全等三角形复习

全等三角形复习
[知识要点] 一、全等三角形
② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：
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⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）
找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 全等三角形的有关证明（提高篇）关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）
放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。

要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等
直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！
直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL 定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其
他的角相等。

例一：图1，已知D O ⊥BC ，O C =O A ，O B =O D ，问CD =AB 吗？ [分析]：此图形可看作绕O 点旋转得到，由垂直得到一组直角， 把结合其他两组边，很容易找到他们所在的三角形。

[变形1]：请说明△BCE 是直角三角形。

（利用全等三角形的对应角相等，以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换）
图2
B 图1
[变形2]：（2008 威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上， 连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求证：AF ⊥BE ．
[分析]：此图中要说明AF ⊥BE ，与上题中△BCE 是直角三角形是一样的意思， 只需要说明∠BFD=90°即可
[变形3]：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放
置，图2是由它抽象出的几何图形，
B C E ，，在同一条直线上，连结CD ． （彩图为提示）
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：CD ⊥BE
[变形4]、如图2，在△ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD=BD ， 问△BHD ≌△ACD ，为什么？
[分析]：此题实际上就是[变形1]的反问，已经存在一组直角（由垂直得到），
一组相等的边（已知），再利用“同（等）角的余角相等”来得到第二组角相等！
[变形5]：如图3， 已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME
吗？说明理由。

[变形6]：如图4，AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点
的竖直高度DB 的长度，欢欢在D 处立上一竹竿CD ，并保证CD ⊥AD 后在竿顶C 处垂下一根绳CE ，与斜坡的交点为点E ，他调整好绳子CE 度，使得CE=AD ，此时他测得DE=2米，于是他认定DB 的高度也为2你觉得对吗?请说明理由。

例二：如图1，已知，AC ⊥CE ，AC=CE ， ∠ABC=∠CDE=90°，
问BD=AB+ED 吗? [分析] ：
（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；
C 图图2 A
B C E H
D
A
C
M
E F B
（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系； （3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起： 如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD 。

[变形1]：如图7， 如果△ABC ≌△CDE ，请说明AC 与CE 的关系。

[注意]：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类） 位置关系（垂直，平行之类）
[变形2]：（2008 泸州）如图，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ， 求证：DE=BF
[分析]
[变形3]：如图8，在△ABC 中，∠
BAC=90°，AB=AC ，AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， 如果CE=3，BD=7，请你求出DE 的长度。

[分析] ：说明相等的边所在的三角形全等， 题中“AB=AC ”，发现：AB 在Rt △ABD 中，AC 在Rt △CAE 中，
所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt △全等（如图9） 于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC ，直角=直角，
再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。

[变形4]：在△ABC 中，∠ACB= 900，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E 。

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图9的位置时，△ADC ≌△CEB ，且 DE=AD+BE 。

你能说出其中的道理吗？
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图10的位置时， DE =AD-BE 。

说说你的理由。

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图11的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这
个等量关系。

A 图F E
C 图
等腰三角形、等边三角形的全等问题：
[必备知识]：
如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA ；反之，也成立。

例三：已知在△ABC 中，AB=AC ，在△ADE 中，AD=AE ，且∠1=∠2，请问BD=CE 吗？
[变形1]：如图13，已知∠BAC=∠DAE ，∠1=∠2，BD=CE ， 请说明△ABD ≌△ACE.吗？为什么？
[分析]：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS 说明全等，
此题是两组角相等，那么该如何做呢?
[变形2]：过点A 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD ，CE ，请说明它们相等。

[分析]：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，
把BD 看成在△ABD 的一边，CE 看成△ACE
[变形3]：如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD ，CE ，请
说明它们相等
B
图B
图15
B
A
D
B
B
图13
B
图17
[变形4]：（2008 怀化）如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：CG AE ；
[分析]：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60
例四： 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC
，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB. 求证：AN 平分∠BAC.
[分析]
：要说明AN 平分∠BAC ，必须说明两角相等，∴可以说明△AMN ≌△而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）
结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用HL
[变形1]：在Rt △ABC 中，已知∠A=90°，DE ⊥BC 于E 点，如果AD=DE ，BD=CD ，求∠C 的度数
1．将直角三角形（∠ACB 为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B ’处，若∠ACB ’=60°，则∠ACD 度数为______．
2．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠EFC 的度数为_________．
3．已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为_______．
题图
第2题图
第1B
B B
4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上的点， （1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结论．
B
8. 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=
，．将BOC △绕点C 按顺时针方
向旋转60
得ADC △，连接OD ．（1）求证：COD △是等边三角形；
（2）当150α=
时，试判断AOD △的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？
A
B
C
D
O
110 α
10 ．已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；
（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．
C
G
A
E
D
B
F。