江西省xx县第一中学201X-201x学年高一数学上学期期末考试试题

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江西省高一上学期期末考试数学试题(A)(解析版)

一、单选题1．已知全集，集合，，则（） {}2,U x x x =≤∈Z {}1,0,2A =-{}2,1B =--() U A B ⋂=ðA ． B ．C ．D ．{}2-{}1-{}2,1--∅【答案】A【分析】先求出集合U ，再根据交集补集定义求解即可. 【详解】，{}{}2,2,1,0,1,2U x x x =≤∈=--Z ，. {}2,1U A ∴=-ð(){} U 2A B ∴⋂=-ð故选：A.2．设是满足的实数，那么 ,a b 0ab <A ． B ． a b a b +>-a b a b +<-C ． D ．a b a b -<-a b a b -<+【答案】B【详解】分析：利用特殊值对选项逐一进行验证即可. 详解：用赋值法．令a=2，b=﹣2，代入检验； A 选项为0＞4不成立， C 选项为4＜0不成立， D 选项为4＜4不成立，故选B ．点睛：处理不等式的小题型利用特值法非常有效，利用特值法必须排除三个选项后，才可以确认剩下的是正确的.3．若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（） x ∈R 220x x m ++≤m A ． B ． (],1-∞(),1-∞C ． D ． ()1,+∞[)1,+∞【答案】C【分析】该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数的取值范围. m 【详解】∵命题“存在，使” 是假命题， x ∈R 220x x m ++≤ 则其否定“任意， ” 为真命题, x ∈R 220x x m ++>∴ ，2240m ∆=-<所以 . 1m >故选： C.4．命题“，是奇函数”的否定是（） 2a ∀≥()2f x x ax =-A ．，是偶函数 B ．，不是奇函数 2a ∀≥()2f x x ax =-2a ∃≥()2f x x ax =-C ．，是偶函数D ．，不是奇函数2a ∀<()2f x x ax =-2a ∃<()2f x x ax =-【答案】B【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“，是奇函数”的否定是：，不是奇函数.2a ∀≥()2f x x ax =-2a ∃≥()2f x x ax =-故选：B.5．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其30%中正确的个数为 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到③错误. 故答案为C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1等于（） A ．1 B ．－1 C ．0.25 D ．0.75【答案】C【分析】根据二分法的原理，直接求解即可.【详解】第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，可知零点在之间， ()0,0.5所以第二次计算f (x 1)，则x 1＝＝0.25. 00.52+故选：C7．设，，，则（） 0a >0b >24a b ab ++=A ．有最大值8 B ．有最小值6 a b +a b +C ．ab 有最大值16 D ．ab 有最小值12【答案】C【分析】根据等式，用表示可得，分别计算、，并由基本不等式确定最小值a b 2511b a =-+a b +ab 或最大值即可.【详解】，，， 0a >0b >24a b ab ++=所以, 2425111a b a a -==-++则 ()252511211a b a a a a +=+-=++-++，当且仅当，即时取等号， 2528≥⨯-=2511a a +=+4,4a b ==所以有最小值8，排除A 、B 选项； a b +2511ab a a ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭()252611a a ⎡⎤=-++⎢+⎣⎦，当且仅当时取等号，261016≤-=4,4a b ==所以的最大值为， ab 16故选：C.【点睛】本题考查了根据等式条件，结合基本不等式求最值的简单应用，属于基础题. 8．已知函数与，满足：对任意的，总存在，使()11f x x x =-+()221g x x ax =-+[]10,1x ∈[]21,2x ∈得，则实数a 的取值范围是（） ()()12f x g x ≥A ．B ．C ．D ．[)1,∞[)2,∞)∞[)4,∞【答案】C【分析】先求出函数在当时的最小值，再求出函数在当()11f x x x =-+[]0,1x ∈()221g x x ax =-+时的最小值，然后根据题意列出不等式，解不等式即可.[]1,2x ∈【详解】由题意可知：对任意的，总存在，使得，只要 []10,1x ∈[]21,2x ∈()()12f x g x ≥在上的最小值不小于函数在时的最小值就可以. ()11f x x x =-+[]0,1x ∈()221g x x ax =-+[]1,2x ∈当时，函数是单调递增函数，故， []0,1x ∈()11f x x x =-+min ()(0)1f x f ==-，()22221()1g x x ax x a a =-+=-+-当时，函数在当时的最小值为，2a ≥()221g x x ax =-+[]1,2x ∈()min (2)54g x g a ==-此时有，所以； 31542a a -≥-⇒≥2a ≥当时，函数在当时的最小值为12a <<()221g x x ax =-+[]1,2x ∈，因此或；()2min ()1g x g a a ==-211a a -≥-⇒≥a ≤2a ≤<当时，函数在当时的最小值为，1a ≤()221g x x ax =-+[]1,2x ∈()min (1)22g x g a ==-此时有，所以无解集，舍去，综上所述：. 31222a a -≥-⇒≥a ≥故选：C【点睛】本题考查了任意性和存在性问题，考查了函数的最小值，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.二、多选题9．已知，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以a ∈Z 是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．9【答案】BC【分析】将题目转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式组，解之即可.【详解】设，函数图象开口向上，且对称轴为，()26f x x x a =-+3x =因此关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足，即，解得，又因为，所以或或，()()2010f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩58a <≤a ∈Z 6a =78故选：BC.10．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)的条形图．以下结论正确的是（）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫年排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫年排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈增加趋势【答案】ABC【分析】根据条形图中的数据，逐项判定，即可求解.【详解】从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，所以A 选项正确；从2007年开始二氧化硫排放量变少，所以B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，所以C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC .11．已知函数，下列说法正确的是（） 2(2)41([2,2])f x x x =+∈-A ． (1)5f =B ．2()1f x x =+C ．的定义域为 ()f x [1,1]-D ．的图像关于对称 (1)f x -1x =【答案】BD【分析】先求解函数的表达式及定义域，根据函数的性质判断各项正误.()f x ()f x【详解】解：因为，所以，故B 项正确； 2(2)41([2,2])f x x x =+∈-2()1f x x =+，故A 项错误；(1)112f =+=因为，所以，故的定义域为，故C 项错误；[]2,2x ∈-[]24,4x ∈-()f x []4,4-因为，所以为偶函数，则的图像关于对称，故D 项正确. 2()1f x x =+()f x (1)f x -1x =故选：BD.12．若连续函数在其定义区间上的任意个点，恒有()f x I n 12,,,n x x x ，则称在上满足性质．设函数在区间()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫⎪⎝⎭…()f x I M ()g x 上满足性质，且过点，的图象与线段围成封闭[1,1]-M 11(1,1),,0,,033A B C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1,1),()D g x AD 图形的面积记为，则（） g S A ．B ．可以为 2132g ⎛⎫ ⎪⎝⎭…()g x 321193||||||122x x x -+-C ．D ．43g S …2g S <【答案】AC【分析】直接利用信息关系式，函数的性质，凹函数的图象和性质，作出图像，数学结合即可判断A 、C 、D ；举例如，，即可判断B ． ()11,0124g g ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭1011122464g g ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭【详解】解：根据函数在区间，上满足性质，()g x [1-1]M 且过点，，，，，，(1,1)A -1(3B -0)1(3C 0)(1,1)D 如图所示：所以：，故A 正确，11(1)()11233()()2223g g g g ++==…由于函数的图像比线段要低，第一条边比线段要低，就是凹形， ()g x AB CD 所以的图象与线段围成的封闭图形面积要大于梯形的面积， (g )x AD ABCD 即，故C 正确；214(2)1323g S +⨯⨯=…由，得：，，所以32119()3||||||122g x x x x =-+-()11,0124g g ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭1011122464g g ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，与题意相违背， ()1031122864g g⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-<-故B 错误；由于函数的图象比线段低，是凹的，所以不一定小于2，故D 错误． ()g x BC g S 故选：AC ．三、填空题13．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为__________．37,52a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭a y x =R α【答案】31,5【详解】使函数为奇函数的可取值为，使函数的定义域为，可取.α31,1,5-R α31,514．已知，，则_________. 34m =98n =23m n -=【答案】##0.512【分析】根据指数幂的运算法则即得. 【详解】因为，， 34m =98n =所以. 22334133982m m m nn n -====故答案为：.1215．已知为定义域在上的偶函数，当时，则=______.()f x R (1,0)x ∈-4,()33xf x =+33(log 2f 【答案】2【分析】根据偶函数的性质求出当时的解析式即可求解. (0,1)x ∈【详解】当，时，因为函数为偶函数，(0,1)x ∈(1,0)-∈-x所以，即时，，4()()33xf x f x -=-=+(0,1)x ∈14()33x f x =+因为，所以， 330log 12<<333log 21424233333(log )2f =+=+=故答案为：216．已知是定义在上的奇函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，()f x R ()f x 1x ∀[)20,x ∈+∞，且，，则不等式的解集为______． 12x x ≠()()331122120x f x x f x x x ->-()()()3382110t f t t f t --->【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】令，依题意可得在上单调递增，再由为奇函数得到()()3g x x f x =()g x [)0,∞+()f x ()g x 为偶函数，则不等式即为，根据奇偶性与单调性转化为()()()3382110t f t t f t --->()()21g t g t >-自变量的不等式，解得即可.【详解】解：令，则，，且，()()3g x x f x =1x ∀[)20,x ∈+∞12x x ≠，()()()()3311221212120x f x x f x g x g x x x x x --=>--所以在上单调递增． ()g x [)0,∞+又是奇函数，则， ()f x ()()f x f x -=-所以，()()()()()33g x x f x x f x g x -=--==所以为偶函数，所以在上单调递减，()g x ()g x (],0-∞由，得， ()()()3382110t f t t f t --->()()()()332211t f t t f t >--即，即，所以，解得或， ()()21g t g t >-()()21g t g t >-21t t >-1t <-13t >即不等式的解集为．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知集合，．|2x M x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭{}|14N x x =-≤<(1)当时，求，；1a =M N ⋂M N ⋃(2)当时，求； 0a =()R C ⋂M N (3)当时，求的取值范围．N M ⊆a 【答案】(1)， {}|24M N x x =≤< {}|1M N x x =≥- (2)(){}R C |4M N x x =≥ (3)1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）化简集合，即可得到， M M N ⋂M N ⋃（2）化简集合，求出，即可得到 M R C N ()R C ⋂M N （3）化简集合，根据，即可求出的取值范围 M N M ⊆a 【详解】（1）由题意在和中，|2x M x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭{}|14N x x =-≤<1a =∴{}|2M x x =≥∴， {}|24M N x x =≤< {}|1M N x x =≥- （2）由题意及（1）得在和中，|2x M x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭{}|14N x x =-≤<0a =∴{}|0M x x =≥∴ {}R C |14N x x x =<-≥或∴ (){}R C |4M N x x =≥ （3）由题意及（1）（2）得在和中，|2x M x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭{}|14N x x =-≤<{}|2M x x a =≥∵ N M ⊆∴ 21a ≤-解得：12a ≤-∴的取值范围为a 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦18．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，，山区边界曲线为C ，计划修1l 2l建的公路为，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到，的距离分别为5千米和40千l 1l 2l 米，点N 到，的距离分别为20千米和2.5千米，以，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面1l 2l 1l 2l 直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数（其中a ，b 为常数）模型，求a ，b 的值. 2ay x b=+【答案】a =1000，b =0【分析】根据题意得出的坐标，代入函数模型可求得．,M N ,a b 【详解】由题意知，点M ，N 的坐标分别为；， ()540，()20,2,5将其分别代入， 2ay x b=+得，解得. 4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩10000a b =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查函数模型应用，在已知函数模型时，只要代入已知条件即可求得其中的参数． 19．已知.2()21()f x mx x m =++∈R (1)若的解集为，求实数、的值； ()0f x >{}1x n x <<m n (2)求关于的不等式的解集.x 2()(1)21f x m x mx m >+-++【答案】(1)；13,3m n =-=-(2)答案见解析.【分析】（1）根据不等式的解集可确定相应的方程的两根，根据根与系数的关系列出等式，求得答案;（2）化简，确定相应方程的根，分类讨论，确定不等式的解集.2()(1)21f x m x mx m >+-++【详解】（1）由题意的解集为，()0f x >{}1x n x <<可得1和n 是方程的两实数解，且，2210mx x ++=0m <则，解得； 211,1n n m m +=-⨯=13,3m n =-=-（2）关于的不等式，x 2()(1)21f x m x mx m >+-++即，即，2221(1)21mx x m x mx m ++>+-++2(2)20x m x m -++<即，2(0)()x m x --<当时，，不等式的解集为；2m =2(2)0x -<2()(1)21f x m x mx m >+-++∅当时，不等式的解集为；m>22()(1)21f x m x mx m >+-++(2,)m 当时，不等式的解集为.m<22()(1)21f x m x mx m >+-++(,2)m 20．“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在内的人数为(]12,1692.（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在内的党员干部给予(]16,24奖励，且参与时间在，内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖(]16,20(]20,24人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率.【答案】（1）（2） 13.6425【解析】（1）根据频率分布直方图以每个小矩形的中值为估值计算即可求出；（2）用分层抽样抽取的人数：在内为4人，设为；在内为1人，设为A ，(]16,20a b c d ,,,(]20,24列出基本事件，根据古典概型计算概率即可.【详解】（1）由已知可得，，()140.02500.04750.05000.01250.1150a =÷-+++=所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为.()60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）因为，所以. 0.1150492n ⨯⨯=922000.11504n ==⨯故参与主题教育活动的时间在的人数为，(]16,200.0500420040⨯⨯=参与主题教育活动的时间在的人数为.(]20,240.0125420010⨯⨯=则利用分层抽样抽取的人数：在内为4人，设为；在内为1人，设为A.从这(]16,20a b c d ,,,(]20,245人中选取3人的事件空间为：，共10种情况， {}(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a c d a c A a d A b c d b c A b d A c d A 其中全是二等奖的有4种情况.故. 42105P ==【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，均值，分层抽样你，古典概型，属于中档题.21．已知函数，. 32()32xxy f x -==+x ∈R （1）判断函数的单调性，并给予证明；()y f x =（2）求函数的值域.()y f x =【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；（2）.()y f x =R (1,1)-【解析】（1）对化简可得，利用单调性的定义，取值、作差、化简、()y f x =6()132xy f x ==-++定号即可证明；（2），利用先求出，再计算即可求解. 6()132x y f x ==-++20x >233x +>321103x <+<【详解】（1）， ()326326()1323232x x x x xy f x -++-====-++++设任意的，，且，1x 2x R ∈12x x < 1212126666()()1132323232x x x x f x f x ⎛⎫-=-+--+=- ⎪++++⎝⎭，()()()()()()()2121121263263262232323232x x x x x x x x +-+-==++++因为，所以，12x x <2122x x >因为，，所以，1320x +>2320x +>12()()f x f x >所以在上单调递减， 32()32xxy f x -==+R （2）， 6()132xy f x ==-++因为，所以，，， 20x >233x +>321103x <+<26230x +<<所以， 611132x -<-+<+函数的值域为()y f x =()1,1-【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：()f x D 1.取值：任取，，规定，1x 2x D ∈12x x <2.作差：计算；()()12f x f x -3.定号：确定的正负；()()12f x f x -4.得出结论：根据同增异减得出结论.22．设函数是定义域为的奇函数.()()()2101x x a t f x a a a --=>≠且R （1）求的值；t （2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围； ()10f >()()210f kx x f x -+-<x ∈R k （3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数()f x 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1m m ≠在上的最大值为0，若存在，求出的值；若不存在，请()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦[]21,log 3m 说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析.2t =31k -<<【分析】（1）由奇函数的性质可知，得出；(0)0f =2t =（2）由（1）得又，求出，由函数的单调性不等式整理为f 0>10a a->0a >1a >对一切恒成立，利用判别式法求解即可；2(1)10x k x -++>x R ∈（3）把点代入求出，假设存在正数，构造函数设则2a =m 22x x t -=-，对底数进行分类讨论，判断的值．22(22)(22)22x x x x m t mt -----+=-+m m 【详解】（1）是定义域为的奇函数()f x R ∴，()00f =∴；2t =（2）由（1）得，()x x f x a a -=-由得又， ()10f >10a a->0a >∴ 1a >由得，()()210f kx x f x -+-<()()21f kx x f x -<--∴为奇函数∴∴，()f x ()()21f kx x f x -<-1a >∴为上的增函数，()x x f x a a -=-R ∴对一切恒成立，21kx x x -<-x R ∈即对一切恒成立，()2110x k x -++>x R ∈故，解得；()2140k ∆=+-<31k -<<（3）假设存在正数符合题意，由得()1m m ≠2a =()()()2222log log 2222x x x x x m m x g x a a mf x m ---⎡⎤=+-=+--⎣⎦⎡⎤⎣⎦， ()()2log 22222x x x x m m --⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦设，则， 22x x t -=-()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∴， []21,log 3x ∈ 38,23t ⎡⎤∈⎢⎣⎦记，()22h t t mt =-+函数在上的最大值为0，()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦[]21,log 3(ⅰ)若，则函数在有最小值为1， 01m <<()22h t t mt =-+38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦对称轴，∴﹐不合题意； 122m t =<()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭(ⅱ)若，则函数在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， 1m >()220h t t mt =-+>38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦①， ()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩又此时， 7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦又，故无意义， ()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()g x所以应舍去； 7324m =②无解， ()max 25252126313126m m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩故不存在正数，使函数在上的最大值为0.()1m m ≠()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦[]21,log 3【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题，属于难题．。

江西省2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

新余市2021学年度上学期期末质量检测高一数学试题卷说明：1.本卷共有三个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1.过点(2,1)P -且倾斜角为90°的直线方程为（） A. 1y = B. 2x =- C. 2y =- D. 1x =【答案】B 【解析】【分析】根据倾斜角为90的直线的方程形式，判断出正确选项.【详解】由于过()2,1P -的直线倾斜角为90，即直线垂直于x 轴，所以其直线方程为2x =-. 故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角为90的直线的方程，属于基础题. 2.下列命题正确的是（） A. 经过任意三点有且只有一个平面.B. 过点P 有且仅有一条直线与异面直线a b 、垂直.C. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行.D. 面α与平面β相交，则公共点个数为有限个. 【答案】B 【解析】【分析】根据公理2、异面直线垂直、线面平行、面面相交的知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，如果这三个点共线，经过这三个点不止一个平面，所以A 选项错误. 对于B 选项，过a 上一点Q 作'//b b ，直线a 与'b 确定平面α，过P 作直线c a ⊥，则c b ⊥，则'c b ⊥，而'a b Q ⋂=，所以c α⊥，由于过平面外一点只能作平面一条垂线，所以B 选项正确.对于C 选项，一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的直线平行或异面，所以C 选项错误.对于D 选项，面α与平面β相交，则公共点个数为无限个，都在交线上，故D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查公理2、异面直线垂直、线面平行和面面相交等知识的运用，属于基础题.3.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 与1B C 所成角（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】【分析】通过平移作出异面直线所成的角，解三角形求得所成角的大小.【详解】连接11,A D A B 如图所示，由于11//A D B C ，所以1A DB ∠是异面直线BD 与1B C 所成角，由于三角形1A BD 是等边三角形，所以160A DB ∠=. 故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于基础题.4.利用二分法求方程3log 5x x =-的近似解，可以取得的一个区间为（） A. （0,1） B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）【答案】D 【解析】【分析】构造函数()3log 5f x x x =+-，利用零点存在性定理判断出函数()f x 零点所在区间，也即方程3log 5x x =-的解所在区间.【详解】构造函数()3log 5f x x x =+-，()()3313510,4log 410f f =+-=-<=->，由于()f x 在()0,∞+上是单调递增函数，所以()f x 零点所在区间为()3,4，也即方程3log 5x x =-的解所在区间为()3,4.故选：D【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，考查二分法的理解，属于基础题. 5.已知,,a b c 是直线，,,αβγ是平面，且满足a α⊥，b β⊥，//a γ，αβ⊥，l αβ=，则下列结论：①αγ⊥；②b γ⊥；③//βγ；④//b γ.其中一定正确的命题的个数是（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】首先判断结论①正确，然后利用图像法判断②③④为假命题.【详解】由于aα⊥，//aγ，所以αγ⊥，故①正确.画出满足aα⊥，bβ⊥，//aγ，αβ⊥，lαβ=的图像如下图所示，由图可知bγ⊂，所以②④错误；而β与γ相交，所以③错误.故正确命题的个数为1.故选：A【点睛】本小题主要考查空间点线面位置关系命题真假性的判断，属于基础题.6.已知两直线1:10l ax y+-=与2:(2)310l a x y-++=，若12l l//，则a=（）A. 2B. 2- C. 1或2- D. 1-【答案】D【解析】【分析】根据两条直线平行的条件列式，由此求得a的值.【详解】由于12l l//，所以()()()31201120a aa a⎧⨯-⨯-=⎪⎨⨯--⨯-≠⎪⎩，解得1a=-.故选：D【点睛】本小题主要考查根据两条直线平行求参数，属于基础题.7.已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中1O B O C ''''==，则此正三棱锥的体积为（）3 B. 33333【答案】A 【解析】【分析】根据''B C 的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三棱锥的体积. 【详解】由于1O B O C ''''==，所以''2B C =，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为2，其面积为23234=所以正三棱锥的体积为13333=故选：A【点睛】本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，属于基础题.8.如图所示12AP P ∆为等腰直角三角形，C 为斜边12PP 的中点，1242PP =B D 、分别落在边12AP AP 、上，且满足AB AD x ==，若分别将CBP 、2CDP 、沿着CBCD 、翻折时点12P P 、能重合（两个三角形不共面），则x 满足条件（）A. 01x <<B. 02x <<C. 03x <<D. 12x <<【答案】B 【解析】【分析】考虑当,B D 分别是12,AP AP 中点时，12,,CPCP CA 重合，由此判断出符合题意的x 的取值范围.【详解】由于12AP P ∆为等腰直角三角形1242PP =，所以124AP AP ==. 当,B D 分别是12,AP AP 中点时，将CBP ∆、2CDP ∆、沿着CB CD 、翻折，12,,CP CP CA 重合，此时2AB AD x ===.当2x >时，12P P 、不能重合；当02x <<时，12P P 、能重合. 故选：B【点睛】本小题主要考查折叠问题的分析与判断，考查空间想象能力，属于基础题. 9.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，23AD =，ADE 与BCF 都是等边三角形，且二面角E AD B --与F BC A --相等，则EF 长度的取值范围为（）A. （2,14）B. （2,8）C. （0,12）D. （2,12）【答案】A 【解析】【分析】求得EF 长度的两个临界位置的长度，由此求得EF 的取值范围.【详解】由于ADE ∆与BCF ∆都是等边三角形，且边长为23，故高为3.当E AD B --和F BC A --趋向于0时，8332EF →--=，如下图所示.当E AD B --和F BC A --趋向于π时，83314EF →++=，如下图所示.所以EF 的取值范围是()2,14. 故选：A【点睛】本小题主要考查空间线段长度范围的判断，考查空间想象能力，属于基础题. 10.某三棱锥的三视图如图所示（网格中正方形的边长为1），则其表面积为（）A. 4413+B. 442213++C. 422413++D.462213++【答案】D 【解析】【分析】根据三视图还原为原图，由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体的知关于如图所示三棱锥A BCD -，其中AC ⊥平面BCD ，所以,AC CE AC BD ⊥⊥，所以2222132BD AE CE AC AC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.由于,BD CE BD AC ⊥⊥，所以BD ⊥平面ACE ，所以BD AE ⊥.所以几何体的表面积为11112222BC CD BC AC CD AC BD AE ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1862624132=+++462213=++.故选：D【点睛】本小题主要考查根据三视图求几何体的表面积，属于基础题.11.已知在ABC 中，其中(1,4)B ，(6,3)C ，BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则ABC 的面积为（）A. 52B. 2C. 8D. 210【答案】C 【解析】【分析】首先求得直线10x y -+=与直线BC 的交点D 的坐标，利用D 到直线,AB AC 的距离相等列方程，解方程求得A 点的坐标.利用A 到直线BC 的距离以及BC 的长，求得三角形ABC 的面积.【详解】直线BC 的方程为()1415y x -=--，即5210x y +-=. 由521010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得811,33D ⎛⎫⎪⎝⎭.设()8,1,3A a a a +≠，直线,AB AC 的方程分别为()()3241,3616a a y x y x a a ---=--=--- ，即()()3131a x a y a ---+-，()()26360a x a y a -----=.根据角平分线的性质可知，D到直线,AB AC 的距离相等，所以=，=83a ≠，所以上式可化为2=2803a a -=，解得0a =（83a ≠），所以()0,1A .所以()0,1A 到直线BC=，而BC ==，所以182ABCS ∆==. 故选：C【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 12.如图两个同心球，球心均为点O ，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段AB 与CD 是夹在两个球体之间的内弦，其中A C 、两点在小球上，B D 、两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体ABCD 的体积达到最大值时，此时异面直线AD 与BC 的夹角为θ，则sin2θ=（）6B.2430 26【答案】A【解析】【分析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为1:3，符合题意中的小球和大球的比例.判断当四面体ABCD 体积最大时，,AB CD 的位置关系，作出异面直线,AD BC 所成的角θ，解直角三角形求得sin2θ.【详解】设正方体的边长为2，则其内切球半径为1，外接球的半径为2=，所以内切球和外接球的表面积之比为1:3，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意,CD AB=，AC 最长为小球的直径2.由于三角形的面积1sin 2S ab C =⋅⋅，若,a b 为定值，则π2C =时面积取得最大值.画出图像如下图所示，其中,A C 分别是所在正方形的中心，O 是正方体内切球与外接球的球心.1111//,,//,CD AD CD AD CB AB CB AB ==.由于11111133A BCD ABD CB D ABD V V S AC --∆==⋅⋅，故此时四面体A BCD -的体积最大. 由于//,CE AB CE AB =，所以四边形ABCE 为平行四边形，所以//BC AC ，所以ADE ∠是异面直线BC 和AD 所成的角.所以ADE θ∠=由于AD AE =，设G 是DE 的中点，则AG DE ⊥，所以2GAE θ=∠，所以sin26GE AE θ====.故选：A【点睛】本小题主要考查几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13.若P l ∈，P α∈，Q l ∈，Q α∉，则直线l 与平面α有_____个公共点；【答案】1 【解析】【分析】根据已知条件判断出直线l 与平面α相交，由此确定直线l 与平面α的公共点个数. 【详解】由于P l ∈，P α∈，所以直线l 与平面α有公共点，而Q l ∈，Q α∉，所以直线l 与平面α相交，故直线l 与平面α的公共点个数为1个. 故答案为：1【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，属于基础题.14.已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为______. 【答案】55【解析】【分析】根据直线l所过象限列不等式组，结合a Z∈求得a的值，再根据点到直线距离公式求得点(1,3)A-到直线l的距离.【详解】由于直线:2(2)l y ax a=+-过一、三、四象限，所以2020aa>⎧⎨-<⎩，解得02a<<，由于a Z∈，所以1a=，所以直线方程为210x y--=，点A到直线的距离为2223145512+-=+.故答案为：455【点睛】本小题主要考查根据直线所过象限求直线方程，考查点到直线距离公式，属于基础题.15.如图正三棱锥S ABC-，其中2SA=，3AB=，点P Q M N、、、分别为校AB BC SC SB、、、的中点，则四面体PQMN的体积为______；【答案】332【解析】【分析】通过分析判断出18P MNQ S ABCV V--=，由此求得四面体PQMN的体积.【详解】由于P Q M N、、、分别为棱AB BC SC SB、、、的中点，所以三角形MNQ的面积是三角形SBC的面积的四分之一，而P到平面SBC的距离是A到平面SBC的距离的一半，所以18P MNQS ABC V V --=.正三角形ABC的外接圆半径为1112sin 602AB R =⨯=⨯=，=所以213344S ABC V -=⨯=，所以13832P MNQ S ABC V V --==. 故答案为：332【点睛】本小题主要考查锥体体积计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.16.已知函数2222(1)2(2)21x y z x y -++=++，则下列四组关于x y 、的函数关系：①|1||1|y x x =--+；②2y x =-；③11y x=+；④3log ()y x x =⋅-，其中能使得函数z 取相同最大值的函数关系为______. 【答案】①②④ 【解析】【分析】先求得z 取得最大值时,x y 的值，再将点(),x y 的值代入题目所给四个函数关系，由此判断出正确的结论.【详解】依题意2222222222(1)2(2)212884412212121x y x y x y x y z x y x y x y -++++-++--===-⨯++++++，令2124421x y x z y --++=①，当1z 取得最小值时，z 取得最大值.（i ）当440x y --=时，10z =. （ii ）当10z ≠时：由①去分母并化简得221112440z x x z y y z -++++=，此方程有解，故()2111142440z z y y z ∆=-+++≥，整理得222111181641610z y z y z z +++-≤，此一元二次不等式有解，所以()()2221111163241610z z z z ∆=-+-≥，整理得21141690z z +-≤，即()()1129210z z +-≤，解得()1191022z z -≤≤≠. 综上所述191,22z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1z 的最小值为92-.由22449212x y x y --=-++，化简得229218810x x y y ++-+=，即2212918099x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12,99x y =-=.即当12,99x y =-=时，1z 取得最小值，z 取得最大值.将点12,99⎛⎫- ⎪⎝⎭代入①②③④进行验证：①112|1||1|999----+=，符合； ②12299⎛⎫-⨯-=⎪⎝⎭，符合； ③11819+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，不符合； ④()31112log ()29999y ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合. 所以点12,99⎛⎫- ⎪⎝⎭满足①②④，不满足③.故答案为：①②④【点睛】本小题主要考查二元分式型函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答題（17题10分，其余每题12分，共70分） 17.已知点(3,1)A -与点(4,2)B .（1）求过点(1,2)P 且与直线AB 垂直的直线方程；（2）求与直线AB的直线方程.【答案】（1）790x y +-=；（2）70x y -=或7200x y -+=．【解析】【分析】（1）求得直线AB的斜率，由此求得与AB垂直的直线的斜率，进而求得所求直线方程. （2）设出与直线AB平行的直线的方程，利用两平行线间的距离公式列方程，由此求得所求直线方程.【详解】（1）直线AB的斜率为()211437-=--，与其垂直的直线斜率为7-，由点斜式得()271-=--y x，化简得790x y+-=.（2）直线AB的方程为()1247y x-=-，即7100x y-+=，设与直线AB平行的直线方程为70x y c-+=，由两平行线间的距离公式得()22102,101017cc-=-=+-，解得0c或20c=，故所求的直线方程为70x y-=或7200x y-+=.【点睛】本小题主要考查根据平行、垂直求直线方程，属于基础题.18.如图四棱锥P ABCD-，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，点F为侧棱PB的中点，过C D F、、三点的平面交侧棱PA于点E.（1）求证：点E为侧棱PA的中点；（2）若PD AD=，求证：PA CF⊥.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先证得//AB平面CDEF，再由线面平行的判定定理，证得//AB EF，结合F是PB的中点，证得E是PA的中点.（2）利用等腰三角形的性质证得DE PA⊥，通过证明CD⊥平面PAD，证得CD PA⊥，由此证得PA⊥平面CDFE，进而证得PA CF⊥.【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ．且CD ⊂平面CDEF AB ⊄平面CDEF ，∴//AB 平面CDEF ．又AB平面PAB ，平面PAB ⋂平面CDEF EF =，∴//AB EF ．而点F 为侧棱PB 的中点，∴点E 为侧棱PA 的中点．（2）∵PD AD =且点E 为侧棱PA 的中点，∴DE PA ⊥．又PD ⊥平面ABCD ，∴PD CD ⊥，且AD CD ⊥，故CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥． ∴PA ⊥平面CDEF ，∴PA CF ⊥．【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，考查线面垂直、线线垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 19.已知函数22()log (3)log (1)f x x x =-++. （1）求该函数的定义域；（2）若函数()y f x m =-仅存在两个零点12,x x ，试比较12x x +与m 的大小关系. 【答案】（1）(1,3)- （2）12x x m +> 【解析】【分析】（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）化简()f x 表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得12x x +以及m 的取值范围，从而比较出12x x +与m 的大小关系.【详解】（1）依题意可知301310x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故该函数的定义域为(1,3)-；（2）2222()log (23)log ((1)4)f x x x x =-++=--+，故函数关于直线1x =成轴对称且最大值为2log 42=， ∴122x x +=，2m <，∴12x x m +>．【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题.20.已知直线:(31)(2)450l x y λλλ++---=恒过定点A . （1）求点A 的坐标；（2）若点B 与点A 关于y 轴成轴对称，点P 是直线:35m y x =+上一动点，试求22PA PB +的最小值.【答案】（1）(2,1) （2）565【解析】【分析】（1）将直线l 的方程重新整理，由此列方程组，解方程组求得A 的坐标. （2）先求得B 点的坐标，设出P 点坐标，利用两点间的距离公式求得22PA PB +的表达式，结合二次函数的最值的求法，求得22PA PB +的最小值.【详解】（1）:(31)(2)450l x y λλλ++---=整理即：(24)(35)0x y x y λ+-+--=，令24023501x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩，故点A 的坐标为(2,1)；（2）∵点B 与点A 关于y 轴成轴对称，故点B 的坐标为(2,1)-， ∵点P 是直线35y x =+上一动点，设(,35)P t t +，∴2222222(2)(34)(2)(34)204840PA PB t t t t t t ⎡⎤⎡⎤+=-++++++=++⎣⎦⎣⎦265620()55t =++，故当65t =-时，22PA PB +取最小值为565.【点睛】本小题主要考查直线过定点的问题，考查两点间的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.如图，AC 是半圆O 的直径，AC =B 为圆周上一点，BE ⊥平面ABC ，//BC DE ，3BE BC =，2DE BC =，CD =（1）求证：平面AEB ⊥平面AED ；（2）在线段AD 上是否存在点M ，且使得CM ⊥平面AED ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，M 为线段AD 中点. 【解析】【分析】（1）通过证明,BE BC AB BC ⊥⊥证得BC ⊥平面AEB ，结合//BC DE 证得DE ⊥平面AEB ，由此证得平面AEB ⊥平面AED .（2）通过计算证明证得AB BE =，设M 为线段AD 中点，N 为线段AE 中点，连接BN MN CM 、、，结合（1）的结论，利用等腰三角形的性质证得BN ⊥平面AED ，证得四边形BCMN 是平行四边形，由此由此还整得//BN CM ，进而证得CM ⊥平面AED . 【详解】（1）∵BE ⊥平面ABC ，∴BE BC ⊥．又B 为圆周上一点且AC 是半圆O 的直径，∴AB BC ⊥． ∴BC ⊥平面AEB ．又//BC DE ，∴DE ⊥平面AEB ，且DE ⊂平面AED ， ∴平面AEB ⊥平面AED ；（2）点M 为线段AD 中点，证明如下：设BC x =，则3BE x =，2DE x =，∴22()10CD DE BC BE x =-+=．又10CD =，∴1x =． ∴223AB AC BC BE =-==．取AE 中点N ，连接BN MN CM 、、．∴BN AE ⊥．又由（1）可知平面AEB ⊥平面AED ，故BN ⊥平面AED ．又12MNDE ，12BC DE ，故MN BC ，即四边形BCMN 为平行四边形， ∴//BN CM ，∴CM ⊥平面AED ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查探究性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.如图在四面体ABCD 中，ABC 是边长为2的等边三角形，DBC △为直角三角形，其中D 为直角顶点，60DCB ︒∠=.E F G H 、、、分别是线段AB AC CD DB 、、、上的动点，且四边形EFGH 为平行四边形.（1）求证：//BC 平面EFGH ，//AD 平面EFGH ；（2）试探究当二面角A BC D --从0°增加到90°的过程中，线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域的面积；（3）设AE ABλ=((01))λ∈,，且ACD 为等腰三角形，当λ为何值时，多面体ADEFGH 的体积恰好为14？【答案】（1）见解析（2）34 （3）12λ= 【解析】【分析】（1）先通过线面平行的判定定理，证得//EF 平面BCD ，通过线面平行的性质定理，证得//EF BC ，由此证得//BC 平面EFGH ；同理证得//AD 平面EFGH .（2）画出A BC D --为0、90时A 的投影，由此判断出线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域，进而求得区域的面积.（3）先求得三棱锥A BCD -的面积为12，通过分割的方法，得到A EFGH ADEGH ADGH V V V -=+多面体四面体，分别求得,A EFGH ADGH V V -四面体与ABCD V 四面体的关系式，再由12ADEGH ABCD V V =⋅多面体四面体列方程，解方程求得λ的值. 【详解】（1）∵四边形EFGH 为平行四边形，∴//EF GH ．而GH ⊂面BCD ，EF ⊄面BCD ，∴//EF 面BCD ．而EF ⊂面ABC ，面ABC 面BCD BC =，∴EF ∥BC ．而EF ⊂面EFGH ，BC ⊄面EFGH ，∴BC ∥平面EFGH ．同理，AD ∥平面EFGH ；（2）∵AB AC =，∴A 在平面BCD 上的投影满足A B AC ''=，即A '在线段BC 的中垂线上．如图所示，将Rt ΔBCD 补成边长为2的正BCM ∆，当二面角A BC D --为0角时，即点A 在平面BCD 上，此时A '为M ，当二面角A BC D --为90角时，此时A 为BC 中点N ，故DA '在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域为DMN ∆，而134DMN MBC S S ∆∆==，故线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域的面积为3；（3）∵2AC =，1CD =，且ACD ∆为等腰三角形，∴2AD =．取BC 中点O ，易得：OA BC ⊥，3OA =12BC OD ==，满足：222OA OD AD +=，根据勾股定理可知OA OD ⊥．∴OA ⊥平面BCD ．∴11113322A BCD BCD V S OA CD BD OA -∆=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=．而多面体ADEFGH 的体积恰好为14，即多面体ADEFGH 的体积恰为四面体ABCD 体积的一半．连接AH AG 、．12()2231()3AEH A EFGH A EFH F AEHC ABDABCD ABCD ABD S F AEH V V V V V V S C ABD ∆----∆⋅⋅⋅===⋅⋅四面体四面体到面的距离到面的距离 222(1)AEH ABD S AF S ACλλ∆∆⋅==-⋅，∴22(1)A EFGH ABCD V V λλ-=-⋅四面体． 1()31()3DGH ADGH A DGH ABCD A BCDBCD S A DGH V V V V S A BCD ∆--∆⋅⋅==⋅⋅四面体四面体四面体四面体到面的距离到面的距离 2DGH DBCS S λ∆∆==，∴2ADGH ABCD V V λ=⋅四面体四面体． ∴21(32)2A EFGH ADEGH ADGH ABCD ABCD V V V V V λλ-=+=-⋅=⋅多面体四面体四面体四面体， ∴21(32)2λλ-=，整理：3212302λλ-+=，即21()(221)02λλλ---=，解得：12λ=（132λ±=舍去）．【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，考查动态分析立体几何问题的方法，考查不规则几何体体积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.。

江西省高一上学期期末数学试题(解析版)

第一学期期末考试数学学科注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填写在答题卡上.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 设命题则命题 p 的否定为（）200:,10,p x x ∃∈+=R A. B. 2,10x x ∀∉+=R 2,10x x ∀∈+≠R C. D.200,10x x ∃∉+=R 200,10x x ∃∈+≠R 【答案】B 【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题得，命题 p 的否定为. 2,10x x ∀∈+≠R 故选：B.2. 若是第三象限角，则所在的象限是（）α2αA. 第一或第二象限；B. 第三或第四象限；C. 第一或第三象限；D. 第二或第四象限．【答案】D 【解析】【分析】根据是第三象限角的范围，可判断所在的象限.α2α【详解】因为为第三象限角, 即 , α322()2k k k αππ+π<<π+∈Z 所以,, 3()224k k k +<<+∈Z παπππ当为奇数时, 是第四象限的角; k 2α当为偶数时, 是第二象限的角.k 2α故选:D.3. 已知函数，则（）()2234f x x x +=-+()1f =A. 4 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式求得正确答案. 【详解】由得， 21x +==1x -依题意，，()2234f x x x +=-+令得. =1x -()()()2113141348f =--⨯-+=++=故选：D4. 已知函数满足，且在区间内单调递减，则，，()f x ()()f x f x -=()0,∞+()3log 23f -()0.42f -的大小关系正确的是（）()0.19f A.()()()3log 20.10.4392f f f ->>-B.()()()3log 20.40.1329f f f ->->C.()()()3log 20.10.4932f f f ->>-D.()()()3log 20.10.4923f f f ->->【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性，将自变量化为同一单调区间之内，再结合单调性对函数值的大小进行比较. 【详解】∵函数满足，∴函数为偶函数， ()f x ()()f x f x -=()f x ∴()()0.40.422f f -=∵，， ()331log 2log 21133212---===<()0.10.440.10.102216991==>>=∴，3log 20.10.40392-<<<∵在区间内单调递减， ()f x ()0,∞+∴，即.()()()3log 20.10.4392f f f ->>()()()3log 20.10.4392f f f ->>-故选：A.5. 函数的单调递增区间是（）()()2lg 28f x x x =--A. B. C. D.(),2-∞-(),1-∞-()1,+∞()4,+∞【答案】D 【解析】【分析】求得的定义域，结合复合函数的单调性，即可求得结果.()f x 【详解】，即，解得，即的定义域为2280x x -->()()420x x -+>()(),24,x ∈-∞-⋃+∞()f x ；()(),24,-∞-⋃+∞又在单调递减，在单调递增，在为单调增函数， 228y x x =--(),2-∞-()4,+∞lg y x =()0,+∞故在单调递减，在单调递增. ()f x (),2-∞-()4,+∞故选：D.6. 设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇()1(2,1,,1,2,32af x x a ⎧⎫=∈--⎨⎬⎩⎭()y f x =()y f x =函数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由图象过点解得a 的值的集合，再由奇函数解得a 的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关系.【详解】∵的图象经过点，， ()y f x =(1,1)--()a f x x =∴1(1)a -=-又∵ 1{2,1,,1,2,3}2a ∈--∴{1,1,3}a ∈-∵为奇函数， ()y f x =1{2,1,,1,2,3}2a ∈--∴{1,1,3}a ∈-∴ “的图象经过点”是“为奇函数”的充要条件.()y f x =(1,1)--()y f x =7. 函数（且）与函数的图象可能是（）y ax b =+0a >1a ≠x y a b =+A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】分析各选项中两函数的单调性及其图象与轴的交点位置，即可得出合适的选项. y 【详解】A 选项，函数为减函数，则，x y a b =+01a <<且函数的图象交轴正半轴点，则，可得，x y a b =+y ()0,1b +10b +>1b >-函数为增函数，且函数交轴正半轴于点，则，，A 满足； y ax b =+y ax b =+y ()0,b 0a >0b >对于B 选项，函数交轴于点，函数交轴于点， x y a b =+y ()0,1b +y ax b =+y ()0,b 显然，B 不满足；1b b +>对于C 选项，函数交轴于点，函数交轴于点， x y a b =+y ()0,1b +y ax b =+y ()0,b 显然，C 不满足；1b b +>对于D 选项，函数为减函数，则， x y a b =+01a <<函数为减函数，则，D 不满足. y ax b =+a<0故选：A.8. 已知定义在R 上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下()y f x =()()2f x f x +=-()1y f x =-列选项错误的是（）A. 函数是周期函数B. 函数的图像关于点对称 ()y f x =()y f x =()1,0-C. 函数为R 上的偶函数D. 函数为R 上的单调函数()y f x =()y f x =【解析】【分析】A 选项，由题可得;B 选项，由为奇函数，可得()()4f x f x +=()1y f x =-；C 选项，由，，可得()()110f x f x --+-=()()11f x f x --=--()()2f x f x +=-，再令可判断选项正误；D 选项，注意到，可判断选项正()()11f x f x +=--1x t +=()()110f f -==误.【详解】A 选项，因，则，即，故A 正确； ()()2f x f x +=-()()()42f x f x f x +=-+=4T =B 选项，因为奇函数，所以()1y f x =-，则的图像关于点对称，故B 正确；()()()()11110f x f x f x f x --=--⇒--+-=()y f x =()1,0-C 选项，因，，()()11f x f x --=--()()()()211f x f x f x f x +=-⇒+=--则，令，则，即函数为R 上的偶函数，故C 正确； ()()11f x f x +=--1x t +=()()f t f t =-()f x D 选项，因为奇函数，则，又函数为R 上的偶函数，则，所以函()1y f x =-()10f -=()f x ()10f =数不单调，D 错误．故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 下列各式正确的是（）A.B. π3=-222log 2log x x =C. D.21log 5210+=3log 93=【答案】AC 【解析】【分析】由指数式和对数式的运算规则，逐个判断选项.，故选项正确；3ππ3=-=-A ，故B 选项错误；222log 2log x x =，故C 选项正确；221log 5log 512222510+=⨯=⨯=对于，故D 选项错误.233log 9log 32==10. 若，则下列结论正确的是（） 0a b <<A.B. 32a ab >11a b b a+<+C. D.2a b +>11a ab b +<+【答案】BD 【解析】【分析】利用作差法判断AD ，利用不等式的同向可加性判断B ，利用特殊值判断C 即可. 【详解】选项A ：因为，所以，所以，即，A 错误； 0a b <<22a b <22()0a a b -<32a ab <选项B ：因为，所以，所以，B 正确； 0a b <<11b a <11a b b a+<+选项C ：取，，则，，即C 错误； 1a =2b =25a b +=5=>2a b +<选项D ：因为，所以，即，D 正确； 0a b <<1(1)(1)01(1)(1)a a a b b a a b b b b b b b ++-+--==<+++11a ab b +<+故选：BD11. 设a 与b 为实数，，且，已知函数的图像如图所示，则下列结论正确0a >1a ≠()()log a f x x b =+的是（）A. B.a =3b =C. 函数的定义域为 D. 函数在为增函数()0,∞+()()log a f x x b =+()0,∞+【答案】ABD 【解析】【分析】由图像求出函数解析式为，则可求其定义域，判断单调性.()()3f x x =+【详解】解：有题意可知，()()()0log 22log 20a a f b f b ⎧==⎪⎨-=-+=⎪⎩即，解得，AB 选项正确，2210a bb a ⎧=⎪-+=⎨⎪>⎩3a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则，()()3f x x ∴=+303x x +>⇒>-函数的定义域为，C 选项错误；()3,-+∞，函数在为增函数，D 选项正确；1a > ()0,∞+故选：ABD.12. 若数据x 1，x 2，…，x m 的平均数为，方差为，数据y 1，y 2，…，y n 的平均数为，方差为，下x 2x s y 2y s 列说法中一定正确的有（） A. 这m ＋n 个数据的平均数为mx nym n++B. 若这m ＋n 个数据的平均数为ω，则这m ＋n 个数据的方差为：22222()()x y m s x n s y s m nωω⎡⎤⎡⎤+-++-⎣⎦⎣⎦=+C. 若m ＝n ，，则 (1,2,)i i y ax b i n =+= y ax b =+D. 若m ＝n ，，则 (1,2,)i i y ax b i n =+= 222y x s a s b =+【答案】ABC 【解析】【分析】直接利用均值和方差的关系，方差和均值的性质，应用判断A ，B ，C ，D 的结论. 【详解】解：对于A ，若数据x 1，x 2，…，x m 的平均数为，数据y 1，y 2，…，y n 的平均数为，x y 则m ＋n 个数据的平均数为，故选项A 正确；mx nym n++对于B ，由于m ＋n 个数据的平均数为，若数据x 1，x 2，…，x m 的方差为，数据y 1，mx ny m nω+=+2x s y 2，…，y n 的方差为，由方差的计算式得，这m ＋n 个数据的方差为：2y s ，2222222111111()()22m nmm n niiii ii i i i i i i x y xx m y y n s m nm nωωωωωω======-+--++-+==++∑∑∑∑∑∑又，所以，则，所以1mii xx m==∑1mii xmx ==∑2222221111()2mmmmiii i xi ii i s x x xx x mxxmxmmm====--+-===∑∑∑∑2221mi x i x m mx s ==+∑同理可得：，，1n i i y n y ==∑2221i i y ny n y s n ==+∑，故选项B 正确；2222222222222()()x y x y s m m s n n s m n m s x n s y m mx x n n y y m nωωωωωω-++-+=+⎡⎤⎡⎤+-++-⎣⎦⎣⎦=+++对于C ，若m ＝n ，，则(1,2,)i i y ax b i n =+= ，故选项C 正确；1111()n n nniiiii i i i y ax b ax nbxy ab ax bnnnn====++====+=+∑∑∑∑对于D ，若m ＝n ，，则(1,2,)i i y ax b i n =+= .222222221111()()()(nnnniiiii i i i y xy y ax b ax b ax ax x x s a a s nnnn====⎡⎤-+-+--⎣⎦=====∑∑∑∑故选项D 错误. 故选：ABC .三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 在扇形中，已知半径为4，弧长为12，则圆心角是__________弧度，扇形面积是__________．【答案】 ①. 3 ②. 24【解析】【分析】利用扇形的弧长、圆心角以及半径的关系可求得圆心角的值，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】由已知可得，该扇形的圆心角弧度，面积,1234α==1124242S =⨯⨯=故答案为：3；2414. 已知，，，则的最小值为_______. 0a >0b >2a b +=4bab+【答案】 2+【解析】【分析】将4换为，然后通过基本不等式求得答案. ()2a b +【详解】因为，，且， 0a >0b >2a b +=所以， 4422222b b a b b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当时取等号 222b a =故的最小值为 4b a b +2+故答案为：2+15. 已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是__________.()2212y x a x =-+-[]0,4a 【答案】 [)3,+∞【解析】【分析】根据二次函数的开口与对称轴的性质求解即可.【详解】因为函数开口向上，对称轴为，()2212y x a x =-+-1x a =+所以当函数在区间上是严格减函数时，()2212y x a x =-+-[]0,4需满足，解得. 14x a =+≥3a ≥所以实数a 的取值范围是 [)3,+∞故答案为：[)3,+∞16. 已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式()()212log f x x ax a =--121,,2x x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，则实数的取值范围为__________．()()21210f x f x x x ->-a 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先判断出在区间上的单调性，结合复合函数的单调性同增异减来求得的取值()f x 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 范围.【详解】由于满足：对任意两个不相等的实数， ()f x 121,,2x x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭都满足不等式，所以在区间上单调递增.()()21210f x f x x x ->-()f x 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭在上递减；12log y x =()0,∞+的开口向上，对称轴为， ()2g x x ax a =--2ax =所以，12211111024242ag a a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=+-=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩解得， 112a -≤≤所以的取值范围是.a 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知集合或，集合. R {1A xx =≤-∣ð3}x ≥{23}B x k x k =<<+∣（1）当时，求；1k =-A B ⋂（2）若是空集，求实数的取值范围.A B ⋂k 【答案】（1）{12}x x -<<∣（2）或 {4kk ≤-∣3}2k ≥【解析】【分析】（1）先根据补集的定义求出集合，再将集合取交集； A ,A B （2）需要分类讨论集合是否为空集. B 【小问1详解】集合， {13}A xx =-<<∣当时，集合， 1k =-{22}B x x =-<<∣所以. {12}A B xx =-<< ∣【小问2详解】当是空集时，分两种情况：A B ⋂情况一：集合时，，所以；B =∅23k k ≥+3k ≥情况二：集合时，，要使是空集，B ≠∅3k <A B ⋂则需要满足或，解得或， 31k +≤-23k ≥4k ≤-32k ≥所以这种情况下，实数的取值范围为或. k {4k k ≤-∣33}2k ≤<综上，实数的取值范围为或. k {4k k ≤-∣3}2k ≥18. 已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..【答案】（1）64（2）18 【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将变形为分式型，利用“1”的代换和基本不等式可得结果. 28x y xy +=281y x +=【小问1详解】∵，，，0x >0y >280x y xy +-=∴，当且仅当时取等号，28xy x y =+≥=28x y =8≥∴，当且仅当时取等号，64xy ≥416x y ==故的最小值为64.xy 【小问2详解】 ∵，则，28x y xy +=281y x+=又∵，， 0x >0y >∴， 2828()(101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=当且仅当时取等号，212x y ==故的最小值为18.x y +19. 在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．甲镇有基层干部60人，乙镇有基层干部60人，丙镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从甲、乙、丙三镇共选20名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成，，，，5组，绘制成如图所示的频率分布直方[)5,15[)15,25[)25,35[)35,45[]45,55图．（1）求这20人中有多少人来自丙镇，并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数（精确到整数位）；（2）如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色，求选出的20名基层干部中工作出色的人数，并从中选2人做交流发言，求这2人中至少有一人走访的贫困户在的概率．[]45,55【答案】（1）28（2）35【解析】【分析】（1）按照比例得出这20人中来自丙镇的人数，利用频率直方图求中位数的方法求解即可；（2）按照比例得出走访户数在，的人数，列举出6人中抽取2人的所有情况，再由古典[)35,45[]45,55概型概率公式计算即可.【详解】解：（1）20人中来自丙镇的有人． 80208606080⨯=++∵，()0.0150.025100.40.5+⨯=<0.40.030100.70.5+⨯=>∴估计中位数． [)25,35x ∈()250.0300.1x -⨯=∴28.3328x ≈≈（2）20名基层干部中工作出色的人数为()0.0200.01010206+⨯⨯=其中，走访户数在的有人，设为，，，[)35,450.210204⨯⨯=a b c d 走访户数在的有人，设为，[]45,550.110202⨯⨯=e f 从6人中抽取2人有，，，，，，，，，(),a b (),a c (),a d (),a e (),a f (),b c (),b d (),b e (),b f (),c d ，，，，，共15种(),c e (),c f (),d e (),d f (),e f 其中2人走访贫困户都在的有，，，，，，共6种． [)35,45(),a b (),a c (),a d (),b c (),b d (),c d 故所求概率． 1563155P -==【点睛】本题主要考查了频率分布直方图计算中位数以及古典概型概率公式计算概率，属于中档题. 20. 某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（）满足：（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能0m ≥31x k m =-+是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）， 16281y m m =--+(0)m ≥（2）投入3万元时【解析】【分析】（1）根据已知先求k ，表示出销售价格，然后由题意可得函数关系；（2）由（1），，再根据基本不等式求解即可. 161291y m m ⎛⎫=-+++⎪+⎝⎭(0)m ≥【小问1详解】由题意知，当时，∴，0m =1x =132k k =-⇒=∴， 231x m =-+∴每件产品的销售价格为（元）， 8161.5x x +⨯∴，， 81621.5816484831x y x x m x m m x m +⎛⎫=⨯---=+-=+⨯-- ⎪+⎝⎭16281m m =--+(0)m ≥即， 16281y m m =--+(0)m ≥【小问2详解】由（1），，又当时，， 161291y m m ⎛⎫=-+++⎪+⎝⎭(0)m ≥0m ≥16181m m ++=+≥当且仅当，即时，y 取得最大值，∴， 1611m m =++3m =82921y ≤-+=故该厂家的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．21. 已知幂函数的图象关于轴对称，集合． ()()233m f x m m x =-+y {|131}A x a x a =-<<+（1）求的值；m （2）当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的2x ⎤∈⎥⎦()f x B x B ∈x A ∈a 取值范围．【答案】（1）；2m =（2）.()1,+∞【解析】【分析】（1）由幂函数的定义可知，再结合为偶函数，即可求出的值；2331m m -+=()f x m （2）根据二次函数的性质求出集合，再由真包含于即可求出的取值范围．B B A a 【小问1详解】由幂函数的定义可得，，解得或，2331m m -+=1m =2又函数的图象关于轴对称，函数为偶函数， ()f x y ∴()f x ．2m∴=【小问2详解】由可知， ()1()2f x x =当时，，即， 2x ⎤∈⎥⎦()1,42f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,42B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是成立的充分不必要条件，，x B ∈ x A ∈B A ¹\Ì，解得，112314a a ⎧-<⎪∴⎨⎪+>⎩1a >即实数的取值范围．a ()1,+∞22. 已知函数为奇函数 ()22x xf x -=-（1）判断并用定义证明函数的单调性；（2）求不等式的解集； ()()2240f x x f x ++->（3）若在上的最小值为，求的值.()()22222x x g x mf x -=+-[)1,+∞2-m 【答案】（1）单调递增；证明见解析（2）；()(),41,-∞-+∞ （3）.2【解析】【分析】（1）用作差法证明即可；（2）根据函数是单调递增的奇函数，运用函数的性质去掉 “”可解；f （3）运用换元法，令转化为一个二次函数在一段区间上的最值问题可得的值.()f x u =m 【小问1详解】任取 ()()()11221212121211222222,22x x x x x x x x x x f x f x --⎛⎫---=--- ⎪⎝<∴=⎭- ()121212212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递增，2x y = 121212,22,220,x x x x x x <∴<∴-<又所以单调递增；()()()()121212110,20,,x x f x f x f x f x +-<∴<+>∴()f x 【小问2详解】为奇函数()f x 所以， ()()()()()22240,244f x x f x f x x f x f x ++->∴+>--=-又单调递增，所以，解得或，()y f x =224x x x +>-<4x -1x >所以不等式的解集为；()(),41,-∞-+∞ 【小问3详解】令()()()()2222222222,x x x x g x mf x mf x --=+-=--+()22,x x f x t -=-=单调递增， ()f x [)31,,,,2x t ⎡⎫∈+∞∴∈+∞⎪⎢⎣⎭此时对称轴为222,y t mt =-+,t m =当时，（舍） 32m ≤2min 3325222,2212y m m ⎛⎫=-⨯+=-∴= ⎪⎝⎭当时， 32m >2min 222,2, 2.y m m m m m =-⨯+=-∴=±∴=【点睛】思路点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.。

高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。

江西高一第一学期期末考试

江西高一第一学期期末数学测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．集合0,1,2A =，{}12B x x =-<<，则AB =（）A ．{}0 B ．{}1 C ．{}0,1 D ．{}0,1,22．不等式022>++bx ax 的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭，则b a +的值是（） A ．10 B ．－14 C ．14 D ．－103．已知幂函数()f x kx α=),(R R k ∈∈α的图像过点12⎛ ⎝，则k α+=（）． A ．12 B ．1 C ．32D ．2 4．函数()()()ln 11f x x x =->的反函数为A ．()()110x f x e x -+=> B ．()()11x f x e x R -+=∈ C ．()()11x f x e x R -=+∈D ．()()110x f x e x -=+>5．方程20142log 21-=xx 的实数根的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（）A.6+6+6+ 7．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（）A ．2B ．1．1+ D ．1+8．已知()ax y a -=2log ()01a a >≠且在[]1,0上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,0B ．()2,1C ．()2,0D ．[)+∞,2 9．已知三个互不重合的平面α,β,γ，且a =βα ，b =γα ，c =γβ ，给出下列命题：①a b ⊥，a c ⊥，则b c ⊥；②ab P =，则ac P =；③若a b ⊥，a c ⊥，则αγ⊥ ；④若b a //，则c a //。

江西省抚州市临川第一中学暨临川第一中学实验学校2021-2022学年高一上学期期末数学试题(原卷版)

所以函数有一个零点；
当时，有一个零点，有一个零点，
所以函数有两个零点；当时，有一个零点，没有零点，所以函数有一个零点，
所以函数至多有2个零点，至少有1个零点，所以选项正确；
当时，是增函数，是增函数，
且，，所以是增函数，选项正确；
当时，，由得，，
所以由得或 .
19．设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足 .
(1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，化简命题p，命题q，再根据为真命题，则p真且q真求解；
（2）化简两个命题，，根据p是q的必要不充分条件，由求解.
① ② 若_____________，，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）奇函数，证明见解析；
（3）选①：；选②： .
【解析】
【分析】（1）利用赋值法即求；
（2）由题可得，即证；
（3）由题可得在R上是增函数，进而可得，然后通过参变分离转化为恒成立问题或有解问题，再求函数的最值即得.
【答案】BC【解析】利用“1”的变形，得，，展开后利用基本不等式求最值，判断AB选项；利用，变形构造基本不等式求最值
【详解】A. ，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，故的最小值是4，故A不正确；
B. ，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，的最小值为9，故B正确；
C. ，当时等号成立，即时等号成立，故C正确；
临川一中2021—2022学年上学期考试高一年级数学试卷

江西省xx县第一中学201X-201x学年高一化学上学期期末考试试题

2021届高一上学期期末考试化学试卷可能用到的相对原子质量：H∶1 C∶12 N∶14 O∶16 Na∶23 Al∶27 S∶32 Cl∶35.5 Cu∶64 Ca∶40 Mg∶24 Fe∶56一、选择题（本题包括16小题，每小题3分，共48分。

每小题只有一个选项符合题意。

）1．我国古代文明中包含着丰富的化学知识。

下列没有发生电子转移的是( )A．雷雨发庄稼B．爆竹声中一岁除C．西汉湿法炼铜D．磁石制成指南针2. 从化学看生活，你认为下列说法合理的是（）A.高铁车厢大部分材料采用铝合金，因铝合金强度大、质量轻、抗腐蚀能力强B. Cu的湿法冶炼是将金属钠投入到CuSO4溶液中，从而置换出铜C. “84消毒液”可用于消毒、漂白，说明其具有强还原性D. H2还原氧化铁，Mg还原CO2，反应类型均为复分解反应3. 下外关于物质用途的叙述中，不正确的是（）A. 硅可以用来制造变压器的铁芯片材料B. 二氧化硅可以用来制造光导纤维C. 石墨可以用来做绝缘材料D. 石英玻璃可以用来制造耐高温的化学仪器4.设N A为阿伏伽德罗常数的值。

下列说法正确的是( )A. 与足量潮湿的二氧化碳反应转移的电子数为B. 标准状况下，溶于水，转移的电子数目为C. 标准状况下，分子数为D. 40 g NaOH溶解在1 L水中，得到溶液的物质的量浓度为1 mol/L5．研究表明，氮氧化物和二氧化硫在形成雾霾时与大气中的氨有关(如图所示)。

下列叙述错误的是( )A．雾和霾的分散剂相同B．雾霾中含有硝酸铵和硫酸铵C．NH3是形成无机颗粒物的催化剂D．雾霾的形成与过度施用氮肥有关6.下列反应的离子方程式书写正确的是（）A. NaHCO 3溶液与NaOH溶液反应：OH﹣+===+H2OB.氯化铝溶液中加入过量氨水：Al3+ + 4NH3•H2O = AlO2- + 4NH4+ + 2H2OC. 碳酸钙溶于醋酸CaCO3 + 2H+= Ca2+ + CO2↑+ H2OD. 向NaHSO4溶液加入Ba(OH)2溶液至中性：H++ SO42－+Ba2++OH－=BaSO4↓+ H2O 7．关于C、N、S等非金属元素及其化合物的说法错误的是( )A．浓硫酸可干燥CO2、SO2、H2S 等气体，但不能干燥NH3B．它们都能以游离态存在于自然界中C．二氧化硫、氮氧化物的任意排放会形成酸雨D．加热条件下，碳、硫单质都能与浓硝酸、浓硫酸发生反应8．下列有关物质性质与用途说法对应正确的是A．胶体的胶粒带电，利用这一性质可进行“血液透析”和“静电除尘”B．CaO能与SO2反应，可作工业废气脱硫剂C．NaHCO3能与碱反应，因此食品工业上可用作焙制糕点的膨松剂D．SO2和湿润的O3都有漂白性，混合后得到漂白性更强漂白剂9．铝土矿的主要成分为氧化铝、氧化铁和二氧化硅，工业上经过下列工艺可以冶炼金属铝：下列说法中错误的是( )A．①②中除加试剂外，还需要进行过滤操作B．a、b中铝元素的化合价相同C．③中需要通入过量的氨气D．④进行的操作是加热，而且d一定是氧化铝10．根据如图的转化关系判断下列说法正确的是(反应条件已略去)( )A．反应①②③④⑤均属于氧化还原反应，反应③还属于置换反应B．反应⑤说明该条件下铝可用于制熔点较高的金属C．相同条件下生成等量的O2，反应③和④转移的电子数之比为1:1D．反应①中氧化剂与还原剂的物质的量之比为1:411.实验是化学研究的基础。

江西省2021版高一上学期数学期末考试试卷(II)卷

江西省2021版高一上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·南阳月考) 下列关于赋值即赋值语句的描述正确的是（）①可以给变量提供初值；②将表达式赋给变量；③ ；④不能给同一变量重复赋值A . ①③B . ①②C . ③④D . ①③④2. （2分） (2020高一下·河西期中) 下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A . 某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B . 从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C . 某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，D . 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对岁的人群进行随机抽样调查3. （2分）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1 ， x2 ， x3为三个评卷人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8．5时，x3等于（）A . 11B . 10C . 8D . 74. （2分）(2019·新宁模拟) 某校共有30个班，每个班的同学从1至45排学号，为了抽查学生体质达标情况，要求每班学号为9的同学进行交流体质检测，这里运用的抽样方法是（）A . 系统抽样B . 分层抽样C . 抽签抽样D . 随机抽样5. （2分）某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么的值为（）A . 1B . 3C . 16D . 206. （2分） (2019高一下·柳江期中) 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A . 简单随机抽样B . 按性别分层抽样C . 按学段分层抽样D . 系统抽样7. （2分）(2018·重庆模拟) 中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入（）A .B .C .D .8. （2分）(2012·天津理) 要从60人中抽取6人进行身体健康检查,现釆用分层抽样方法进行抽取，若这60人中老年人和中年人分别是40人,20人，则老年人中被抽取到参加健康检查的人数是（）A . 2 人B . 3 人C . 4 人D . 5人9. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 710. （2分）有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒质量比其他的轻，某同学经过思考，认为根据科学的算法，利用天平（不用砝码），二次称量肯定能找到这粒质量较轻的珠子，则这堆珠子最多有（）粒．A . 6B . 7C . 9D . 1211. （2分） (2017高一下·郴州期中) 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A . 3B . 9C . 17D . 5112. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A . 0B . 3C . 6D . 12二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）描述算法的方法通常有：（1）自然语言；（2）________ ；（3）伪代码．14. （1分）三进制数2 022(3)化为六进制数为abc(6) ，则a＋b＋c＝________．15. （1分）(2020·扬州模拟) 某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取________名志愿者．16. （1分）(2017·丰台模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入x=6的值为6，则输出的x值为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2019高一上·太原月考) 用辗转相除法求210与162的最大公约数，并用更相减损术检验.18. （5分）(2020·德州模拟) 某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）.篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求a的值.19. （10分） (2020高二上·青白江月考) 已知函数 .（1）计算；（2）设计一个求函数值的算法，并画出其程序框图.20. （10分） (2020高一下·萍乡期末) 2020年2月份，根据新型冠状病毒的疫情情况，教育部下达了延迟开学的通知.由此使得全国中小学生停课，影响了教学进度，某高中按照“停课不停学”的原则，扎实开展停课不停学的工作，特制定了网上授课和微课自学相结合的学习方式进行教学，某学校随机调查了100名学生每天使用微课学习情况，进行抽样分析，并得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计这100名学生每天使用微课学习时间的中位数（结果保留一位小数)；（2）为了进一步了解学生的学习情况，按分层抽样的思想，从每天使用微课学习时间在分钟的学生中抽出5人，再从5人中随机抽取2人，试求抽取的2人中恰有一人来自使用微课学习时间在分钟的概率.21. （10分） (2016高一下·湖南期中) 某算法的程序图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，30这30个整数中等可能随机产生．（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i （i=1，2，3）的频数，下面是甲、乙所作频数统计表的部分数据：甲的频数统计表（部分）运行次数输出y=1的频数输出y=2的频数输出y=3的频数5024197…………乙的频数统计表（部分）当n=2000时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断甲、乙中谁所编写的程序符合算法要求的可能性较大．22. （5分） (2019高一上·太原月考) 已知算法：①将该算法用程序框图表示；②写出该程序，若输出Y=-3，求X的值.S1、输入XS2、若X<1，执行S3. 否则执行S6S3、Y =X- 2S4、输出YS5、结束S6、若X=1 ，执行S7；否则执行S10；S7、Y =0S8、输出YS9、结束S10、Y= 2X-7S11、输出YS12、结束参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

江西省2021学年高一数学上学期期末考试试题(自招班)

江西省2021学年高一数学上学期期末考试试题（自招班）(时间：120分钟分值：150分)一、选择题(60分)1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝ A.{－1，0} B.{0，1} C.{－1，0，1} D.{0，1，2}2.已知向量a ＝(1，m)，a ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝ A.－8 B.－6 C.6 D.83.若将圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积 A.扩大到原来的2倍 B.缩小到原来的一半 C.不变 D.缩小到原来的164.直线xcosα＋y ＋b ＝0的倾斜角的取值范围是 A.[0，π) B.[4π，2π)∪(2π，34π] C.[4π，34π] D.[，4π]∪[34π，π)5.函数f(x)＝2x＋log 2x －3的零点所在区间A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4) 6.α是第二象限角，P(x ，5)为其终边上一点且cosα＝2x ，则x 的值为 A.3 B.3± C.3- D.－2 7.下列命题中错误的是A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ 8.函数f(x)＝2cosx的一段图象大致为9.如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，该矩形所在的平面内一点P 满足1CP =，记123,,I AB AP I AC AP I AD AP =+=+=+，则A.存在点P ，使得I 1＝I 2B.存在点P ，使得I 1＝I 3C.对任意的点P ，有I 1<I 2D.对任意的点P ，有I 1<I 3 10.存在函数f(x)满足对任意x ∈R 都有A.f(sinx)＝cosxB.f(sinx)＝x 2－πx C.f(x 2＋1)＝log 2|x| D.f(x 2＋1)＝2|x|11.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 分别为棱A 1D 1，C 1D 1的中点，N 为线段B 1C 的中点，若点P ，M 分别为线段D 1B ，EF 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为 A.1 B.324 C.62431212.已知函数1(0)()(0)x x m f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩若方程3mf 2(x)－(2m ＋3)f(x)＋2＝0有5个解，则m 的取值范围是A.RB.(－∞，0)C.(0，1)D.(1，32)∪(32，＋∞) 二、填空题(20分)13.函数y ＝3sin(2x －5)的对称中心的坐标为。

江西省2021年高一数学上学期期末考试试题理(含解析)

高一数学上学期期末考试试题理（含解析）一､填空题(本题共有12小题,四个选项中只有一个是正确的,每小题5分,共60分) 1.下列各个角中与2021°终边相同的是( ) A. 150︒- B. 680°C. 220°D. 320°【答案】C 【解析】【分析】将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题 2.下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A. 12(0,0),(1,2)e e == B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 12(2,3),(6,9)e e =-=-【答案】B 【解析】【分析】若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可【详解】由题,作为基底的向量不共线,当()11,a x y =,()22,b x y =,若//a b ,则12120y x x y -=,对于选项A,10e =,0与任意向量共线,故A 错误；对于选项B,()2517170⨯--⨯=≠,故1e 与2e 不共线,故B 正确；对于选项C,563100⨯-⨯=,故12//e e ,故C 错误；对于选项D,()36290-⨯--⨯=,故12//e e ,故D 错误, 故选:B【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示3.计算2sin 2105°-1的结果等于（）A. B. 12-C.12【答案】D 【解析】232sin 1051cos 210cos302-=-==．选D ． 4.在四边形ABCD 中，若AB DC =，且0AB AD ⋅=，则四边形ABCD 是（） A. 矩形 B. 菱形C. 正方形D. 梯形【答案】A 【解析】【分析】根据向量相等可知四边形ABCD 为平行四边形；由数量积为零可知AB AD ⊥，从而得到四边形为矩形. 【详解】AB DC =，可知//AB CD 且AB CD = ∴四边形ABCD 为平行四边形由0AB AD ⋅=可知：AB AD ⊥ ∴四边形ABCD 为矩形本题正确选项：A【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题. 5.若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（）A. 34-B.34C. 43-D.43【答案】B 【解析】试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．6.已知向量(1,3)a m =--,(,2)b m =,若a b ⊥,则实数m =( ) A. 2-B. 3C. 3-或2D. 2-或3【答案】D 【解析】【分析】若a b ⊥,则0a b ⋅=,求解即可【详解】若a b ⊥,则()()1320a b m m ⋅=-+-⨯=, 解得3m =或2m =-, 故选:D【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示 7.若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π,则( ) A. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性和周期性可得()f x x =,先求得()f x 的单调区间,进而判断选项即可【详解】由题,()4f x x πωθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,又()f x 是偶函数,所以()42k k Z ππθπ+=+∈,即()4k k Z πθπ=+∈,因为2πθ<,所以当0k =时,4πθ=,所以()f x x ,则令222,πππ-+≤≤∈k x k k Z ,所以,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增；令222,k x k k Z πππ≤≤+∈,所以,2πππ≤≤+∈k x k k Z ,即()f x ,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减；当0k =时,()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 故选:B【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,考查余弦函数的单调区间 8.已知a ，b 为单位向量，且2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（）A.13B.3C. 3-D.3【答案】B 【解析】a 由，b 为单位向量，又2a b a b +=-，则22|2|a b a b +=-，可得13a b ⋅=，则263a b +=， 1cos ,3a b 〈〉=．又()6cos ,a a b a a b a a b ⋅+〈+〉==+．则a 在a b +上的投影为6cos ,3a a ab 〈+〉=．故本题答案选B ． 9.若sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A.59B. 59-C.79D. 79-【答案】A 【解析】【分析】由题,22662πππαα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭,进而求解即可【详解】由题,2225sin 2sin 2cos 212sin 126626639πππππαααα⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭, 故选:A【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值 10.如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A. 3-B. 3C. 2D. 2-【答案】B 【解析】∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=- ∴2239AP AB BP AB AC =+=+又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B.11.已知1tan161tan16a ︒︒+=-,cos330b ︒=,1cos582c ︒+=则,,a b c 的大小关系为( ) A. c a b >>B. c b a >>C. a c b >>D.b ac >>【答案】C 【解析】【分析】化简,,a b c 可得tan61a =︒,cos30b =︒,cos29c =︒,进而比较大小即可【详解】由题,因为tan 451︒=,所以1tan16tan 45tan16tan 61tan 4511tan161tan 45tan16a +︒︒+︒===︒>︒=-︒-︒︒；()cos330cos30360cos30b=︒=-︒+︒=︒；cos29c====︒；由cosy x=的单调性可知1cos29cos30>︒>︒,所以tan45cos29cos30︒>︒>︒,即a c b>>,故选:C【点睛】本题考查正切的和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查诱导公式的应用,考查三角函数值的比较大小问题12.已知函数()()2730323(0)x xf xx x x⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos4g x x x=++，若对任意[]3,3t∈-，总存在0,2sπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t ag s a+≤>成立，则实数a的取值范围为()A. (]0,1 B. (]0,2 C. []1,2 D. []2,9【答案】B【解析】【分析】分别求出()f x a+在[]3,3-的值域，以及()g x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域，令()f x a+在[]3,3-的最大值不小于()g x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值，得到a的关系式，解出即可.【详解】对于函数()f x，当0x≤时，()733f x x=+，由30x-≤≤，可得()[]4,3f t∈-，当0x>时，()()222314f x x x x=-++=--+，由03x<≤，可得()[]0,4f x∈，∴对任意[]3,3t∈-，()[]4,4f t∈-，()[]4,4f t a a a+∈-+对于函数()cos42sin46g x x x xπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2,663x πππ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()4g x ⎡⎤∴∈⎣⎦，∴对于0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()4g s ⎡⎤∈⎣⎦，对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立， 46a ∴+≤，解得02a <≤，实数a 的取值范围为(]0,2，故选B ．【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈ ()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈ ()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥ ()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈ ()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥ ()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥ ()min g x . 二､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________. 【答案】12【解析】【分析】利用诱导公式()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,进而利用和角公式求解即可【详解】由题,因为()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,所以,原式()1sin17sin 43cos17cos 43cos 4317cos602=-︒︒+︒︒=︒+︒=︒=, 故答案为:12【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用14.若ABCD 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________. 【答案】()4,1-- 【解析】【分析】由ABCD 可得AB DC =,进而求解即可【详解】由题,因为ABCD ,所以AB DC =, 设(),D x y ,所以()4,3AB =,(),2DC x y =--,所以423x y -=⎧⎨-=⎩,即41x y =-⎧⎨=-⎩,故答案为:()4,1--【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示 15.若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则OM ON +=_______.【答案】π 【解析】【分析】画出()cos f x x =与()tan g x x =图像,可得M 与N 关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,进而求解即可【详解】由题,画出()cos f x x =与()tan g x x =的图像,如图所示,则M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 所以(),0OM ON π+=, 所以||OM ON π+=, 故答案为:π【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想 16.设A 是平面向量的集合,a 是定向量,对x A ∈，定义()()2f x x a x a =-⋅⋅，现给出如下四个向量：()222213002222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，；②，；③，；④，，那么对于任意x y A ∈，，使()()f x f y x y ⋅=⋅恒成立的向量a 的序号是________(写出满足条件的所有向量a 的序号). 【答案】①③④ 【解析】【分析】根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得.【详解】对于①，当()00a =，时，()f x x =满足()()f x f y x y ⋅=⋅；当0a ≠，因为()()2f x x a x a =-⋅⋅，()()2f y y a y a =-⋅⋅，所以()()24()()4()()f x f y x y a y a x a x a y a ⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅若使得()()f x f y x y ⋅=⋅恒成立，则只需21a=，结合所给向量可知③④符合条件；综上可得答案为：①③④.【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，建立()()f x f y ⋅的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养. 三､解答题(本大题共6小题,满分10+12+12+12+12+12=70分) 17.已知向量(4,3)a =，(1,2)b =，（1）设a 与b 的夹角为θ，求cos θ的值；（2）若a b λ-与2a b +平行，求实数λ的值.【答案】; (2) 12λ=- 【解析】【分析】(1)根据向量的夹角公式求解即可. (2)根据平行向量的坐标公式求解即可.【详解】(1)2cos 4a b a bθ⋅====⋅+.(2)因为()()()4,31,24,32a b λλλλ-=-=--,()()()4,312,82,29a b ++==. 又a b λ-与2a b +平行即()()4,32//9,8λλ--,所以()()84932032827180λλλλ---=⇒--+= ,解得12λ=-.【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型.18.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 3α=．（1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．【答案】(1) .(2)415+. 【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可. 详解：（Ⅰ）2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos 3α∴=-，-------2分于是 sin22sin cos ααα==（Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-，于是 ()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦341553⎛⎛⎫=-⋅--⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+.(1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值;(2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.【答案】（1）当8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）化简()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令2242x k πππ-=-+,k Z ∈,进而求解即可；（2）令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,结果与[0,]π求交集即可【详解】（1）由题,()22sin 2sin cos 1cos 2sin 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,所以当2242x k πππ-=-+,k Z ∈,即8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）由（1）,令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈, 则388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,即()f x 在()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增, 当0k =时,单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时,单调增区间为711,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；所以在[0,]π中()f x 的单调增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间20.如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+,求λμ+的值(2)若3,2AB BC ==,当1AE BF ⋅=时,求DF 的长【答案】(1)16;(2) 233. 【解析】【详解】（1）EF EC CF =+ ,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =+，又∵BC AD =,CD AB =-,∴1132EF AB AD =-+， 111326λμ+=-+=；（2）设(0)DF mDC m =>，则()1CF m DC =-，以AB ，AD 为基底，1122AE AB BC AB AD =+=+ ，()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+ ，又0AB AD ⋅=，∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭，解得23m =,故DF ．21.已知(sin )a x x =,(cos ,cos )b x x =-,函数3()2f x a b =⋅+. (1)求函数()f x 图象的对称轴方程;(2)若方程1()3f x =在(0,)π上的解为12,x x ,求()12cos x x -的值. 【答案】（1）5122k x ππ=+,k Z ∈；（2）13 【解析】【分析】（1）化简()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令232x k πππ-=+,k Z ∈,进而求解即可；（2）设12x x <,由2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得12526123x x πππ<<<<,且1256x x π+=,则()1211155cos cos cos 266x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,进而求解即可【详解】（1）由题,())211sin cos sin 21cos 2sin 2222f x x x x x x x x ==-++= sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令232x k πππ-=+,k Z ∈,则对称轴为:5122k x ππ=+,k Z ∈ （2）由题,121sin 2sin 20333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设12x x <,因为2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12526123x x πππ<<<<, 易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于512x π=对称,所以1256x x π+=, 所以 ()1211111551cos cos cos 2cos 2sin 2663233x x x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】本题考查平面向量的数量积,考查正弦型函数的对称性的应用,考查诱导公式的应用22.已知函数()f x ,若存在实数,(0)m k k ≠,使得等式()()()mf x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 均成立,则称函数()f x 为“可平衡”函数,有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.(1)若m =,判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数,并说明理由;(2)若12,m m R ∈且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为2()sin f x x =的“可平衡”数对,当03x π<<时,方程12m m a +=有两个不相等的实根,求实数a 的取值范围.【答案】（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,理由见解析；（2）∅【解析】【分析】（1）由“可平衡”函数可得()()sin sin x x k x k =++-,整理可得2sin cos x x k =,即可求解；（2）分别将“可平衡”数对代入可得2122cos sin x m x=,221sin m x =,则122cos 241cos 2x m m a x ++==-,则可转化为4cos 22a x a -=+有两个解,进而求解即可【详解】（1）假设()sin f x x =是“可平衡”函数,则由题意应有:()()sin sin x x k x k =++-,sin cos cos sin sin cos cos sin x x k x k x k x k =++-,2sin cos x x k =,则cos k =,所以2,6k n n Z ππ=±∈, 所以存在,(0)m k k ≠,使得等式()()()mf x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 均成立,所以()sin f x x =是“可平衡”函数（2）由题,22221sin sin sin 2cos 22m x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以2122cos sin x m x=；又222222sin sin sin sin cos 14444m x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以221sin m x=, 所以()22122222cos 12cos 1cos 222cos 241sin sin sin 1cos 21cos 22x x x x m m a x x x xx ++++=+====--, 所以4cos 22a x a -=+有两个解, 因为03x π<<,cos 2y x =单调递减, 故4cos 22a x a -=+不存在两个解, 故a 的解集为∅【点睛】本题考查和角公式的应用,考查倍角公式的应用,考查新定义的理解,考查运算能力。

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江西省奉新县第一中学2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题（每小题5分，共12个小题，共 60分）1．设集合}1,0,1{-=M ，{}1,0,2-=N ，则N M ⋂＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1}D ．{0} 2. 角20190是 ( )A.第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3. 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若125,3BC e DC e OC ==,则= （）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 4. △ABC 中，若1sin )cos(cos )sin(≥-+-B B A B B A ，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定 5. 已知方程013=--x x 仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（）()4,3.A ()2,1.B ()3,2.C ()1,0.D6. 函数x x x f 2cos 2sin )(⋅=是（）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数 D ．周期为2π的奇函数.7. 已知函数24y x ax =-+在[1,3]是单调递减的，则实数a 的取值范围为（）A 、)21,(-∞ B 、 1(,]2-∞ C 、13[,]22 D 、3[,)2+∞8. 计算下列几个式子，①6tan 16tan2ππ-, ②2(sin35cos25+sin55cos65), ③15tan 115tan 1-+ ,结果为3的是（）A ．①B ．②③C ．①②③D ．②9. 要得到)42cos(π-=x y 的图象，只要将sin 2xy =的图象（） A. 向右平移4π个单位 B. 向右平移2π个单位C. 向左平移4π个单位D. 向左平移2π个单位 10. 已知()31sin ,,,tan 522πααππβ⎛⎫=∈-= ⎪⎝⎭，则()tan 2αβ-的值为（） A ．43B ．34 C ．724 D ．724- 11. 定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0>x 时，2013()2013log =+xf x x ，则方程()0=f x 的实数根的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 512. 函数f(x)的定义域为D ，满足：①f(x)在D 内是单调函数；②存在[,22a b]⊆D ，使得f(x)在[,22a b]上的值域为[a ，b]，那么就称函数y=f(x)为“优美函数”，若函数)(log )(t c x f x c -= (c ＞0，且c≠1)是“优美函数”，则t 的取值范围为( )A. (0，14) B. (0，12) C. (－∞，14) D. (0，1)二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是14. 已知,,D E F 依次是等边三角形ABC 的边,,AB BC CA 的中点，在以,,,,,A B C D E F 为起点或终点的向量中，与向量AD 共线的向量有个。

15．已知)22,0,0()sin(πϕπωϕω<<->>++=A b x A y 在一个周期内有最高点,112π⎛⎫⎪⎝⎭，最低点7,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则该函数的解析式是__________. 16. 已知函数111,0,22()12,,22x x x f x x -⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩，若存在1212,,02x x x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()x f x ⋅ 的取值范围是________________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）17.（本小题10分）已知sin α＋cos α＝15，(,2)αππ∈ 求：① sin α－cos α；②sin 3α＋cos 3α.18．(本小题12分)设关于x 的二次方程22190-+-=x ax a 和2560-+=x x 的解集分别是集合A 和B ，若A B 为单元素集，求a 的值。

19．(本小题12分)已知()x f y =为二次函数，若()x f y =在2=x 处取得最小值为4-，且()x f y =的图象经过原点，（1）求()x f 的表达式；（2）求函数)(log 21x f y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,81上的最大值和最小值．20．(本小题12分) 已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+. （1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域.21．(本小题12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求sin α＋π4cos 4π＋2α的值．22．(本小题12分)已知函数||()2-=x m f x 和函数()||28=-+-g x x x m m ，其中m 为参数，且满足m。

5（1）若2=m ，写出函数()g x 的单调区间（无需证明）；（2）若方程||()2=m f x 在[2,)∈-+∞x 上有唯一解，求实数m 的取值范围；（3）若对任意1[4,)∈+∞x ，存在2(,4]∈-∞x ，使得21()()=f x g x 成立，求实数m 的取值范围。

2021届高一上学期期末考试数学参考答案一、选择题B C A B B D B B D C C A二、填空题13. 3π 14. 715. 2sin 213y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 16. 12⎫⎪⎪⎣⎭三．解答题17. 解由sin α＋cos α＝15，得2sin αcos α＝－2425<0，)2,23(ππα∈∴ ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，∴sin α－cos α＝--75. ………5分sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，由(1)知sin αcos α＝－1225且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1225＝37125. ………10分18. 解：解方程2560-+=x x ，得122,3,{2,3}==∴=x x B ，………3分由A B 为单元素集得{2}=A 或{3}当{2}=A 时有221505--=∴=a a a 或3,5-=a 时{2,3}=A 不合题意3∴=-a………8分当{3}=A 时有23100--=a a 5∴=a 或2,5-=a 时{2,3}=A 不合题意2∴=-a ，综上得3=-a 或－2 ………12分19.20解：2()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+221cos 22(sin cos )(sin cos )21cos 22sin cos 21cos 2sin 2cos 2sin(2)226x x x x x x x x x x x x x x π=++-+=++-=+-=-22T ππ∴=周期＝………3分由2(),()6223k x k k Z k Z πππππ-=+∈+∈得：x=∴函数图象的对称轴方程为()23k k Z ππ+∈x=. ………6分 ⑵5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- ………8分 ()sin(2)6f x x πππππ=-在区间[-,]上单调递增，在区间[,]12332上单调递减，()3x f x π∴当＝时，取得最大值1。

1()()12222ff ππ-=-<=又()()f x f x πππ∴∴当x=-时，12函数在[-,]上的值域为122 ………12分21. 解(1)f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. ………4分根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13. ………6分(2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326. 解得cos α＝513. ………8分因为α是第一象限角，故sin α＝1213.所以)24cos()4sin(αππα++=απα2cos )4sin(+=αααα22sin cos cos 22sin 22-+=ααsin cos 22-=－13214.………12分22. 解：（1）2=m 时，2224(2)()24(2)⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩x x x g x x x x函数()g x 的单调增区间为(,1)-∞，(2,)+∞，单调减区间为（1，2）。

(区间开闭均可)………2分（2）由||()2=m f x 在[2,)∈-+∞x 上有唯一解，得||||-=x m m 在[2,)∈-+∞x 上有唯一解。

即22()-=x m m ，解得0=x 或2=x m ，由题意知2022=<-或m m ，即10<-=或m m 。

综上，m 的取值范围是10<-=或m m 。

………6分（3）2(),()2().--⎧≥⎪=⎨<⎪⎩x mm x x m f x x m则()g x 的值域应是()f x 的值域的子集。

………7分①4≤m 时，()f x 在(,)-∞m 上单调递减，[,4]m 上单调递增，故()()1≥=f x f m 。

()g x 在[4,)+∞上单调递增，故()(4)82≥=-g x g m ，所以821-≥m ，即72≤m 。

………9分②当45<≤m 时，()f x 在(,4]-∞上单调递减，故4()(4)2-≥=m f x f ，()g x 在[4,]m 上单调递减，[,)+∞m 上单调递增，故()()28≥=-g x g m m所以4228-≤-m m ，解得56≤≤m 。

又45<≤m ，所以5=m.精选综上，m 的取值范围是7(,]{5}2 ………12分如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。