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求变系数椭圆形偏微分方程的非齐次柯西问题近似特解的一种正则化方法李明陈文 C. H. Tsai z2011年7月摘要用径向基函数(RBFs)表示函数公认很灵活。

基于模拟方程法的概念和径向基函数。

在本文，首次考虑使用近似特解方法(MAPS)求解变系数椭圆形偏微分方程（PDEs）的不适定柯西问题。

我们证明，使用Tikhonov 正则化，近似特解方法会给椭圆形偏微分方程及不规则解空间带来一个有效的、准确的数值算法。

有效且准确。

比较上面提出的近似特解方法和Kansa 方法，计算结果表明用上面提出的近似特解方法求解不适定柯西问题是有效的、准确的且稳定的。

1 引言根据给定的便接受或者内部的信息，椭圆偏微分方程(PDEs) 大致可以分为以下五个主要问题：1.边界值问题[2，6]。

这些问题已经发展和应用很长一段时间。

例如：Dirichlet, Neumann 或者 Robin 混合问题。

2.Cauchy问题[23]。

这些问题也被称为边值的确定问题。

对于椭圆形Cauchy问题，Dirichlet和Neumann边界条件只在解空间边界的一部分给定。

3.边界的确定问题[11]。

这些是工程上典型的非破坏性测试问题。

这些问题确定解空间的未知边界。

4.系数的重建问题[26]。

5.潜在源的确定问题。

上述问题中。

只有第一个问题是适定的。

适定问题的定义是由Hadamard【7】给出的。

他认为，为某物理现象建立的合适的数学模型应具有以下三个属性：存在，唯一且稳定。

如若其中之一不满足，则建立在物理现象之上的这个数学模型就是不适定的。

然而,越来越多的不适定问题正出现于科学cs,中国香港特别行政区，香港城市大学相关作者，中国南京河海大学工程力学系型的逆问题，从Hadamard角度上来说，他们是不适定的，因为测量数据任何小误差都可能导致解的大差距。

偏微分方程的系数通常对应于问题的材料参数。

在非均匀介质中，材料参数可能会随位置而变化。

因此在非均匀介质的物理问题的控制方程中很可能会涉及到变系数。

因而，我们有时会遇到非均匀介质的物理问题，它的控制方程中含有变系数。

此文中，我们限定研究变系数椭圆形方程。

很多作者已经在理论和数值方法方面研究了可惜问题的性质。

柯西问题解的唯一性和条件稳定性是由Payne[21] 、 Cheng a、Yamomoto [5]给出的。

在过去几十年，很多数值方法都被用于解决此类问题。

它们主要分为两类：迭代方法和网格单步方法。

迭代方法主要是使用有限元法（FEM）或有限差分法(FDM)求解不适定问题。

另一类方法是用于求解无迭代的柯西问题。

然而，以前的大多数文章只考虑到常系数椭圆偏微分方程径向基函数（RBFs）已被用作给定的椭圆型微分方程的近似特解的基本函数。

由于特解满足域上给定的非齐次方程，只有加上边界条件才能得到给定非齐次问题的解。

基于这个想法和模拟法(AME)，最近引入近似特解法（MAPS）来估计给定的微分方程[24]的特解。

本文的目的是提出一种使用近似特解法的数值方法来研究针对变系数椭圆型方程的柯西问题，而不需要获得均解。

为了处理测量数据的偏差，我们使用带L-曲线法[10，8]的标准的Tikhonov正则化技术求最佳正则化参数，以解决由此产生的高度病态线性方程组。

较之在[4, 15, 13, 23]中提出的方法，这是一种新方法。

2 Standard Formulation 标准制定微分方程的系数通常对应于问题中材料的参数。

在非均匀介质中材料参数可能会随位置而变化。

因此在非均匀介质物理问题的控制方程中很可能会涉及到变系数，例如无损试验[1, 11]。

它经常出现于监测的铁杆熔化过程中边界腐蚀的可能性中。

因此，我们有时会遇到非均匀介质的物理问题，它的控制方程中含有变系数。

考虑本文中有界的连通域Ω∈ Rd, d = 2, 3，和如下的传统柯西问题：()()()(),∆=-∙∇∈（4）u x f x p x u x xπ假定存在函数()()()()()()=-∙∇-满足泊松方程F x f x p x u x q x u x∆=∈Ω（5）u x F x x()(),该泊(2) and (3)，同我们原始的柯西问题（1）- （3）有相同的解。

3 近似特解法基于AEM[14]的观点，（1）可转换成以下标准型泊松方程：∆=-∙∇-. (6)u x f x p x u x q x u x()()()()()()假定（5 ）中的u(x)是所寻求的解，则我们重写右侧作为关于x的一个函数，这意味着我们有个标准的泊松方程1()()mj j j F x x λφ=≈∑ （8）由(7) 和 (8)，根据叠加原理，u(x)可近似如下：1()()mj j j u x x λφ=≈∑， （9）()()r r φφ∆= （10）在删除派生Φj过程中的奇异性时要特别小心。

一般地，虚构的函数F（x）可能含有未知函数。

因此。

可以用(9)来替代(1)-(3)中的u(x)其中且我们在域Ω的内部选定nI搭配点{xi}nI，在边界Γ上选定nB边界点{}1Ini ix=，其中n = nI + nB.接着，我们又以下的矩阵系j 能通过求解其中，未知系数λ上面的矩阵方程算得。

在矩阵形式中，未知系数λj 的值可以通过求解下面的矩阵方程获得其中以及显然，A是个(n+2nB)×m矩阵，它通常不是方阵。

传统的标准数值方法是最小二乘法，涉及到选择λ使最小化，其中˜b是高斯噪音中实测的实指导数据。

由于原始问题(1)-(3) 高度不适定，大多数标准的数值方法在求解矩阵方程(21)时会因为A的严重病态而无法获得良好的准确性。

已经建立了几种正则化方法来求解各类病态问题[8].在比对中，我们采用Tikhonov 正则化方法[20]来求解矩阵方程(21)方程（21）的Tikhonov 正规化解定义为以下最小二乘问题的解：其中∥•∥表示通常的欧几里德范数，σ被称为正则化参数。

4 参数在我们提出的方法中，有3个参数：正则化参数α，形参c 以及搭配点的个数n。

首先，给定一个固定的形参c，我们选择正则化的参数σ.确定正则化参数σ的适值很关键，这仍在深入研究中[22，20]。

我们计算之下，选用L-曲线法，这是一种排除噪声的方法以确定一个合适的σ值。

L-曲线法首先被Lawson and Hanson [17]应用，最近更多的是由Hansen and O’Leary [10]应用于研究正则化参数σ在不同值下的正则化体系的属性。

L-曲线法刻画如下：定义一条曲线这条曲线就是所谓的L-曲线，对应于L-曲线[8]“角落”附件的正则化解即是一个合适的正则化参数σ。

经计算，我们使用由Hansen [9] 开发的Matlab 编码来解决离散的不适定体系(21)。

用表示(21)的正则化解。

问题(1)-(3)的近似解则由给出。

数值解以及解的偏导数的准确性分别由RMSE (均方根误差) 和 RMSEx来衡量，它定义如下：以及其中，N是我们在域Ω中一致选择的测试点的数量。

在讨论参数c之前，我们也定义离散无穷范数和残差如下：且其中，˜ fj 是高斯噪音下f(xj)的原项，˜gj和˜hj是高斯噪音下的边界条件g(xj+nI )和h(xj+nI )。

形参c在MQ.中起关键作用。

有很多文献[19, 25]是研究怎样选择这一形参的。

然而，大多数是围绕适定问题的。

基本思想是一致性原则。

换句话说，解u 的均方根误差是符合给定条件下的误差。

在下节中，图一表示例1中的均方根误差和残差。

显然，均方根误差曲线和残差曲线不像适定问题中那样平滑。

然而，这两条曲线仍保持一致性且在这个例子中，存在一个置信区间[2.5,4.5]。

这便可以使解有良好的精度。

因此，我们仍然选择满足残差最小化的c。

图2 显示了该方法的数值结果是关于n的指数方式收敛。

5 数值样例图1：关于c的均方根误差和残差曲线为了证明上节中我们提出的数值方法的有效性和稳定性，本节介绍了几种求解二维空间下的泊松方程的方法。

同时，真正有用的数据总是在有某些噪音的情况下测量的，因此，在下面的数值试验中，高斯白噪音将如下添加到所以已知数据中其中，称δ为噪音水平， randn 是高斯随机数5.1 两个二维例子例 1 在第一种情况下，我们出来泊松方程典型的柯西问题。

令计算域Ω是正方形(0, 1)×(0, 1)，已知的边界{}Γ==∈∈∈。

考虑方程x x y x y(,):[0,1],[0,1]其精确解，在这里，边界值g 和 h 可以推得。

为了探索此方法求解含变系数的椭圆方程的柯西问题的应用，我们选择了一系列不同的噪音水平δ。

在这个例子中，我们总是选择以下参数: nI = 324, nB = 60, m = 400, N = 400以及*。

c c图2：关于n的RMSE 和RMSEx曲线表1：在不同噪音水平下，使用此方法得到的数值结果表中显示了本方法得到的数值结果和形参c1.可以看出，即便δ取0.1这个大值，我们提出的方法得到了精确的数值解。

为了说明，即便所用的容忍噪音水平δ大，我们提出的方法是有效的、精确的，在表2中，将我们的RMSE和 RMSEx数值结果与用Kansa方法得到的数值结果进行比较。

对于小的容忍噪音水平δ，两种方法都是有效精确的。

然而对于大的容忍噪音水平δ，我们提出的方法更为精确，特别针对于RMSEx.表2：不同噪音水平下，使用Kansa 方法和MAPS得的数值结果为了进一步探讨此方法在解决泊松型柯西问题上应用，在第二种情形中，我们仍考虑完全相同的解u和域Ω。

我们也选择相同的参数，如下：nI = 324, nB = 20（部分指定），nB = 40（同等指定），nB = 60（多余指定），m = 400, N = 400 以及*。

此处，柯西数据在三种不同情形（部分c c指定、同等指定、多余指定）下，我们测试数值解的精度。

访问边界Γ给出如下：部分指定：同等指定:多余指定:其中，量(Γ) 表示二维空间中边界Γ的长度。

图3中给出数值结果，从图3可以发现，越多的使用边界上的柯西数据大大增加了解的精确度。

即便在部分指定情况下，我们提出的方法仍然表现良好。

图3：不同边界下的RMSE线例2 令计算域的边界是由参数方程定义的Cassini 曲线其中以及给出可达边界如下：考虑下面Helmholtz 方程其中其精确解是u(x, y) = sin x cos y，边界数据˜gi 和˜hi可以从中推得。

这个例子的数据结果是建立在下面的参数之上：n = 576 m = 50 以及 c_ = 7.386.图4和图5分别显示了u 的近似及在噪音水平δ = 0.01的域Ω上其误差。

它的 RMSE i是3⨯。

可5.438102.36910-⨯，RMSEx i是-3以看出，在不规则域上，我们提出的方法得到了精确的数值。