第九节圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课件
(2)求△ABP 面积的最大值． [解] 设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，P(x0，y0)， 由yx＝2＝k4xy＋，m， 得 x2－4kx－4m＝0. 于是 Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k2＋m)． 由 PF ＝3FM ，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)， 所以xy00＝＝4－－66kk，2－3m.
4 ＝4 5
5 5.
由yx＝2＝2－x－2y2，， 得 x2＋4x－4＝0，故 x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，
所 以 |AB| ＝ 1＋k2 × x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋22 × －42－4×－4＝4 10.
4 所以△ABP 面积的最大值为
10×4 5 2
5 ＝8
2.
建立目标函数求最值 [例 2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛 物线 C：x2＝4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，
第九节圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
本节主要包括3个知识点： 1.圆锥曲线中的最值问题； 2.圆锥曲线中的范围问题； 3.圆锥曲线中的几何证明问题.
界首一中王超 2018.2.2
突破点(一) 圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不 等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但 总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的 定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表 示为某个些参数的函数解析式，然后利用函数方法、不 等式方法等进行求解.
(2)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时，求△ABP 面积的最大值．
解：设 P(x0，y0)，依题意，知抛物线过点 P 的切线与 l 平行时，
△ABP 的面积最大，又 y′＝－x，所以－x0＝2，故 x0＝－2，y0
＝－12x20＝－2，所以 P(－2，－2)．
此时点
P
到直线
l
的距离
d＝|2×－222＋－－－122－2|＝
Hale Waihona Puke 55 15 .所以△ABP面积的最大值为251635 5.
[方法技巧] (1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用
图象性质来求解． (2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，
则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最 值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换 元法等．
对应演练
记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1－13<m≤43，
令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，
解得m1＝19，m2＝1，
可得f(m)在 －13，19 上是增函数，在 19，1 上是减函数，在 1，43上是增函数，
又f19＝225463>f43＝59.
所以当m＝19时，f(m)取到最大值225463，此时k＝±
由x20＝4y0得k2＝－15m＋145，
由Δ>0，k2≥0，得－13<m≤43.
又因为|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝4 1＋k2· k2＋m， 点F(0,1)到直线AB的距离为d＝ |m1－＋1k|2，
所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1| k2＋m
＝ 16 15
3m3－5m2＋m＋1.
1.平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率
为 23，左、右焦点分别是 F1，F2.以 F1 为圆心、以 3 为半径的圆
与以 F2 为圆心、以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上． (1)求椭圆 C 的方程；
(2)设椭圆 E：4xa22＋4yb22＝1，P 为椭圆 C 上任意一点．过点 P 的直
利用几何性质求最值
[例1]
设P是椭圆
x2 25
＋
y2 9
＝1上一点，M，N分别是两
圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的
最小值、最大值分别为
()
A．9,12
B．8,11
C．8,12
D．10,12
[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可 知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭 圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA， PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA| ＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点， 此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小 值和最大值分别为8,12.
点 M 为 AB 的中点， PF ＝3FM . (1)若|PF|＝3，求点 M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值． [解] (1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y＝－1. 设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得 y0＝2， 所以 P(2 2，2)或 P(－2 2，2)， 由 PF ＝3FM ，得 M－232，23或 M232，23.
解：(1)由yx＝2＝k－x－2p2y，， 得 x2＋2pkx－4p＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2) －4＝－2pk2－4.
因为OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4， －12)，所以－ －22ppkk＝ 2－－4＝4，－12， 解得pk＝＝12， . 所以直线 l 的方程为 y＝2x－2，抛物线 C 的方程为 x2＝－2y.
[答案] C
[方法技巧] 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定
理、性质等进行求解，也叫做几何法．
对应演练
1.如图所示，已知直线 l：y＝kx－2 与抛物线 C： x2＝－2py(p>0)交于 A，B 两点，O 为坐标原 点，OA＋OB＝(－4，－12)． (1)求直线 l 和抛物线 C 的方程； (2)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 解：(1)由yx＝2＝k－x－2p2y，， 得 x2＋2pkx－4p＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2) －4＝－2pk2－4.
人教版数学选择性必修第一册综合复习：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课件
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接
QE并延长交C于点G.
(i)证明:△PQG是直角三角形;
(ii)求△PQG面积的最大值.
[例1] (课标全国Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0), B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM
1
2
的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
2
=1.
1. (洛阳统考)已知椭圆C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0), O为坐标原点, F(- 2,0)为椭圆C
2
2
的左焦点,离心率为 , 直线l与椭圆相交于A,B两点.
(2)若M(1,1)是弦AB的中点, P是椭圆C上一点, 求△PAB面积的最大值.
设A(x1,y1), B(x2,y2).
,
y1y2=k x1x2+2k(x1+x2)+4=
,
3+4 2
3+4 2
1 +2 2 +2 1 2 +2 1 +2 +4
所以k1·k2=
·
=
=k2+12,
1
2
1 2
1
49
因为k2∈ , +∞ , 所以k2+12∈
, +∞ ,
4
4
49
所以k1·k2的取值范围是 , +∞ .
4
考向三
令Δ1=16m2-24(m2-4)=0,得m=±2 3.
∵P是椭圆C上一点,
∴P点到AB的最大距离即直线x+2y+2 3 =0到直线l的距离d.
圆锥曲线有关的定点定值、最值范围问题PPT课件
必 备 知 识方 法
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有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不 求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简 化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12|y2－y1|，其 中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形： |x2－x1|＝ x1＋x22－4x1x2； |y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2. (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法” 来简化运算．
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2．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标 函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、 范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和 不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个 合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题， 这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标 等，要根据问题的实际情况灵活处理．
∞)．]
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4．(2012·浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为 曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x 的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则 实数a＝________.
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解析
因曲线
C2：x2＋(y＋4)2＝2
2
42
2，所以 a＝94.
答案
9 4
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本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题 之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最 值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．
圆锥曲线中变量的最值问题PPT优秀课件
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
y
P
O
x
y B
P
O
x
l
求抛物线上一动P点到 定直线l的距离的最小.值
A
求SPAB的最大值
㈢圆锥曲线上动点到定点的距离的最值问题
例3.已知抛物线y2=2x，点A（
2 ,0 3
），在此抛物线
上求一点P，使|PA|取得最小值.又若A（a，0）呢？
根据两点间的距离公式转化为二次函数的最值问题， 注意定义域。
A B
A B
P
L
L P
图3
图4
⑶①圆上一个动点P到圆外一个定点M的距离的最大与最小值? ②圆上一个动点P到与圆相离的直线的距离的最大与最小值?
——求曲线上一动点到圆上一动点的距离的最大（小）值问题， 常转化为求曲线上的动点到圆心的距离的最大（小）值问题。
⑷回顾三种圆锥曲线的定义及其焦半径的取值范围。
k1
变 如图，已知A、B是椭圆x2 y2 1
y
16 9
B
题 的两个顶点，C、D是椭圆上两点，
且分别在AB两侧，则四边形ABCD
O
面积的最大值是_1_2__2____.
D
C x
圆锥曲线最值范围定值总结市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
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三、圆锥曲线定值、定点问题来自第24页第25页第26页
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例1、已知点F是双曲线－＝1左焦点，定点A 坐标为(1,4)，P是双曲线右支上动点，则|PF| ＋|PA|最小值为________．
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二、圆锥曲线范围问题
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求解离心率范围几个思维策略
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圆锥曲线最值、范围、定 值（定点）问题
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一、圆锥曲线最值问题
• 处理最值方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数最值问 题，注意到自变量范围；二是几何法，考虑一些量几何特征及意 义，利用图形性质求解。
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第3页
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第5页
方法1：定义转化法
①依据圆锥曲线定义列方程；②将最值问题转化为距 离问题求解．
数学：圆锥曲线中的最值问题》课件
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线最值问题的方法 • 经典例题解析 • 圆锥曲线最值问题的应用 • 总结与展望
01
引言
圆锥曲线简介
01
圆锥曲线是平面几何中一个重要 内容，包括椭圆、双曲线和抛物 线等。
02
圆锥曲线在日常生活和科学研究 中有着广泛的应用，如行星轨道 、光学、工程学等。
详细描述
解决这类问题需要利用导数和切线的性质，通过求导和转化，将斜率表示为易于 处理的形式，再利用基本不等式或求导方法求解。
03
解决圆锥曲线最值问题的方法
利用基本不等式求解
总结词
利用基本不等式求解圆锥曲线中的最值问题是一种常见的方法，通过将问题转化为不等式形式，可以简化计算过 程。
详细描述
基本不等式是数学中常用的工具，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。这些不等式能够提供一些关 于变量之间关系的约束条件，从而帮助我们找到最值。在圆锥曲线问题中，我们通常将曲线的方程与基本不等式 结合，通过代数运算和变换，找到满足条件的解。
通过参数方程求解
总结词
参数方程是解决圆锥曲线最值问题的另一种有效方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标，可以将 问题转化为参数的取值范围和变化规律。
详细描述
参数方程通常用于表示曲线上点的坐标，通过引入参数来表示这些坐标。这种方法可以将复杂的几何 问题转化为参数的代数问题，从而简化计算过程。在求解最值问题时，我们可以通过分析参数的变化 规律和取值范围，找到满足条件的解。
解决圆锥曲线最值问题需要综合运用多种数学方法和技巧，如配方法、判别式法、 参数法等。
最值问题的发展趋势和未来研究展望
随着数学理论和方法的不断发展，圆 锥曲线最值问题将不断涌现出新的问 题和挑战。
圆锥曲线中的最值(范围)问题-高中数学总复习课件
过点 P 作 PH 垂直准线于点 H ，根据抛物线的定义，
得｜ PF ｜＋｜ PQ ｜＝｜ PH ｜＋｜ PQ ｜，
高中总复习·数学
1
设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），解得 x 1＝3， x 2＝ .
3
设 Q （ xQ ， yQ ），因为5 ＝8 ，所以5（ x 2－ x
高中总复习·数学
代数法求最值（范围）
考向1 借助不等式求最值（范围）
【例2】
2
2
已知椭圆Γ： 2 ＋ ＝1（ m ＞0， m ≠
3
3 ）.
（1）若 m ＝2，求椭圆Γ的离心率；
2
2
解：当 m ＝2时，椭圆Γ的方程为 ＋ ＝1，
4
3
则 a ＝2， b ＝ 3 ，∴ c ＝ 2 − 2 ＝1，
解题技法
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直
线与曲线的定义、图形、几何性质来解决.
高中总复习·数学
已知过抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点 F 且倾斜角为60°的直线交 C 于 A ， B
两点（ A 在 B 的右边）， P 为 C 上一点，若5 ＝8 ，求｜ PF ｜
2
2，
高中总复习·数学
1
即点 B （ ，±
2
2 ），
2
将点 B 代入 x ＝ my ＋1，得 m ＝± ，所以直线 l 的方程为 x ＝
4
2
± y ＋1，即4 x ±
4
2 y －4＝0.
高中总复习·数学
2. 已知点 A 1（－ 6 ，0）， A 2（ 6 ，0），直线 PA 1， PA 2的斜率之
圆锥曲线中变量的最值问题ppt 人教课标版
A B A B P L P L
图3
图4
⑶①圆上一个动点P到圆外一个定点M的距离的最大与最小值?
②圆上一个动点P到与圆相离的直线的距离的最大与最小值?
——求曲线上一动点到圆上一动点的距离的最大（小）值问题， 常转化为求曲线上的动点到圆心的距离的最大（小）值问题。
⑷回顾三种圆锥曲线的定义及其焦半径的取值范围。
x
k2
P
O
k , k k , 1 2
k1
x2 y2 A、B是椭圆 1 变 如图，已知 16 9 题 的两个顶点， C、D是椭圆上两点， 且分别在 AB两侧，则四边形 ABCD 12 2 面积的最大值是 ________ .
D
y
B C A x
O
练习2-2 设P为抛物线 y= x2上的一动点，求P点到直线 l: 3x-4y-6=0的距离的最小值。 练习2-3 已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(1,-2)、B(4,4)的连线为底 边的△ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求 △ABP的最大面积及此时 点P的坐标。 y P O l y
y
三角换 元 法 判别式法 或切线
x
O
3 x 4 y t
1 ). 若将椭圆换成双曲线、 抛物线又如何进行 呢？ 想 ( 一 x2 y2 2 1 y 2 px 想 2 2
y 4 ( 2 ). 若将 3 x 4 y 换成 如何求其范围呢？ x 3
y Q(3,4)
a
b
利用几何意义：看成PQ 的斜率
高三专题复习：
圆锥曲线中
变量的最值（取值范围）问题
思考
求圆锥曲线的最值
常用哪些方法？
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分三类：
高考数学圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题全套复习课件
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第九章 平面解析几何
30
定义、性质法 求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化， 利用平面几何中的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题．常用的结 论有： (1)两点间线段最短； (2)点到直线的垂线段最短．
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第九章 平面解析几何
P，使得 2a＋|PF2|＋|PQ|<73c 成立，即(2a＋|PF2|＋|PQ|)min<73c.
第九章 平面解析几何
18
对于证明问题，一般是根据已知条件，运用所涉及的知识通过运算化简，利 用定义、定理、公理等，直接推导出所证明的结论即可，证明不等式常用不 等式的性质，或基本不等式求得最值．
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第九章 平面解析几何
19
技法二 转化法 已知 B 是抛物线 y＝18x2＋1 上任意一点，A(0，－1)，且 P 为线段 AB
技法一 定义、性质转化法
(2021·广东深圳模拟)已知动点 M 在以 F1，F2 为焦点的椭圆 x2＋y42＝1
上，动点 N 在以 M 为圆心，|MF1| 为半径的圆上，则|NF2|的最大值为( )
A．2 √B．4 C．8
D．16
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第九章 平面解析几何
29
【解析】 由椭圆的方程可得焦点在 y 轴上，长半轴长 a＝2. 由题意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|， 当 N，M，F2 三点共线时，|NF2|取得最大值， 而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为 4，故选 B.
(× ) (√ ) (√ )
10 第9讲 圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题
第9讲 圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题证明问题(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅲ节选)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．【证明】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝⎛⎭⎫1－x 214＝2－x12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题．(2019·福州市质量检测)在三角形MAB 中，点A (－1，0)，B (1，0)，且它的周长为6，记点M 的轨迹为曲线E .(1)求E 的方程；(2)设点D (－2，0)，过B 的直线与E 交于P ，Q 两点，求证：∠PDQ 不可能为直角． 解：(1)依题意得，|MA |＋|MB |＋|AB |＝6，所以|MA |＋|MB |＝4>|AB |， 所以点M 的轨迹E 是以A (－1，0)，B (1，0)为焦点且长轴长为4的椭圆， 由于M ，A ，B 三点不共线，所以y ≠0， 所以E 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)证明：设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，代入3x 2＋4y 2＝12，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.所以DP →·DQ →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋2(my 1＋1＋my 2＋1)＋4＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9 ＝－9（m 2＋1）3m 2＋4－18m 23m 2＋4＋9＝273m 2＋4>0. 所以∠PDQ 不可能为直角．范围问题(师生共研)(2019·河南中原名校联考)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知|OA |－|OF |＝1，其中O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程及离心率e 的值；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．【解】 (1)设F (c ，0)，由题知a －c ＝1，所以a ＝1＋c ，a 2＝1＋2c ＋c 2， 又a 2＝3＋c 2，所以3＝1＋2c ，得c ＝1，所以a ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，e ＝c a ＝12.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设B (x B ，y B )，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2），消去y ，得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，则2·x B ＝16k 2－124k 2＋3，解得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，则FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k212k ，消去y ，解得xM ＝20k 2＋912（k 2＋1），在△MAO中，∠MOA ≤MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64∪⎣⎡⎭⎫64，＋∞.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．解：(1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0，22)，F (0，－22)， OE →·OF →＝－8.若直线l 不垂直于x 轴，不妨设l 过该椭圆的上焦点，则l 的方程为y ＝kx ＋2，设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k2， 所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8，因为0＜202＋k 2≤10，所以－8＜OE →·OF →≤2， 所以OE →·OF →的取值范围是[－8，2]．最值问题(师生共研)(2019·武汉市武昌区调研考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，22，且离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，求△OAB 面积的最大值(O 为坐标原点)．【解】 (1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程y ＝x ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1，整理得3x 2＋4mx ＋2(m 2－1)＝0. 则Δ＝(4m )2－24(m 2－1)>0，得m 2<3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2（m 2－1）3，所以|AB |＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－4m 32－4·2（m 2－1）3＝2·24－8m 29＝433－m 2，又原点O (0，0)到直线AB ：x －y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2， 所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×433－m 2×|m |2＝23m 2（3－m 2）.因为m 2(3－m 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋3－m 222＝94，当且仅当m 2＝3－m 2，即m 2＝32时取等号，所以S △OAB ≤23×32＝22，即△OAB 面积的最大值为22.圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22. (1)求椭圆Γ的方程；(2)过点N (1，0)的直线l 交椭圆Γ于A ，B 两点，当MA →·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．解：(1)由题意得a ＝2，c a ＝22，得c ＝2，所以a 2－b 2＝2，即4－b 2＝2，所以b 2＝2， 所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴重合时， 不妨取A (－2，0)，B (2，0)， 则点M 与点A 重合，MA →＝0， 所以MA →·MB →＝0.当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，设A(x 3，y 3)，B(x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 24＋y 22＝1得(t 2＋2)y 2＋2ty －3＝0， 显然Δ>0，所以y 3＋y 4＝－2tt 2＋2，y 3·y 4＝－3t 2＋2，所以MA →·MB →＝(x 3＋2)(x 4＋2)＋y 3y 4 ＝(ty 3＋3)(ty 4＋3)＋y 3y 4 ＝(t 2＋1)y 3y 4＋3t(y 3＋y 4)＋9＝(t 2＋1)·－3t 2＋2＋3t·－2tt2＋2＋9＝－3－3t 2－6t 2t 2＋2＋9＝－9t 2－3t 2＋2＋9＝15t 2＋2≤152. 所以MA →·MB →的最大值为152，此时t ＝0，l ：x ＝1，不妨取A ⎝⎛⎭⎫1，62，B ⎝⎛⎭⎫1，－62， 则|AB|＝6，又|MN|＝3， 所以△MAB 的面积S ＝12|AB|·|MN|＝12×6×3＝362. [基础题组练]1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为左焦点F ，若14<k <23，则椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤13，34 B.⎝⎛⎭⎫13，34 C.⎝⎛⎭⎫0，34 D.⎝⎛⎭⎫13，1解析：选B.由题意知：B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e .又14<k <23，所以14<1－e <23，解得13<e <34.2．(2019·陕西质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选A.因为OM ⊥PF ，且MF ＝PM ，所以OP ＝OF ，所以∠OFP ＝45°，所以|OM |＝|OF |·sin 45°，即a ＝c ·22，所以e ＝ca＝ 2.3．(2018·高考浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎨⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案：54．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点A (2，4)，则|P A |－|PF |的最小值为________．解析：如图，设椭圆的左焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝4， 所以|PF |＝4－|PF ′|，所以|P A |－|PF |＝|P A |＋|PF ′|－4.当且仅当P ，A ，F ′三点共线时，|P A |＋|PF ′|取最小值|AF ′|＝（2＋1）2＋16＝5，所以|P A |－|PF |的最小值为1.答案：15．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝2 2.解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0.所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34.|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝2（x 2－x 1）2 ＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.6．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解：(1)设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2.因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104.[综合题组练]1．(综合型)(2019·益阳、湘潭市调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设点A ，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆于C ，D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)．解：(1)由题设得⎩⎨⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线CD 的方程为x ＝ky ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得(3k 2＋4)y 2＋6ky －9＝0.所以y 1＋y 2＝－6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4.所以S 四边形OCAD ＝S △OCA ＋S △ODA＝12×2×|y 1|＋12×2×|y 2| ＝|y 1－y 2| ＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12k 2＋13k 2＋4＝12t3t 2＋1＝123t ＋1t(其中t ＝k 2＋1，t ≥1)．因为当t ≥1时，y ＝3t ＋1t 单调递增，所以3t ＋1t≥4，所以S 四边形OCAD ≤3(当k ＝0时取等号)，即四边形OCAD 面积的最大值为3.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .解：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝2x得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k （y 1＋y 2）k ＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .3．设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l (异于x 轴)与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，求∠OMA∠OMB的值．解：(1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22， 所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)当l 与x 轴垂直时，∠OMA ＝∠OMB ，所以∠OMA∠OMB＝1.当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2， 由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0， 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠OMA ＝∠OMB ， 所以∠OMA ∠OMB ＝1.综上可得∠OMA∠OMB＝1.4.如图，已知离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0)，斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 且与OP 垂直的直线交直线AH 于点M ，求△MAP 面积的最大值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2e ＝c a ＝224a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)椭圆C 的左顶点A (－2，0)，设l 的方程：y ＝k (x ＋2)，则E (0，2k )，H (0，－2k )， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝k （x ＋2），得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－4)＝16＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－42k 2＋1，则x 0＝12(x 1＋x 2)＝－4k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋2＝2k 2k 2＋1，k OP ＝y 0x 0＝－2k4k 2＝－12k， 直线EM 的斜率k EM ＝－1k OP＝2k ， 所以直线EM 的方程为y ＝2kx ＋2k ，即y ＝2k (x ＋1)， 直线AH 的方程为y ＝－k (x ＋2)， 所以点M ⎝⎛⎭⎫－43，－23k ， 点M ⎝⎛⎭⎫－43，－23k 到直线l ：kx －y ＋2k ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－43k ＋23k ＋2k k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪43k k 2＋1，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝41＋k 22k 2＋1，|AP |＝12|AB |＝21＋k 22k 2＋1，△MAP 的面积S ＝12|AP |d ＝12·21＋k 22k 2＋1·⎪⎪⎪⎪43k k 2＋1＝43|k |2k 2＋1＝432|k |＋1|k |≤4322＝23，当且仅当|k |＝22时取等号．所以△MAP 面积的最大值为23.。
圆锥曲线中的最值范围证明问题案例50页PPT
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
圆锥曲线中的最值范围证明问题案例 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢！
பைடு நூலகம்
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳