第0 11_01讲引言

1前言

1.1研究背景

生活和工作中，处处遇到随机过程

电话总机占线，

银行排队，

互联网的传输延迟和流量，

赌博，

信号衰落，

信号被噪声淹没。

教科书中的举例：

电话呼叫的次数随时间的变化，

原子的能量（能级）随时间的变化，

液面上微粒的布郎运动，

掷硬币的伯努利过程，

振荡器输出的随机相位正弦波过程，

放大器的输入热噪声。

需要对随机过程的规律进行认识，

需要对随机过程进行处理：缓存、控制，估值、平滑、滤波。

1.2研究内容

典型的随机过程：

高斯过程、泊松过程等，

随机过程的数学表述和分析方法：

规律、数字特征，

随机过程经过系统的特性分析：

信噪比、错误概率、利用率，

对随机过程进行处理的系统设计：

估值，检测，滤波。

应用领域

信息论和编码理论

数字通信

扩展频谱通信

无线通信

数字信号处理

通信网原理。

1.3参考文献

陆大经：随机过程及其应用，

周荫清：随机过程导论，

汪任官：概率论引论，

Papoulis:“Probability, random variable, and stochastic processes”，

Feller:“An introduction to probability theory and its applications”，

Haykis:“Adaptive filter theory”。

1.4先行课程

概率论和数理统计

信号与系统

典型的随机变量的分布，

典型的随机变量的数字特征。

1.5课程安排

随机过程引论

马尔可夫链

马尔可夫过程

二阶矩过程、平稳过程和随机分析

随机过程谱分析和随机过程通过线性系统

高斯过程

估值过程

2随机过程的数学描述和分类

2.1随机过程举例：

确定性过程和随机过程：确定性过程完全可以用一个时间函数来描述；随机性过程每一次观察的事件是不同的，每一次观察的一个实现是一个时间的函数；随机过程在任意一组给定时刻的取值是一组随机变量。

典型的确定性过程：

电容器的冲放电过程，

典型的随机过程：

例01-1、一维随机游动

例01-2、调幅脉冲序列。

例01-3、随机幅度的正弦波过程。

例01-4、随机相位的正弦波过程，它的一维概率密度函数。

例01-5、调幅脉冲序列。

结论1：

描述一个随机过程，可以用对应的一组随机变量的概率密度函数或概率分布函数， 典型的随机过程（续）：

例01-6、随机相位的正弦波过程，它的均值和相关函数。

例01-7、随机电报信号。

例01-8、随机相位幅度的正弦波过程，求它的均值和相关函数。

结论2：

描述一个随机过程，可以用对应随机过程的数字特征：均值、相关函数、矩。

2.2随机过程的数学描述：

定义：

设{}P F ,,Ω是概率空间，T 是直线上的参数集（可列的或不可列的），若对于每一个T t ∈)(),(ωξωξt t =是随机变量，则称}),,({T t t ∈ωξ为该概率空间上的随机过程。

观察一个随机过程：

给定一次实验，随机过程是一个时间序列或一个时间函数，

对于确定的时刻，随机过程的观察值是一个随机变量。

给定一组时刻，随机过程的取值是一组随机变量，随机过程的统计特性由有限维分布函数来描述：

12,,1212121122(,,)(,,;,,)

{(),(),()}

n t t t n n n r n n F x x x F x x x t t t P t x t x t x ξξξ==<<<"""""。

随机过程的数字特征：

均值：)}({)(t E t ξμξ=

方差：})]()({[)(22t t E t ξξμξσ?=

自相关函数：)}(),({),(2121t t E t t R ξξξξ=

中心矩： 自协方差函数：)]}()([)],()({[),(221121t t t t E t t C ξξξξμξμξ??=

互相关函数：)}(),({),(2121t t E t t R ηξηξ=

混合中心矩：

互协方差函数：)]}()([)],()({[),(221121t t t t E t t C ηξηξμημξ??=

结论：描述一个随机过程：

对应一组随机变量的概率密度函数或概率分布函数，来描述随机过程，

对应随机过程的数字特征：均值、相关函数、矩（中心矩）来描述随机过程。

2.3随机过程的分类：

离散时间（宗量）、离散取值的随机过程，

例01-随机游动

例01-伯努利过程

离散时间（宗量）、连续取值的随机过程，

例01-调幅脉冲序列

连续时间（宗量）、离散取值的随机过程，

例01-计数过程

例01-泊松过程

连续时间（宗量）、连续取值的随机过程。

例01-高斯过程

例01-维纳过程

2.4两个或两个以上的随机过程

数学描述：

对应两组或多组随机变量的概率密度函数或概率分布函数，

对应两组或多组随机过程的数字特征：均值、相关函数、矩（中心矩）。

2.5 随机过程的基本概念

二阶矩过程

设有随机过程{(),}t t T ξ∈，若对每个t T ∈，()t ξ的均值和方差都存在，则称 ()

t ξ为二阶矩过程。

随机过程的平稳性 严平稳随机过程

设有随机过程{(),}t t T ξ∈，对任意正整数n 及选定时间,1,2,i t T i n ∈=",以及任意时间间隔τ和123,,,,n x x x x R ∈"，有n 维分布函数 12121212(,,,;,,,)(,,,;,,,)n n n n F x x x t t t F x x x t t t ξξτττ=+++"""" 则称该过程为严平稳随机过程。

宽平稳随机过程

设有一个二阶矩随机过程{(),}t t T ξ∈，它的均值是常数，相关函数仅是21t t τ=?的 函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。

习题

第一章

1、2、4、5、10、11