3.§1.2条件概率1.3加法公式
12条件概率13加法公式
条件概率与加法公式的注意事项
条件概率的注意事项
定义与公式：解释条件概率的定义和计算公式
条件概率与独立性：说明条件概率与独立性的关系
条件概率与贝叶斯定理：介绍条件概率与贝叶斯定理的应用 条件概率与概率的加法公式：解释条件概率与概率的加法公式的联系和区 别
加法公式的注意事项
理解公式中的每个符号的含义 掌握公式的适用范围 注意公式的正确使用方法 避免常见的错误和误解
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条件概率与加法公式
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CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 条件概率的定义与计算 3 加法公式的推导与理解 4 条件概率与加法公式的结
合应用 5 条件概率与加法公式的注
意事项
单击此处添加章节标题
条件概率的定义与计算
条件概率的概念
条件概率的定义 条件概率与无条件概率的关系 条件概率的计算方法 条件概率的应用场景
• 实例3：信用评分 * 条件概率用于评估一个人在有某种信用历史条件下获得贷款的概率。 * 加法公式用于综合考虑 多个因素，如收入、负债、信用历史等，计算出总的信用评分。
• * 条件概率用于评估一个人在有某种信用历史条件下获得贷款的概率。 • * 加法公式用于综合考虑多个因素，如收入、负债、信用历史等，计算出总的信用评分。
加法公式的理解与记忆
添加标题
理解加法公式的含义：加法公式是概率论中的基本公式之一，用于计算两个事件同时发生的概率。
添加标题
记忆加法公式的形式：加法公式的一般形式为P(AB)=P(A)P(B|A)+P(B)P(A|B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同 时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率，P(B|A)和P(A|B)分别表示在事件A发生的条件下事 件B发生的概率和在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A AA A =∪=∅∪Ω=Ω∪)(A B A A A A A =∪∩∅=∅∩=Ω∩)()(AB A B A B A −==−反演律：B A B A =∪BA AB ∪=∩∪n i i n i iA A 11===∪∩n i i n i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P −=若B A ⊂)()()(A P B P A B P −=−⇒对任意两个事件A ,B ,有)()()(AB P B P A B P −=−加法公式：对任意两个事件A ,B ,有)()()()(AB P B P A P B A P −+=∪)()()(B P A P B A P +≤∪)()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P ⋯⋯∪−≤<<≤≤<≤==−+++−=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()())0)(()()(12112112121>=−−n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P ⋯⋯⋯⋯w w w .k h d a w .c o m 课后答案网全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P −=≤−≤=≤<5．离散型随机变量(1)0–1分布1,0,)1()(1=−==−k p p k X P k k (2)二项分布),(p n B 若P (A )=pnk p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()(⋯=−==−*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有⋯,2,1,0!)1(lim ==−−−∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ(3)Poisson 分布)(λP ⋯,2,1,0,!)(===−k k e k X P kλλw w w .k h d a w .c o m 课后答案网6．连续型随机变量(1)均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=1,,0)(ab a x x F (2)指数分布)(λE ⎪⎩⎪⎨⎧>=−其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥−<=−0,10,0)(x e x x F x λ(3)正态分布N (µ,σ2)+∞<<∞−=−−x e x f x 222)(21)(σµσπ∫∞−−−=x t t e x F d 21)(222)(σµσπ*N (0,1)—标准正态分布+∞<<∞−=−x e x x 2221)(πϕ+∞<<∞−=Φ∫∞−−x t e x x t d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量(X ,Y )的分布函数∫∫∞−∞−=xy dvdu v u f y x F ),(),(w w w .k h d a w .c o m 课后答案网边缘分布函数与边缘密度函数∫∫∞−+∞∞−=xX dvdu v u f x F ),()(∫+∞∞−=dv v x f x f X ),()(∫∫∞−+∞∞−=yY dudv v u f y F ),()(∫+∞∞−=du y u f y f Y ),()(8.连续型二维随机变量(1)区域G 上的均匀分布，U (G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x A y x f (2)二维正态分布+∞<<−∞+∞<<∞−×−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+−−−−−−y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σµσσµµρσµρρσπσ9.二维随机变量的条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y ∫∫+∞∞−+∞∞−==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(∫∫+∞∞−+∞∞−==dxx f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X =w w w .k h d a w .c o m 课后答案网10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k kk p x X E ∫+∞∞−=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的k 阶原点矩)(k X E X 的k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的k 阶中心矩)))(((k X E X E −X 的方差)()))(((2X D X E X E =−X ,Y 的k +l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的k +l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((−−X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E −−w ww .k h d a w .c o m 课后答案网X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−)()())())(((X 的方差D (X )=E ((X -E (X ))2))()()(22X E X E X D −=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X −−=)()()(Y E X E XY E −=())()()(21Y D X D Y X D −−±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρw w w .k h d a w .c o m 课后答案网。
1-3概率的基本运算法则
数理统计
01-03-16
概率乘法公式 两个事件积事件的概率等于一
个事件的概率乘以这个事件发生的 条件下另一事件的条件概率，这就 是概率乘法公式。即
P(AB)=P(A)×P(B|A) (当P(A)>0时) P(AB)=P(B)×P(A|B) (当P(B)>0时)
数理统计
01-03-17
EXAMPLE In a large genetics study utilizing guinea pigs, 30% of the offspring produced had white fur and 40% had pink eyes. Tow-thirds of the guinea pigs with white fur had pink eyes. What is the probability of a randomly selected offspring having both white fur and pink eyes?
两两互不相容，则
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
数理统计
01-03-05
推论2 若有限个事件 A1,A2,…,An 之间，
两两互不相容，且 A1+A2+…+An=Ω， 则
P(A1)+P(A2)+…+P(An) =1
推论3 对立事件的概率满足
P(A) =1P( A )
数理统计
01-03-09
例 袋中有4只黑球和1只白球，每 次从袋中任意取出一球，并换入一 只黑球。连续进行，问第三次取出 的是黑球的概率是多少？
数理统计
大学概率论必背公式
，使对任意实数 x，都有
F ( x)＝P( X x)＝x f (u)du
则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 记为 X～ f (x) , (- < x <+)
2. 密度函数的性质
(3)
若
x是
f(x )
f (x)的连续点，
dF(x dx
)
.
（4）
P(a X b)＝ b f (u)du a
P{X xk } pk ,k 1,2,
数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值 （1）X ~（0—1）分布
（2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~（或）Poisson 分布
2. 连续型随机变量的数学期望
（1）X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为：
f(x )
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
8. 条件密度函数
1）fX|Y (x
y)
f (x, y) 称为Y fY ( y)
y下, X的条件密度函数
2）fY|X ( y
x)
f (x, y) 称为X fX (x)
x下,Y的条件密度函数
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
1.3概率的运算法则解读
若P ( A) 0, 则P ( AB ) P ( A) P ( B A). 同样, 若P ( B ) 0, P ( AB ) P ( B ) P ( A B ).
从而有P( AB) P ( A) P( B A) P ( B) P( A B).
推论
若 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB) PAC ) P ( BC ) P ( ABC )
推论 若A、B、C为任意三事件，则
对任意的n个事件有 P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
1 i j k n
e
e (1 1
k
) 1e
则
P ( A) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 e
所得结果与上同。
这里所讲的两种解法较为典型。前者从事件的互 斥分解开始，通常称为直接解法。其优点是较为直观， 易于理解，缺点是计算较繁琐。后者是从对立事件出 发，通常称为间接解法。其优点是应用了对立事件的 概率计算公式，使计算过程大为简化，在具体解决实 际问题中，应注意此方法的运用。
(2) 若已知选的一套住房是经济适用房，求它被困难 户购买的概率。
解 设A={任选一套住房被困难户购买}
3000 6 在已知B 发生的条件下，A的概率为 P( A B) 3500 7
(1) 由表可知，样本空间所含基本事件数为5000， 有利于A的基本事件数为3200。 3200 16 所以 P ( A) 5000 25 (2) B={ 选出的一套住房为经济适用房}
概率论的公式大全
概率论的公式大全1.基本概率公式：对于一个随机事件A，它发生的概率（记作P(A)）等于A包含的元素数目除以样本空间中元素的总数目。
P(A)=个数(A)/个数(样本空间)2.条件概率公式：对于两个事件A和B，如果B已经发生，则A发生的概率记作P(A，B)。
P(A，B)=P(A交B)/P(B)3.全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(A)=Σ(P(A，Bi)*P(Bi))，i=1到n4.贝叶斯定理：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(Bi，A)=(P(A，Bi)*P(Bi))/Σ(P(A，Bj)*P(Bj))，j=1到n5.独立事件公式：对于两个事件A和B，如果它们相互独立（即A的发生与B的发生没有任何关系），则它们的联合概率等于它们的乘积。
P(A交B)=P(A)*P(B)6.乘法公式：对于一系列独立事件A1，A2，...，An，它们的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
P(A1交A2交...交An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)7.加法公式：对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于各个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率。
P(A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)8.期望值公式：对于一个随机变量X和它的概率分布P(X)，它的期望值可以表示为：E(X)=Σ(Xi*P(Xi))9.方差公式：对于一个随机变量X和它的期望值E(X)，它的方差可以表示为：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 * P(Xi))，i为X的取值范围内的索引10.协方差公式：对于两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))11.相关系数公式：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以表示为：Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差12.大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，当n趋向于无穷大时，它们的算术平均值逐渐接近它们的期望值。
概率公式大全
第一章随机事件和概率第二章随机变量及其分布第三章二维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第七章参数估计单正态总体均值和方差的假设检验公式整理1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i in i iA A 11=== ni in i iA A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i kjinj i jini i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P )()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = pn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(k X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的 方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(222221212121)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9.二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X EX 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的 方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
概率公式大全
第一章? 随机事件和概率?第二章? 随机变量及其分布?第三章? 二维随机变量及其分布第四章? 随机变量的数字特征第五章? 大数定律和中心极限定理第六章样本及抽样分布第七章? 参数估计第八章? 假设检验单正态总体均值和方差的假设检验公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A AA A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)(反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃= 2．概率的定义及其计算若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()1()()()()(2111111n n nnk j i kjinj i jini i ni i A A A P A A A P A A P A P A P ΛΛY -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P )()(A P AB P 乘法公式()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛ全概率公式Bayes 公式4．随机变量及其分布 分布函数计算 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p *Possion 定理有 Λ,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk nn λλ(3) Poisson 分布 )(λP 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U (2) 指数分布 )(λE (3) 正态分布 N (? , ? 2 ) *N (0,1) — 标准正态分布 7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 边缘分布函数与边缘密度函数 8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布10.随机变量的数字特征 数学期望随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的 方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 X ,Y 的相关系数 X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2)协方差 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ*N (0,1) — 标准正态分布 7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 边缘分布函数与边缘密度函数 8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) (2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布10.随机变量的数字特征 数学期望随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的 方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 X ,Y 的相关系数 X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2)协方差 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
条件概率及全概率公式
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
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pk (1
p)nk
其中：p是试验中事件A发生的概率；
C
k n
表示n个
不同元素中取k个
的组
合数
例6. 某气象站天气预报的准确率为80%， 5次预报中
恰有4次准确的概率；
19
问题3 — 计算独立重复事件的概率
例6. 某气象站天气预报的准确率为80%， 5次预报中 恰有4次准确的概率.
解 5次预报中有4次准确是n次独立重复试验中某事
P( A) 0.7, P( A) 1 P( A) 0.3 P( AB) P( A)P(B) 0.30.6 0.18
16
典型问题2—计算独立事件的概率
例4. 甲、乙二人各进行一次射击，甲击中目标的概率 是0.8 , 乙击中目标的概率是0.9 , 两人都射击一次. 求: (1)两人都没击中目标的概率,(2)目标被击中的概率.
7个黄球, 玻璃球中有2个红球4个黄球,从盒中任取1个球,
设:事件A表示取到玻璃球，事件B表示取到红球，
则: 条件概率 P( A | B) 4
P(A | B) P(AB) 16 P(B) 11
4 11
16
因为事件B表示取到红球, B 表示取到黄球,
P(B) 11 16
A B 表示取到玻璃球且是黄球,
例如. 检验一批产品从中任意取一件, 检验后就放回，再 取一件检验，那么第一检验不影响第二次检验结果,所以 二者为独立事件。
但是从中任意取一件不放回, 再取一件检验，那么第 一次检验影响第二次检验结果, 所以二者不为独立事件.
13
典型问题2 ——事件独立性解题 例3. 甲、乙二人各进行一次射击，甲击中目标的概率是
一级品. 求:任取1件产品它是一级品的概率？
解:任取1件产品它是一级品相当于它是合格品且是一级品 所以: 设事件A={合格品}，B ={一级品} 则P(A)=96, P(B/A)=75 所以任取1件产品,它是一级品的概率P(AB) P(AB)=P(A)P(B/A) =9675= 72
所以任取1件产品,它是一级品的概率0.72 . 总结：通过设事件A. B及条件概率，能够把已知条件 利用上，如果设任取1件产品,它是一级品。则不容易 11
解: 设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}
A与B两个事件是相互独立的. 且
转化为对立
p(A) 10.8 0.2, p(B) 10.9 0.1, 事件更容易
A 与B也相互独立
p( A B) p( A) p(B) 0.2 0.1 0.02
(2)目标被击中与都没击中是相互对立事件
若 P(B)>0 (B先发生且影响A), 则P(AB) = P(B)P(A|B)
(2)推论 若 P(A1A2 ······An1)> 0，则
P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······P(An|A1A2 ······An1)
10
典型问题1 —— 计算积事件的概率 例1.已知全部产品有4废品率，而合格品中有75是
0.6; 乙击中目标概率是0.8,求都击中目标的概率是多少? 解:都击中目标这件事相当于甲击中目标且乙击中目标. 所以设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}.由于甲、乙 二人各进行一次射击互不影响.A与B两个事件是相互独立 的. 所以两人都击中目标 的概率：
P(AB) = P(A)·P(B) = 0.6×0.8 = 0.48
例2. 设某种动物由出生算起活到12年以上的概率为0.8， 活到16年 以上的概率为0.2. 问现年12岁的这种动物， 它能活 到16年以上 的概率是多少？ 解：设A={能活12年以上}，B={能活16年以上}
所求为P(B|A) 依题意， P(A)=0.8 , P(B) = 0.2 ∵BA, 则 P(AB) = P(B) = 0.2
件A 发生k 次的概率. 设事件A表示“预报准确”，
概率p = 0.8 , n = 5, k = 4.
Pn (k)
C
k n
pk (1
p)nk
P5 (4) C54 p4 (1 p)54
5 (0.8)4 (1 0.8)1 0.41
所以 5次预报中恰有4次准确的概率是0.41
20
§1.3.3 乘法公式总结
典型问题1 —— 计算积事件的概率
例2. 袋中有7个黑球和2个白球, 每次任取1球,不放回取两 次, 求:两次都取到是黑球的概率.
解 设A={第一次取到黑球}, B ={第二次取到黑球} 则两次都取到是黑球这件事 = AB 根据乘法公式 P(AB)= P(A)P(B/A) .那么第一次取到 黑球概率P(A)=7/9, 在取到黑球的条件下不放回,
证明：如图 设随机试验用矩形面积S表示，事件A与B
3. 若事件A1, A2...An 相互独立，那么这n个事件同时 发生的概率，等于每个事件发生的概率的积
P(A1·A2·…·An) = P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
15
44页1.19-(7) 若事件A 与 B 相互独立，P( A) 0.7 P(B) = 0.6, 则 P(AB) ____. 解: 事件A与B 相互独立，则: P(AB) P(A)P(B)
14
2.独立事件的性质
1. 如果事件A 与 B 相互独立，而且P(A)>0 (A发生) 则: P(B|A)= P(B)
证明 由于事件 A 与 B 相互独立，故P(AB) = P(A)P(B)
因此，
PB
A
PAB PA
P( A)P(B) P(B) P( A)
2. 若 事件A与B 相互独立，则: A 与 B、A 与 B、A 与 B也相互独立
p( A B C ) 1 p( A) p(B)P(C )
1 0.80.750.7 1 0.4 0.6
18
§1.3.3 独立重复事件的概率 1.定义: 在相同的条件下重复地各次之间相互独
立地进行的一种试验.
2. n 次独立重复试验中某事件A 发生k 次的
概率公式：
Pn (k )
C
k n
含基本事件数为rAB , 于是有
rAB
P(B
|
A)
事件AB包含的基本事件数 事件A包含的基本事件数
rAB rA
n rA
P( AB) P( A)
其中n表示基本事件总数
n
3
3. 典型问题 —用定义求条件概率 例1.袋中有5个黑球和3个白球, 从中任取1个, 不放回取2 次. 设事件A表示第一次取到黑球, 事件B表示第二次取 到黑球. 计算事件A的发生的条件下事件B的概率 P(B|A) .
又取到黑球概率P(B/A)=6/8. 所以P(AB)= P(A)P(B/A)=7/96/8=7/12 实际上: 第二次也取到黑球的概率P(B)=6/8
所以 P(AB)= P(A)P(B)=7/96/8=7/12
答: 两次都取到是黑球的概率为7/12.
12
§1.3.2 独立事件的乘法公式
定义1.3 对于事件A, B, 如果A的发生对B发生没有影响, 这样的两个事件叫做相互独立事件. 且P(AB)=P(A)P(B)
P(A B) 4
16
8
9
§1.3 乘法公式 27页
1.积事件: 事件A 与事件 B同时发生这件事，称事件A
与B的积事件. 记作：AB 由条件概率公式 P(B | A) P( AB)
P( A)
得到积事件AB的概率计算公式
A AB B
2. 乘法公式 :
(1)若 P(A)>0 (A先发生且影响B), 则P(AB) = P(A)P(B|A)
则AB={既刮风又下雨}. 所以在刮风条件下,下雨
的概率P(B/A)
P (A) = 4 ， P (B) = 2 且P ( AB) = 1
15
15
10
1
P(B | A) P(AB) P ( A)
10 4
1 15 3 10 4 8
15
6
条件概率公式：P(B | A) P( AB) P( A)
6(1)2 (1)2 6 2 2 16
23
§1.2 概率加法公式
24
§1.2 加法公式 21页
1. 和事件
设事件A和B，则两个事件至少有一个发生这件事称为
和事件. 计作：A+B 如图
2. 一般加法公式 求事件A和B，至少有一个发生的概率
B AB A
公式： P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)
记忆口诀: 在事件A发生的条件下事件 B的发生的概率 等于它们同时发生的概率除以事件A的概率。
条件概率公式：P( A | B) P( AB) P(B)
记忆口诀: 在事件 B 发生的条件下事件 A 的发生的概率 等于它们同时发生的概率除以事件B的概率。
7
作业: 45页(4)
盒中装有10个木质球与6个玻璃球, 木质球中有3个红球
解:因为在事件A的发生的条件下事件B才发生，意味着 第一次取到黑球不放回, 那么袋中剩下7个球(缩减样本 空间), 所以基本事件总数n=7. 而且黑球数量减少为4， 事件B发生表示第二次取到黑球, 则m = 4
P(B A) 4 7
条件概率特点：样本空间(基本事件数目)缩减
4
典型问题 —用公式计算条件概率
P(B | A) P( AB) P(B) 0.2 0.25 P( A) P( A) 0.8
条件概率特点：样本空间(基本事件数目)缩减
5
课堂作业 —用公式求条件概率
某地区刮风天气的概率为4/15，下雨的概率为2/15, 既刮风又下雨的概率1/10, 求:在刮风条件下,下雨的概率.
解: 设事件A={刮风天气}，事件B ={下雨天气}
每局比赛甲均取胜. 取比赛局数n =3, 获胜局数 k =3,