科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况
求解变力做功的六种常见方法剖析
ʏ李鹏飞公式W =F l c o s α只适用于恒力做功的计算,若遇到的是变力做功问题该怎样计算呢?下面我们就结合例题来剖析求解变力做功的六种常见方法,供同学们参考㊂方法一:等效替代法若通过转换研究对象能找到一个与待求变力做的功相同的恒力,则可以利用公式W =F l c o s α计算出该恒力做的功,间接求得变力做的功㊂这种将变力做功转换成恒力做功的求解方法叫等效替代法㊂例1 如图1所示,某人用跨过定滑轮的细绳以恒力F 拉着放在水平面上的滑块,使其沿着水平面由A 点前进距离l 后到达B 点㊂已知滑块在A ㊁B 两点时,细绳与水平方向间的夹角分别为α和β,滑轮到滑块的高度为h ,不计细绳与滑轮之间的摩擦和细绳的重力㊂求在这一过程中细绳的拉力对滑块所做的功㊂图1细绳对滑块的拉力大小始终等于F ,但方向在时刻改变,属于变力做功问题,不能直接利用W =F l c o s α进行计算㊂实际上,恒力F 对细绳末端所做的功等效于细绳的拉力对滑块所做的功㊂在细绳与水平面间的夹角由α变到β的过程中,恒力F 作用的细绳末端移动的位移Δl =h s i n α-h s i n β=h 1s i n α-1s i n β(),因此恒力F 对细绳末端所做的功W F =F ㊃Δl =F h 1s i n α-1s i n β(),即细绳的拉力对滑块所做的功W =W F =F h1s i n α-1s i n β()㊂方法二:平均力法若物体受到的力方向不变,而大小随着位移呈线性变化,则可以先求出力的平均值F =F 1+F 22(F 1和F 2分别为物体在研究过程初㊁末状态下所受的力),认为物体受到的是一个大小为 F 的恒力作用,再利用公式W = F l c o s α求解变力做的功㊂例2 如图2所示,轻弹簧的一端与竖直墙壁连接,另一端与一质量为m 的物块相连,物块位于光滑水平面上,已知弹簧的劲度系数为k ,开始时弹簧处于自然状态㊂用水平向右的拉力F 缓慢拉物块,使物块在弹性限度范围内前进距离x 0,求在这一过程中拉力F 对物块所做的功㊂图2在物块缓慢运动的过程中,拉力F 的方向不变,大小始终与弹簧的弹力等大反向,与位移x 满足关系式F =k x ,即从零开始随位移均匀增大,因此在物块前进距离x 0的过程中,拉力F 的平均值 F =0+k x 02=12k x 0,拉力F 对物块所做的功W = F x 0=12k x 20㊂方法三:F -x 图像法当力F 与位移x 同向时,计算功的公式可表示为W =F x ,因此在F -x 图像中,图像与x 轴所围成的 面积 就表示力F 在位移x 上所做的功㊂ 面积 位于x 轴上方,说明力F 做正功; 面积 位于x 轴下方,说明力F 做负功㊂53物理部分㊃经典题突破方法高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.例3 如图3所示,一个正方形木块漂浮在一个面积很大的水池中,水深为H ,木块边长为a ,质量为m ,密度为水的一半㊂开始时木块静止,有一半没入水中㊂现用力F 将木块压到池底,不计摩擦㊂求力F 在将木块从初始状态刚好压到池底的过程中,力F 对木块所做的功㊂图3将木块从初始状态缓慢地压到刚好完全没入水中的过程中,力F 与木块下降的位移x 成正比,木块下降位移x =a2时,力F 最大,且F m a x =m g ,之后力F 始终等于F m a x ㊂作出F -x 图像如图4所示,则图中阴影部分的面积在数值上等于力F 对木块所做的功,即W =m g (H -a )+H -a2()2=m gH -3m g a4㊂图4方法四:微元法若物体在运动过程中所受的变力始终与速度方向在同一条直线上或成某一固定角度,则可以将运动过程分成无数个小段,在每一个小段上都可以认为物体受到的力是恒力,物体在整个运动过程中的位移等于运动轨迹的长度,则力在各个小段上所做功的代数和即为变力在整个运动过程中所做的功㊂图5例4 以前的人们经常采用如图5所示的 驴拉磨 方式把粮食加工成粗面来食用㊂假设某次采用 驴拉磨 方式进行粮食加工的过程中,驴对磨的拉力大小始终为500N ,驴做圆周运动的半径为1.5m ,则在驴拉磨转动一周的过程中,拉力所做的功为( )㊂A .0 B .500JC .750JD .1500πJ在驴拉磨转动一周的过程中,拉力F 的大小不变,方向时刻改变,但总与速度的方向相同㊂将转动的一周分割成无数个小段,则每一个小段对应的位移Δs 1㊁Δs 2㊁Δs 3㊁ ㊁Δs n 都可认为与拉力F 同向,因此在驴拉磨转动一周的过程中,力F 所做的功等于恒力F 在各个小段上所做功的代数和,即W F =F ㊃Δs 1+F ㊃Δs 2+F ㊃Δs 3+ +F ㊃Δs n =F (Δs 1+Δs 2+Δs 3+ +Δs n )=F ㊃2πR =1500πJ ㊂答案:D方法五:动能定理法若物体的运动情况较为复杂,但是物体在初㊁末状态下的动能,以及除待求变力所做的功外其他力所做的功都可以比较容易地求出,则可以利用动能定理来求解这个变力所做的功㊂图6例5 如图6所示,一个半径为R 的半圆形轨道固定在竖直平面内,轨道两端等高;质量为m 的质点自轨道左端P 点由静止开始下滑,滑到最低点Q 时,对轨道的压力大小为2m g ,重力加速度为g ㊂在质点自P 点滑到Q 点的过程中,克服摩擦力所做的功为( )㊂A .14m g R B .13m g R C .12m g R D .π4m gR 在质点自P 点滑到Q 点的过程中,质点受到的滑动摩擦力的大小和方向都在变化,属于变力做功问题㊂设此过程中质点克服摩擦力所做的功为W f ,根据动能定理得m gR -W f =12m v 2Q -0;根据牛顿第三定律可知,质点在Q 点受到轨道63 物理部分㊃经典题突破方法 高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的支持力大小N =2m g ;质点运动到Q 点时,根据牛顿第二定律得N -m g =m v 2QR㊂联立以上三式解得W f =12m g R ㊂答案:C方法六:机械能守恒定律法若物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功,且重力和弹力中有一个力是变力,则可以利用机械能守恒定律来求解这个变力所做的功㊂图7例6 如图7所示,一根金属链条的总长为l ,置于足够高的光滑水平桌面上,链条下垂部分的长度为a ㊂某时刻链条受到微小扰动由静止开始下滑,在链条由静止开始下滑到整根链条刚好离开桌面的过程中,重力所做的功为多少?链条在下滑的过程中,下垂部分不断增长,质量不断增大,即这部分链条的重力是变力,整根链条的运动是在该变力作用下的运动,属于变力做功问题㊂取桌面为零重力势能参考平面,设整根链条的质量为m ,初始状态下链条下垂部分的质量为m 0,则m 0=al m ㊂初始状态下,整根链条的机械能E 1=0-m 0g ㊃a 2=-m g a22l;整根链条刚好离开桌面时,整根链条的机械能E 2=W 重-m g ㊃l2㊂根据机械能守恒定律得E 1=E 2,解得W 重=m g (l 2-a 2)2l㊂ 图81.如图8所示,摆球质量为m ,悬绳的长度为L ,把悬绳拉到与悬点O 处于同一水平线上的A 点后放手㊂在摆球从A 点运动到最低点B 的过程中,设空气阻力F 阻的大小保持不变,则下列说法中正确的是( )㊂A .重力做功为m g L B .悬绳的拉力做功为12m g πL C .空气阻力F 阻做功为-m g L D .空气阻力F 阻做功为-12πF 阻L 2.用大锤将一木桩打入泥土里,木桩长为L ,大锤第一次击桩时使木桩从地面钻入泥土的深度为L5,如果木桩受到泥土的阻力远大于木桩的重力,且与木桩钻入泥土的深度成正比,那么大锤打击木桩多少次后木桩全部钻入泥土中图93.如图9所示,质量为m 的小球用长度为L 的轻质细线悬于O 点,与O 点处于同一水平线上的P 点处有一个光滑的细钉,已知O ㊁P 两点间的水平距离为L2㊂在A 点给小球一个水平向左的初速度v 0,发现小球恰能到达与P 点在同一竖直线上的最高点B ㊂(1)小球到达B 点时的速率为多大(2)若初速度v 0=3g L ,则在小球从A 点运动到B 点的过程中克服空气阻力做了多少功图104.如图10所示,质量m =2k g 的物体,从光滑斜面的顶端A 点以初速度v 0=5m /s 滑下,在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零㊂已知A ㊁B 两点间的竖直高度h =5m ,取重力加速度g =10m /s2,在物体从A 点运动到B 点的过程中,弹簧的弹力对物体所做的功为多少参考答案:1.A D 2.25次㊂3.(1)v B =g L 2;(2)W 克=114m g L ㊂4.W 弹=-125J㊂作者单位:山东省惠民县第一中学(责任编辑 张 巧)73物理部分㊃经典题突破方法高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中物理：求解变力做功的几种方法
高中物理：求解变力做功的几种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法。
一、动能定理法例1、如图1所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多少？图1解析：物体由A滑到B的过程中，受重力G、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。
分析上式可知，物体由A运动到B的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A运动到B的过程中，弹力不做功；重力在物体由A运动到C的过程中对物体所做的正功与物体从C运动到B的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。
因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A运动到B的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。
小结：利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。
这是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
二. 微元求和法例2、如图2所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。
图2解析：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F在每瞬时与转盘转过的极小位移……都与当时的F方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法变力做功是物理学中的一个重要概念。
力可以改变物体的状态，让物体移动、加速或减速。
做功就是施加力使物体移动的过程中能量的转移。
以下将介绍几种常见的变力做功的方法。
1.推力做功：将物体推向前方时，施加的力与物体的位移方向一致，即力和位移向量的夹角为0度。
例如，我们推车子或推行李箱时，就是通过推力来做功。
2.拉力做功：这种方式与推力做功相反，即施加的力与物体的位移方向相反，力和位移向量的夹角为180度。
例如，我们拉拽一根绳子或拉弓发射箭矢时，施加的力与物体的运动方向相反。
3.重力做功：重力是地球吸引物体向地心运动的力。
当一个物体从高处下落时，重力对物体做功。
在这种情况下，重力与物体的位移方向相同，力和位移向量的夹角为0度。
4.弹力做功：当有弹簧或橡皮带等弹性物体被拉伸或压缩时，会产生弹力。
弹力做功是将弹性势能转化为动能的过程。
例如，我们拉伸弓弦时，弓的张力对箭矢做功，让它飞行。
5.摩擦力做功：当物体在表面上移动时，与表面接触的粒子之间会产生摩擦力。
摩擦力做功是将机械能转化为热能的过程。
例如，我们用力推动一个滑动在地面上的物体时，摩擦力会做功，使物体停下来。
6.磁力做功：磁力是磁体之间的相互作用力。
当磁场改变时，施加在物体上的磁力会做功。
例如，我们用电磁铁吸起一个金属球时，磁力会做功，将物体从地面抬起。
7.电力做功：电力是在电子之间产生的相互作用力。
当电流通过电阻产生的电阻力与电子的移动方向相对立时，电力会做功。
例如，电流通过电灯丝时，电力会转化为热能和光能，使灯泡发亮。
总结起来，变力做功的方法主要包括推力做功、拉力做功、重力做功、弹力做功、摩擦力做功、磁力做功和电力做功。
通过施加不同的力，我们可以改变物体的状态和能量的转移，从而实现各种实际应用。
求解变力做功的几种常用方法
求解变力做功的几种常用方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W＝Flcos α，但是只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，但高考中变力做功问题也是经常考查的一类题目。
现结合例题分析变力做功的五种求解方法。
方法一：化变力为恒力求变力功变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Flcos α求解。
此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
【题目】如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。
已知图中的高度是h，求绳的拉力T对物体所做的功。
假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计。
【解析】本题中，显然F与T的大小相等，且T在对物体做功的过程中，大小不变，但方向时刻在改变，因此本题是个变力做功的问题。
但在题设条件下，人的拉力F对绳的端点(也即对滑轮机械)做的功就等于绳的拉力T(即滑轮机械)对物体做的功。
而F的大小和方向都不变，因此只要计算恒力F对绳做的功就能解决问题。
设绳的拉力T对物体做的功为WT，由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F作用的绳端的位移的大小为则可知拉力做功为方法二：用平均力求变力功在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F平均=（F1+F2）/2,恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W=F平均Lcosθ求此力所做的功。
【题目】把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。
问此钉子全部进入木板需要打击几次？【解析】在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。
求变力做功的六种方法
求变力做功的六种方法都匀市民族中学：王方喜在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式PtW=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。
一、运用微元积累(求和)法求变力做功求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。
由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。
用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。
例1如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．图1-1【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）＝Ｆ2πＲ【总结】变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
【检测题1-1】如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？图1-2 【检测题1-2】小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全过程中篮球克服空气阻力做的功；(2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程．二、运用平均力等效法求变力做功当力的方向不变，而大小随位移线性．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值221FFF+=，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法变力做功是物理学中的一个重要概念，指的是通过施加力使物体移动，并且力的方向与物体的位移方向相同，从而产生功。
在物理学中，变力做功的几种常见的方式包括：1.恒力做功：恒力做功是指当施加于物体上的力保持恒定，并且力的方向与物体的位移方向相同时所产生的功。
例如，当将物体按直线方向推动时，施加力的大小和方向始终保持不变，这时产生的功就是恒力做的功。
2.弹力做功：弹力做功是指当施加于弹性物体上的力使其发生形变，并且力的方向与变形的方向相同时所产生的功。
例如，当将弹簧压缩或拉伸时，弹簧将会产生弹力，并且完成对外做功的过程。
3.重力做功：重力做功是指当物体受到重力的作用时所产生的功。
例如，将物体从高处抬升到低处，重力将会对物体做功，使物体下降。
此时，重力与物体的下降方向相同，从而产生重力做的功。
4.摩擦力做功：摩擦力做功是指当物体在摩擦力的作用下移动时所产生的功。
例如，当将物体沿水平面上的表面推动时，摩擦力将与物体的运动方向相反，并且产生摩擦力做的功，将物体减速或停止。
5.推力做功：推力做功是指当物体受到推力的作用时所产生的功。
例如，当用力将物体沿斜面推动时，推力将与物体的位移方向一致，并且产生推力做的功，使物体上升或下降。
除了上述几种方式之外，还有其他一些特殊情况下的功。
例如，当物体围绕固定点旋转时，所受到的转动力矩将使物体围绕轴旋转，并且产生转动功。
而当应力作用下的材料发生变形时，所施加的应力将会对材料做功，称为弹性势能的转化。
总之，变力做功具有多种方式，这些方式在物理学中都有着重要的应用。
通过研究和理解这些不同的方式，可以更好地理解和应用物理学的知识，并且在实际生活中解释和分析各种物理现象。
摩擦力做功问题及求变力做功的几种方法(学生版)-高考物理热点模型
摩擦力做功问题及求变力做功的几种方法学校：_________班级：___________姓名：_____________模型概述1.摩擦力做功问题1)无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都可以对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
2)静摩擦力做功的能量问题①静摩擦做功只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能。
②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零，而总的机械能保持不变。
3)滑动摩擦力做功的能量问题①滑动摩擦力做功时，一部分机械能从一个物体转移到另一个物体，另一部分机械能转化为内容，因此滑动摩擦力做功有机械能损失。
②一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W =-F f ⋅x 相对，即发生相对滑动时产生的热量。
2.求变力做功的几种方法1．用W =Pt 求功当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P =W t，可得W =Pt .1)“微元法”求变力做功:情形一：当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，力F 做的功与路程有关，W =Fs 或W =-Fs ，其中s 为物体通过的路程．情形二：当力的大小不变，运动为曲线时，将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和,此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功.【举例】质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f =F f ⋅Δx 1+F f ⋅Δx 2+F f ⋅Δx 3+...=F f ⋅(Δx 1+Δx 2+Δx 3+...)=F f ⋅2πR2)“图像法”求变力做功:在F -x 图像中,图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移内所做的功,且位于x 轴上方的“面积”为正功,位于x 轴下方的“面积”为负功,但此方法只适用于便于求图线与x 轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形).【举例】一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x 0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W =F 0+F 12x3)“平均力”求变力做功:当力的方向不变而大小随位移线性变化时,可先求出力对位移的平均值F =F 0+F 12,再由W =F l cos θ计算,如弹簧弹力做功.【举例】弹力做功，弹力大小随位移线性变化，取初状态弹力为0，则W =F x =0+F k 2x =0+kx 2x =12kx 24.应用动能定理求解变力做功：在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理W 变+W 恒=12mv 22-12mv 21，物体初、末速度已知，恒力做功W 恒可根据功的公式求出，这样就可以得到W 变=12mv 22-12mv 21-W 恒，就可以求出变力做的功了．【举例】用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为W F ，则有：W F +W G =0⇒W F -mgl (1-cos θ)=0⇒W F =mgl (1-cos θ)5)等效转换法求解变力做功：将变力转化为另一个恒力所做的功。
关于变力做功的详细说明
变力做功的探讨功的计算，在高中物理中占有十分重要的地位，在高中物理中占有十分重要的地位，而高考中又经常涉及到此类问题，而高考中又经常涉及到此类问题，而高考中又经常涉及到此类问题，但由于高中阶段所学的功的计但由于高中阶段所学的功的计算公式a cos Fs W =只能用于恒力做功情况,对于变力做功或物体运动轨迹是曲线时，不能用a cos Fs W =来计算功的大小。
常见的方法有以下几种：微元法、平均力法、图象法、等值法和能量转化的办法。
一：微元法 一些变力一些变力((指大小不变指大小不变,,方向改变方向改变,,如滑动摩擦阻力如滑动摩擦阻力,,空气阻力空气阻力),),),在物体做曲线运动或往复运动过程中在物体做曲线运动或往复运动过程中在物体做曲线运动或往复运动过程中,,这些力虽然方向变这些力虽然方向变,,但每时每刻与速度反向但每时每刻与速度反向,,此时可化成恒力做功此时可化成恒力做功,,方法是分段考虑方法是分段考虑,,然后求和然后求和..老驴拉磨时拉力做功跟圆周运动时向心力做功是否一样？“微分”的方法，将运动轨迹细分为若干段，就可以将每一段可以看作直线，在这一过程中的变力当作恒力，以“恒定”代“变化”，以“直”代“曲”，再根据nnn s F s F s F Waaacos cos cos 222111+¼¼++=来求变力的功。
例题1：如图1，某人用大小不变的力F 转动半径为R 的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功。
解：在转动的过程中，力F 的方向上课变化，但每一瞬时力F 总是与该时刻的速度同向，那么F 在每一瞬时就与转盘转过的极小位移s D 同向，因此无数的瞬时的极小位移n ss s s D ¼¼D D D ，321,,，都与F 同向。
在转动的过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做的功的代数和，有：FRs s s s F s F s F s F s F W nnp 2)(321321=D +¼¼+D +D +D =D +¼¼+D +D +D = 二等值法等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。
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F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同．
【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，
从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人
的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2)
【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值：
F －＝250＋2002
N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F －h ＝2 250 J.
方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉
力做功：W ＝250＋2002
×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J
法3.用微元法求变力做功
圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．
【典例3】如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．【解析】质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3、…、Δl
n，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W1＋W2＋…＋W n＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δl n)＝2πRF.
【答案】2πRF.
变式训练1如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200 N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m，求上述过程中拉力所做的功．
解析：木块刚要滑动时，拉力的大小F＝kx1＝200×0.2 N＝
40 N，从开始到木块刚要滑动的过程，拉力做的功W1＝0＋F 2x1
＝40
2×0.2 J＝4 J；木块缓慢移动的过程，拉力做的功W2＝Fx2＝40×0.4 J＝16 J．故拉力所做的总功W＝W1＋W2＝20 J.
答案：20 J
变式训练2
如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m 的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB
如图所示，水平传送带正以v ＝2 m/s 的速度运行，两端水
平距离l ＝8 m ，把一质量m ＝2 kg 的物块轻轻放到传送带的A 端，物块在传
送带的带动下向右运动．若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，不计物块的大小，g 取10 m/s 2，则把这个物块从A 端传送到B 端的过程中．求：
(1)摩擦力对物块做的功．
(2)摩擦力对传送带做的功．
【解析】 (1)物块刚放到传送带上时，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力，物块做加速运动，摩擦力对物块做功．物块受向右的摩擦力为
F f ＝μmg ＝0.1×2×10 N ＝2 N
加速度为a ＝F f m ＝μg ＝0.1×10 m/s 2＝1 m/s 2
当物块与传送带相对静止时的位移为x ＝v 22a ＝222×1
m ＝2 m 摩擦力对物块做功为W ＝F f x ＝2×2 J ＝4 J.
(2)把这个物块从A 端传送到B 端的过程中，摩擦力对传送
带做功为：W ′＝－μmgx ′＝－μmg ·v ·v a ＝－8 J.
【答案】 (1)4 J (2)－8 J
变式训练3 以初速度v 0竖直向上抛出质量为m 的小球，上升的最大高度是h ，如果空气阻力f 的大小恒定，从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A ．0
B ．－fh
C ．－2mgh
D ．－2fh
解析：阻力做功跟物体的运动轨迹有关，所以阻力做功为W f ＝－2fh .
答案：D。