和计算方法。
三、教学难点1.不等式的证明方法；2.复杂不等式的解决方法。
四、教学方法1.探究教学法：通过解决例题引导学生发现不等式的性质；2.讲授教学法：通过讲解和示范的方式，介绍不等式的性质和解决方法；3.案例分析法：通过分析实际问题的案例，引导学生解决不等式问题。
五、教学过程1.引入a.导入问题：小明计划购买一款手机，他想知道自己有多少钱可以花在手机上。
请问该怎样计算？b.引导学生讨论，并给予提示，引出不等式的概念。
2.探究不等式的性质a.通过解决一些简单的例题，让学生发现不等式的性质。
b.给出以下几个例题：（1）若a>b，b>0，则a+b>b；（2）若a > b，b > 0，则ab > b；（3）若a>b，b>0，则a/b>1c.让学生在小组内讨论，并找出规律。
d.分组展示结果，学生进行交流与讨论。
e.教师总结不等式的加减和乘除性质。
3.不等式证明a.讲解不等式证明的一般方法，包括逆否命题法、反证法等。
b.通过案例讲解不等式证明的具体步骤和技巧。
c.给出以下例题：（1）证明：若a>b，b>0，则a+b>0。
（2）证明：对于任意实数x，都有x>-1c.引导学生运用之前学到的证明方法进行解答，然后进行讨论。
4.解决不等式问题a.讲解不等式的解决方法，包括绝对值法、区间法等。
学案2：2.2 第2课时 基本不等式的应用
2.2 第2课时 基本不等式的应用不等式与最大(小)值阅读教材，完成下列问题． x ，y 都为正数时，下面的命题成立(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最 值 ； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最 值 . 思考：(1) 函数y ＝x ＋1x 的最小值是2吗？(2)设a ＞0,2a ＋3a取得最小值时，a 的值是什么？初试身手1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．当x ＞0时，x ＋9x 的最小值为________．3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________．4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为________．(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1．(1)已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．(2)设0<x≤2，则函数ƒ(x)＝x(8－2x)的最大值为________．类型2利用基本不等式解实际应用题【例2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)写出正确答案．跟踪训练2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？[1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x 有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b 的最小值是什么？【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b 的最小值．母体探究1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a ＋b 的最小值．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．规律方法最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .课堂小结1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义． 当堂达标1．若x >0，y >0且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( )A ．9B ．18C ．36D ．812．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．3．求函数f (x )＝x x ＋1的最大值．参考答案新知初探不等式与最大(小)值 阅读教材，完成下列问题．(1)大 s 24；(2)小思考：(1) [提示] 不是，只有当x ＞0时，才有x ＋1x ≥2，当x ＜0时，没有最小值．(2) [提示] 2a ＋3a≥22a ×3a ＝26，当且仅当2a ＝3a ，即a ＝62时，取得最小值．初试身手1．【答案】C【解析】A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C ． 2．【答案】6【解析】因为x ＞0，所以x ＋9x ≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立． 3．【答案】14【解析】因为x ∈(0,1)，所以1－x ＞0， 故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝14，当x ＝1－x ， 即x ＝12时等号成立．4．【答案】8【解析】由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 【例1】【答案】(1)6 (2)116【解析】(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116. 规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1．【答案】(1)－2 (2)22 【解析】(1)依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0，故ƒ(x )＝x (8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x )≤12×82＝22， 当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号， 所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x (8－2x )的最大值为2 2.【例－20) cm ，⎝⎛⎭⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y＝18 000x －20＋25， 所以广告牌的面积S ＝xy ＝ x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ， 整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0，所以S ≥2360 000x －20×25(x －20)＋18 500＝24 500. 当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140， 代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小． 法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0. 易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm.广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案． 跟踪训练2．【答案】(1)5 8【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．(2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.[1．[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2， 当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2.(2)当x ＞0时，x x 2＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故x x 2＋1有最大值12.2．[提示] (1)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当b ＝2a 时等号成立； (2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ≥22＋3， 当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【例3】[解] (1)设f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．母体探究1．[解] (1)由3是3a 与3b 的等比中项，得3a ＋b ＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ×a b ＝2， 当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab＝9. 当a ＝b ＝3时等号成立．2．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1，故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2(a ＋1)×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．当堂达标 1．【答案】A【解析】由2(x ＋y )＝36得x ＋y ＝18.所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立． 2．【答案】8【解析】设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v＝400v ＋16v400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时． 3．[解] f (x )＝xx ＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.。
基本不等式答案
基本不等式学案(含答案)一 :基础演练1.若x>0，则x ＋2x 的最小值为________．答案：22解析：∵ x>0，∴ x ＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x ＝2时等号成立． 2. 设x<0，则y ＝3－3x －4x 的最小值为________．答案：3＋43解析：∵ x<0，∴ y ＝3－3x －4x ＝3＋(－3x)＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥3＋2（－3x ）·⎝⎛⎭⎫－4x ＝3＋43，当且仅当x ＝－233时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.3. 若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x ＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3.4. 设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是________．答案：183解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．5. (必修5P 88例2改编)已知函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵ 函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a ，∴ a ＝4.∵ x －2>0，∴ f(x)＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x ＝4时等号成立，故此函数的最小值是6. 二:典型例题例1 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1) x<54，∴ 4x －5<0.∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1（5－4x ）]＋3≤－2（5－4x ）1（5－4x ）＋3＝1，y max ＝1.(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋yx ≥10＋29x y ·yx＝16，即x ＋y 的最小值为16.例2已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2) x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)， ∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a 的取值范围是()－3，＋∞. 例3 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4x ＋y ，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥ka －c ，k 的最大值为4.例4 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2) 若使每间虎笼的面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，面积S ＝xy.由于2x ＋3y ≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝242x ＝3y⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m.例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162xm.总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋1 2960≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880元．当且仅当x ＝100x(x>0)，即x ＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴ 1018≤x ≤16.设g(x)＋x ＋100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x ≤16，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数，∴ 当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m ，宽为1018 m 时，总造价最低，为38 882元．三:能力提僧升1. (2013·上海)设常数a>0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：9x ＋a 2x≥29x·a 2x ＝6a ，所以6a ≥a ＋1，即a ≥15. 2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________． 答案：2解析：∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，∴ 1y ＋1z ＝yz2x －x ， ∴ ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x 2＋x ⎝⎛⎭⎫1y ＋1z ＋1yz ＝yz 2＋1yz≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，x 、y ∈R ，则1x ＋4y 的最小值是________．答案：9解析：因为B 、C 、P 三点共线且AP →＝xAB →＋yAC →，故x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y)＝5＋y x ＋4x y≥9. 4. 若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x 、y 恒成立，则整数k 的最大值为________．答案：3解析：原不等式可化为4x y ＋9y x ≥2k 而4x y ＋9yx ≥12，∴ 2k ≤12，则整数k 的最大值为3.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.。
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
基本不等式教学设计（通用8篇）
基本不等式教学设计（通用8篇）基本不等式教学设计1教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。
课程目标分析依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
学案32：基本不等式
学案32：基本不等式知识梳理：一．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．二．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三．利用基本不等式求最值问题： 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 四：易错点：1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．[试一试]1．“a >0且b >0”是“a ＋b 2≥ab ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23五：方法：1．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．2．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．[练一练]若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． [典例] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎭⎫1＋1a ⎝⎭⎫1＋1b ≥9.[针对训练]设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.[典例](1)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.(2)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_____(3)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则z xy的最小值为________．变式：在(3)的条件中，当z xy取最小值时，求x ＋2y －z 的最大值.[针对训练](1)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． (2)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．[典例] 即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[针对训练]某化工企业2012年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．课堂训练：题组一：1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有 ( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－42．(3－a )(a ＋6)(－6<a <3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3223．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]4.已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为________．5．若点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________． 6．已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．题组二：1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 2．若a >0，b >0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．43．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2 D.524．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( ) A ．23＋2 B ．23－2 C ．2 3 D ．25．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－26．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是________．7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．8.规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x的最小值为________． 9．正数x ，y 满足1x ＋9y＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 10．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？题组三：1．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．162．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)。
基本不等式(培优)-学案
授课主题 第12讲---基本不等式授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 掌握基本不等式的证明及应用；② 会用基本不等式求函数的最大值或最小值； ③ 掌握基本不等式的实际应用。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂1、算术平均值与几何平均值（1） 算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 （2） 几何平均值：对任意两个正实数,a b ，数ab 叫做,a b 的几何平均值 2、均值定理如果,a b R +∈，那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 3、均值不等式的常见变形（1）()2,a b ab a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0） （4）()2,11ab a b R a b+≤∈+4、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，x ＋y 有最最小值是p 2。
(简记：积定和最小)知识梳理（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，xy 有最大值是42s 。
(简记：和定积最大)考点一： 基本不等式的理解例1、下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+例2、已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤ C ．24m -<< D ．42m -<<考点二：基本不等式与最值例1、已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30⋅=∠=︒AB AC BAC ，若,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9例2、设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值．例3、设b a 、为正实数，且2211=+ba . （1）求22b a +的最小值；（2）若32)(4)(ab b a ≥-，求ab 的值.典例分析考点四：基本不等式的实际问题例1、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.（1）要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？（2）M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．4800m，深为3m．如果池底每平方米的造价为150例2、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为3元，池底每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？例3、图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．222、若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23、若,0>>b a 则下列不等式成立的是（ ）A.ab b a b a >+>>2 B.b ab ba a >>+>2C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>24、函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上，则14m n+的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.255、已知为正实数，且，则的最小值为__ _．实战演练10、 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C11、某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：（1）仓库面积S 的取值范围是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？1、【优质试题·四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．8122、【优质试题·福建，13】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是直击高考每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）。
基本不等式课程设计
基本不等式课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握基本不等式的概念、性质和应用，能够运用基本不等式解决一些简单的问题。
具体目标如下：1.了解基本不等式的定义和性质。
2.掌握基本不等式的证明方法。
3.理解基本不等式在实际问题中的应用。
4.能够运用基本不等式解决一些简单的问题。
5.能够运用基本不等式进行不等式的证明。
情感态度价值观目标：1.培养学生的逻辑思维能力。
2.培养学生的数学美感。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括基本不等式的定义、性质和应用。
具体内容如下：1.基本不等式的定义：介绍基本不等式的定义，解释其含义和作用。
2.基本不等式的性质：讲解基本不等式的性质，包括对称性、单调性等。
3.基本不等式的应用：介绍基本不等式在实际问题中的应用，如求最值、证明不等式等。
三、教学方法为了激发学生的学习兴趣和主动性，本节课将采用多种教学方法：1.讲授法：教师通过讲解基本不等式的定义、性质和应用，引导学生理解并掌握知识。
2.讨论法：教师学生进行小组讨论，让学生通过互动交流，加深对基本不等式的理解。
3.案例分析法：教师通过举例子，让学生运用基本不等式解决实际问题，巩固知识。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，我们将准备以下教学资源：1.教材：为学生提供《数学课本》等相关教材，作为学习的基本依据。
2.参考书：提供一些数学参考书，供学生课后拓展学习。
3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，帮助学生直观理解基本不等式的性质和应用。
4.实验设备：准备一些实验设备，如白板、黑板等，方便教师进行演示和讲解。
五、教学评估为了全面、客观、公正地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答、小组讨论等表现，评估学生的学习态度和理解程度。
2.作业：布置与本节课内容相关的作业，评估学生对基本不等式的掌握情况和应用能力。
3.考试：安排一次考试，测试学生对基本不等式的概念、性质和应用的掌握程度。
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§
3.4 2a b +≤ 一、 探求新知
试证明222a b ab +≥，当且仅当___________时，等号成立。
二、深度研究：
0,0,a b >>如果,a b ，可得
_____________________
即_____________________（*）
试用代数法证明不等式（*）：
注：对任意两个正实数,a b ，数2
a b +叫做,a b 的__________；数叫做,a b 的__________；基本不等式中等号成立条件是： _______________________.
三、学以致用：
探究一、均值不等式在不等式证明中的应用：
例1：已知0,ab >求证：
2,b a a b
+≥并推导出式中等号成立的条件．
跟踪练习1： （1）求函数1y x x
=+
（0x >）的值域。
（2）求函数1y x x
=+的值域。
（2）已知,,
a b R+
∈求证：
11 ()() 4.
a b
a b
++≥
探究二、利用均值不等式求最值：
例2 ：（1）一个矩形的面积为1002
m，问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
由例2，可以总结出以下规律：
（1）已知x、y都是正数，则：
●如果积xy是定值p，那么当x=y时，x+y有最小值；
●如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值。
（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：
●各项均为正数;
●其和或积为常数;
●等号必须成立.
跟踪练习2：
（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？
（2）把36写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？
模块一：直接用公式
1、设02,x <<求函数3(83)y x x =-的最大值。
2、求函数2324()(0)x x f x x x
-+-=>的最大值，以及此时x 的值。
跟踪练习：求函数2
4()(0)2x f x x x =≠+的最大值以及相应的x 值。
模块二：添加项 函数1
y x x =+的值域为______________
3、求函数3
(2)2y x x x =+>-的最小值以及相应的x 的值。
模块三：分拆项
4、求函数24
(1)1x x y x x -+=>-的最小值及相应的x 的值。
模块四：巧用”1”代换
5、设0,0x y >>，且21x y +=，求1
2
+x y 的最小值。
模块五：结合函数a
y x x =+的单调性
6、求2
y =
【练一练】
1. 若2
8
1,x y +=且,x y 均为正数，则xy 有（ ）
A 最大值64
B 最小值164
C 最小值1
2 D 最小值64
2、已知,x y 均为正数，且1,x y +=则1
1
x y +的最小值是（ ）
A 3++ D 4
3、已知0,0,a b ≥≥且2a b +=，则那么下列结论正确的是（ ） A 1
2ab ≤ B 12ab ≥ C 222a b +≥ D 22
2
a b +≤ 4、下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）
A ．4y x
x =+ B ．2
)y x R +=∈
C ．4x x y e e -=+
D ．4
sin (0)sin y x x x π=+<<、。