洛必达法则
诺比达法则公式
诺比达法则公式
x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
在点a的某去心邻域内f（x）与f（x）都可导，且f（x）的导数不等于0；
x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存有或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
洛必达（l＇hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未
定式值的方法。
洛必达法则（定理）设立函数f（x）和f（x）满足用户以下条件
⑴x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
⑵在点a的某回去心邻域内f（x）与f（x）都可微，且f（x）的导数不等同于0；
⑶x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存在或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
注意事项：
求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求
极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。
洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式
极限。
⑴ 在著手谋音速以前，首先必须检查与否满足用户或型构型，否则误用洛必达法则
可以失效（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。
当不存有时（不
包含情形），就无法用洛必达法则，这时表示洛必达法则不适用于，需从另外途径谋音速。
比如说利用泰勒公式解。
⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
洛必达法则
一、洛必达法则
1. 0/0型与∞/∞型未定式 定理1
பைடு நூலகம்
设
(1)当x→x0时，函数f(x)及g(x)都趋于零（或f(x)及g(x)都
趋于无穷大）.
(2)在点x0的某去心邻域内，f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0.
(3)
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
证明这里仅证当x→x0时的0/0型未定式的情形.对于当
一、洛必达法则
当x→x0时，有ξ→x0，所以
上述定理给出的这种在一定条件下通过对分子、 分母分别先求导、再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则.
一、洛必达法则
注意
如果f′(x)/g′(x)当x→x0时仍是0/0型和∞/∞型未定 式，且这时f′(x)与g′(x)满足定理1中f(x)，g(x)所要满足 的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即
（3）
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
【例6】
【例7】
一、洛必达法则
解这是∞/∞型未定式.当α是正整数时,连续应用α次洛 必达法则得
当α不是正整数时,显然必存在正整数k,使得k－ 1<α<k,此时连续应用k次洛必达法则,即得
综上所述,对任意α>0,都有
二、其他类型的未定式
除了0/0型和∞/∞型两种基本未定式外，还有0·∞,∞－ ∞,00,1∞,∞0型未定式,它们都可以经过适当变形,化为0/0型或∞/∞ 型未定式后，再应用洛必达法则来计算.
一、洛必达法则
【例1】
一、洛必达法则
注意
上式中的
已不再是未定式,故不能再
对它应用洛必达法则,否则要导致错误的结果.因此在每
次使用洛必达法则之前,都要验证极限是否为0/0型未定
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
洛必达法则
求
lim
x0
(1
3x cos
sin 3x x)ln(1
2
x
)
.
解
当 x 0 时,
1
cos
x
~
1 2
x2,
ln(1
2x)
~
2
x,
故
lim
x0
(1
3x cos
x
sin 3x )ln(1
2
x
)
lim
x0
3
x
sin x3
3
x
lim
x0
3
3cos 3x2
3
x
lim
x0
3
sin 3 2x
x
9. 2
完
1
ln cot x
解 lim (cot x)ln x lim e ln x
x0
x0
e lim x0
ln cot ln x
x
e lim x0
tan
xcsc2 1
x
x
e lim x0
cos1xsinx
x
e1.
完
例22 求 lim (e3x 5 x)1x.(0 ) x
解
lim (e3x
1
5x) x
洛必达法则
取何值无关,故可补充定义 f (a) g(a) 0.
根据定理的条件,知函数 f ( x)与 g( x)在以 a与 x
为端点的区间上满足柯西中值定理的条件, 于是
f (x) g( x)
f (x) g(x)
f (a) g(a)
f '( ) g'( )
( 在
x 与 a
洛必达法则
§3.2 罗必达法则当( 或)时，两个函数与都趋向于零或都趋向于无穷大，那么，极限可能存在，也可能不存在。
通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为型或型。
对不定式，不能简单地用“商的极限等于极限商”这一求极限法则来处理。
求不定式极限有一种简便方法 —— 罗必达法则，见下述两个重要定理。
一、基本类型的不定式 型【定理一】设(1)、当 时，函数及都趋于零；(2)、及在点的某个邻域内(点本身除处)存在，且；(3)、存在(或无穷大)，则。
【证明】因为求极限 与函数值 、无关， 那么我们可设：， 这并不会影响极限。
由这一假设及条件(1)、(2)两款知：与在点 的某个邻域内是连续的， 设是这邻域内的一点，x a →x →∞f x ()F x ()lim()()()x a x f x F x →→∞00∞∞00,∞∞x a →f x ()F x ()'f x ()'F x ()a a '≠F x ()0lim()()x a f x F x →''lim()()lim()()x a x a f x F x f x F x →→=''lim()()x a f x F x →f a ()F a ()f a F a ()()==0lim()()x a f x F x →f x ()F x ()ax那么在以及为端点的区间上， 与全部地满足柯西中值定理的条件，因此有当时， ，而由(3)款知故。
为了更好地使用这一定理求极限，给出几点重要注解：1、此定理用来处理时的型不定式极限问题。
这种通过分子与分母导数之比的极限来确定不定式极限的方法称之为罗必达法则。
2、如果极限仍属于型， 且、又满足定理中的条件，则可以再使用罗必达法则。
即3、如果不存在，不能断言也不存在，只能说明该极限不适合用罗必达法则来求。
反例：极限存在， 而使用罗必达法则 不存在。
【例1】求极限(1)、(2)、x a f x ()F x ()f x F x f x f a F x F a f F ()()()()()()()()=--=''ξξx a →ξ→a lim ()()lim ()()x a x a f F f x F x →→''=''ξξlim()()lim()()x a x a f x F x f x F x →→=''x a →00lim()()x a f x F x →''00'f x ()'F x ()lim()()lim ()()lim()()x a x a x a f x F x f x F x f x F x →→→=''=''''lim()()x a f x F x →''lim()()x a f x F x →limsinlim sin x x x x x x x →→⋅=⋅=020110limsinlim(sin cos )x x x x x x x x →→⋅=⋅-0201211lim x e x x→-01limcos x x x →-012【解】上述定理仅是适合于时的型不定式；对于时的型不定式，我们也有相应定理。
洛必达法则详解
洛必达法则详解洛必达法则（Lotka's law）是由美国图书馆学家洛思会(Losethere A. Guadognini)在1926年首次提出的。
该定律描述了科学研究者的成果发表数量与其发表文章数量之间的关系。
洛必达法则的核心理论依据是假设文章发表数量与研究者的科研能力和资源有关。
在科研领域，存在着很大的不平等性和差异性，少数顶尖研究者拥有更多的资源和机会，因此他们可以发表更多的文章。
而大多数研究者则受限于多种因素，如时间、经费、实验设备等，因此他们的发表数量相对较少。
洛必达法则对科研界具有重要的启示意义。
首先，它提醒我们少数顶尖研究者的重要作用。
即使在科研活动中，存在着“20/80原则”，即20%的人贡献了80%的成果。
其次，洛必达法则也指出了科研资源的分配不平等问题。
少数研究者能够获得更多的资源和机会，使得他们能够取得更多的发表成果。
这也意味着大多数研究者应该寻求更好的资源分配和机会，以提高自己的发表数量。
然而，洛必达法则也存在一些争议。
一些学者指出，洛必达法则忽略了一些重要的因素，如学术背景、经验和个体能力等。
他们认为科研成果的发表数量受到多种因素的影响，而不仅仅是发表文章的数量。
此外，洛必达法则假设发表数量与排名存在的确定关系，忽视了研究者之间的差异性和复杂性。
总的来说，洛必达法则是科研领域的一个重要理论，揭示了科研发表数量的分布规律。
它提醒我们发现并重视那些少数取得多数成果的顶尖研究者，同时也需要关注并提供更多的资源和机会给大多数研究者，以推动整个科研领域的发展。
然而，洛必达法则也需要进一步的研究和探讨，以更好地理解科研成果发表数量的形成机制。
洛必达法则
lim
x□
x□
例: lim
sin x x
x 0
lim
(sin x ) ( x )
x 0
lim
co s x 1
x 0
1
0 型 0
e 1
x
例:求 lim
x 0
x x
2
例:求 lim
x x6 x4
x 4
例:求 lim
(1 x ) 2 ln x
原式 lim
nx
n1
x
e
x
lim n!
n ( n 1) x
n2
x
e
2
x
...... lim
x
e
n
x
0.
洛必达法则失效
例:求 lim x
x s in x x s in x x s in x x s in x lim 1 cos x 1 cos x
(3)该法则并非总是求极限的最简便方法.
(0 ) 型
可将乘积化为除的形式,即化为 式来计算.0 0或Fra bibliotek型的未定
例:求 lim x ln x
x 0
例:求 lim x cot x
2 x 0
1
1
例:求 lim x ( e x 1)
x
思考: lim x 2 e x
x 0
型
洛必达法则 定义 若当 x x 0 (或 x )时,两个函数 f (x)
与 g(x) 都趋于零或都趋于无穷大,则极限
x x0
( x )
lim
0 或 型未定式. 称为 0 g( x)
洛必达法则
洛必达法则(L'Hôpital's rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
0/0型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞ ），则洛必达法则∞/∞型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为或），则洛必达法则其他类型不定式极限不定式极限还有，，，，等类型。
经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。
(1)型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。
例：求解：原式=(2)型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。
例：求解：原式=(3)型可利用对数性质将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。
针对不同的问题，还可以利用等价无穷小作替换，化简算式。
例：求解：原式======上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成了。
(4)型同上面的化简方法例：求解：原式=(5)型同上面的化简方法例：求解：原式=洛必达法则注意不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。
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洛必达法则
简介
洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则
（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件
洛必达法则适用于以下情况：
1.极限形式为f(x) / g(x)；
2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；
3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述
洛必达法则的一般形式可表示为：
若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：
存在或为无穷大时，那么：
其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤
使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：
1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；
2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；
3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必
达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例
让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：
可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：
然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：
因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结
洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
通过将原始极限转化为求导后的极限，我们可以得到准确的结果。
然而，需要注意的是，洛必达法则仅适用于满足一定
条件的函数极限问题。
在应用该定理时，我们应仔细验证条件，并注意迭代使用洛必达法则直到问题得到解决。