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2020-2021学年高三数学第一次模拟考试试题及答案解析

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四川省绵阳中学2021-2022学年高三上学期第一次质量检测数学试题及答案

四川省绵阳中学2021-2022学年高三上学期第一次质量检测数学试题及答案

四川省绵阳中学高2022届高三第一次质量检测理科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，，则（）A. B.C. D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3.某学校共有教职工120人,对他们进行年龄结构和受教育程度的调查,其结果如下表:现从该校教职工中任取1人,则下列结论正确的是（）本科研究生合计35岁以下40307035-50岁27134050岁以上8210A.该教职工具有本科学历的概率低于60%B.该教职工具有研究生学历的概率超过50%C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%4.设p：“事件A与事件B互斥”，q：“事件A与事件B互为对立事件”，则p是q的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A.225B.185C.145D.1106.已知椭圆C 的方程是，点在椭圆C 上，过点A 且斜率为的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆C 的方程为A.B. C.D.7.函数f （x ）＝x sinx 在处的切线的倾斜角为A. B. C. D.8.已知==10,则+=()A.1B.2C.D.9.已知数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若a k ＋a k ＋2＝a k ＋1，k ∈N *，则（）A.S k ＝S k ＋1B.S k ＋1＝S k ＋2C.S k ＝S k ＋2D.S k -1＝S k10.在空间，若∠AOB =∠AOC =60°，∠BOC =90°，直线OA 与平面OBC 所成的角为θ，则cosθ=（）A.B.C. D.11.设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若(+)=0，则双曲线的离心率是（）A.B. C.D.12.已知函数则不等式f (2020+x )+f (2021)≤1的解集是（）A.B.[4039，+∞]C.(-∞，4042)D.[4042，+∞]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)

专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)

专题25 椭 圆（解答题）1．已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）【答案】（1）Γ的方程为2214y x +=，C的方程为2x =；（2）最大值为1． 【解析】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p-， 所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以24a =，p = 所以椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =；（2）由（1）可知F的坐标为，设直线l的方程为y kx =O 到MN 的距离为d ，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 可得()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1(－2，0)，且点P (0，2)在椭圆C 1上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）y =+y x =- 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(2,0)F -，所以2c =， 点(0,2)P 代入椭圆22221x y a b+=，得241b =，即2b =，所以2228a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为22184x y +=；（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4280k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以△2222164(12)(28)0k m k m =-+-=整理得22840k m -+=①，由28y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(28)0k x km x m +-+=，因为直线l 与抛物线2C 相切，所以△222(28)40km k m =--=，整理得2km =②，综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线l的方程为y =+y x =- 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ．设P是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积． 【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程求解；（2）设直线x y =，与椭圆方程联立，11212AOBSOF y y =⨯⨯-，代入根与系数的关系，求三角形的面积． 【解析】（1）由条件可知2222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，125y y +=，1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==4．椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值．【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得1c b ==，则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213xy +=；（2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=，直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得01k <<， 由根与系数关系()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++， ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+()()121212222kx x k x x x x +-+= ()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===--，∴直线PA PB 、得斜率和为定值1． 解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1-- ①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=， 则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--，由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=，则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令1y k x -=， 则121216116213636PA PBn y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++，②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =--， 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=， 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出,b c 的值，进而求得2a 的值，得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点,M N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得222222411a b c c e a a b⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y+=．（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，AM AN ⊥，()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--=，整理可得()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-…①当直线MN 斜率k 不存在时，显然AM AN ⊥不成立，则可设:MN y kx m =+，联立2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124260k x kmx m +++-=， 由()()222216412260k m km∆=-+->得22630k m -+>，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()22221212122612m k y y k x x km x x m k-=++++=+， 代入①式化简可得()()2481310k km m m ++-+=，即()()212310k m k m +-++=，12m k ∴=-或213k m +=- 则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1和A 点重合，故舍去，∴直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式； ③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值．【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）2211612x y +=；（2）最大值为2． 【解析】（1）由题2222212491b c a c e a a b ⎧⎪+=⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为2211612x y +=；（2）若直线MN 斜率不存在，设0000(,),(,)M x y N x y -，则220000001161233322x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨---⎪+=-⎪--⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，此时,M N 重合，舍去．若直线MN 斜率存在，设直线1122(,),(,)MN y kx t M x y N x y =+：，，联立2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(43)84480k x ktx t +++-=，所以21212228448,4343kt t x x x x k k -+=-=++， 由题意121233322y y x x --+=---，即121233322kx t kx t x x +-+-+=--- 化简得1212(23)(29)()4240.k x x t k x x t ++--+-+=因此2224488(23)(29)()4240.4343t ktk t k t k k -++----+=++ 化简得2286860k kt t k t ++---=，即(23)(42)0k t k t +-++= 若230k t +-=，则23t k =-+，直线MN 过点(2,3)A ，舍去， 所以420k t ++=，即42t k =--，因此直线MN 过点(4,2)P -． 又点(4,0)B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2BP =，此时2MN y =-：，符合题意．所以点B 到直线MN 距离最大值为2【名师点睛】易错点为需讨论直线MN 斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，求得1212,x x x x +⋅的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3AF =．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12k k λ=恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）【答案】（1）22143x y +=，（2）3λ= 【解析】（1）因为离心率为12，所以12c e a ==，又3AF =，所以3a c +=，解得2a =，1c =，又222c a b =-，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知()1,0F ，()2,0A -，设直线PN 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,M x y --，所以1112y x k =-，2222y k x =+，若存在λ，使得12k k λ=恒成立，所以121222y y x x λ=-+， 所以()()122122y x y x λ+=-，两边同乘1y 得()()21221122y x y y x λ+=-，因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，所以()()2112113223144x x x y -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()()()()112211322224x x x y y x λ-++=-，当12x ≠时，则()()12213224x x y y λ-++=，所以()21212136124x x x x y y λ--+-=①；当12x =时，M 与A 重合，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690m y my ++-=，所以212212934634y y m my y m -⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，所以()212128234x x m y y m +=++=+， ()222121212412134m x x m y y m y y m -=+++=+， 代入①得22221236489124343434m m m m λ-+--+-=+++，整理得10836λ-=-，解得3λ=8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>1F 、2F分别为椭圆E 的左、右焦点，M 为E 上任意一点，12F MF S △的最大值为1，椭圆右顶点为A ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连接AC 交y 轴于点P ．如果12PA PB ⋅=时，求直线l 的方程． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）2212x y +=；（2）:22x l y =-或22x y =-+．【解析】（1）当M 为椭圆的短轴端点时，12F MF S △取得最大值即1212S c b =⨯⨯=，因为c a =，222a b c =+，解得a =1b =，1c =，所以椭圆方程为2212x y +=．（2）)A，根据题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线(:l y k x =，()00,B x y，联立(2212y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得()222212420kxx k +-+-=，20212x k =+2204212k k -=+即)22221,1212k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题意得)222112k C k ⎛- +⎝⎭，又直线(:AC y k x =-，故()P ，())22212,12k PA PB k ⎛⎫- ⎪⋅=⋅ ⎪+⎝⎭42241021122k k k +-==+， 即4281850k k +-=解得252k =-（舍）214k =，故12k =±，直线:2x l y =或2x y =-+． 9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断AB DF是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测【答案】（1）22143x y +=；（2）是，4． 【解析】（1）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y+=； （2）AB DF是定值．由已知得直线:(1)l y k x =-． 由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ， 整理得()22224384120k x k x k +-+-=． 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 所以()()()()222222121121214AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 则()2212143k AB k +=+，因为()212122286224343k ky y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． （1）当0k =时，AB 4=，1DF =．所以4AB DF=．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()22223114343k k DF k k +=-=++， 所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于联立直线l 与椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式表示出AB ，再由题中条件，求出DF ，即可得出AB DF的值．（求解时要注意讨论斜率k 的取值）10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A -，()2,0B ，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点G （E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ，求证：TA GA TBGB=．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意可得，222212a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题设知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()2223484120k x kmx m +++-=．依题意，有()()222264163430k m k m∆=-+-=，解得2234m k =+．设()1,0G x ，()00,E x y ，则1m x k =-，024434km kx k m-==-+． 因为ET x ⊥轴，所以4,0k T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4242224242kTA k m m k m TB m k m k k m -+-+-===++⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2222mGA m k km GB m k k-+-==++，所以TA GA TB GB =．【名师点睛】求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，结合根与系数关系与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．【试题来源】上海市高考压轴【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3(,0)2-；（3） 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k k D k k -+++，因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-， 即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立，所以(46)30m k n +-=， 所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-．（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即2k=±时取等号，所以当2k=±时，AD AEOM+的最小值为．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y，，()22B x y，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x+形式；（5）代入根与系数关系求解．12．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点3,22⎛⎝⎭．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于,A B两点，且与圆22:2O x y+=交于E F、两点，求2||||AB EF⋅的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）【答案】（1）22132x y+=；（2）3⎡⎢⎣．【分析】（1）先利用离心率得到,a b的关系，再利用点在椭圆上得到,a b另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时2||||AB EF⋅的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数关系求弦长||AB，再利用几何法求圆中的弦||EF的长，最后计算2||||AB EF⋅的取值范围即可．【解析】（1）由已知可得ca=，所以2213c a=，故222223b ac a=-=，即2232a b=，所以椭圆的方程为2222132x ybb+=，将点32⎛⎝⎭带入方程得22b=，即23a=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）由（1）知，21c =，故椭圆的右焦点为(1,0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则,1,,(1,1),(1,1)A B E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以22|||4,||||AB EF AB EF ==⋅=②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l的距离d =所以在圆22:2O x y +=中由21||2EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()222222242||44211k k EF r dk k +⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222142223123k k k AB EF k k k +++⋅=⋅=+++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，则222,33k ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭，230,2213k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，故(]20,22433k ∈+，(]24311,323k +∈+，故24312333k ⎫⎪⎛+∈ ⎪ ⎝ ⎪+⎝⎭，即2||3AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上，2||3AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．13．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程 ②当三角形OPQOM 的取值范围．【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）22142x y +=（2）①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣． 【解析】（1）设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=，因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-， 因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ 22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===，()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===，因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点(0,1)D ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于,M N 两点（M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）2214x y +=；（2）BAM ∠=OAN ∠，理由见解析． 【解析】（1）由已知1b =，c e a ==， 又222a b c =+，解得2,1a b ==． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则216(112)0k ∆=->，解得k <<． （*） 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =k =±与（*）式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为1212121212(4)(4)332111111AM AN y y k x k x k k k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++22222222323(2)3(242)142206443236311414k k k k k k k k k k k k -+-++=+=+=---++++，所以AM AN k k =-．所以BAM ∠=OAN ∠．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值．【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(，所以222421a b=⎨+=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2234280x mx m ++-=，由()221612280m m ∆=-->解得212m <， 又1243mx x +=-，则1212422233m m y y x x m m +=++=-+=，所以AB 的中点坐标为2,33m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得295m =满足212m <，所以m =． 【名师点睛】求解本题的关键在于用m 表示出点M 的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去x （y ）得到关于y （或x ）的一元二次方程，根据根与系数关系及中点坐标公式，求出M 坐标，即可求解．16．已知椭圆22:142x y C +=．（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点． 是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】（1）2，4；（2）存在，当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-．【解析】（1）由题意：24a =，22b =，所以2a =． 因为222a b c =+，所以22c =，c =c e a ==． 所以椭圆C，长轴长为4． （2）联立222,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得22(21)840k x kx +++=． 因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0>，解得212k >． 设()()1122,,,A x y B x y ，则122821k x x k -+=+，122421x x k =+． 设AB 中点00(,)G x y ，则12024221x x k x k +-==+，0022221y kx k =+=+，故2242(,)2121k G k k -++． 假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，所以222211421k k k m k +⨯=--+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1kP k -，．因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=． 所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=．整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=．所以222248(1)(2)402121k k k m m k k +⋅--⋅++=++， 代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =． 当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-． 此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）2214x y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立， 由根与系数关系可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 由弦长公式可得()()22121223114m PA PB y y m y y m +⋅==+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+． 综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3．所以点Q 在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ．所以直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120kx kx k +-+-=．显然0∆>．不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+． 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++．令4x =，得1162=+yy x ．直线BN 的方程是()2222y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-．所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭． 所以点Q 在直线4x =上．【名师点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可．考查运算求解能力，是中档题．19．椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH 的面积的最大值．【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末统考（理）【答案】（1）22195x y +=；（2）52． 【解析】（1）连接2F T ，则F 1T ⊥2F T，由题意得12||4F F =，所以c ＝2． 因为23c e a ==，则a ＝3，b ==C 的方程为22195x y+=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为22130(1)259m S m +==+ 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =直线10x +-=被以椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围．【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）2]3．【解析】（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =．又22222314c b e a a ==-=，得2a = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=， 所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y +==+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<．综上可得2133λ<≤，即2(]133． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交椭圆1C 于另一点D ，2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD △的面积取得最大值时，求直线1l 的方程．【试题来源】上学期江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）1012y x =±- 【解析】（1）由题意可得1b =，24a =，即2a =．∴椭圆1C 的方程为2214xy +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y ．由题意可知直线1l 的斜率存在，设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．又圆222:4C x y +=的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离21d k =+．22243||2421k AB d k +∴=-+21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=， 联立22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y 得到22(4)80k x kx ++=，解得0284k x k =-+， 281||k PD +∴=．∴三角形ABD 的面积21843||||2ABDk S AB PD +==令244k t +=>，则24k t =-，224(4)34131244()13()131313t t f t t t -+-===--+，16S ∴=，当且仅132t =，即252k=，当k = 故所求直线1l 的方程为12y x =±-． 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值．【试题来源】陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析． 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故C 的标准方程为22195x y +=．（2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ，设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ， 由010133TA PA y y k k x x =⇒=++'①，020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++，又2211195x y +=，故2211195x y -=-， 所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+． 所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，代入22195x y +=，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅，所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=，解得092x =． 所以点T 横坐标为定值92． 【名师点睛】解题的关键是根据A 、P 、T 和B 、Q 、T 共线得到TA PA k k =，TB QB k k =，化简整理，结合根与系数关系求解，直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点OO 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）由22a c =得a =，把点代入椭圆方程得22421a b +=， 又222a b c =+，所以228,4a b ==，椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为12,l l ．①当12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设1l 斜率不存在，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与圆O交于点和2)-，此时经过点，2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-， 即2l 为2y =或122,y l l =-⊥，由题目知，圆O 的方程为2212x y +=， 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =．②当12,l l 斜率都存在时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，且22008,4x y ≠≠，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， 所以()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以121t t =-，满足条件的两直线12,l l 垂直． 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =，综合①②知因为12,l l 经过点()00,P x y ，又分别交圆于点E ，F ，且12,l l 垂直，所以线段EF 为圆220012x y +=的直径，所以||EF =为定值．故EF的取值范围．24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =． （1）求C 的方程；（2）若直线:4m x =与x 轴交于M 点，AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，求证：直线BD 平分线段FM ．【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解． 【解析】（1）记椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，因为椭圆的离心率为12，即12caa ==，所以2234b a =；又过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =，将x c =代入22221x y a b +=可得2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2b y a =±，所以223b a =，由2223423b a b a==解得2243a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）因为直线:4m x =与x 轴交于M 点，则()4,0M ；又AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，所以直线AB 斜率不为0， 不妨设直线AB 的方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得()22314120my y ++-=，整理得()2234690m y my ++-=，则122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，2334234m y m m -±==++， 不妨令1y=，2y =， 因为AD ⊥直线m ，垂足为D ，所以()14,D y ， 因此直线BD 的方程为()211244y y y x y x -=-+-， 令0y =，则()()1212121212121433444y x y my my y y x y y y y y y ---=-=-=----293544422m-===-=；即直线BD与x轴的交点为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，因为()1,0F，()4,0M，所以5,02⎛⎫⎪⎝⎭是FM中点，即直线BD平分线段FM．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于求出直线BD与x轴交点的横坐标；解题时，需要先设AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系，以及题中条件，表示出直线BD 的方程，即可求出与x轴交点的横坐标．25．椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>过点()2,3M，其上､下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为34AM BMk k⋅=-．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点(),0Q a-作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若2QS QTk k+=，求证：直线ST过定点．【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考（理）【答案】（1）2211612x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为()0,A b，()0,B b-，所以333224MA MBb bk k-+⋅=⋅=-，解得212b=，将212b=，()2,3M都代入椭圆方程，得216a=，所以椭圆方程为2211612x y+=；（2）证明：设()11,S x y，()22,T x y，直线ST的方程为y kx t=+．将y kx t=+代入椭圆方程，整理得()2223484480k x ktx t+++-=，122843ktx xk+=-+，212244843tx xk-=+，由1212244y yx x+=++，得1212244kx t kx tx x+++=++．。

2020-2021学年度山西省高考第一次模拟考试数学(理)试题及答案

2020-2021学年度山西省高考第一次模拟考试数学(理)试题及答案

理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（ ） A ． 0 B ． -4 C ． -4或1 D ．-4或02. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<4.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==u u u r u u u r ，则向量BF =u u u r（ ） A ．1233a b+B ．1233a b -- C. 1233a b -+ D ．1233a b - 5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB <u u u r u u u rg，则a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是 （ ）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π7. 若,x y 满足约束条件44030y x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则1x y +的取值范围是（ ）A ．5,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．15,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是10，则与输出结果S 的值最接近的是（ ）A ． 28eB ． 36e C. 45e D ．55e9.在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若3,32,3,sin 3BC CD AC AD ABC ⊥==∠=，则ABC ∆的面积是（ ） A ．922 B ．1522C. 62 D ．122 10.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A 站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A 站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A 站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 （ ） A ．16 B ． 14 C. 13 D ．51211.如图，Rt ABC ∆中，,6,2AB BC AB BC ⊥==，若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动.设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数()y f θ=的图象大致是 （ ）A ．B ．C. D ．12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ． -1 B ．12-C. 13- D ．13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.在复平面内，复数()228z m m m i =+--对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是． 14.已知tan 24πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2αα-=．15.过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等比数列{}n a 中，*11211120,,,64n n n n a a n N a a a ++>=-=∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()221log nn n b a =-g ，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下： 包裹重量（单位：kg ）1234 5包裹件数43 30 15 8 4包裹件数范围 0100: 101200: 201300: 301400: 401500:包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450 天数6630126（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400:之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//,AF DE AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD .（1）求证：AF CD ⊥； （2）若0160,2BAD AF AD ED ∠===，求二面角A FB E --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的方程；（2）若,,A B P 为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求证：四边形OAPB 的面积为定值.21. 已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈. （1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围； （2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB ，求α的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()()1f x x a a R =--∈.（1）若()f x 的最小值不小于3，求a 的最大值；（2）若()()2g x f x x a a =+++的最小值为3，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC 二、填空题13. ()2,0- 14. 12-15. (16.三、解答题17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为12112n n n a a a ++-=，所以11111112n n n a q a q a q -+-=， 因为0q >，解得2q =， 所以17*122,64n n n a n N --=⨯=∈； （2）()()()()()()2227221log 1log 217nnnn n n b a n -=-=-=--g g g ，设7n c n =-，则()()21nn n b c =-g ，()()()()()()222222212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --⎡⎤⎡⎤=++++++=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦L L()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++L ()()2123421226272132132n n n n c c c c c c n n n n --+-⎡⎤⎣⎦=++++++==-=-L .18.解：（1）样本中包裹件数在101400:之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400:之间的天数X 服从二项分布，即43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭； （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为1530201525830415100+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中的天数转化为频率，得若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：EY500.11500.12500.53000.23000.1235⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.19.（1）证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC BD⊥，∵平面BED⊥平面ABCD，且交线为BD，∴AC⊥平面BED，∴AC ED⊥，又//AF DE，∴AF AC⊥，∵,AC AD AAF AD⊥=I，∴AF⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴AF CD⊥；（2）解：设AC BD O=I，过点O作DE的平行线OG，由（1）可知,,OA OB OG两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，设()1202AF AD ED a a===>，则)()()()3,0,0,0,,0,3,0,2,0,,4A aB a F a a E a a-，所以()()()()3,,0,0,0,2,0,2,4,3,,2 AB a a AF a BE a a BF a a a=-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，设平面ABF的法向量为(),,m x y z=u r，则m ABm AF⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rgu r u u u rg，即3020x yz⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取3y=()3,0m=u r为平面ABF的一个法向量，同理可得()0,2,1n=r为平面FBE的一个法向量.则2315cos,525m n==⨯，又二面角A FB E--的平面角为钝角，则其余弦值为1520.解：（1）由已知得1,2c a ===∴1a b ==，则E 的方程为2212x y +=； （2）当直线AB 的斜率不为零时，可设:AB x my t =+代入2212x y +=得： ()2222220my mty t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=++，()2282m t ∆=+-，设(),P x y ，由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，得()121212122224,222mt ty y y x x x my t my t m y y t m m =+=-=+=+++=++=++， ∵点P 在椭圆E 上，∴()()22222221641222t m t m m+=++，即()()22224212t m m+=+，∴2242t m =+，AB ===原点到直线x my t =+的距离为d =∴四边形OAPB的面积：22122242OABS S AB d t ∆==⨯⨯===. 当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积112222S =⨯⨯=，∴四边形OAPB 21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()222a x a g x x x x +'=+=，①当0a =时，()2,0g x x x =>时无零点，②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 取10ax e-=，则21110aa g e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()11g =，所以()()010g x g <g ，此时函数()g x 恰有一个零点，③当0a <时，令()0g x '=，解得x =当0x <<()0g x '<，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0g x '>，所以()g x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.要使函数()f x 有一个零点，则ln 02ag a ==即2a e =-，综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >；（2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x--'=-++=， ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意. ②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意.③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤.综上，m 的取值范围是[]1,0-.22.解：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把,3x x y y ''==代入上述方程得，()22103y x y '''+=≥， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥， 令cos ,sin x y ρθρθ==， 所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=， 由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得B ρ=，11=，∴1cos 2α=±， 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）因为()()min 1f x f a ==-，所以3a -≥，解得3a ≤-，即max 3a =-；（2）()()212g x f x x a a x x a =+++=-++，当1a =-时，()310,03g x x =-≥≠，所以1a =-不符合题意，当1a <-时，()()()()()()()12,12,112,1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩，即()312,12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩， 所以()()min 13g x g a a =-=--=，解得4a =-，当1a >-时，同法可知()()min 13g x g a a =-=+=，解得2a =，综上，2a =或-4.。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科数学试题

安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科数学试题

合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。

故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。

2020-2021学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)

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2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ． 【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1， 故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞）， 故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答） 【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意， 所以所求概率 P =48=12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ， 因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ． 【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ， 数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2， 当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2， 则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ， 则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得， 设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0， 由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ． 故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数， 对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解， 故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2． （2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角， 在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用， 所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立， 因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点． （1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1， 可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ， 则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0， 由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ， 又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4  x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ， 所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ， 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ； 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。

2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析

2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2020-2021学年度湖北省 黄冈市高级中学提前招生数学考试模拟试卷1(Word版,附答案)

2020-2021学年度湖北省 黄冈市高级中学提前招生数学考试模拟试卷1(Word版,附答案)

2021年黄高预录考试数学模拟试题（一）考试时间：120分钟，满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1．若2|1|816x x x ---+化简的结果为25x -，则x 的取值范围是( ) A ．x 为任意实数 B ．14x ≤≤C ．1x ≥D ．4x ≤2．边长为的正六边形的面积等于（ ） A ．243a B ．2a C ．2233a D ．233a3．已知三角形的三边长分别是3,8,x ；若x 的值为偶数， 则x 的值有（ ）Ａ．6个 Ｂ．5个 Ｃ．4个 Ｄ．3个4.如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ )A .点（0，3）B . 点（2，3）C .点（5，1）D . 点（6，1）5.在△ABC 中，M 是边AB 的中点，N 是边AC 上的点，且AN =2NC ，CM 与BN 相交于点K ，若△BCK 的面积等于1，则△ABC 的面积等于（ ）Ａ．3 Ｂ．103Ｃ．4 Ｄ．1336.⊙O 的半径为r ,其外切直角梯形ABCD 的两底AB =a ,DC =b ,则r ,a ,b 之间的关系是（ ）A .r a b =-B . 2212r a b =- C . 12r ab = D . 111r a b=+ 7.已知x ,y ,z 是三个非负实数，满足3x +2y +z =5,x +y -z =2,若S =2x +y -z ，则S 的最大值与最小值的和为（ ） Ａ．8 Ｂ．7 Ｃ．6 Ｄ．58.已知关于x 的不等式组230bx a x -≥⎧⎨<⎩的整数解有且仅有4个：-1,0,1,2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对(,)a b 的个数有 ( )A 2 对B 4对C 6对D 8对9．如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A 的半径为1，P 为x 轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，则当PQ 最小时，P 点的坐标为（ ） A ．（﹣4，0） B ．（﹣2，0）C ．（﹣4，0）或（﹣2，0）D ．（﹣3，0）10、已知关于x 的方程029|3|)2(62=-+--+-a x a x x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、a ＞0或a ＝－2B 、a ＝－2C 、 a ≥0D 、a ＝0二、填空题（每小题3分，共18分）11.从-2，-1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标， 该点在第四象限的概率是 .12．如图，AC =BC ，AC ⊥BC 于点C ，AB =AD =BD ，CD =CE =DE ，若AB =2，则BE = 。

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最新高三第一次模拟考试数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B = ▲ ．2．如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若21i z z =（i 为虚数单位）， 则2z = ▲ ．3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为 ▲ ．4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100 人，那么n = ▲ ．5．执行如图所示的伪代码，当输入,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a的值为 ▲ ．6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为▲ ．7．已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B 两点，若255AB =， 则k = ▲ ．8．若命题“存在20,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12VV的值为 ▲ ．10．已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b +>+<，Read ,1While 21End WhilePrint a b i i a a b b a bi i a ←≤←+←-←+（第5题） （第9题）OCDBC 1A B 1A 1D 1（第2题）则33a b +的取值范围是 ▲ ．11．设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln4x xf x =+，记(5)n a f n =-，则数列 {}n a 的前8项和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ▲ ．13．若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 ▲ ．14．已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ． （1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ； （2）若⊥m n ,a b >，求tan2A B-的值．如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ．17．（本题满分14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ． （1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域；（2）求时间T 最短时cos θ的值．18．（本题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n nac b =，求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值； （2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．20．（本题满分16分） 已知函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-． （1） 若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；（2） 若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．数学试题（附加题）21.【选做题】请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分. A ．（几何证明选讲，本题满分10分）如图,圆O 是ABC ∆的外接圆,点D 是劣弧BC 的中点,连结AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点P ,求证:PC BDPA AC=.B ．（矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M .C ．（坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中,已知直线11:()72x t C t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与椭圆2cos :(0)3sin x a C a y θθθ=⎧>⎨=⎩为参数,的一条准线的交点位于y 轴上,求实数a 的值.D ．（不等式选讲，本题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥.P22．【必做题】（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA 1 = 4． （1）设AB AD λ=，异面直线AC 1与CD，求λ的值； （2）若点D 是AB 的中点，求二面角D —CB 1—B 的余弦值．23. 【必做题】（本题满分10分）已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值． （１） 求(6)f 的值；（２） 对于给定的正整数n (1)n >，（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式； （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．1A高三数学参考答案一、填空题1．}{1,0,1-； 2．2i --； 3． 4．200； 5．5； 6．45； 7．12； 8．(2,)+∞； 9．12； 10．(,2)-∞-； 11．16-； 12．[7,11]； 13．12- ； 14．23π-. 二、解答题15. 证明：（1）因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分 （2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=， 因为a b >，所以A B >，又,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2A B π-=，…12分所以tantan 124A B π-==. ……………14分 16. 证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，∴//DF AC ，又∵DF ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴直线//DF 平面PAC ． ……………6分（２）∵90PAC BAC ∠=∠=︒， ∴AC AB ⊥，AC AP ⊥，又∵AB AP A =，,AB AP 在平面PAB 内， ∴AC ⊥平面PAB ， ……………8分 ∵PF ⊂平面PAB ，∴AC PF ⊥，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥，∵AC PF ⊥，PF AB ⊥，AC AB A =，,AC AB 在平面ABC 内，∴PF ⊥平面ABC ， ……………12分∵AD ⊂平面ABC ，∴AD PF ⊥． ……………14分17. 解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AE θ=， 所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v θθθ=+=++，[,]44θ∈π3π．……7分 （写错定义域扣1分）（2）11()56sin 6T v v v θθθ=++，22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，…………9分 记02cos 3θ=，0[,]44θ∈π3π，θ0(,)4πθ 0θ 03(,)4πθ ()T θ' - 0 +()T θ故当2cos 3θ=时，时间T 最短． …………14分 18. 解：（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--，21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----， …………2分 所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分（2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++， 两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+， 当2n ≥时，1(1)(2)2n n n a n a --=-+，两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a -+-+-=-，即112n n n a a a -++=， …………8分 又由1122S a =+，22224S a =+得12a =，23a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公差为321-=的等差数列， 故数列{}n a 的通项公式是1n a n =+．…………10分 （3）由（2）得1n n c n+=， 对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t c c c =⋅，只需111n k t n k t+++=⋅，即1111(1)(1)n k t +=+⋅+，即1111n k t kt =++，则(1)n k t k n +=-， …………12分 取1k n =+，则(2)t n n =+，∴对数列{}n c 中的任意一项1n n c n +=，都存在121n n c n ++=+和2222212n n n n c n n +++=+使得212n n n n c c c ++=⋅． …………16分 19．解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，220014x y += 所以22000012220000111422424x y y y k k x x x x -=⋅===--+--． …………4分 （2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=，解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，联立122(14y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，解得211122112(41)4,(1414B B Bk k x y k x k k --===++， …………8分 所以121241B BC B y k k x k -==-，121122112141562(1)641515P PQ P k y k k k k k x k -+-===--+++， 所以52PQ BC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQ BC k k =． …………10分（3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q --，则28156225AQ k k -===--，所以直线AC 必过点Q ． 当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为：12156()415k y x k -=+-， 联立1212256()4154k y x k x y -⎧=+⎪-⎨⎪+=⎩，解得21122112(161)16,161161Q Q k k x y k k --==++， 所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k +==-=---+，故直线AC 必过点Q ． …………16 分（不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分）20. 证：（1）因为()()42102f x ax x x =->，所以3()4f x ax x '=-， 由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '的递减区间为， …………2 分 当x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<， 所以(f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分（2）解1：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，则21()382x ax ax ϕ'=--，因为0a >，且1(0)02ϕ'=-<，所以()x ϕ'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，若()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，则0()0x ϕ<， …………7 分由20001()3802x ax ax ϕ'=--=得2001382ax ax =+，所以0003217()939x ax x ϕ=--+，又因为对称轴为4,3x =所以81()(0)032ϕϕ==-<，所以08733x >>，所以0003217()()0933x ax x ϕ=---<，又3222111()41(8)(1)1222x ax ax x ax x x ax ϕ=--+=-+-+，中的较大数为M ，则()0M ϕ>， 故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分解2：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，当2x =时， 由()0x ϕ=得0a =，此时1()12x x ϕ=-+在(0,)+∞上只有一个零点，不合题意； 当2x ≠时，由321()4102x ax ax x ϕ=--+=得321422x x a x -=-， …………7 分 令322148()2422x x x x x x x ϕ-==-----，则22122572[()]2(58)24()0(2)(2)x x x x x x x x ϕ-+-+'==>--， 当(0,2)x ∈时，()x ϕ单调递增，且由2824,2y x x y x =--=--值域知 ()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，由2824,2y x x y x =--=--值域知()x ϕ值域为(,)-∞+∞； 因为0a >，所以102a >，而12y a=与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分（3）解1：由（2）知，对于321()412x ax ax x ϕ=--+在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ， 不妨设12x x <，又因为(0)10ϕ=>，11()(67)028a ϕ=-<，所以1102x <<，……12 分又因为(4)10ϕ=-<，91()(65710)028a ϕ=->，所以2942x <<， 所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分 解2：由（2）知321422x x a x -=-， 因为[0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，17()212ϕ=，111111(0)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以1102x <<， …………12 分 当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，1981()220ϕ=，112119(4)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以2942x <<， 所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分附加题参考答案21.A ．证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线，所以PCD PAC ∠=∠,又P ∠是公共角，所以PCD ∆～PAC ∆， ……………5分 所以PC CD PA AC = , 因为点D 是劣弧BC 的中点,所以CD BD =,即PC BD PA AC =. ……………10分21.B . 解：2λ=-代入212(1)(5)052x x x λλλλ+-=---+=--，得3x =矩阵12532M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦……………5分∴264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ……………10分21.C . 解：直线1C ：29x y +=，椭圆2C :2221(03)9y x a a +=<<， …………………………5分准线：29y a =±-由299a =-得，22a = …………………………10分21.D .证明：因为正实数,,a b c 满足231a b c ++=，所以32313ab c ≥，即23127ab c ≤， …………………………5分 所以23127ab c ≥因此，32462461111327a b c a b c ++≥≥ ……………………10分22. 解：（１）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得090ACB ∠= ……………１分以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则Ａ(3,0,0)，1C (0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x,y,z)，则由AB AD λ=得(33,4,0)CD λλ=-，而1(3,0,4)AC =-，根据2910||50525189λλ=-+解得，15λ=或13λ=- ……………５分 （２）13(,2,0),(0,4,4)2CD CB ==，可取平面1CDB 的一个法向量为1(4,3,3)n =-；…………………………７分而平面1CBB 的一个法向量为2(1,0,0)n =，并且12,n n <>与二面角D —CB 1—B 相等， 所以二面角D —CB 1—B的余弦值为12cos cos ,n n θ=<>= ………１０分 （第（１）题中少一解扣１分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分．第（２）题如果结果相差符号扣１分．）23. 解：（1）由题意，取121,2a a ==，126a a <，满足题意，若33a ∃≥，则必有236a a ≥，不满足题意，综上所述：m 的最大值为2，即(6)2f =． ………………4分 （２）由题意，当(1)(1)(2)n n k n n +<≤++时，设1{1,2,A =…,}n ，2{1,2,3,A n n n =+++…}，显然，∀11,i i a a A +∈时，满足1(1)(1)i i a a n n n n k +≤-<+<，∴从集合1A 中选出的i a 至多n 个，∀12,j j a a A +∈时，1(1)(2)j j a a n n k +≥++≥，∴从集合2A 中选出的j a 必不相邻，又∵从集合1A 中选出的i a 至多n 个，∴从集合2A 中选出的j a 至多n 个，放置于从集合1A 中选出的i a 之间，∴()2f k n ≤， ………………6分 （ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，取一串数i a 为：1,2,2,21,3,22,n n n --…,1,2,,1n n n n -++， 或写成1, 221,2i i i a i n i +⎧⎪=⎨⎪+-⎩为奇数为偶数，（12i n ≤≤），此时1(2)i i a a n n k +≤+<，(121i n ≤≤-),211n a a n k =+<，满足题意，∴()2f k n =， ………………8分 （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，从1A 中选出的n 个i a ：1,2,…,n ，考虑数n 的两侧的空位，填入集合2A 的两个数,p q a a ，不妨设p q na na >，则(2)p na n n k ≥+≥，与题意不符，∴()21f k n ≤-，取一串数i a 为：1,21,2,22,3,23,n n n ---…,2,2,1,1,n n n n n -+-+ 或写成1,22,2i i i a i n i +⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，（121i n ≤≤-），此时1(1)i i a a n n k +≤+<，（122i n ≤≤-），211n a a n k -=<，满足题意，∴()21f k n =-， ………………10分 （写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给１分．）。

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