高一数学上册总复习题
高一数学必修一分章节复习题及答案
必修一章节训练第一章集合一、选择题1.下列命题正确的有（）（1） 很小的实数可以构成集合； （2）集合y | y x 21与集合 x, y | y x 2 1是同一个集合;3 61（3）1, — ,— , - ,0.5这些数组成的集合有 5个元素； 2 420,xC .空集是任何集合的真子集二、填空题则 M N _____________ 。
102.用列举法表示集合：M {m|Z,m Z}= _________________m 13. ___________________________________ 若 I x|x 1,x Z ，则C , N = __________________________________________ 。
A .5,4 5.下列式子中, B . 1个C . 2个D . 3个1,1}, B {x| mx1｝，且 AB1C .1或1D . 1或1或0(x, y) xy 0 ,N(x, y) x2 2y MB .MUNN C .M y 12c的解集是（ )5, 45,4正确的是（A ，则m 的值为（R,yR ，则有（D . M I N5,21 .已知 M y I y x 4x3,xx 2 2x8,x R（4） 集合 x, y|xy 0, x, y R 是指第二和第四象限内的点集。
A . 0个 3 .若集合M0,x A . MUN I NyC .B . D .2 .若集合A {A . 1B . x 4.方程组 2 x4.设集合A 1,2 ,B 1,2,3 ,C 2,3,4 则(AI B) UCy 25 •设全集U (x,y)x,y R ,集合M (x,y) — 1 , N (x,y)y x 4x 2那么(C u M)l (C u N)等于______________________ 。
三.解答题2 21.已知集合A a ,a 1, 3 , B a 3,2a 1, a 1，若 Al B 3 ,求实数a的值。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(48)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 a =1.70.3，b =0.31.7，c =log 0.31.7，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a <b <c B ． c <b <a C ． c <a <b D ． b <a <c2. 已知 m ∈R ，“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知 sin (α+β)=14，sin (α−β)=13，则 tanα:tanβ= ( )A ． −17B ． 17C ． −7D ． 74. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f (x )=√x x <A√Ax ≥A （A ，c为常数），已知工人组装第 4 件产品用时 30 min ，组装第 A 件产品用时 15 min ，那么 c 和 A 的值分别是 ( ) A ． 75，25 B ． 75，16 C ． 60，25 D ． 60，165. 已知函数 f (x )={ln (x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0(m <−1)，对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−4,−2) B ． (−1,0)C ． (−2,−1)D ． (−4,−1)∪(−1,0)6. 已知 a >0 且 a ≠1，下列说法中正确的是 ( ) ①若 M =N ，则 log a M =log a N ； ②若 log a M =log a N ，则 M =N ； ③若 log a M 2=log a N 2，则 M =N ； ④若 M =N ，则 log a M 2=log a N 2． A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④7.定义在(−1,1]上的函数f(x)满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x，若函数g(x)=∣∣f(x)−12∣∣−mx−m+1在(−1,1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )A．(32,+∞)B．(32,258)C．(32,2516)D．(23,34)8.实数α，β为方程x2−2mx+m+6=0的两根，则(α−1)2+(β−1)2的最小值为( )A．8B．14C．−14D．−2549.若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．ac −bd>0B．ac−bd<0C．ad>bcD．ad<bc10.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为( )A．12R2B．12R2Ssin1cos1C．12(1−sin1cos1)R2D．(1−sin1cos1)R2二、填空题（共10题）11.已知△ABC中，sin(A+B)=45，cosB=−23，则sinB=，cosA=．12.函数y=lg(x2+2x−a)的定义域为R，则实数a的取值范围是．13.已知函数y=f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内零点的个数的最小值是个．14.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车．（精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48）15.将函数y=√4+6x−x2−2(x∈[0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)，得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则tanα的最大值为．16.设集合A为含有三个元素的集合，集合B={z∣z=x+y,x,y∈A,x≠y}，若B={log 26,log 210,log 215}，则集合 A = ．17. 已知 p:∣x −4∣>6，q:x 2−2x +1−a 2>0(a >0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a的取值范围为 ．18. 已知 α 为第二象限角，sinα+cosα=12，则 cos2α= ．19. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，当 x ∈(0,2] 时，f (x )={x 2−x −6,x ∈(0,1]−2x−1−5,x ∈(1,2]，若 x ∈(−6,−4] 时，关于 x 的方程 af (x )−a 2+2=0(a >0) 有解，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={x +2x −3,x ≥1lg (x 2+1),x <1，则 f(f (−3))= ，f (x ) 的最小值是 ．三、解答题（共10题）21. 已知一扇形的周长为 40 cm ，当它的半径和圆心角取何值时，能使扇形的面积最大，最大面积是多少？22. 已知实数 a ，b 是常数，函数 f (x )=(√1+x +√1−x +a)(√1−x 2+b)．(1) 求函数 f (x ) 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；(2) 若 a =−3，b =1，设 t =√1+x +√1−x ，记 t 的取值组成的集合为 D ，则函数 f (x )的值域与函数 g (t )=12(t 3−3t 2)(t ∈D ) 的值域相同．试解决下列问题：（i ）求集合 D ；（ii ）研究函数 g (t )=12(t 3−3t 2) 在定义域 D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明：若没有，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数 f (x ) 的最小值．23. 对于定义域为 R 的函数 g (x )，若存在正常数 T ，使得 cosg (x ) 是以 T 为周期的函数，则称g (x ) 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期．已知 f (x ) 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R ．设 f (x ) 单调递增，f (0)=0，f (T )=4π． (1) 验证 g (x )=x +sin x3 是以 6π 为周期的余弦周期函数；(2) 设 a <b ，证明对任意 c ∈[f (a ),f (b )]，存在 x 0∈[a,b ]，使得 f (x 0)=c ；(3) 证明：“u 0 为方程 cosf (x )=1 在 [0,T ] 上的解，”的充要条件是“u 0+T 为方程 cosf (x )=1 在区间 [T,2T ] 上的解”，并证明对任意 x ∈[0,T ]，都有 f (x +T )=f (x )+f (T )．24. 已知函数 f (x )=(sinx +cosx )2+2cos 2x −1．(1) 求 f (x ) 的最小正周期；(2) 求 f (x ) 在 [0,π2] 上的单调区间．25. 已知函数 f (x )=a +b x (b >0,b ≠1) 的图象过点 (1,4) 和点 (2,16)．(1) 求 f (x ) 的表达式； (2) 解不等式 f (x )>(12)3−x2；(3) 当 x ∈(−3,4] 时，求函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域．26. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，若对任意的 x 1∈D ，都存在 x 2∈D ，满足 f (x 1)=1f (x 2)，则称函数 f (x ) 为“L 函数”．(1) 判断函数 f (x )=sinx +32，x ∈R 是否为“L 函数”，并说明理由；(2) 已知“L 函数”f (x ) 是定义在 [a,b ] 上的严格增函数，且 f (a )>0，f (b )>0，求证：f (a )⋅f (b )=1．27. 记函数 f (x ) 的定义域为 D ，如果存在实数 a ，b 使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立，则称 f (x ) 为 Ψ 函数． (1) 设函数 f (x )=1x −1，试判断 f (x ) 是否为 Ψ 函数，并说明理由； (2) 设函数 g (x )=12x +t ，其中常数 t ≠0，证明 g (x ) 是 Ψ 函数；(3) 若 ℎ(x ) 是定义在 R 上的 Ψ 函数，且函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称，试判断 ℎ(x ) 是否为周期函数？并证明你的结论．28. 已知函数 f (x ) 和 g (x ) 的图象关于原点对称，且 f (x )=x 2+2x ．(1) 求函数 g (x ) 的解析式；(2) 若 ℎ(x )=g (x )−λf (x )+1 在区间 [−1,1] 上是增函数，求实数 λ 的取值范围．29. 解答题．(1) 已知 cosα=17，cos (α+β)=−1114，α，β 都是锐角，求 cosβ 的值；(2) 已知 π2<β<α<34π，cos (α−β)=1213，sin (α+β)=−35，sin2α．30.用五点法作出下列函数在[−2π,0]上的图象．(1) y=1−sinx；(2) y=sin(π+x)−1．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质2. 【答案】B【解析】若函数 y =f (x )=2x +m −1 有零点，则 f (0)=1+m −1=m <1， 当 m ≤0 时，函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数不成立，即充分性不成立，若 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数，则 0<m <1，此时函数 y =2x +m −1 有零点成立，即必要性成立，故“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的必要不充分条件． 【知识点】指数函数及其性质、充分条件与必要条件、对数函数及其性质3. 【答案】C【解析】 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=14，sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=13， 所以 sinαcosβ=724，cosαsinβ=−124，所以 tanα:tanβ=sinαcosβcosαsinβ=−7． 【知识点】两角和与差的正切4. 【答案】D【知识点】函数的模型及其实际应用5. 【答案】A【解析】由题意可知 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，值域为 [m,+∞)，因为对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ， 所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上是减函数，值域为 (m,+∞)， 所以 a <0，且 −b +1=m ，即 b =1−m ． 因为 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，所以 0<f (m2)<−m ，又 m <−1，所以 0<am 2<−m ，即 0<(a2+1)m <−m ，所以 −4<a <−2，所以则 a 的取值范围是 (−4,−2)．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布6. 【答案】C【解析】对于①，当 M =N ≤0 时，log a M ，log a N 都没有意义，故不成立； 对于②，log a M =log a N ，则必有 M >0，N >0，M =N ，故成立；对于③，当 M ，N 互为相反数且不为 0 时，也有 log a M 2=log a N 2，但此时 M ≠N ，故不成立； 对于④，当 M =N =0 时，log a M 2，log a N 2 都没有意义，故不成立． 综上，只有②正确． 【知识点】对数的概念与运算7. 【答案】C【解析】当 x ∈(−1,0) 时，x +1∈(0,1)，f (x )=1f (x+1)−1=1x+1−1，若函数 g (x )=∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1 在 (−1,1] 内恰有 3 个零点，即方程 ∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1=0 在 (−1,1] 内恰有 3 个根，也就是函数 y =∣∣f (x )−12∣∣ 与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点，作出函数图象如图：由图可知，过点 (−1,−1) 与点 (−13,0) 的直线的斜率为 32；设过点 (−1,1)，且与曲线 y =1x+1−1−12=−3x−12(x+1) 相切的切点为 (x 0,y 0)， 则 yʹ∣x=x 0=−1(x 0+1)2=y 0−1x0−(−1)， 又因为 y 0=−3x 0−12(x 0+1)，解得 {x 0=−15,y 0=−14,则切点为 (−15,−14)．所以切线的斜率为 k =1+14−1−(−15)=−2516，由对称性可知，过点 (−1,−1) 与曲线 ∣∣f (x )−12∣∣ 在 (−1,0) 上相切的切线的斜率为 2516．所以使函数 y =∣∣f (x )−12∣∣与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点的 m 的取值范围为(32,2516)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程8. 【答案】A【解析】因为 Δ=(2m )2−4(m +6)≥0， 所以 m 2−m −6≥0， 所以 m ≥3 或 m ≤−2．而(α−1)2+(β−1)2=α2+β2−2(α+β)+2=(α+β)2−2αβ−2(α+β)+2=(2m )2−2(m +6)−2(2m )+2=4m 2−6m −10=4(m −34)2−494,因为 m ≥3，或 m ≤−2，所以当 m =3 时，(α−1)2+(β−1)2 的最小值为 8，故选A ． 【知识点】函数的最大（小）值9. 【答案】D【解析】因为 c <d <0，所以 0<−d <−c ， 又 0<b <a ，所以 −bd <−ac ，即 bd >ac ， 又因为 cd >0，所以 bdcd >accd ，即 bc >ad ． 【知识点】不等式的性质10. 【答案】D【解析】 l =4R −2R =2R ，α=lR =2R R=2，可得：S 扇形=12lR =12×2R ×R =R 2，可得：S 三角形=12×2Rsin1×Rcos1=sin1⋅cos1⋅R 2，可得：S弓形=S扇形−S三角形=R2−sin1⋅cos1⋅R2 =(1−sin1cos1)R2.【知识点】弧度制二、填空题（共10题）11. 【答案】√53；6+4√515【知识点】两角和与差的余弦12. 【答案】a<−1【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质13. 【答案】7【知识点】函数的零点分布、函数的周期性14. 【答案】5【解析】设经过n小时后才能开车，由题意得0.3(1−0.25)n≤0.09，所以(34)n≤0.3，所以nlg34≤lg310<0，所以n≥lg3−1lg3−2lg2=0.48−10.48−0.6=133，解得n≥133，故至少经过5小时才能开车．故答案为：5．【知识点】函数模型的综合应用15. 【答案】23【解析】将函数变形为方程，可得(x−3)2+(y+2)2=13,x∈[0,6],y≥0，其图象如图所示．过点O作该图象所在圆M的切线OA，将该函数的图象绕原点逆时针旋转时，其最大的旋转角为∠AOy，此时曲线C都是一个函数的图象，因为k OA=−1k OM =32，所以tan∠AOy=23．【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 {1,log 23,log 25}【解析】设 A ={a,b,c }(a <b <c )，则 {a +b =log 26,b +c =log 215,c +a =log 210,所以 a +b +c =log 230，所以 a =1，b =log 23，c =log 25， 所以 A ={1,log 23,log 25}． 【知识点】元素和集合的关系17. 【答案】 0<a ≤3【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 −√74【解析】因为 sinα+cosα=12，所以 1+2sinαcosα=14，所以 2sinαcosα=−34，则 (cosα−sinα)2=1−2sinαcosα=74． 又因为 α 为第二象限角，所以 cosα<0，sinα>0， 则 cosα−sinα=−√72，所以cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα+sinα)(cosα+sinα)=12×(−√72)=−√74. 【知识点】二倍角公式19. 【答案】 1≤a ≤√2【解析】因为函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，所以若 x ∈(−6,−4] 时，则 x +2∈(−4,−2]，x +4∈(−2,0]， 若 x +6∈(0,2]，即若 x ∈(−6,−5] 时， 则 x +2∈(−4,−3]，x +4∈(−2,−1]， 若 x +6∈(0,1]，则f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6+(x +6)2−(x +6)−6=x 2+11x +30,若 x ∈(−5,−4] 时，则 x +2∈(−3,−2]，x +4∈(−1,0]， 若 x +6∈(1,2]，则 f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6−2x+6−1−5=1−2x+5,由 af (x )−a 2+2=0(a >0) 得 af (x )=a 2−2(a >0)， 即 f (x )=a −2a (a >0)．作出函数 f (x ) 在 x ∈(−6,−4] 的图象如图． 在函数的值域为 −1≤f (x )≤0， 由 −1≤a −2a≤0，得 {a −2a ≥−1,a −2a ≤0,即 {a 2+a −2≥0,a 2−2≤0, 即 {a ≥1 或 a ≤−2,−√2≤a ≤√2,因为 a >0，所以 1≤a ≤√2．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】 0 ； 2√2−3【解析】因为 f (−3)=lg [(−3)2+1]=lg10=1，所以 f(f (−3))=f (1)=1+2−3=0．当x ≥1 时，x +2x −3≥2√x ⋅2x −3=2√2−3，当且仅当 x =2x ，即 x =√2 时等号成立，此时 f (x )min =2√2−3<0；当 x <1 时，lg (x 2+1)≥lg (02+1)=0，此时 f (x )min =0．所以f(x)的最小值为2√2−3．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数三、解答题（共10题）21. 【答案】设扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，所以l=40−2r．S=12lr=12(40−2r)r=20r−r2=−(r−10)2+100．所以当r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ=lr =40−2×1010=2．【知识点】弧度制22. 【答案】(1) 因为实数a，b是常数，函数f(x)=(√1+x+√1−x+a)(√1−x2+b)，所以由{1+x≥0,1−x≥0,1−x2≥0.解得−1≤x≤1．所以函数的定义域是[−1,1]．对于任意x∈[−1,1]，有−x∈[−1,1]，且f(−x)=(√1+(−x)+√1−(−x)+a)(√1−(−x)2+b)=(√1−x+√1+x+a)(√1−x2+b)=f(x),即f(−x)=f(x)对x∈[−1,1]都成立．（又f(x)不恒为零）所以，函数f(x)是偶函数．（该函数是偶函数不是奇函数也可以）(2) 因为a=−3，b=1，所以f(x)=(√1+x+√1−x−3)(√1−x2+1)．设t=√1+x+√1−x(−1≤x≤1)，则t2=2+2√1−x2．所以0≤√1−x2≤1，2≤t2≤4(t≥0)，即√2≤t≤2．所以D=[√2,2]．于是，g(t)=12(t3−3t2)的定义域为D=[√2,2]．对于任意的t1,t2∈D，且t1<t2，有g(t1)−g(t2)=12[t13−3t12−(t23−3t22)]=12[(t1−t2)(t12+t1t2+t22)−3(t1−t2)(t1+t2)]=12(t1−t2)[(t12−2t1)+(t22−2t2)+(12t1t2−t1)+(12t1t2−t2)]=12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)].又t1>0，t2>0，t1−t2<0，且t1−2≤0，t2−2≤0（这里二者的等号不能同时成立），所以12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)]>0，即g(t1)−g(t2)>0，g(t1)>g(t2)．所以函数g(t)在D上是减函数．所以(g(t))min =g(2)=12×(23−3×22)=−2.又因为函数f(x)的值域与函数g(t)=12(t3−3t2)的值域相同，所以函数f(x)的最小值为−2．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性23. 【答案】(1) g(x)=x+sin x3，所以cosg(x+6π)=cos(x+6π+sin x+6π3)=cos(x+sin x3)=cosg(x)，所以g(x)是以6π为周期的余弦周期函数．(2) 因为f(x)的值域为R；所以存在x0，使f(x0)=c；又c∈[f(a),f(b)]，所以f(a)≤f(x0)≤f(b)，而f(x)为增函数；所以a≤x0≤b；即存在x0∈[a,b]，使f(x0)=c；(3) 若u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解；则：cosf(u0+T)=1，T≤u0+T≤2T；所以cosf(u0)=1，且0≤u0≤T；所以u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解；所以“u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)：①当x=0时，f(0)=0，所以显然成立；②当x=T时，cosf(2T)=cosf(T)=1；所以f(2T)=2k1π，(k1∈Z)，f(T)=4π，且2k1π>4π，所以k1>2；（1）若k1=3，f(2T)=6π，由（2）知存在x0∈(0,T)，使f(x0)=2π；cosf(x0+T)=cosf(x0)=1⇒f(x0+T)=2k2π，k2∈Z；所以f(T)<f(x0+T)<f(2T)；所以4π<2k2π<6π；所以2<k2<3，无解；（2）若k1≥5，f(2T)≥10π，则存在T<x1<x2<2T，使得f(x1)=6π，f(x2)=8π；则T，x1，x2，2T为cosf(x)=1在[T,2T]上的4个解；但方程cosf(x)=1在[0,2T]上只有f(x)=0，2π，4π，3个解，矛盾；（3）当k1=4时，f(2T)=8π=f(T)+f(T)，结论成立；③当x∈(0,T)时，f(x)∈(0,4π)，考查方程cosf(x)=c在(0,T)上的解；设其解为f(x1)，f(x2)，⋯，f(x n)，(x1<x2<⋯<x n)；则f(x1+T)，f(x2+T)，⋯，f(x n+T)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；又f(x+T)∈(4π,8π)；而f(x1)+4π,f(x2)+4π,⋯,f(x n)+4π∈(4π,8π)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；所以f(x i+T)=f(x i)+4π=f(x i)+f(T)；所以综上对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、二倍角公式24. 【答案】(1) 由已知得，f(x)=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1．函数的最小正周期T=2π2=π．(2) 由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2（k∈Z）得，kπ−3π8≤x≤kπ+π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[0,π8]，所以f(x)的单调递增区间为[0,π8]，由2kπ+π2−≤2x+π4≤2kπ+3π2（k∈Z）得，kπ+π8≤x≤kπ+5π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[π8,π2 ]，所以f(x)的单调递减区间为[π8,π2 ]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质25. 【答案】(1) 由题意知 {4=a +b,16=a +b 2,解得 {a =0,b =4 或 {a =7,b =−3（舍去）， 所以 f (x )=4x ． (2) f (x )>(12)3−x2，所以 4x>(12)3−x2，所以 22x >2x 2−3， 所以 2x >x 2−3， 解得 −1<x <3，所以不等式的解集为 (−1,3)． (3) 因为g (x )=log 2f (x )+x 2−6=log 24x +x 2−6=2x +x 2−6=(x +1)2−7,因为 x ∈(−3,4]，所以当 x =−1 时，g (x )min =−7， 当 x =4 时，g (x )max =18，所以函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域为 [−7,18]．【知识点】函数的解析式的概念与求法、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法26. 【答案】(1) 不是； (2) 反证法，略．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) f (x ) 的定义域为 {x∣ x ≠0}．设 f (x )=1x −1 是为 Ψ 函数，则存在实数 a ，b ，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足 a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立， 即 1a−x +1a+x −2=b ，所以 (b +2)(a 2−x 2)=2a 恒成立，所以 a =0，b =−2． 所以存在 a =0，b =−2，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意 x ≠±a 恒成立． 所以 f (x )=1x −1 是 Ψ 函数．(2) 若 g (a +x )+g (a −x )=12a−x +t +12a+x +t =b 恒成立， 则 2a+x +2a−x +2t =b (2a+x +t )(2a−x +t ) 恒成立， 即 (1−bt )(2a+x +2a−x )=b (22a +t 2)−2t 恒成立，所以 1−bt =0，b (22a +t 2)−2t =0，又 t ≠0，所以 b =1t ，a =log 2∣t∣． 所以存在实数 a ，b 使得 g (x ) 是 Ψ 函数．(3) 因为函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称， 所以 ℎ(m −x )=ℎ(m +x )，所以当 m ≠a 时， ℎ(x +2m −2a )=ℎ[m +(x +m −2a )]=ℎ[m −(x +m −2a )]=ℎ(2a −x )=ℎ(a +(a −x )),又 ℎ(a +x )+ℎ(a −x )=b ，所以 ℎ(a +(a −x ))=b −ℎ[a −(a −x )]=b −ℎ(x )，所以 ℎ(x +2m −2a )=b −ℎ(x )，ℎ(x )=b −ℎ(x +2m −2a )=ℎ(x +2m −2a +2m −2a )=ℎ(x +4m −4a )．所以 ℎ(x ) 为周期函数，周期为 4m −4a ．若 m =a ，则 ℎ(a −x )=ℎ(a +x )，且 ℎ(a −x )=b −ℎ(a +x )， 所以 ℎ(a +x )=b2，显然 ℎ(x ) 是周期函数． 综上，ℎ(x ) 是周期函数．【知识点】函数的对称性、函数的周期性、幂函数及其性质、指数函数及其性质28. 【答案】(1) g (x )=−x 2+2x ，(2) ℎ(x )=−(1+λ)x 2+2(1−λ)x +1，当 λ=−1 时，ℎ(x )=4x +1 在 [−1,1] 上显然为增函数，当 λ≠−1 时，可得 {1+λ>0,1−λ1+λ≥1, 或 {1+λ>0,1−λ1+λ≤−1,⇒−1<λ≤0 或 λ<−1，综上所述，所求 λ 的取值范围是 λ=−1 或 −1<λ≤0 或 λ<−1，即 λ≤0．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性29. 【答案】(1) 由题知，sinα=4√37，sin (α+β)=5√314，所以，cosβ=cos (α+β−α)=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα=12． (2) 因为 0<α−β<π4，cos (α−β)=1213，所以 sin (α−β)=513，因为 π<α+β<3π2，sin (α+β)=−35，所以 cos (α+β)=−45，所以 sin2α=sin [(α−β)+(α+β)]=sin (α−β)cos (α+β)+cos (α−β)sin (α+β)=−5665． 【知识点】两角和与差的正弦、两角和与差的余弦30. 【答案】(1) 找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π2y =sinx 010−10y =1−sinx10121描点作图，如图所示．(2) 由于 y =sin (x +π)−1=−sinx −1，找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π20y =sinx 010−10y =−sinx −1−1−2−10−1描点作图，如图所示． 【知识点】正弦函数的图象。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(35)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷6（共30题）一、选择题（共10题）1. 设集合 A ={x∣ x >1}，B ={x∣ 0≤x <3}，则 A ∩B = ( ) A ． {x∣ 0≤x <3} B ． {x∣ 1≤x <3} C ． {x∣ 1<x <3}D ． {x∣ x ≥0}2. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关3. 已知函数 f (x )=ln(√4x 2+1+2x)，则 ( ) A ． f (log 314)<f (1)<f (ln 12) B ． f (ln 12)<f (log 134)<f (1)C ． f (1)<f (ln2)<f (log 34)D ． f (ln 12)<f (1)<f (log 34)4. 在 [0,2π] 内，不等式 sinx <−√32的解集是 ( )A ． (0,π)B ． (π3,4π3) C ． (4π3,5π3) D ． (5π3,2π)5. ∀x,y,z ∈(0,+∞)，4x 2+y 2+1xy ≥−z 2+2z +m ，则 m 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,2√2−1]B ． (−∞,3]C ． (−∞,2]D ． (−∞,4√2−1]6. 已知 f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，且在 (0,+∞) 内的零点有 1003 个，则 f (x ) 的零点的个数为 ( ) A ． 1003 B ． 1004C ． 2006D ． 20077. 已知 α 是第二象限角，且 cosα=−35，则 cos (π4−α) 的值是 ( ) A ． √210B ． −√210C ．7√210D ． −7√2108. 下列函数是幂函数的是 ( )A ． y =2xB ． y =2x −1C ． y =(x +1)2D ． y =√x 239. 已知函数 f(x)={−x 2+2x +1,x <22x−2,x ≥2，且存在不同的实数 x 1，x 2，x 3，使得 f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则 x 1⋅x 2⋅x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,3) B ． (1,2) C ． (0,2) D ． (1,3)10. 函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14的定义域是全体实数，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (√5−1,2) B ． (√5−1,+∞)C ． (−2,2)D ． (−1−√5,−1+√5)二、填空题（共10题）11. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x = 吨．12. 函数 y =x 2+2x −1，当 x = 时有最 值为 ． 13. 计算 cot45∘+cot30∘1−cot45∘cot30∘= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣log 2∣∣x −2x ∣∣∣∣∣−a (a >0)，其所有的零点依次记为 x 1，x 2，⋯，x i (i ∈N ∗)，则 x 1⋅x 2⋯x i = ．15. 已知 cos (α+π4)=13，则 sin2α= ．16. 求值：sin10∘−√3cos10∘cos40∘= ．17. 用二分法求图象连续不断的函数 f (x ) 在区间 [1,5] 上的近似解，验证 f (1)⋅f (5)<0，给定精度 ɛ=0.01，取区间 (1,5) 的中点 x 1=1+52=3，计算得 f (1)⋅f (x 1)<0，f (x 1)⋅f (5)>0，则此时零点 x 0∈ ．（填区间）18. 已知 f (x )={sinπx,x <0f (x −1)−1,x >0，则 f (−116)+f (116) 的值为 ．19. 设函数 f (x )=cos (ωx −π6)(ω>0)．若 f (x )≤f (π4) 对任意的实数 x 都成立，则 ω 的最小值为 ．20. 已知 a >0，函数 f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0．若关于 x 的方程 f (x )=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB 与地面垂直，灯杆 BC 与灯柱 AB 所在的平面与道路走向垂，路灯 C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知 ∠ABC =23π，∠ACD =π3，路宽 AD =24 米．设 ∠BAC =θ(π12≤θ≤π6)．(1) 求灯柱 AB 的高 ℎ（用 θ 表示）；(2) 此公司应该如何设置 θ 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到 0.01 米）22. 请回答：(1) 若 f(√x +1)=x +2√x ，试求函数 f (x ) 的解析式；(2) 若 f (x ) 为二次函数，且 f (0)=3，f (x +2)−f (x )=4x +2，试求函数 f (x ) 的解析式．23. 如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE =FB =x cm ．(1) 若广告商要求包装盒侧面积 S (cm 2)最大，试问 x 应取何值？(2) 若广告商要求包装盒容积 V (cm 3) 最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．24. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元，而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元，假设某商店每月购进这种商品 m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．25. 已知函数 f (x )=x 2−mx +m ，m,x ∈R ．(1) 若关于 x 的不等式 f (x )>0 的解集为 R ，求 m 的取值范围；(2) 若实数 x 1，x 2 数满足 x 1<x 2，且 f (x 1)≠f (x 2)，证明：方程 f (x )=12[f (x 1)+f (x 2)] 至少有一个实根 x 0∈(x 1,x 2)；(3) 设 F (x )=f (x )+1−m −m 2，且 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，求实数 m 的取值范围．26. 已知 f (x )=log a x ，g (x )=2log a (2x +t −2)(a >0,a ≠1,t ∈R )．(1) 若 f (1)=g (2)，求 t 的值；(2) 当 t =4，x ∈[1,2]，且 F (x )=g (x )−f (x ) 有最小值 2 时，求 a 的值； (3) 当 0<a <1，x ∈[1,2] 时，有 f (x )≥g (x ) 恒成立，求实数 t 的取值范围．27. 设函数 f (x )=3x ，g (x )=√2−x ，求：(1) f (1)+g (1)； (2) f (2)+g (2)； (3) f (x )+g (x )．28. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 t =f (N )，f (N )=−144lg (1−N90)，其中 t 表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），N 表示每分钟打出的字数（字/分）．(1) 计算要达到 20 字分、 40 字/分水平所需的学习时间．（精确到“时”） (2) 判断函数 t =f (N ) 的单调性，并说明理由．29. 设 x ∈R ，解方程 √10+x 4+√7−x 4=3．30. 设函数 f (x )={2x −a,x <14(x −a )(x −2a ),x ≥1．(1) 若 a =1，求 f (x ) 的最小值；(2) 若 f (x ) 恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义3. 【答案】D【解析】函数的定义域为R，且f(−x)+f(x)=ln(√4x2+1−2x)+ln(√4x2+1+2x)=ln(√4x2+1−2x)(√4x2+1+2x)=ln(4x2+1−4x2)=ln1=0,得f(−x)=−f(x)，即f(x)是奇函数，且f(x)在R上是增函数，因为ln12<1<log34，所以f(ln12)<f(1)<f(log34)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性4. 【答案】C【解析】画出y=sinx，x∈[0,2π]的草图如下：因为sinπ3=√32，所以sin(x+π3)=−√32，sin(2π−π3)=−√32．即在[0,2π]内，满足sinx=−√32的值为x=4π3或x=5π3，可知不等式sinx<−√32的解集是(4π3,5π3)．故选C ．【知识点】三角方程与不等式5. 【答案】B【解析】因为 x,y ∈(0,+∞)，所以 4x 2+y 2+1xy ≥2√4x 2y 2+1xy =4xy +1xy ≥2√4=4（当且仅当 {4x 2=y 2,4xy =1xy时等号成立），又 (−z 2+2z +m )max =m +1， 所以 m +1≤4，即 m ≤3．故选B ． 【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】D【解析】根据奇函数的图象关于原点对称可得 f (x ) 在 (−∞,0) 内的零点有 1003 个，又 f (0)=0，故选D ． 【知识点】函数的零点分布7. 【答案】A【知识点】两角和与差的余弦8. 【答案】D【解析】由幂函数的概念可知D 正确． 【知识点】幂函数及其性质9. 【答案】A【解析】 f(x)={−x 2+2x +1,x <22x−2,x ≥2的图象如图所示：设 x 1<x 2<x 3，又当 x ∈[2,+∞] 时，f(x)=2x−2 是增函数，当 x =3 时，f(x)=2，设f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=t ，1<t <2，即有 −x 12+2x 1+1=−x 22+2x 2+1=2x 3−2=t ，故x 1x 2x 3=(1−√2−t)(1+√2−t)(2+log 2t)=(t −1)(2+log 2t)，设 g(t)=(t −1)(2+log 2t)，1<t <2，可得 gʹ(t)=2+log 2t +t−1tln2>0，即 g(t) 在 (1,2) 上单调递增，又 g(1)=0，g(2)=3，可得 g(t) 的范围是 (0,3)． 【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14=√1mx 2+4x+m+24，因此，要使函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14 的定义域为全体实数，需满足 mx 2+4x +m +2>0 对一切实数都成立，即 {m >0,42−4m (m +2)<0, 解得 m >√5−1．故选：B ．【知识点】恒成立问题、函数的定义域的概念与求法二、填空题（共10题） 11. 【答案】 20【解析】每次都购买 x 吨，则需要购买400x次．因为运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和为 4×400x+4x 万元．因为4×400x +4x≥160，当且仅当4x=4×400x时取等号，所以x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．【知识点】均值不等式的实际应用问题12. 【答案】−1；小；−2【知识点】函数的最大（小）值13. 【答案】−2−√3【知识点】两角和与差的正切14. 【答案】16【解析】函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)的零点，即f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a=0，所以∣∣∣log2∣∣x−2x∣∣∣∣∣=a．去绝对值可得log2∣∣x−2x ∣∣=a或log2∣∣x−2x∣∣=−a，即2a=∣∣x−2x ∣∣或2−a=∣∣x−2x∣∣．去绝对值可得2a=x−2x 或−2a=x−2x，2−a=x−2x或−2−a=x−2x．当2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2a⋅x−2=0，设方程的根为x1，x2，由韦达定理可得x1⋅x2=−2；当−2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2a⋅x−2=0，设方程的根为x3，x4，由韦达定理可得x3⋅x4=−2；当2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2−a⋅x−2=0，设方程的根为x5，x6，由韦达定理可得x5⋅x6=−2；当−2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2−a⋅x−2=0，设方程的根为x7，x8，由韦达定理可得x7⋅x8=−2．综上可得所有零点的乘积为x1⋅x2⋅x3⋅x4⋅x5⋅x6⋅x7⋅x8=(−2)4=16．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布15. 【答案】79【解析】因为cos(α+π4)=13，所以cos(α+π4)=√22cosα−√22sinα=13=√22(cosα−sinα)=13，所以cosα−sinα=√23，因为{cosα−sinα=√23,cos2α+sin2α=1⇒(cosα−sinα)2=cos2α+sin2α−2sinαcosα=1−2sinαcosα=29，所以sin2α=2sinα⋅cosα=1−29=79．【知识点】二倍角公式16. 【答案】−2【解析】sin10∘−√3cos10∘cos40∘=2(12sin10∘−√32cos10∘)cos40∘=2sin(10∘−60∘)cos40∘=−2sin50∘cos40∘=−2.【知识点】两角和与差的正弦17. 【答案】(1,3)【解析】由f(1)⋅f(5)<0，f(1)⋅f(x1)<0及f(x1)⋅f(5)>0可知f(1)与f(x1)异号，f(x1)与f(5)同号，则x0∈(1,x1)即x0∈(1,3)．【知识点】零点的存在性定理18. 【答案】−2【知识点】诱导公式19. 【答案】23【解析】结合余弦函数的图象得π4ω−π6=2kπ，k∈Z，解得ω=8k+23，k∈Z，又因为ω>0，所以当k=0时，ω取得最小值，最小值为23．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(4,8)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 在△ACD中，∠CDA=θ+π6，由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA，得AC=AD⋅sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6)；在△ABC中，∠ACB=π3−θ，由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，得ℎ=AC⋅sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．(2) △ABC中，由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC，得BC=AC⋅sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ，所以AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ=16sin2θ+8√3，因为π12≤θ≤π6，所以π6≤2θ≤π3，所以当θ=π12时，AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．【知识点】三角函数模型的应用22. 【答案】(1) 令t=√x+1，则t≥1，x=(t−1)2，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，所以f(x)=x2−1，x∈[1,+∞)．(2) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，所以f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c，所以f(x+2)−f(x)=4ax+4a+2b=4x+2，所以{4a=4,4a+2b=2⇒{a=1,b=−1.又f(0)=3⇒c=3，所以f(x)=x2−x+3．【知识点】函数的解析式的概念与求法23. 【答案】(1) 设包装盒的高为ℎcm，底面边长为a cm，由已知得a=√2x，ℎ=√2=√2(30−x)，0<x<30，S=4aℎ=8x(30−x)=−8(x−15)2+1800，所以当x=15时，S取得最大值．(2) 由题意，可得V=a2ℎ=2√2(−x2+30x2)，则Vʹ=6√2x(20−x)，由Vʹ=0得x=0（舍去）或x=20，当x∈(0,20)时，Vʹ>0，V在(0,20)上单调递增；当x∈(20,30)时，Vʹ<0，V在(20,30)上单调递减，所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值，此时ℎa =12，即当x=20时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12．【知识点】函数模型的综合应用、利用导数处理生活中的优化问题24. 【答案】设月份为x，由条件可得：出厂价格函数为：y1=2sin(π4x−π4)+6，销售价格函数为：y2=2sin(π4x−3π4)+8，则每期的利润函数为：y=m(y2−y1)=m[2sin(π4x−3π4)+8−2sin(π4x−π4)−6]=m(2−2√2sinπ4x)，所以，当x=6时，y max=(2+2√2)m，即6月份盈利最大．【知识点】三角函数模型的应用25. 【答案】(1) 因为f(x)>0的解集为R，所以Δ=m2−4m<0，解得0<m<4．(2) 证明：令g(x)=f(x)−12[f(x1)+f(x2)]，易知g(x)在其定义域内连续，且g(x1)⋅g(x2)={f(x1)−12[f(x1)+f(x2)]}⋅{f(x2)−12[f(x1)+f(x2)]}=−14[f(x1)−f(x2)]2<0，则g(x)=f(x)−12[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)上有零点，即方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]至少有一个实根x0∈(x1,x2)．(3) F(x)=f(x)+1−m−m2=x2−mx+1−m2，Δ=m2−4(1−m2)=5m2−4，函数F(x)的对称轴为直线x=m2，①当 Δ=0 时，5m 2−4=0，即 m =±2√55， 若 m =2√55，则对称轴为 x =√55∈[0,1]，则在 [0,1] 上不单调递增，不满足条件；若 m =−2√55，则对称轴为 x =−√55<0，则在 [0,1] 上单调递增，满足条件； ②当 Δ<0 时，−2√55<m <2√55，此时 F (x )>0 恒成立，若 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，则 x =m 2≤0，即 m ≤0，此时 −2√55<m ≤0；③当 Δ>0 时，m <−2√55或 m >2√55，对称轴为 x =m2，当 m <−2√55时，对称轴为 x =m 2<0，要使 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，则只需要 F (0)≥0 即可，此时 F (0)=1−m 2≥0，得 −1≤m ≤1， 此时 −1≤m <−2√55；当 m >2√55时，对称轴为 x =m 2>0，则要使 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，此时 F (0)=1−m 2≤0，且对称轴 m 2≥1，所以 m ≥2．此时 m ≥2； 综上，−1≤m ≤0 或 m ≥2．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的单调性26. 【答案】(1) 因为 f (1)=g (2)， 所以 0=2log a (2+t )， 所以 t +2=1，即 t =−1． (2) 因为 t =4，F (x )=g (x )−f (x )=2log a (2x +2)−log a x =log a4(x+1)2x=log a 4(x +1x +2).又因为 y =x +1x 在 x ∈[1,2] 单调递增， 所以当 a >1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递增， 所以 F (x )min =log a 16=2，解得 a =4，当 0<a <1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递减， 所以 F (x )min =log a 18=2， 解得 a =√18=3√2（舍去）， 所以 a =4．(3) f (x )≥g (x )，即 log a x ≥2log a (2x +t −2)， 所以 log a x ≥log a (2x +t −2)2， 因为 0<a <1，x ∈[1,2]， 所以 x ≤(2x +t −2)2， 所以 √x ≤2x +t −2， 所以 √x −2x +2≤t ，所以 √x −2x +2≤t ，依题意有 (√x −2x +2)max ≤t ， 而函数 y =√x −2x +2=−2(√x −14)2+178，因为 x ∈[1,2]，√x ∈[1,√2]，y max =1， 所以 t ≥1．【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质27. 【答案】(1) f (1)+g (1)=4． (2) f (2)+g (2)=6．(3) 因为 f (x ) 的定义域是 R ，g (x ) 的定义域是 (−∞,2]，交集是 (−∞,2]， 所以 f (x )+g (x )=3x +√2−x ，定义域是 (−∞,2]． 【知识点】函数的相关概念28. 【答案】(1) t =f (20)≈16（时），t =f (40)≈37（时）；所以，要达到这两个水平分别需要学习 16 小时和 37 小时．(2) 任取 0≤N 1<N 2<90，f (N 1)−f (N 2)=144lg 90−N290−N 1，因为 0≤90−N 2<90−N 1，所以 f (N 1)−f (N 2)=144lg 90−N290−N 1<0，即 f (N 1)<f (N 2)，函数 t =f (N ) 在定义域内递增．【知识点】函数模型的综合应用29. 【答案】设 {√10+x 4=u,√7−x 4=v,则 {u +v =3,u 4+v 4=17,解得 {u =2,v =1或 {u =1,v =2, 即 x =−9 或 x =6．【知识点】幂的概念与运算30. 【答案】(1) 当 a =1 时，f (x )={2x −1,x <14(x −1)(x −2),x ≥1．当 x <1 时，f (x )∈(−1,1)，无最小值； 当 x ≥1 时，f (x )=4(x −32)2−1，所以函数 f (x ) 在 [1,32] 上单调递减，在 (32,+∞) 上单调递增．所以 f (x ) 的最小值为 f (32)=−1． 综上，当 x =32 时，f (x ) 取得最小值 −1． (2) 当 x <1 时，f (x )∈(−a,2−a )．①若 g (x )=2x −a 在 x <1 时与 x 轴有一个交点则 {a >0,g (1)=2−a >0,所以 0<a <2．ℎ(x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有一个交点． 所以 2a ≥1 且 a <1， 所以 12≤a <1．②若 g (x ) 与 x 轴无交点，则 ℎ(x ) 在 x ≥1 时与 x 轴有两个交点，当 g (1)=2−a ≤0 时 a ≥2，ℎ(x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有两交点且两交点均在 [1,+∞) 内．由上可知 12≤a <1 和 a ≥2．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值。
高一数学复习题期末考试及答案
高一数学复习题期末考试及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1,2}B. {2,3}C. {1,3}D. {2,4}2. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是：A. 1B. 3C. 1和3D. 无零点3. 若sinθ=1/3，且θ∈(0,π)，则cosθ的值为：A. 2√2/3B. √2/3C. 2√6/3D. √6/34. 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，若a1=2，d=3，则第5项a5为：A. 17B. 14C. 11D. 85. 已知直线l：y=2x+3与直线m：y=-x+5平行，则它们的斜率k_l和k_m的关系是：A. k_l > k_mB. k_l < k_mC. k_l = k_mD. k_l ≠ k_m6. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2,3)B. (-2,-3)C. (0,0)D. (3,2)7. 抛物线y^2=4x的焦点坐标为：A. (1,0)B. (2,0)C. (0,1)D. (0,2)8. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，第5项a5的值为：A. 162B. 243C. 486D. 7299. 函数y=|x|的图像是：A. 一个V形B. 一个倒V形C. 一个U形D. 一个正弦波形10. 已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，向量a和b的夹角θ的余弦值为：A. 1/5B. 1/3C. 1/√5D. -1/√5二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的导数为：f'(x)=________。
12. 若a=3，b=-2，则(a+b)^2的值为：________。
13. 已知三角形ABC的三边长分别为a=5，b=6，c=7，则其面积为：________。
14. 函数y=√x的值域为：________。
高一必修一数学期末复习题及答案
高一数学期末复习（必修一）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集I ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()I C M N 等于 ( )A.｛0，4｝B.｛3，4｝C.｛1，2｝D. ∅2、设集合2{650}M x x x =-+=，2{50}N x x x =-=，则M N 等于（ ）A.｛0｝B.｛0，5｝C.｛0，1，5｝D.｛0，－1，－5｝3、计算：9823log log ⋅＝（ ）A 12B 10C 8D 64、函数2(01)x y a a a =+>≠且图象一定过点 ( ) X|k | b| 1 . c|o |mA （0,1）B （0,3）C （1,0）D （3,0）5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合是 （ ）6、函数y =的定义域是（ ）A {x ｜x ＞0}B {x ｜x ≥1}C {x ｜x ≤1}D {x ｜0＜x ≤1}7、把函数x1y -=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为 （ ） A 1x 3x 2y --=B 1x 1x 2y ---=C 1x 1x 2y ++=D 1x 3x 2y ++-= 8、设x x e 1e )x (g 1x 1x lg )x (f +=-+=，，则 ( ) A f(x)与g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数，g(x)是偶函数C f(x)与g(x)都是偶函数D f(x)是偶函数，g(x)是奇函数9、使得函数2x 21x ln )x (f -+=有零点的一个区间是 ( ) A (0，1) B (1，2) C (2，3) D (3，4)10、若0.52a =，πlog 3b =，2log 0.5c =，则（ ）A a b c >>B b a c >>C c a b >>D b c a >> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11、函数5()2log (3)f x x =++在区间[-2，2]上的值域是______12、计算：2391－ ⎪⎭⎫ ⎝⎛＋3264＝______ 13、函数212log (45)y x x =--的递减区间为______14、函数122x )x (f x -+=的定义域是______ 三、解答题 ：共5小题，满分80分。
2022-2023学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题(一)(解析版)
2022-2023学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题（一）一、单选题1．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 的范围是（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤【答案】B【分析】结合数轴分析即可.【详解】由数轴可得，若A B ⊆，则1a ≤. 故选：B.2．命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，则实数b 的值可能是（ ）A ．74-B ．32-C ．2D ．52【答案】B【分析】根据特称命题与全称命题的真假可知：x ∀∈R ，210x bx ++>，利用判别式小于即可求解. 【详解】因为命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，所以命题：x ∀∈R ，210x bx ++>是真命题，也即对x ∀∈R ，210x bx ++>恒成立， 则有240b ∆=-<，解得：22b -<<，根据选项的值，可判断选项B 符合， 故选：B . 3．函数 21x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除A,D ,再根据01x <<,对应0y <,排除C ,进而选出正确答案B .【详解】由函数 21x y x =-， 可得1x ≠±，故函数的定义域为()()()1111∞∞--⋃-⋃+，，，， 又 ()()()2211xxf x f x x x --===---， 所以21x y x =-是偶函数， 其图象关于y 轴对称， 因此 A,D 错误； 当 01x <<时，221001x x y x -<=<-，， 所以C 错误．故选: B4．已知322323233,,log 322a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】D【分析】构造指数函数，结合单调性分析即可.【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，3222333012a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝<=⎭<∴，， ∴01a <<；32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，23033222013b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝>=⎭<∴，， ∴1b >； 223332log log 123c ==-=- ∴c a b << 故选：D5．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP 翻两番的目标的年份为（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）（ ） A ．2032 B ．2035 C ．2038 D ．2040【答案】D【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案.【详解】设2022年我国GDP （国内生产总值）为a ，在2022年以后，每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n 年以后的GDP （国内生产总值）为()18%na +， 由题意，经过n 年以后的GDP （国内生产总值）实现翻两番的目标，则()18%4na a +=， 所以lg 420.301020.301027lg1.083lg32lg5lg 25n ⨯⨯===-20.301020.301020.30100.6020183lg 32(1lg 2)3lg 32lg 2230.477120.301020.0333⨯⨯⨯===≈--+-⨯+⨯-=，所以到2040年GDP 基本实现翻两番的目标. 故选：D.6．将函数sin y x =的图像C 向左平移6π个单位长度得到曲线1C ，然后再使曲线1C 上各点的横坐标变为原来的13得到曲线2C ，最后再把曲线2C 上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线3C ，则曲线3C 对应的函数是（ ）A ．2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用图像变换方式计算即可.【详解】由题得1C ：sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2C ：sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到3C ：2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C7．已知0x >，0y >，且满足20x y xy +-=，则92x y+的最大值为（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．1【答案】D【分析】由题可得211x y+=，利用基本不等式可得29x y +≥ ，进而即得.【详解】因为20x y xy +-=，0x >，0y >，所以211x y+=，所以()212222559y x x y x x y y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝+++≥⎭==， 当且仅当22y xx y=，即3x y ==时等号成立， 所以912x y≤+，即92x y +的最大值为1.故选：D.8．已知22log log 1a b +=且21922m m a b+≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-⋃∞ B ．(][),31,-∞-⋃∞ C ．[]1,3- D ．[]3,1-【答案】C【分析】利用对数运算可得出2ab =且a 、b 均为正数，利用基本不等式求出192a b+的最小值，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为()222log log log 1a b ab +==，则2ab =且a 、b 均为正数，由基本不等式可得1932a b +≥，当且仅当2192ab a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，即当136a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，等号成立， 所以，192a b+的最小值为3，所以，223m m -≤，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤. 故选：C.二、多选题9．函数()y f x =图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是()y f x a b =+-为奇函数B ．函数32()3f x x x =-的图像的对称中心为1,2C ．函数()y f x =的图像关于x a =成轴对称的充要条件是函数()y f x a =-是偶函数D ．函数32()|32|g x x x =-+的图像关于直线1x =对称 【答案】ABD【分析】根据函数奇偶性的定义，以及函数对称性的概念对选项进行逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形，则有()()2f a x f a x b ++-=函数()y f x a b =+-为奇函数，则有()()0f x a b f x a b -+-++-=， 即有()()2f a x f a x b ++-=所以函数(=)y f x 的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是 为()y f x a b =+-为奇函数，A 正确；对于B,32()3f x x x =-，则323(1)2(1)3(1)23f x x x x x ++=+-++=-因为33y x x =-为奇函数，结合A 选项可知函数32()=-3f x x x 关于点(1,2)-对称，B 正确； 对于C ，函数()y f x =的图像关于x a =成轴对称的充要条件是()()f a x f a x =-+， 即函数()y f x a =+是偶函数，因此C 不正确； 对于D ，32()|-3+2|g x x x =，则323(1)|(1)3(1)2||3|g x x x x x +=+-++=-， 则33(1)|3||3|(1)g x x x x x g x -+=-+=-=+， 所以32()|-3+2|g x x x =关于=1x 对称，D 正确 故选:ABD.10．下列结论中正确的是（ ）A ．若一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +的值是14-B ．若集合*1N lg 2A x x ⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭∣，{}142x B x-=>∣，则集合A B ⋂的子集个数为4 C ．函数()21f x x x =++的最小值为1 D ．函数()21xf x =-与函数()f x 【答案】AB【分析】对于A ：12-和13为方程220ax bx ++=的两根且0a <，即可得到方程组，解得即可判断A ；根据对数函数、指数函数的性质求出集合A 、B ，从而求出集合A B ⋂，即可判断B ；当1x <-时()0f x <，即可判断C ；求出两函数的定义域，化简函数解析式，即可判断D.【详解】解：对于A ：因为一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以12-和13为方程220ax bx ++=的两根且0a <，所以112311223b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，所以14a b +=-，故A 正确；对于B：{{}**1N lg N 1,2,32A x x x x ⎧⎫=∈≤=∈<≤=⎨⎬⎩⎭∣∣0，{}{}12234222|2x x B x x x x --⎧⎫=>=>=>⎨⎬⎩⎭∣∣， 所以{}2,3A B ⋂=，即A B ⋂中含有2个元素，则A B ⋂的子集有224=个，故B 正确； 对于C ：()21f x x x =++，当1x <-时10x +<，()0f x <，故C 错误； 对于D ：()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 令()2210x -≥，解得x ∈R，所以函数()f x =R ，函数()21xf x =-的定义域为R ，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即D 错误； 故选：AB11．已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.当()()122f x f x =时，12min 2x x π-=，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．6x π=是函数()f x 的一个零点B ．函数()f x 的最小正周期为2π C ．函数()1y f x =+的图象的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的图象向右平移2π个单位长度可以得到函数2y x =的图象 【答案】AB【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的解析式())6f x x π=-，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()()f x x ωϕ+，可得()()min max f x f x == 因为()()122f x f x =，可得()()122f x f x =， 又由12min 2x x π-=，所以函数()f x 的最小正周期为2T π=，所以24Tπω==，所以()()4f x x ϕ+，又因为012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()]012πϕ⨯-+=，即cos()13πϕ-+=，由2πϕ<，所以6πϕ=-，即())6f x x π=-，对于A 中，当6x π=时，可得()cos()062f ππ==，所以6x π=是函数()f x 的一个零点，所以A 正确；又由函数的最小正周期为2T π=，所以B 正确；由()1)16y f x x π=+=-+，所以对称中心的纵坐标为1，所以C 不正确；将函数())6f x x π=-的图象向右平移2π个单位长度,可得())]2))2666f x x x x πππππ=--=---，所以D 不正确. 故选：AB.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()2e 11e 2x x f x =-+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列叙述正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()f x 的值域是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BD【分析】依题意可得()2321e xf x =-+，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B 、D ，再根据高斯函数的定义求出()g x 的解析式，即可判断A 、D.【详解】解：因为()()22e 2e 111321e 21e 21e 21122e2x x x x x x f x =-=-=--=-+-++++，定义域为R ， 因为1e x y =+在定义域上单调递增，且e 11x y =+>，又2y x=-在()1,+∞上单调递增，所以()2321e xf x =-+在定义域R 上单调递增，故B 正确； 因为1e 1x +>，所以1011e x<<+，所以1101e x -<-<+，则2201e x -<-<+， 则1323221e 2x -<-<+，即()13,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故C 错误；令()0f x =，即32021e x -=+，解得ln3x =-，所以当ln3x <-时()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()1f x =，即32121ex-=+，解得ln3x =， 所以当ln3ln3x -<<时()()0,1f x ∈，当ln 3x >时()31,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()1,ln 30,ln 3ln 31,ln 3x g x f x x x ≥⎧⎪⎡⎤==-≤<⎨⎣⎦⎪-<-⎩， 所以()g x 的值域是{}1,0,1-，故D 正确；显然()()55g g ≠-，即()g x 不是偶函数，故A 错误； 故选：BD三、填空题13．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，方程()f x k =有3个实数解，则k 的取值范围为___________.【答案】(4,3]--【分析】根据给定条件将方程()f x k =的实数解问题转化为函数()y f x =的图象与直线y k =的交点问题，再利用数形结合思想即可作答.【详解】方程()f x k =有3个实数解，等价于函数()y f x =的图象与直线y k =有3个公共点， 因当0x ≤时，()f x 在(,1]-∞-上单调递减，在[1,0]-上单调递增，(1)4,(0)3f f -=-=-， 当0x >时，()f x 单调递增，()f x 取一切实数，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象及直线y k =，如图：由图象可知，当43k -<≤-时，函数()y f x =的图象及直线y k =有3个公共点，方程()f x k =有3个解，所以k 的取值范围为(4,3]--. 故答案为：(4,3]--14．已知()1sin 503α︒-=，且27090α-︒<<-︒，则()sin 40α︒+=______【答案】##【分析】由4090(50)αα︒+=︒-︒-，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求cos(50)α︒-，即可得解.【详解】由题设，()sin 40sin[90(50)]cos(50)ααα︒+=︒-︒-=︒-，又27090α-︒<<-︒，即14050320α︒<︒-<︒，且()1sin 503α︒-=，所以14050180α︒<︒-<︒，故cos(50)3α︒-=-. 故答案为：3-15．关于x 不等式0ax b +<的解集为{}3x x >，则关于x 的不等式2045ax bx x +≥--的解集为______.【答案】()[)13,5-∞-，【分析】根据不等式的解集，可得方程的根与参数a 与零的大小关系，利用分式不等式的解法，结合穿根法，可得答案.【详解】由题意，可得方程0ax b +=的解为3x =，且a<0，由不等式2045ax bx x +≥--，等价于()()22450450ax b x x x x ⎧+--≥⎪⎨--≠⎪⎩，整理可得()()()()()510510ax b x x x x ⎧---+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得()[),13,5-∞-，故答案为：()[)13,5-∞-，.16．已知函数f （x ）=221122x a x x x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩（），（）， 满足对任意实数12x x ≠，都有1212f x f x x x -<-（）（）0 成立，则实数a 的取值范围是( ) 【答案】138a ≤【分析】根据分段函数的单调性可得()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩ ，解不等式组即可. 【详解】根据题意可知，函数为减函数，所以()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得138a ≤.故答案为：138a ≤【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数值，考查了基本知识掌握的情况，属于基础题.四、解答题17．在①A B B ⋃=；②“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}{}121,13A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤. (1)当2a =时，求A B ⋃；()RAB(2)若_______，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}15A B x x ⋃=-≤≤，{}35R A B x x ⋂=<≤ (2)答案见解析【分析】（1）代入2a =，然后根据交、并、补集进行计算.（2）选①，可知A B ⊆，分A =∅，A ≠∅计算；选②可知A B ，分A =∅，A ≠∅计算即可；选③，分A =∅，A ≠∅计算.【详解】（1）当2a =时，集合{}{}15,13A x x B x x =≤≤=-≤≤， 所以{}15A B x x ⋃=-≤≤；{}35R A B x x ⋂=<≤ （2）若选择①A B B ⋃=，则A B ⊆， 当A =∅时，121a a ->+解得2a <- 当A ≠∅时，又A B ⊆，{|13}B x x =-≤≤，所以12111213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是)([],10,1-∞-⋃.若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ， 当A =∅时，121a a ->+解得2a <- 当A ≠∅时，又A B ，{|13}B x x =-≤≤，12111213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩或12111213a a a a -≤+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩解得01a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是)([],10,1-∞-⋃. 若选择③，A B ⋂=∅，当A =∅时，121a a ->+解得2a <- 当A ≠∅又A B ⋂=∅则12113211a a a a -≤+⎧⎨->+<-⎩或解得2a <-所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞.18．计算下列各式的值： (1)1222301322( 2.5)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)7log 2log lg25lg47++ 【答案】(1)12； (2)112.【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的定义及运算求解. 【详解】（1）12232231222301322( 2.5)34833331222-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥⎢⎥ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦ 2339199112242442--+-+⎛⎫=== ⎪⎝⎭. （2）7log 2log lg25lg47++()31111log 27lg 2542322222=+⨯+=⨯++=.19．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭同时满足下列两个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求出()f x 的解析式；（2）求方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）23π.【分析】（1）由条件可得2A =，最小正周期T π=，由公式可得2ω=,得出答案.(2)由()10f x +=，即得到1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解出满足条件的所有x 值，从而得到答案.【详解】（1）由函数()f x 的最大值为2，则2A = 由函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则最小正周期T π=，由2T ππω==，可得2ω= 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()10f x +=，所以1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()2266x k k πππ+=-+∈Z 或()72266x k k πππ+=+∈Z ， 解得()6x k k ππ=-+∈Z 或()2x k k ππ=+∈Z .又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π， 故方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解得和为23π. 20．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）100千件【分析】（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果； （2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型. 【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得：当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭L x x x x x x ．当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭ 100001250⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(60)10003L x x =--+．此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元．当80x ≥时，10000()125012502L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭12502001050=-=．此时10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元． 由于10001050<，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1050万元【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.21．已知函数2()(22)x f x a a a =-- (a >0,a ≠1)是指数函数. (1)求a 的值,判断1()()()F x f x f x =+的奇偶性,并加以证明； (2)解不等式 log (1)log (2)a a x x +<-.【答案】（1）3a =，是偶函数，证明见解析；（2）1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）根据2221,0,1a a a a --=>≠，求出a 即可； （2）根据对数函数的单调性解不等式，注意考虑真数恒为正数. 【详解】（1）函数2()(22)x f x a a a =-- (a >0,a ≠1)是指数函数， 所以2221,0,1a a a a --=>≠，解得：3a =， 所以()3x f x =， 1()()33()x x F x f x f x -=+=+，定义域为R ，是偶函数，证明如下： ()33()x x F x F x --=+=所以，1()()()F x f x f x =+是定义在R 上的偶函数； （2）解不等式 log (1)log (2)a a x x +<-，即解不等式 33log (1)log (2)x x +<- 所以012x x <+<-，解得112x -<< 即不等式的解集为1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】此题考查根据指数函数定义辨析求解参数的值和函数奇偶性的判断，利用对数函数的单调性解对数型不等式，注意考虑真数为正数.22．已知函数2()2x x b cf x b ⋅-=+，1()log a x g x x b -=+（0a >且1a ≠），()g x 的定义域关于原点对称，(0)0f =．(1)求b 的值，判断函数()g x 的奇偶性并说明理由； (2)求函数()f x 的值域；(3)若关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1b =，()g x 为奇函数 (2)()1,1-(3)(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()g x 的定义域关于原点对称可得1b =，再求解可得()()0g x g x -+=判断即可； （2）根据指数函数的范围逐步分析即可；（3）参变分离，令()()21,3t f x =-∈，将题意转换为求()()222tm t t =---在()1,3t ∈上的值域，再根据基本不等式，结合分式函数的范围求解即可. 【详解】（1）由题意，1()log ax g x x b-=+的定义域10x x b ->+，即()()10x x b -+>的解集关于原点对称，根据二次函数的性质可得1x =与x b =-关于原点对称，故1b =. 此时1()log 1ax g x x -=+，定义域关于原点对称，11()log log 11a a x x g x x x --+-==-+-，因为1111()()log log log log 101111aa a a x x x x g x g x x x x x -+-+⎛⎫-+=+=⨯== ⎪+-+-⎝⎭. 故()()g x g x -=-，()g x 为奇函数.（2）由（1）2()21x x c f x -=+，又(0)0f =，故002121c -=+，解得1c =，故212()12121x x x f x -==-++，因为211x +>，故20221x<<+，故211121x -<-<+，即()f x 的值域为()1,1- （3）由（2）()f x 的值域为()1,1-，故关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，即()()()22f x m f x f x -=-在()()()1,00,1f x ∈-⋃上有解.令()()()21,22,3t f x =-∈⋃，即求()()212223tm t t t t==---+-在()()1,22,3t ∈⋃上的值域即可.因为2333t t +-≥=，当且仅当t =时取等号，且21301+-=，223333+-=，故)2233,00,3t t ⎛⎫⎡+-∈⋃ ⎪⎣⎝⎭，故13,223m t t∞∞⎛⎛⎫=∈-⋃+ ⎪ ⎝⎭⎝+-，即m的值域为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.。
高一数学期末复习资料(1-5)总复习题(共5套)
期末复习资料之一 必修1 复习题一、选择题1、 下列函数中，在区间()0,+∞不是增函数的是（ ） A.xy 2= B. x y lg = C. 3x y = D. 1y x=2、函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（ ）A.[)+∞,2B.（3，＋∞）C.[)+∞,3D.（－∞，＋∞）3、若{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （ ）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 4、对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A.a>5,或a<2B.2<a<5C.2<a<3,或3<a<5D.3<a<45、 已知xax f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（ ）A. 0>aB. 1>aC. 1<aD. 10<<a6、函数y ＝(a 2-1)x在(-∞，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.｜a ｜>1 B.｜a ｜>2C.a>2D.1<｜a ｜<26、函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A 、[)(]2,11,2 -- B 、)2,1()1,2( -- C 、[)(]2,11,2 -- D 、)2,1()1,2( --8、值域是（0，＋∞）的函数是（ ）A 、125xy -=B 、113xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C、yD9、函数|log |)(21x x f =的单调递增区间是A 、]21,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞10、图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A 、0<a<b<1<d<cB 、0<b<a<1<c<dC 、0<d<c<1<a<bD 、0<c<d<1<a<b11、函数f(x)=log 31(5-4x-x 2)的单调减区间为( )A.(-∞，-2)B.［-2，+∞］C.(-5，-2)D.［-2，1］12、a=log 0.50.6，b=log 20.5，c=log 35，则( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.a ＜c ＜bD.c ＜a ＜b13、已知)2(log ax y a -=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞］14、设函数1lg )1()(+=x x f x f ，则f(10)值为（ ）A ．1 B.-1 C.10 D.101 二、填空题 15、函数)1(log 21-=x y 的定义域为 16、．函数y ＝2||1x -的值域为________ 17、将(61)0，2，log 221,log 0.523由小到大排顺序：x18. 设函数()()()()4242xx f x x f x ⎧≥⎪=⎨<+⎪⎩，则()2log 3f =19、计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低31，现在价格为8100元的计算机，15年后的价格可降为20、函数),2[log +∞=在x y a 上恒有|y|>1，则a 的取值范围是 。
高一数学必修一集合复习练习题及单元测试含及解析
集合练习题1．设集合 A ＝ {x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，那么A∪B等于()A． {x|x≥3}B． {x|x ≥ 2}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x≥4}2．集合A＝ {1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，那么A∩ B＝()A． {3,5}B．{3,6}C．{3,7}D．{3,9}3. 集合A＝ {x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，那么A∪B＝()A． {x|x≥－1}B．{x|x≤2 }C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2} 4. 满足 M?{，，，} ，且 M∩{，，} ＝ {，} 的集合M 的个数是 () A． 1B ．2C ．3D．45．集合A＝ {0,2 ， a} ， B ＝ {1 ，} ．假设 A∪ B＝ {0,1,2,4,16}，那么a的值为() A． 0B．1C．2D．46．设S＝ {x|2x ＋ 1>0} ， T＝ {x|3x － 5<0} ，那么 S∩ T＝ ()A． ?B．{x|x<－1/2}C． {x|x>5/3}D．{x|－1/2<x<5/3}7． 50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30 名，参加乙项的学生有25 名，那么仅参加了一项活动的学生人数为________ ．8．满足 {1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合 A 的个数是 ________ ．9．集合A＝ {x|x ≤1} ， B＝ {x|x ≥a} ，且 A∪B ＝R，那么实数 a 的取值范围是________ ．10. 集合A＝ { － 4,2a － 1，} ， B＝ {a － 5,1 － a,9} ，假设 A ∩B＝ {9} ，求 a 的值．..11 ．集合A＝ {1,3,5}，B＝{1,2，－1}，假设A∪ B＝{1,2,3,5}，求x 及A∩B.12 ． A ＝ {x|2a ≤ x≤a＋ 3} ， B＝{x|x<－1或x>5}，假设A∩ B＝?，求a的取值范围．13 ． (10 分 ) 某班有36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，那么同时参加数学和化学小组的有多少人？集合测试一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分。
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高一数学上册总复习题
时间：50分钟总分：100分
一.选择题（2.5%x30）
1.奇函数f(x)在区间［-b, -a］上单调递减且f(x)＞0, (0＜a＜b＝, 那么│f(x)│在区间［a, b］上是[ ]
A.单调递增
B.单调递减
C.不增也不减
D.无法判断
2.如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为4，那么f(x)在区间[7，－3]上是[ ]
A．增函数且最小值是－4 B．增函数且最大值是－4
C．减函数且最小值是－4 D．减函数且最大值是－4
3.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，则f(－2)，f(－
)，f(3)的大小顺序是[ ]
A．f(－)＞f(3)＞f(－2) B．f(－)＞f(－2)＞f(3)
C．f(－2)＞f(3)＞f(－) D．f(3)＞f(－)＞f(－2)
4.函数y=的图象的对称中心坐标为[ ]
A．B．
C．D．
5.若log m3 ＜ log n3 ＜ 0,则m,n满足的条件是. [ ]
A.m ＞n ＞ 1
B.n ＞m ＞ 1
C.0 ＜m ＜n＜ 1
D.0 ＜n ＜m ＜ 1
6.若点(a，b)在函数y=f(x)的图象上，则下列各点中必在其反函数图象上的是
[ ]
B．( A．
b)
C．(b，
(b)) D．( a)
7.函数f(x)=的反函数的图象是[ ]
8.y=f(x)与的图象位置关系是[ ]
A．关于直线y－x=0对称B．关于直线y＋x=0对称
C．关于原点对称D．两图象重合
9.设集合A={x|x≤}，a=4，那么[ ]
A．B．
C．｛a｝∈A
D．
10.下述关系中正确的是[ ]
A．∈｛0｝B．0∈
D．C．0
｛0｝
11.设全集I＝｛1, 2a-4, a2-a-3｝, A＝｛a-1, 1｝, A＝｛3｝, 则a的
值是 [ ]
A.-2
B.3
C.-2或
3 D.
12.(x,y)在映射f下的象是(x+y,xy), 则(2,-3)在f下的原象是[ ]
A. (3,-1)
B. (-1,3)
C. (2,-3)
D.(3,-1)或(-1,3)
13.关于集合A到集合B的映射，下面的说法错误的是 [ ] A．A中的每一元素在B中都有象
B．A中的两个不同元素在B中的象必不同
C．B中的元素在A中可以没有原象
D．B中的某元素在A中的原象可能不止一个
14.下列对应是从集合A到集合B的映射的是 [ ] A．A={有理数}，B={数轴上的点}，对应法则f：有理数→数轴上的点．
B．A={数轴上的点}，B={有理数}，对应法则f：数轴上的点→有理数．
C．x∈A=R，y∈B=，对应法则f：x→y=|x|．
D．x∈A=
15.设集合M＝｛-1,0,1｝, N＝｛0,1,2,3｝下面的对应法则能构成从M到N的映射的是[ ]
A. f:x→x2-1
B. f:x→│x│-1
C. f:x→│x2-1│
D. f:x→2x+1
16.
[ ]
17.下列各式中，恒成立的是[ ]
A．B．C．D．
18.若等于[ ]
A．B．
C．D．
19.计算(x-y)的结果是[ ]
A. 2xy
B.
C.
D.
20.函数y=a－(x≥a)的反函数是[ ]
A．y=＋a(x≥a) B．y=－a(x≥a)
C．y=＋a(x≤
a) D．y=－a(x≤a)
21.已知函数y=f(x)和y=g(x)互为反函数，f(a)=b，ab≠0，则g(b)等于[ ]
A．a
B．C．b
D．
22.函数y=x＋b的反函数是y=ax－5，那么a，b的值是 [ ]
A．a=2，
b=B．a= b=2
C．a=，b=－5 D．a=－5 b=
23.设f(x)是定义域为R的函数，下列说法不可能正确的是[ ] A．f(x)既是增函数又是奇函数B．f(x)既是奇函数又是偶函数C．f(x)既是偶函数又有反函数D．f(x)的反函数是其本身．
24.函数y=的反函数的值域是[ ]
A．[0，2)∪(2，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
25.
[ ]
26.[ ]
A.c＜a＜b
B.c＜b＜a
C.b＜c＜a
D.不能确定
27.如果＜1，那么a的范围是[ ]
A．0＜a＜ B．a ＞
C．＜a＜1或a＞1 D．0＜a＜
或a＞1
28.函数y=(3－x)的定义域是[ ]
A．(1，3) B．(1，3]
C．(1，2)∪(2，3) D．(2，3)
29.
[ ]
A. B. a5 C. 32 D.
30.
[ ]
二.填空题（2.5%x10）
31.已知A为锐角，，则lgsin2A=________．
32.
33.方程3·9x+2·3x-1＝0的解集是:｛x│x＝___________｝
34.
35.
36.已知22x-25＝2x+2,则x＝_______.
37.方程log2(4x+4)＝x+log2(2x+1-3)的解为x＝________.
38. 方程log4(3 -x)+log0.25(3+x)＝log4(1 -x)+log0.25(2x+1) 的解为x＝_________.
39.方程log16x+log4x+log2x＝7的解是 x＝___________.
40.方程lg(x2+11x+8)-1g(x+1)＝1的解是x＝___________.。