2019-2020学年西藏拉萨中学高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年西藏拉萨中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题（每小题5分，共计60分）
1. 下列几何体中是棱柱的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2. 已知点A(3, 2)，B(0, −1)，则直线AB的倾斜角为（）
A.30∘
B.45∘
C.60∘
D.120∘
3. 下列命题正确的是（）
A.在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行
B.一条直线与一个平面可能有无数个公共点
C.经过空间任意三点可以确定一个平面
D.若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
4. 已知直线l1:2x+y−2＝0，l2:ax+4y+1＝0，若l1 // l2，则a的值为（）
D.−2
A.8
B.2
C.−1
2
5. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为（）
A.30∘
B.45∘
C.60∘
D.90∘
6. 根据表中的数据，可以断定方程e x−x−2＝0的一个根所在的区间是（）
C.(1, 2)
D.(2, 3)
7. 已知幂函数y＝f(x)的图象过(2,√2
2
)，则可以求出幂函数y＝f(x)是（）
A.f(x)=x 1
2 B.f(x)＝x2 C.f(x)=x
3
2 D.f(x)=x−
1
2
8. 在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上依次取点E，F，G，H，若EH、FG
所在直线相交于点P，则（）
A.点P必在直线AC上
B.点P必在直线BD上
C.点P必在平面DBC外
D.点P必在平面ABC内
9. 复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算
下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零
钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（）元．
（参考数据：1.02254＝1.093，1.02255＝1.117，1.04014＝1.170，1.04015＝1.217）A.176 B.104.5 C.77 D.88
10. 如图，已知△OAB的直观图△O′A′B′是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么
△OAB的面积是（）
A.1 2
B.√2
2
C.1
D.√2
11. 表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）
A.12π
B.8π
C.32π
3
D.4π
12. 函数f(x)=lg(|x|−1)的大致图象是（）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共计20分）
直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为________．
已知定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2+x，则f(−2)＝________．
16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明
了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log
a
N．现在已知2a＝3，3b＝4，则ab＝________．
如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．
三、解答题
已知集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A={x|x2−3x+2=0}，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，C={x|2<x<9, x∈Z} .
(1)求A∪(B∩C)；
(2)求(∁U B)∪(∁U C).
（1）计算：lg25+lg2⋅lg50+lg22
（2）已知x 1
2+x−
1
2=3，求
x2+x−2−2
x+x−1−2
的值．
已知△ABC的三个顶点A(4, −6)，B(−4, 1)，C(−1, 4)．求：(Ⅰ)AC边上高BD所在的直线的一般方程；
(Ⅱ)AB边中线CE所在的直线的一般方程．
已知函数f(x)={1
x
,x<0
x2−2x,0≤x<3
−x+6,x≥3
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．
已知函数f(x)＝log a(2+x)−log a(2−x)，(a>0且a≠1)．
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）求满足f(x)≤0的实数x的取值范围．
在三棱锥P−ABC中，△PAC和△PBC是边长为√2的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD // 平面PAC；
（2）求证：OP⊥平面ABC；
（3）求三棱锥D−ABC的体积．
参考答案与试题解析
2019-2020学年西藏拉萨中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题（每小题5分，共计60分）
1.
【答案】
C
2.
【答案】
B
3.
【答案】
B
4.
【答案】
A
5.
【答案】
C
6.
【答案】
C
7.
【答案】
D
8.
【答案】
B
9.
【答案】
B
10.
【答案】
D
11.
【答案】
A
12.
【答案】
B
二、填空题（每小题5分，共计20分）
【答案】
−5 3
【答案】
6
【答案】
2
【答案】
2√5
三、解答题
【答案】
解：(1)依题意有：A={1, 2}，B={1, 2, 3, 4, 5}，
C={3, 4, 5, 6, 7, 8}，
∴B∩C={3, 4, 5}，
故有A∪(B∩C)={1, 2}∪{3, 4, 5}={1, 2, 3, 4, 5}．(2)由∁U B={6, 7, 8}，∁U C={1, 2}；
故有(∁U B)∪(∁U C)={6, 7, 8}∪{1, 2}={1, 2, 6, 7, 8}．【答案】
lg25+lg2⋅lg50+lg22
＝lg52+lg2(lg5+1)+lg22
＝2lg5+lg2⋅lg5+lg2+lg22
＝2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2)
＝2(lg5+lg2)
＝2；
由x 1
2+x−
1
2=3，得(x
1
2+x−
1
2)2=9，
即x+2+x−1＝9．
∴x+x−1＝7．
两边再平方得：x2+2+x−2＝49，∴x2+x−2＝47．
∴x2+x−2−2
x+x−1−2=47−2
7−2
=9．
【答案】
（1）k AC=−6−4
4−(−1)
=−2，
∴k BD=1
2
．
∴直线BD的方程为y−1=1
2
(x+4)，即x−2y+6＝0．
（2）AB边中点E(0,−5
2
)，
∴中线CE的方程为y+52
x =4+
5
2
−1
，
即13x+2y+5＝0，（x＝0时也满足题意）．
【答案】
图象如图所示
定义域为R，
增区间为[1, 3]，减区间为(−∞, 0)、[0, 1]、[3, +∞)，
值域为(−∞, 3]．
【答案】
，
（
由f(x)＝log
a (2+x)−log
a
(2−x)≤0，
可得log
a (2+x)≤log
a
(2−x)，
①a>1时，0<2+x≤2−x，
解可得，−2<x≤0，
②0<a<1时，0<2−x≤2+x，
解可得，0≤x<2．
【答案】
∵O，D分别为AB，PB的中点，
∴OD // PA．
又PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC，
∴OD // 平面PAC．
连接OC，OP，∵O为AB中点，AB＝2，∴OC⊥AB，OC＝1．
同理，PO⊥AB，PO＝1．
又PC=√2，
∴PC2＝OC2+PO2＝2，∴∠POC＝90∘．∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC＝O，
∴PO⊥平面ABC．
由（1）可知OP⊥平面ABC，
∴OP为三棱锥P−ABC的高，且OP＝1．
∴V D−ABC=1
6S△ABC⋅OP=1
6
×1
2
×2×1×1=1
6
．。