【全国校级联考】湖北省部分重点中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试卷(解析版)

湖北省部分重点中学2017-2018学年度下学期高二期中考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数（是虚数单位）是实数，则实数（）A. 0B. -3C. 3D. 2【答案】A【解析】复数（是虚数单位）是实数，故故答案为：A。

2. 对下列三种图形，正确的表述为（）A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【答案】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．3. 已知函数f(x)＝，则＝( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因此，选A.4. 在复平面内，O是原点，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i, 1＋5i，那么对应的复数为( )A. 4＋7iB. 1＋3iC. 4－4iD. －1＋6i【答案】C【解析】，选C.5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝( )A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】A【解析】循环依次为结束循环，输出，选A.6. 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】D【解析】函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x) 在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．选D视频7. 已知“整数对”按如下规律排一列: ，则第2017个整数对为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设“整数对”为（m，n）（m，n∈N*），由已知可知点列的排列规律是m+n的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大．当m+n=2时只有一个（1，1）；当m+n=3时有两个（1，2），（2，1）；当m+n=4时有3个（1，3），（2，2），（3，1）；…当m+n=64时有63个（1，63），（2，62），…，（63，1）；其上面共有个数对。

所以第2017个整数对为。

选C。

8. 已知，则下列三个数（）（）A. 都大于6B. 至少有一个不大于6C. 都小于6D. 至少有一个不小于6【答案】D【解析】假设3个数，，都小于6，则利用基本不等式可得，，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数，，至少有一个不小于6，故选D.点睛：本题考查反证法，考查进行简单的合情推理，属于中档题，正确运用反证法是关键. 9. 在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( )A. B. r C. r D. r【答案】D【解析】设，则上底为，高为，因此梯形面积为因为由，得，根据实际意义得时，梯形面积取最大值，此时上底为，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.10. 设为实数，函数的导数为，且是偶函数，则曲线：在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，因为为偶函数，故，所以且，因此且切线的斜率，故而切线方程为：，整理得.选D.点睛：（1）一般地，对于多项式函数，如果为偶函数，那么；如果为奇函数，那么.（2）曲线在某点处的切线的斜率，就是函数在该点横坐标处的导数，因此切点的横坐标是处理切线问题的核心.11. 函数在的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以去掉B;当时，解得，所以舍去D，选C......................12. 定义在上的减函数，其导函数是满足，则下列结论正确的是（）A. 当且仅当B. 当且仅当，C. 对于D. 对于,【答案】D【解析】由题意，故当时，，则；当时，，则，应选答案D。

点睛：解答本题时充分运用题设条件，运用分类整合的思想与函数方程思想，如当时，，则，则是借助大于函数的最大值进行推证；当时，，则，这是借助不等式的传递性进行进行合理的推理和论证，最终使得问题获解。

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，均不得分.13. 设集合，，若，则最大值是________【答案】【解析】由得：，则x=1时，时，，当时，当时，.故答案为.14. 根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65，则输出的数是________．【答案】50.6【解析】因为，所以输出15. 已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，则该四棱锥的高为________.【答案】8【解析】设正四棱锥底面边长为则高为，所以正四棱锥的体积为，由得，由极值唯一性可知当时，取最大值，此时高为【答案】2016【解析】，因此关于对称，即设，则因此点睛：函数对称性代数表示（1）函数为奇函数，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，（3）函数周期为T,则三、解答题：共6题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）z＝－2i（2）m∈(－∞，－2)【解析】【试题分析】（1）将代入，再借助是实数，其虚部为0建立方程求出的值；（2）将代入，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，通过解不等式组求出的取值范围：解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是实数，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵复数所表示的点在第一象限，∴，解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．18. 你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，x应取何值？(2)若厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，x应取何值？【答案】（1）x＝15 cm时包装盒侧面积S(x)最大．（2）x＝20 cm时包装盒容积V(x)最大．【解析】试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．设包装盒的高为，底面边长为由已知得（1）∵2分∴当时，取得最大值3分（2）根据题意有5分∴。

由得，(舍)或。

∴当时；当时7分∴当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为即包装盒的高与底面边长的比值为10分．考点：1．函数的应用问题；2．函数的最值与导数；3．二次函数的图像与性质．视频19. 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【答案】（1）a n＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据条件求出等差数列的公差，然后再求和．（2）用反证法证明．试题解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，则S3=3a1+3d=9+3，又a1=1+，解得d=2，所以，．(2)由(1)得b n==n+，假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r(p，q，r互不相等)成等比数列．则=b p·b r，即(q+)2=(p+)·(r+)，整理得(q2-pr)+(2q-p-r)=0，所以消去q得=pr，即(p-r)2=0，所以p=r．与p，q，r互不相等矛盾．所以数列{b n}中任意不同三项都不可能成等比数列．点睛：（1）结论若是“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”形式的命题，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，证明时可考虑使用反证法．（2）用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样：有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，但推导出的矛盾必须是明显的．20. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝3, BC＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求三棱锥A－BCD的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】解：试题分析：(1)利用题意证得CD⊥平面ABC.然后由面面垂直的判断定理即可证得平面ACD⊥平面ABC.(2)三棱锥的体积关键在于选择合适的顶点和底面，以点A为顶点计算可得VA－BCD＝试题解析：(1)∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)由(1)知，CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB.又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.∴V A－BCD＝V B－ACD＝·S△ACD·AB.又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD=3 ，∴AC＝.∴V A－BCD＝21. 已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．【答案】（1）[－1，＋∞)（2）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.解析：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)22. 已知函数f(x)＝＋ax，x>1.(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值；(3)若方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围【答案】（1）（2）4e(3) (4e，3e]【解析】试题分析：利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：1.已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；2.已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为（或）恒成立的问题；3.已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．试题解析：（Ⅰ）,由题意可得在上恒成立；∴∵，∴，∴时函数的最小值为，∴（Ⅱ）当时，令得，解得或（舍），即当时，，当时，∴的极小值为（Ⅲ）将方程两边同除得整理得即函数与函数在上有两个不同的交点；由（Ⅱ）可知，在上单调递减，在上单调递增，当时，∴实数的取值范围为考点：本题主要考查导数的运用.。