2019高考数学一轮复习第8章立体几何第9课时二面角练习理

第9课时二面角1．(2018·皖南八校联考)四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V －AB －C 的余弦值的大小为() A.23B.24 C.73D.223答案 B解析 如图所示，取AB 中点E ，过V 作底面的垂线，垂足为O ，连接OE ，VE ，根据题意可知，∠VEO 是二面角V －AB －C 的平面角．因为OE ＝1，VE ＝32－12＝22，所以cos ∠VEO ＝OE VE ＝122＝24，故选B.2.如图，三棱锥S －ABC 中，棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ，则二面角A －BC －S 的正切值为() A ．1 B.22C.2D ．2 答案 C解析 ∵三棱锥S －ABC 中，棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ，∴SA ⊥平面SBC ，且AB ＝AC ＝SA2＋SB2，如图，取BC 的中点D ，连接SD ，AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥BC ，则∠ADS 是二面角A －BC －S 的平面角，设SA ＝SB ＝SC ＝1，则SD ＝22，在Rt △ADS 中，tan ∠ADS ＝SA SD ＝122＝2，故选C. 另解：以S 为坐标原点，SB →，SC →，SA →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设SA ＝1，则S(0，0，0)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，SA →＝(0，0，1)，AB →＝(1，0，－1)，AC →＝(0，1，－1)，易知SA →＝(0，0，1)为平面SBC 的一个法向量，设n ＝(x ，y ，z)为平面ABC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n·AB →＝0，n·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，1，1)为平面ABC 的一个法向量，所以cos 〈SA →，n 〉＝33，故二面角A－BC －S 的正切值为 2.3．(2018·福州质量检测)三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为() A．7πB ．12πC ．16πD ．28π 答案 D解析 本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积．设球心为F ，过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，取BC 的中点E ，连接AE ，OE ，EF ，则∠AEO ＝30°，AE ＝3，AO ＝32，OE ＝332，EC ＝3，外接球球心F 在过E 且平行于AO 的直线上，设FE ＝x ，外接球半径为R ，则R 2＝3＋x 2＝(332)2＋(32－x)2，解得x ＝2，R 2＝7，则外接球的表面积为4πR 2＝28π，故选D.4.(2018·浙江温州中学模拟)如图，四边形ABCD ，AB ＝BD ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝ 2.现将△ABD 沿BD 折起，当二面角A －BD －C 处于[π6，5π6]的过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围是()A ．[－528，28]B ．[28，528]C ．[0，28] D ．[0，528] 答案 D解析 如图所示，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，∴∠AEC 即为二面角A －BD －C 的平面角． 而AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE·CE·cos ∠AEC ＝4－23cos ∠AEC ，又∠AEC ∈[π6，5π6]，∴AC ∈[1，7]，∴AB →·CD →＝22cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·(BD →－BC →)＝－2＋AB·BC·AB2＋BC2－AC22AB·BC ＝1－AC22∈[－52，12]，设异面直线AB ，CD 所成的角为θ，∴0≤cos θ≤122·52＝528，故选D.5.如图，平面α与平面β相交成锐角θ，平面α内的一个圆在平面β上的射影是离心率为12的椭圆，则θ＝________．答案π6解析 如图，经过平面α内圆的圆心作平行于和垂直于二面角的棱的两条直径，则这两条直径在平面β上的射影是椭圆的长轴和短轴，则短轴的延长线和垂直于棱的直径所在直线的夹角为二面角的平面角，记为θ.因为e ＝c a ＝12，所以b a ＝32，故cosθ＝b a ＝32，解得θ＝π6.6.(2018·甘肃天水一模)已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，PA＝AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 是BC 边上的动点，记二面角P －ED －A 的大小为θ，则tan θ的取值范围为________． 答案 [12，52]解析 由A 点作AO ⊥ED 于O ，连接PO ， 则∠POA 为二面角的平面角． tan ∠POA ＝PA OA ＝1OA.又OA ∈[255，2]，∴tan ∠POA ∈[12，52]．7．(2018·沧州七校联考)三棱锥A －BCD 的三视图如图所示：则二面角B －AD －C 的正弦值为________． 答案48141解析 如图，把三棱锥A －BCD 放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5，3，4，△BCD 为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A －BCD 的高为4，建立如图空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(3，0，4)，C(3，5，0)，D(0，5，0)， ∴DA →＝(3，－5，4)，DB →＝(0，－5，0)，DC →＝(3，0，0)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD 的一个法向量，∴n 1⊥DA →，n 1⊥DB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧3x1－5y1＋4z1＝0，－5y1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x1＋4z1＝0，y1＝0. 可取n 1＝(4，0，－3)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面ADC 的一个法向量， ∵n 2⊥DA →，n 2⊥DC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x2－5y2＋4z2＝0，3x2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧5y2＝4z2，x2＝0. 可取n 2＝(0，4，5)．cos 〈n 1，n 2〉＝－155·41＝－341.∴sin 〈n 1，n 2〉＝4241＝48241.即二面角B －AD －C 的正弦值为48241.8．(2018·洛阳第一次统考)如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均是直角梯形，∠FAB ＝∠DAB ＝90°，二面角F －AB －D 是直二面角，BE ∥AF ，BC ∥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1. (1)证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； (2)求二面角F －CD －A 的余弦值．答案 (1)略(2)66解析 (1)由已知得，BE ∥AF ，AF ⊂平面AFD ，BE ⊄平面AFD ， ∴BE ∥平面AFD. 同理可得，BC ∥平面AFD.又BE ∩BC ＝B ，∴平面BCE ∥平面AFD. 设平面DFC ∩平面BCE ＝l ，则l 过点C.∵平面BCE ∥平面ADF ，平面DFC ∩平面BCE ＝l ，平面DFC ∩平面AFD ＝DF ， ∴DF ∥l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得DF ∥l.(2)∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，FA ⊂平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， 又∠FAB ＝90°，∴AF ⊥AB ，∴AF ⊥平面ABCD ， ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥AD.∵∠DAB ＝90°， ∴AD ⊥AB.以A 为坐标原点，AD ，AB ，AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D(1，0，0)，C(2，2，0)，F(0，0，2)，∴DF →＝(－1，0，2)，DC →＝(1，2，0)． 设平面DFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·DF →＝0，n·DC →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，x ＝－2y ，不妨取z ＝1，则n ＝(2，－1，1)，不妨取平面ACD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝16＝66，由于二面角F －CD －A 为锐角，因此二面角F －CD －A 的余弦值为66. 9．(2018·安徽合肥二检，理)如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E 为AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△PBE ，如图②所示，点P 在平面BCDE 上的射影O 落在BE 上．(1)求证：BP ⊥CE ；(2)求二面角B －PC －D 的余弦值． 答案 (1)略(2)－3311解析 (1)∵点P 在平面BCDE 上的射影O 落在BE 上，∴PO ⊥平面BCDE ，∴PO ⊥CE ，由题意，易知BE ⊥CE ，又PO ∩BE ＝O ， ∴CE ⊥平面PBE ，又∵BP ⊂平面PBE ， ∴BP ⊥CE.(2)以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，PO 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(12，－12，0)，C(12，32，0)，D(－12，32，0)，P(0，0，22)，∴CD →＝(－1，0，0)，CP →＝(－12，－32，22)，PB →＝(12，－12，－22)，BC →＝(0，2，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n1·CD →＝0，n1·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x1＝0，－12x1－32y1＋22z1＝0，令z 1＝2，可得n 1＝(0，23，2)为平面PCD 的一个法向量． 设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n2·PB →＝0，n2·BC →＝0，即⎩⎨⎧x2－y2－2z2＝0，y2＝0，令z 2＝2，可得n 2＝(2，0，2)为平面PBC 的一个法向量．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝3311，由图可知二面角B －PC －D 为钝角，故二面角B －PC －D 的余弦值为－3311. 10．(2017·山东，理)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E －AG －C 的大小． 答案 (1)30°(2)60°解析 (1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP.又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP.又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)方法一：取EC ︵的中点H ，连接EH ，GH ，CH.因为∠EBC ＝120°， 所以四边形BEHC 为菱形，所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝32＋22＝13.取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13－1＝2 3. 在△BEC 中，由于∠EBC ＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12， 所以EC ＝23，因此△EMC 为等边三角形， 故所求的二面角为60°.方法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，3，3)，C(－1，3，0)，故AE →＝(2，0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2，0，3)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m·AE →＝0，m·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x1－3z1＝0，x1＋3y1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧n·AG →＝0，n·CG →＝0，可得⎩⎨⎧x2＋3y2＝0，2x2＋3z2＝0.取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝12.由图形可知二面角E －AG －C 为锐二面角，因此所求的角为60°.11．(2017·广州综合测试一)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图②所示的几何体． (1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，二面角C －AB －D 的平面角的正切值为6，求二面角B －AD －E 的余弦值．答案 (1)略(2)12解析 (1)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， 又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD. 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB. 又折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD ＝D ， 所以AB ⊥平面ADC.(2)由(1)知AB ⊥平面ADC ，所以AB ⊥AC ，又AB ⊥AD ，所以二面角C －AB －D 的平面角为∠CAD. 又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AD. 依题意tan ∠CAD ＝CDAD ＝ 6.因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x(x>0)，则BD ＝x2＋1.依题意△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝CD BD ，即x 1＝6x2＋1.又x>0，解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD2＋CD2＝3.方法一：如图a 所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，6，0)，E(32，62，0)，A(33，0，63)，所以DE →＝(32，62，0)，DA →＝(33，0，63)． 由(1)知平面BAD 的一个法向量为n ＝(0，1，0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧m·DE →＝0，m·DA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋62y ＝0，33x ＋63z ＝0，令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3， 所以m ＝(6，－3，－3)． 所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n|·|m|＝－12.由图可知二面角B －AD －E 的平面角为锐角， 所以二面角B －AD －E 的余弦值为12.方法二：因为DC ⊥平面ABD ，过点E 作EF ∥DC 交BD 于F ，如图b 所示．则EF ⊥平面ABD. 因为AD ⊂平面ABD ， 所以EF ⊥AD.过点F 作FG ⊥AD 于G ，连接GE ，又EF ∩FG 于点F ， 所以AD ⊥平面EFG ，因此AD ⊥GE. 所以二面角B －AD －E 的平面角为∠EGF. 由平面几何知识求得， EF ＝12CD ＝62，FG ＝12AB ＝22，所以EG ＝EF2＋FG2＝ 2. 所以cos ∠EGF ＝FG EG ＝12.所以二面角B －AD －E 的余弦值为12.。