2019年高考数学一轮训练含答案(理科)： 课时分层训练30 数列的概念与简单表示法北师大版

课时分层训练(三十) 数列的概念与简单表示法
A 组 基础达标
一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A ．1，12，13，1
4，…
B ．－1，－2，－3，－4，…
C ．－1，－12，－14，－1
8，…
D ．1，2，3，…，n
C [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，
D ，故同时满足要求的是选项C.]
2．(2017·安徽黄山二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N ＋)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37
D ．47
D [∵a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N ＋)，即S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N ＋)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N ＋)，∴数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S 5＋1＝3×24
，解得S 5＝47.故选D.]
3．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5­1­1)．
图5­1­1
则第6个三角形数是( )
【导学号：79140168】
A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．2n －1
B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋1n n －1
C ．n 2
D ．n
D [∵a n ＝n (a n ＋1－a n )，∴a n ＋1a n ＝n ＋1
n
， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2
a 1
·a 1 ＝
n
n －1·n －1n －2·n －2n －3·…·32·21
·1＝n .] 5．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝
1＋a n
1－a n
(n ∈N ＋)，则该数列的前 2 019项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝( )
A.13 B ．－13
C ．3
D ．－3
C [由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 4
1－a 4＝2＝a 1，
∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a 1a 2a 3a 4＝1， ∴前2 019项的乘积为1504
·a 1a 2a 3＝3.] 二、填空题
6．在数列－1,0，19，18，…，n －2
n
2，…中，0.08是它的第______项．
10 [令
n －2n
2＝0.08，得2n 2
－25n ＋50＝0， 则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝5
2(舍去)．
所以a 10＝0.08.]
7．(2017·河北唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)
3
，若a 4＝32，则a 1
＝________.
12 [∵S n ＝a 1(4n
－1)3，a 4＝32， ∴
255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝1
2
.] 8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝__________.
【导学号：79140169】
2n －n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1
a n －1
＝n －1，
1
a n －1－
1
a n －2
＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1
＝
n (n －1)
2
，a 1＝1，所以1
a n
＝
n 2－n ＋2
2
，
所以a n ＝2
n 2－n ＋2
.]
三、解答题
9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2
n ＋1
－2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22
－2＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1
－2－(2n －2)＝2
n ＋1
－2n ＝2n
.
因为a 1也适合此等式， 所以a n ＝2n
(n ∈N ＋)．
(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n
，a n ＋1＝2n ＋1
，
所以b n ＝2n
＋2
n ＋1
＝3·2n
.
10．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋1
2
a n (n ∈N ＋)．
(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．
[解] (1)由S n ＝12a 2n ＋1
2
a n (n ∈N ＋)，可得
a 1＝12a 21＋12
a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12
a 22＋12
a 2，解得a 2＝2；
同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋1
2
a n ，
① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋1
2a n －1，
②
①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1， 公差为1的等差数列，故a n ＝n .
B 组 能力提升
11．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( ) A.21
5
B ．225
C.
235 D ．245
D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝24
5
，故选D.]
12．(2017·衡水中学检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前
n 项和数值最大时，n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
B [∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，
∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，
则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N ＋，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，
∴193≤k ≤223
， ∵k ∈N ＋，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.]
13．在一个数列中，如果任意n ∈N ＋，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k 叫作这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.
28 [依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.] 14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
＋kn ＋4.
(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围.
【导学号：79140170】
[解] (1)由n 2
－5n ＋4<0， 解得1<n <4.
因为n ∈N ＋，所以n ＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.
因为a n ＝n 2
－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522
－9
4
，
由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，
又因为通项公式a n ＝n 2
＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－
k 2<3
2
，即得k >－3. 所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．。