高中数学 2.1.2指数函数及其性质(第3课时)课件 新人教A版必修1

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例5 已知函数f(x)＝(2x－1 1＋12)x. (1)求函数的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)求证：f(x)>0. 【思路点拨】 本题(3)欲证对定义域内的任意x，总有 f(x)>0，首先易证f(x)在x>0的局部有f(x)>0，结合(2)的结论，利 用奇偶函数图像的对称性，可证得f(x)在定义域内恒有f(x)>0.
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【解析】 (1)∵2x－1≠0，∴x≠
2x＋1x 22x－1
，∴f(－x)＝
2－x＋1－x 22－x－1
＝
1＋2x－x 21－2x
＝222x＋x－11x＝f(x)．
又∵定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数．
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(3)当x>0时，2x>1， ∴f(x)＝(2x－1 1＋12)x>0. 又f(x)在定义域上是偶函数，由偶函数图像关于y轴对称知， 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)>0，∴在定义域上恒有f(x)>0.
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探究4 判断指数型函数奇偶性首先判断其定义域是否关于 原点对称；其次，在定义域关于原点对称的基础上，判断f(－x) ＝±f(x)之一是否成立；最后，作结论．
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思考题 5 已知函数 f(x)＝aaxx＋－11(a>0 且 a≠1)． (1)求 f(x)的定义域，值域； (2)判断函数 f(x)的奇偶性； (3)讨论并证明 f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
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【解析】 函数定义域为R，对于二次函数u＝x2－2x＋7＝ (x－1)2＋6，当x∈[1，＋∞)时，u为增函数，当x∈(－∞，1] 时，u为减函数．
又3>1，y＝3u是增函数， ∴y＝3x2－2x＋7的单调递增区间为[1，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，1]．
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探究2 若函数y＝f(x)在区间D上是增(减)函数，则函数y＝ af(x)当a>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<a<1时，在区间D上 是减(增)函数．
6．如果函数f(x)的值域为[m，n]，那么函数y＝af(x)(a>0且 a≠1)的值域为当0<a<1时为 [an，am] ；当a>1时为 [am，an]．
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课时学案
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题型一 图像问题
例1
利用函数f(x)＝(
1 2
)x的图像，作出下列各函数的图像：
(1)f(x－1)； (2)f(x＋1)； (3)－f(x)；
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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2.1 指 数 函 数
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2.1.2 指数函数及其性质(第3课时)
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课时学案 课时作业
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1．若f(x)的单调递增区间[m，n]，则y＝af(x)(a>1)的单调递增 区间为 [m，n]．
2．若f(x)的单调递减区间[s，t]，则y＝af(x)(a>1)的单调递减 区间为 [s，t]．
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(2)当0<a<1时，t∈[a，1a]， ∵y＝(t＋1)2－2在[a，1a]上是增函数， ∴ymax＝(1a＋1)2－2＝14. ∴a＝13或a＝－15.∵0<a<1，∴a＝13. 综上，a＝3或a＝13.
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探究3 指数函数通常与二次函数、反比例函数结合构成指 数型复合函数，解此类函数的性质时应注意各类函数的概念．
【答案】 C
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例2 经怎样变换，由已知y＝a|x|的图像得到y＝a|x＋1|的图 像？
【答案】 向左平移1个单位
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思考题2 已知函数y＝(12)|x＋2|， (1)作出图像； (2)由图像指出其单调区间； (3)由图像指出，当x取什么值时有最值．
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【解析】
(1)先作出y＝(
1 2
(4)f(－x)； (5)f(x)－1.
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【解析】 图像如下图(1)－(5)中的实线部分所示．
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探究1 对平移问题要牢记四字真言：“正减负加”．
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思考题1 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)
＝21－x的图像关于( )
A．原点对称
B．x轴对称
C．y轴对称
D．直线y＝x对称
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【解析】 令t＝ax，则y＝t2＋2t－1. (1)当a>1时，∵x∈[－1,1]， ∴ax∈[1a，a]，即t∈[1a，a]． ∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2在[1a，a]上是增函数(对称轴t＝－ 1<1a)． ∴当t＝a时ymax＝(a＋1)2－2＝14. ∴a＝3或a＝－5.∵a>1，∴a＝3.
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思考题 3 函数 y＝(13)x2－2x 的单调递增区间是________，单调 减区间是________．
【答案】 (－∞，1] [1，＋∞)
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题型三 综合应用 例4 是否存在实数a，使函数y＝a2x＋2ax－1(a>0, 且a≠1) 在[－1,1]上的最大值是14? 【思路点拨】 设ax＝t，原函数转化为y＝t2＋2t－1，t的取 值范围与t＝ax的单调性有关系，故分a>1与0<a<1，讨论求得．
对求函数y＝f(ax)(a>0且a≠1)的值域通常用换元或逆求转化 为其他初等函数求之．
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思考题4 求函数y＝ax(a>0且a≠1)中，若x∈[1,2]时最大值 比最小值大a2，则a的值为________．
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【解析】 不论a取何值y＝ax在[1,2]上都是单调的． ∴a2＝|f(1)－f(2)|＝|a－a2|.解得a＝12或32. 【答案】 12或32
)|x|的图像，再向左平移2个单位，
如下图．
(2)由图像观察知函数在(－∞，－2)上是增函数，在[－2， ＋∞)上是减函数．
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(3)由图像观察知，x＝－2时，函数y＝(
1 2
)|x＋2|有最大值，最
大值为1，没有最小值．
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题型二 指数型复合函数的单调性 例3 求函数y＝3x2－2x＋7的单调区间．
3．若f(x)的单调递增区间[m，n]，则y＝af(x)(0<a<1)在区间 [m，n]上 单调递减．
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4．若f(x)的单调递减区间[s，t]，则y＝af(x)(0<a<1)在区间 [s，t]上 单调递增．
5．如果函数f(x)的定义域为A，那么函数y＝af(x)(a>0且a≠1) 的定义域为 A .