概率论与数理统计答案_第四版_第1章(浙大)
浙大《概率论与数理统计(第四版)简明本》盛骤著 课后习题解答
{
2
}
------------------------------------------------------------------------------2．设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生； （4）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生； （6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生； （8）A，B，C 中至少有两个发生。 解 此题关键词： “与， ” “而” ， “都”表示事件的“交” ； “至少”表示事件的“并” ； “不多 于”表示“交”和“并”的联合运算。 （1） ABC 。
概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版）
第一章 概率的基本概念 习题解析 第 1、2 题 随机试验、 随机试验、样本空间、 样本空间、随机事件 ------------------------------------------------------------------------------1．写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） 。 （2）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续 查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解 （1）高该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，…，100，n 个人分数这和的可能取值为 0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为 样本空间为 S=
概率论和数理统计第四版-习题答案解析-第四版-盛骤--浙江大学
完全版概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为：C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生，表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
概率论与数理统计浙大四版 第一章 习题解答09-10-2
2、设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系 表示下列各事件。
• • • • •
ABC (2)A、B都发生，而C不发生 ABC (4)A、B、C都发生 (6)A、B、C中不多于一个发生 错解： ABC B AC C AB 正解：
BC AC AB
AB C A BC A B C A B C
3 4 5
P( A3 ( A A2 A4 A5 )) P( A3 ( A A4 )( A2 A5 ) 1 1
(1 p)( 2 p p ) p(2 p p ) 2p 2p 5p 2p
2 3 4 5
2
4
2
2
40.设输入字母后传真率=a,其它二字母各为 ， 2 输入4A,4B,4C的概率p1,p2,p3, (p1+p2+p3=1)，已知输出ABCA,问输入4A的概率？ 解：设A、B、C分别表示输入为4A,4B,4C, D表示输出为ABCA,则P(A)=p1,P(B)=p2,P(C)=p3, P(D|A)= (1 ) P(D|B)=P(D|C)= (1 )
5左 5右 1左 1右 2左 2右 3左 3右 4左 4右
其他解法：
• • • • • • 解2：取鞋不考虑顺序作基本事件等概。 总的基本事件=10选4=210 A的取法=恰好1双配对+恰好2双配对 =5双取1双，(8只取2只-剩下4双取1双) +5双取2双 = C 1 (C 2 C 1 ) C 2
• (8)ABC至少两个发生 AB AC BC
P25 3 设ABC是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8, 求A,B,C至少有一个 发生的概率。
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解 （1）高该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，…，100，n
个人分数这和的可能取值为 0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为 0 , 1 ,..., 100n , 则 nn n
样本空间为
S=
k n
k
=
0,1, 2,⋯,100n
（2）样本空间 S={10，11，…}，S 中含有可数无限多个样本点。 （3）设 1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为
而 AB= {（1，6），（6，1）}。由条件概率公式，得
P(B
A)
=
P( AB) P( A)
∑200
P(B) = P( A2 ∪ A3 ∪⋯∪, A200）= P( Ai )
i=2
显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件 B ={恰有 0 个次品或恰有
1 个次品}，即 B = A0 ∪ A1 ，而
P(B)
=
P( A0
∪
A1 )
=
P( A0 ) +
P( A1)
=
C 200 1100
{ } S= (x, y) x2 + y2 ≤ 1
------------------------------------------------------------------------------2．设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生； （4）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生； （6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生； （8）A，B，C 中至少有两个发生。
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即样本空间 S={ 62 个基本事件}。事件 AB={两颗骰子点数之间和为 7，且有一颗为 1 点}，
两颗骰子点数之和为 7 的可能结果为 6 个，即
A={（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3）}
解 利用组合法计数基本事件数。从 10 人中任取 3 人组合数为 C130 ，即样本空间
{ } S= C130 = 120个基本事件 。
（1）令事件 A={最小号码为 5}。最小号码为 5，意味着其余号码是从 6，7，8，9，10 的 5
{ } 个号码中取出的，有 C52 种取法，故 A= C52 = 10个基本事件 ，所求概率为
其中由 P( AB) = P(BC) = 0, 而 ABC ⊂ AB 得 P( ABC) = 0 。
------------------------------------------------------------------------------6．在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任选 3 人记录其纪念章的号码。 求 （1）最小号码为 5 的概率； （2）最大号码为 5 的概率。
∑200
P(B) = P( A2 ∪ A3 ∪⋯∪, A200）= P( Ai )
i=2
显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件 B ={恰有 0 个次品或恰有
1 个次品}，即 B = A0 ∪ A1 ，而
P(B)
=
P( A0
∪
A1 )
=
P( A0 ) +
P( A1)
=
C 200 1100
概率论与数理统计浙江大学第四版课后习题答案
（1）A
.B
时，P(AB) =
0.6 为最大值，
因为 A、B一定相容，相交
所以 A和 B重合越大时 P（AB）越大
（2）A
∪B
=
S
时，P（AB）=0.3为最小值
6、若事件 A的概率为 0.7，是否能说在 10次实验中 A将发生 7次？为什么？ 种种 Nhomakorabea解
解解法
法法一
一一组
组组成
成成一
一一个
个个偶
偶偶数
数数四
四四位
位位数
数数有
有有
首位奇: A
51 A51 A82 A51 A51 A82 +
A41 A41 A82 41.8.7 41
112 4
首位偶: A4 A4 A8
∴
P(A) =
1
，
P(ABC) =
1,
2 444
111
∴P(AB) =P(A)P(B) =
, P(AC) =P(A)P(C) =
, P(BC) =P(B)P(C) =
444
而
P(A)P(B)P(C) =
1 ≠P(ABC)
8
20、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通
（1）最小号码为 5，即从 6、7、8、9、10里选两个，所求概率为
C532
=
1C10 12
（2）号码全为偶数，即从 2，4，6，8，10里选三个，所求概率为
CC
概率论与数理统计第四版-课后习题答案盛骤浙江大学
概率论与数理统计第四版-课后习题答案_盛骤__浙江大学完全版概率论与数理统计习题答案第四版盛骤(浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1），n表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
表示为：ABC或A－(AB+AC)或A－(B∪C)（2）A，B都发生，而C不发生。
表示为：ABC或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一个发生（4）A，B，C都发生，表示为：A+B+C 表示为：ABC表示为：ABC或S－(A+B+C)或（5）A，B，C都不发生，（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。
故表示为：。
（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：A,B,C中至少有一个发生。
故表示为：或ABC（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。
故表示为：AB+BC+AC6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。
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概率论与数理统计浙江大学第四版课后习题答案word 完整版完全版概率论与数理统计课后习题答案第四版盛骤浙江大学浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1),n表小班人数(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。
([一] 2)S10,11,12,………,n,………(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。
([一] 3)S00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,2.[二] 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。
(1)A发生,B与C不发生。
表示为: 或A- AB+AC或A- B∪C(2)A,B都发生,而C不发生。
表示为: 或AB-ABC或AB-C(3)A,B,C中至少有一个发生表示为:A+B+C(4)A,B,C都发生,表示为:ABC(5)A,B,C都不发生,表示为:或S- A+B+C或(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生相当于中至少有一个发生。
故表示为:。
(7)A,B,C中不多于二个发生。
相当于:中至少有一个发生。
故表示为:(8)A,B,C中至少有二个发生。
相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生。
故表示为:AB+BC+AC6.[三] 设A,B是两事件且P A0.6,P B0.7. 问1在什么条件下P AB取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P AB取到最小值,最小值是多少?解:由P A 0.6,P B 0.7即知AB≠φ,(否则AB φ依互斥事件加法定理, PA∪BP A+P B0.6+0.71.31与P A∪B≤1矛盾).从而由加法定理得P ABP A+P B-P A∪B*(1)从0≤PAB≤PA知,当ABA,即A∩B时PAB取到最大值,最大值为PABPA0.6,(2)从*式知,当A∪BS时,PAB取最小值,最小值为PAB0.6+0.7-10.3 。
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1、写出下列随机试验的样本空间S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）生产产品直到有10件正品为之，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查结果。
（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。
(1)解：设该班学生数为n，总成绩的可取值为0,1,2,3，…，100n，(2)解：S={10、11、12…}所以试验的样本空间为S={i/n| i=1、2、3…100n}(3)解：设1为正品0为次品S={00，100，1100，010，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101，1010}(4)解：取直角坐标系，则S={（x，y）|x2+y2<1}取极坐标系，则S={（ρ，θ）|ρ<1,0≤θ<2π}2.设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C不发生（2）A与B都发生，而C不发生（3）A,B,C中至少有一个要发生（4）A,B,C都发生（5）A,B,C都不发生（6）A,B,C中不多于一个发生（7）A,B,C中不多于两个发生（8）A,B,C中至少有两个发生解：以下分别用D i（i=1,2,3,4,5,6,7,8）来表示（1），（2），（3），（4），（5），（6）,(7),(8)AB C（1）A发生，B与C不发生表示,A B,C同时发生，故D1=（2）A与B都发生，而C不发生表示A，B，C同时发生，故D2= AB C（3）法一：A,B,C中至少有一个要发生由和事件定义可知，D3=A∪B∪C法二：A,B,C中至少有一个要发生是事件A,B,C都不发生的对立面，即D3=ABC法三：A,B,C中至少有一个要发生可以表示为三个事件中恰有一个发生，恰有两个发生或恰有三个发生，即D3=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC(4) A,B,C都发生表示A,B,C都发生，故D4=A∪B∪C=ABC(5) A,B,C都不发生表示ABC都不发生，故D5=ABC(6)法一： A,B,C中不多于一个发生可以表示为三个事件中恰有一个发生或一个都不发生，即D6=ABC∪ABC∪ABC∪ABC法二：A,B,C中不多于一个发生可以表示为至少有两个不发生，即D6=AB∪AC∪BC⋃⋃法三：A,B,C中不多于一个发生是至少有两个发生的对立面，即D6=AB AC BC(7)法一： A,B,C中不多于两个发生即为三个事件发生两个，发生一个或者一个都不发生，即D7=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC法二：A,B,C中不多于两个发生可以表示为至少有一个不发生，即D7=A∪B∪C法三：A,B,C中不多于两个发生可以表示为三个都发生的对立面，即D7=ABC(8)法一：A,B,C中至少有两个发生即为三个事件中发生两个或者三个都发生，即D8= ABC∪ABC∪ABC∪ABC法二：A,B,C中至少有两个发生，即D8=AB∪AC∪BC法三：A,B,C中至少有两个发生可以表示为三个事件只发生一个或一个都不发生的对立面，D8=AB U ACU BC3（1）设A,B,C三个事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。
(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求A∪B,A̅̅̅̅A̅̅̅,A∪A∪A,A̅̅̅̅A̅̅̅A̅̅̅,A̅̅̅A̅̅̅A,A̅̅̅A̅̅̅∪A的概率（3）P(A)=1/2,(A.)若A,B互不相容，求P(A A̅̅̅)(B.)若P(AB)=1/8,求P(A A̅̅̅)（1）P(A∪B∪C)＝P（A）＋P（B）＋P(C) —P（AB）—P（AC）—P（BC）＝3/4-1/8＝5/8（2）P(A∪B)=P（A）+P（B）-P（AB）=5/6-1/10=11/15P（⎺A⎺B）̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)=P(A∪A=1-P(A∪B)＝1－11/15＝4/15P(A∪B∪C)＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）—P（AC）—P（BC）＋P（ABC）＝17/20P（⎺A⎺B⎺C）̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)=P(A∪A∪A=1-P(A∪B∪C)＝1-17/20＝3/20P（⎺A⎺B C）＝P（C）-P（AC）-P（BC）＋P(ABC)＝7/60P（⎺A⎺B∪C）̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∪C)=P(A∪A=1-P(A)-P(B)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)＝7/20（3）A.P（A⎺B）＝P(A)=1/2因为AB不相容所以AB一个发生另一个一定不发生B.P（A⎺B）＝P（A）-P（AB）＝3/84.设A,B是两个事件.（1）已知A A̅̅̅=A̅̅̅A验证A=B.（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB). 解：法一（1）∵A A̅̅̅=A̅̅̅A，∴(A A̅̅̅)∪(AA)=(A̅̅̅A)∪(AA),∴A(B̅∪B)=B(A̅∪A),∴AS=BS,∴A=B.（2）事件A与事件B恰有一个发生即事件A B̅ ∪ A̅BP(A B̅ ∪ A̅B)=P(A B̅)+P(A̅B)=P[A(S-B)]+P[(S-A)B]=P(A-AB)+P(B-AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)法二（1）∵A A̅̅̅=A−A ,AA̅̅̅=A−A;又A A̅̅̅=AA̅̅̅，∴A−B=B−A∴A=B即证。
（2）原理同（1），事件A与事件B恰有一个发生即事件A B̅ ∪ A̅B即P(A B̅ ∪ A̅B)= P(A B̅)+P (A ̅B) =P(A-B)+P(B-A)= P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB) = P(A)+P(B)-2P(AB)5.10片药片中有5片安慰剂。
（1）从中任意抽取5片，求其中至少有两片是安慰剂的概率。
(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。
解：（1）设其中至少有两片是安慰剂的概率为事件A.A (A )=1−A 55A 105−A 54A 51A 105=1−110×9×8×7×65×4×3×2×1⁄−(5×5)10×9×8×7×65×4×3×2×1⁄=113126（2）设前三次都取到安慰剂为事件B 。
P (B )=A 51A 41A 31A 101A 91A 81=5×4×310×9×8=1126 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章。
任选3人记录其纪念章的号码。
(1) 求最小号码为5的概率. (2) 求最大号码为5的概率.解：E:在房间里面任选3人，记录其佩戴纪念章的号码.10人中任选3人A 103=120种，即样本总数。
记事件A 为最小号码为5，记事件B 为最大号码为5. （1） P(A)=A 52/A 103=5!∗3!∗7!2!∗3!∗10! =112（2） P(B)= A 42/A 103=4!∗3!∗7! 2!∗2!∗10!=120.7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个订货为4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：设事件“该订户得到4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆订货”为事件A共17桶油漆，该客户订货共4+3+2=9桶，题意即为客户在17桶中选9桶，其中10桶白漆中占有4桶，4桶黑漆中占有3桶，3桶红漆中占有两桶。
所以分母为C 9 17，分子为C 4 10C 3 4C 23，即所求概率为 P （A ）=A 104A 43A 32A 179 =25224318．在1500件产品中有400件次品、1100件正品。
任取200件（1）求恰有90件次品的概率。
（2）求至少有2件次品的概率。
解：设A 表示事件“恰好有90件次品”，B i 表示事件“恰好有i 件次品（i ＝0、1）”，C 表示事件“至少有2件次品”。
E 表示“从1500件产品中任取200件” （1）N (S)=A 1500200N(A)=A 40090A 1100110A =A (A )A (A )=A 40090A 1100110A 1500200（2）C=S-B 0-B 1P(C)=P(S- B 0-B 1)=P(S-[ B 0∪B 1])＝1-P(B 0)-P(B 1) A (A )=1−A (A 0)A (A )−A (A 1)A (A )=1−A 1100200A 1500200−A 4001A 1100199A 15002009.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解、法一、设至少有两只配成一对的为事件A,这四只鞋中没有配成一对的为事件A ,则P （A ）=1-P(A ) =1-4104452*C C =2113故四只鞋中至少有两双配成一双的概率为13/21法二、设至少有两只配成一对的为事件A,这四只鞋中没有配成一对的为事件A ,则P （A ）=1-P （A ）=1 - 41044*6*8*10C ！=2113（因为不考虑次序所以除以4！） 故四只鞋中至少有两双配成一双的概率为13/21法三、设至少有两只配成一对的为事件A ，则P(A)=41022415252**C C C C =2113法四、设至少有两只配成一对的为事件A,这四只鞋中没有配成一对的为事件A ,则 P （A ）=1-P （A ）=1-7*8*9*104*6*8*10= 211310.在11张卡片上分别写上probability 这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability 的概率。
解：方法一：假设连抽7张排列结果为ability 为事件AP （A ）=A 21×A 21A 117=1415800方法二：以A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 依次表示取得字母a,b,i,l,i,t,y 各事件，则所求概率为 P （ABCDEFG ）=P （A ）P （B|A ）P （C|AB ）P （D|ABC ）P （E|ABCD ）×P （F|ABCDE ）P （G|ABCDEF ）=111×210×29×18×17×16×15=4A 11711、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。