高考数学知识点总复习教案简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·北京朝阳二模)如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则
()．A．命题“綈p∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题
C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“p∧綈q”是真命题
解析由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”
是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C.
答案 C
2．(2012·吉林模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则()．A．綈p：有的三角形不是等边三角形
B．綈p：有的三角形是不等边三角形
C．綈p：所有的三角形都是等边三角形
D．綈p：所有的三角形都不是等边三角形
解析命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D.
答案 D
3．(2012·开封二模)下列命题中的真命题是()．
A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32
B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1
C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3x
D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x
解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x
的图象上方，故C 错误；因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时有sin x <cos x ，故D 错误．所以选B.
答案 B
4．(2012·潍坊模拟)已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2
＋y 2
a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2
－7x ＋12＜0的解集是{x |3＜x ＜4}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是________．
A ．②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
解析 因为命题p 和命题q 都是真命题，所以命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧綈q ”是假命题，命题“綈p ∨q ”是真命题，命题“綈p ∨綈q ”是假命题．
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0成立”的否定是________．
答案 对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0
6．(2012·南通调研)存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b <0成立，则b 的取值范围是
________．
解析 要使x 2－4bx ＋3b <0成立，只要方程x 2－4bx ＋3b ＝0有两个不相等的
实根，即判别式Δ＝16b 2－12b >0，解得b <0或b >34.
答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，＋∞ 三、解答题(共25分)
7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两个实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两
实根的绝对值相等．
解(1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p∧q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
綈p：2不是4的约数，假命题．
(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
綈p：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；
p∧q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；
綈p：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号不同，真命题．
8．(13分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形．
解(1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题．
(2)存在一个素数不是奇数，真命题．
(3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题．
(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．
B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2012·吉林二模)给出如下几个结论：
①命题“∃x∈R，cos x＋sin x＝2”的否定是“∃x∈R，cos x＋sin x≠2”；
②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x <2”；
③对于∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2； ④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2.
其中正确的为
( )． A ．③ B ．③④ C ．②③④ D ．①②③④
解析 根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①
不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]知④正确．
答案 C
2．(2012·江西六校联考)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ”．命题q ：“∃x
∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为
( )． A ．(－∞，－2] B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2]∪{1}
D ．[1，＋∞) 解析 若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p ∧q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1. 答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是
________．
解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧
a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，
得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.
答案 [－8,0]
4．(2012·长沙调研)下列结论：
①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝33；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p
∧綈q ”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝
－3；
③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；
②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
三、解答题(共25分)
5．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命
题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．
解 由命题p 为真知，0<c <1，
由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，
要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，
若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，
则p 、q 中必有一真一假，
当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；
当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.
综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1. 6．(13分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2
＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．
解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则
⎩⎨⎧
Δ＝m 2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，即命题p ：m ＞2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，
解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.
因“p ∨q ”为真，所以p ，q 至少有一个为真，
又“p ∧q ”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，
因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真．
∴⎩⎨⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧
m ≤2，1＜m ＜3.
解得：m ≥3或1＜m ≤2， 即实数m 的取值范围为[3，＋∞)∪(1,2].。