约束最优化方法最优化方法ppt课件
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约束问题的最优化方法
可用于处理等式约束。
§5.3 外点惩罚函数法
三. 几个参数的选择：
r(0) 的选择:
r(0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。
建议 ：r0 max ru0 u 1,2,...m
其中：ru0
m gu
0.02 x0 f
x0
x(0) 的选择：
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 x(0) xk * (r(k) ),r(k1) c r(k) , k k 1 并转入第 3 步，继续计算。
§5.2 内点惩罚函数法
算法框图
§5.2 内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
§5.1 引言
有解的条件： ① f(x) 和 g(x) 都连续可微； ② 存在一个有界的可行域； ③ 可行域为非空集； ④ 迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。
三. 间接解法的基本思想： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数
（略） 2. 数学模型：
设计变量 ： X x1,x2 T t f ,h T
目标函数 ： min. f x 120x1 x2
单位长度的质量
§5.2 内点惩罚函数法
约束函数 ： g1x x1 0 g 2 x x2 0 g3 x 1 0.25x2 0
g4
x
1
7 45
x1x2
0
g5
x
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外， 随着惩罚因子 r(k) 的不断递增， 生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步迭 代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域外部趋向原目标函 数的约束最优点 x* 。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
第四章约束问题的最优化方法
当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例： 用内点法求
min
f
(x)
x2 1
x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)
x2 1
x2 2
rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件：
二. 直接解法：
基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。 适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；
• 内点的收敛条件为： xk1 xk 1
和
最优化方法4-1第四章 约束最优化方法-KKT条件
（I） x*为问题的局部最优解且 I*={i| c i (x*)=0, 1≤i≤m };
(II) f(x)和 c i (x)（i∈I*）在 x*点可微；
（III）c i (x)（i∈I\ I*）在 x*点连续
则 S={p∈Rn | ▽f(x*)Tp<0}
与 G={ p∈Rn |▽c i(x* )Tp>0, i∈I*} 的交是空集，
（iii）▽ci(x*)(i=1,2,…,l)线性无关；
则存在一组不全为零的实数 1*… l*使得
l
▽f(x*)- i *▽c i(x*)=0 1
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Tc(x)=f(x)- ici(x) i1 为 lagrange 函数，
1
1 2
x1 x2 1 0
的 KT 点为 x* (0, 3)T,相应乘子为* (1 ,0)T。
6
例 2：验证(2,1)T 为下面约束优化问题的 K-T 点.
min
f ( x1 , x2 ) ( x1 3)2 ( x2 2)2
恰好给出等式约束问题的一阶必要条件
及 c i(x*)=0，i=1, …,l
点（X*, *）称为 lagrange 函数 L（x, ）的驻点。
几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
-▽f(x*)
-▽f(x ) x
▽c(x )
c(x)
▽c(x*)
这里 x* 是局部最优解，
▽f(x*)与▽c(x*) 共线，
称 为 lagrange 乘子向量。
lagrange 函数的梯度为
▽L(x, )=(▽xL,▽ L)T
(II) f(x)和 c i (x)（i∈I*）在 x*点可微；
（III）c i (x)（i∈I\ I*）在 x*点连续
则 S={p∈Rn | ▽f(x*)Tp<0}
与 G={ p∈Rn |▽c i(x* )Tp>0, i∈I*} 的交是空集，
（iii）▽ci(x*)(i=1,2,…,l)线性无关；
则存在一组不全为零的实数 1*… l*使得
l
▽f(x*)- i *▽c i(x*)=0 1
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Tc(x)=f(x)- ici(x) i1 为 lagrange 函数，
1
1 2
x1 x2 1 0
的 KT 点为 x* (0, 3)T,相应乘子为* (1 ,0)T。
6
例 2：验证(2,1)T 为下面约束优化问题的 K-T 点.
min
f ( x1 , x2 ) ( x1 3)2 ( x2 2)2
恰好给出等式约束问题的一阶必要条件
及 c i(x*)=0，i=1, …,l
点（X*, *）称为 lagrange 函数 L（x, ）的驻点。
几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
-▽f(x*)
-▽f(x ) x
▽c(x )
c(x)
▽c(x*)
这里 x* 是局部最优解，
▽f(x*)与▽c(x*) 共线，
称 为 lagrange 乘子向量。
lagrange 函数的梯度为
▽L(x, )=(▽xL,▽ L)T
《最优化理论》课件
机器学习中的应用
介绍最优化理论在神经网络训练 中的作用。
工程优化中的应用
应用最优化理论优化机械设计和 自动化控制系统。
总结
通过本课程的学习，您掌握了最优化理论的基本知识和应用方法，为实际问 题的解决提供了有力工具和支持。期待您在未来能够更好地应用这些知识， 为创新和发展做出更大的贡献。
凸优化问题的定义
详细讲解凸优化问题的定义和常用求解方法。
对偶问题
讲解凸优化问题的对偶问题和应用案例。
其他优化问题
1
整数规划
讲解整数规划在实际问题中的应用及其求解方法。
2
半正定规划
介绍半正定规划的定义和求解方式。
3
非线性规划
学习非线性规划问题的求解方法和应用案例。
应用案例
Hale Waihona Puke 经济学中的应用讲解最优化理论在竞争市场模型 中的应用。
数学符号与常用概念
介绍数学符号的含义和常用概念，为后 续学习内容打下基础。
一元函数的最优化问题
讲解一元函数求极值的方法，如牛顿法 和梯度下降法等。
无约束优化问题
一维搜索法
介绍线性搜索和二分搜索等一维 搜索算法。
牛顿法
讲解牛顿法的动机和实现方式。
梯度下降法
详细介绍梯度下降法的原理和特 点。
共轭梯度法
《最优化理论》PPT课件
最优化理论是数学中一项重要的领域，涉及到许多实际问题的求解，如经济 学、机器学习和工程优化等。本课程将为您介绍最优化理论的基础知识和应 用案例，帮助您深入了解这个精彩的领域。
优化理论的基础知识
1
函数的极值
2
学习函数的最值概念和求解方法。
3
多元函数的最优化问题
约束最优化条件KTT(课堂PPT)
f(x*)T(x-x*)0, x D
.
3
考虑一般约束问题：
minf(x) s.t. gi(x)0,iI{1,2,,m 1}
hj(x)0,jE{m 11 ,,m}
(9.1)
可D 行 { x :g i( x 域 ) 0 ,i I ; ： h j( x ) 0 ,j E }
这里我们假设 f , g函 i ,hj数 连续可微
i I
j E
x L ( x ,,) f( x ) . i g i( x ) j h j( x )5
i I
j E
一阶必要条件
定 理 9.2.1 设 x * D 是 问 题 (9 .1)的 一 个 局 部 最 优 解 ,如 果
SFD (x*,D ) LFD (x*,D )
思考
若函数,可 无导 约束问题的定 极是 值驻 ,点点 一 请问约束问题优 的解 局一 部 K 定 最 K点 是 T 吗？？
不一定啦
.
7
例 9.2. 已知约束问题
x2
min f ( x) x2
g1(x) x(0, 2)
s.t. g( x) x ( x )
●
g2(x)
g ( x) x
令 x k x k d k ,由9 .1 定 .2 知 ,{ x k } 义 D .
为理解序列,可 我行 们方 来向 看看它 释的 ：.11 Nhomakorabeaxk
D
●
dk
●
d
x
(a)点x在D内部
D
xk ●
dk
d
x ●
(b)点x在D的边界上
序列可行方向实际 序列可行方向包含可行
上就是可行方向
方向和边界的切线方向
.
3
考虑一般约束问题：
minf(x) s.t. gi(x)0,iI{1,2,,m 1}
hj(x)0,jE{m 11 ,,m}
(9.1)
可D 行 { x :g i( x 域 ) 0 ,i I ; ： h j( x ) 0 ,j E }
这里我们假设 f , g函 i ,hj数 连续可微
i I
j E
x L ( x ,,) f( x ) . i g i( x ) j h j( x )5
i I
j E
一阶必要条件
定 理 9.2.1 设 x * D 是 问 题 (9 .1)的 一 个 局 部 最 优 解 ,如 果
SFD (x*,D ) LFD (x*,D )
思考
若函数,可 无导 约束问题的定 极是 值驻 ,点点 一 请问约束问题优 的解 局一 部 K 定 最 K点 是 T 吗？？
不一定啦
.
7
例 9.2. 已知约束问题
x2
min f ( x) x2
g1(x) x(0, 2)
s.t. g( x) x ( x )
●
g2(x)
g ( x) x
令 x k x k d k ,由9 .1 定 .2 知 ,{ x k } 义 D .
为理解序列,可 我行 们方 来向 看看它 释的 ：.11 Nhomakorabeaxk
D
●
dk
●
d
x
(a)点x在D内部
D
xk ●
dk
d
x ●
(b)点x在D的边界上
序列可行方向实际 序列可行方向包含可行
上就是可行方向
方向和边界的切线方向
最优化方法(约束优化问题的最优性条件)
最优解不一定是kt点kt带入约束条件可知满足约束条件并且有效约束集合为二阶连续可微ii为kt点且严格互补松弛条件成立
最优化方法补充内容10
约束优化问题的最优性条件
先看等式约束问题
回顾以前学的知识
什么定理？
推广到一般的情况
几何解释
二阶充分条件
不等式约束问题
不等式约束问题和等式约束问题之 间是否存在什么关系？ 间是否存在什么关系？
Fritz-John一阶必要条件 一阶必要条件
举例验证
KT条件 条件
• KKT最优化条件是Karush[1939]以及Kuhn和Tucker[1951]先 后独立发表出來的。这组最优化条件在Kuhn和Tucker 发表之 后才逐渐受到重视，因此许多书只记载成「Kuhn-Tucker 最 优化条件 (Kuhn-Tucker conditions)」。
有效约束和非有效约束
再换句话说， 再换句话说，不等式约束问题的在最优解处的某 个小邻域内， 个小邻域内，看以看成等式约束问题
回想最优解的定义， 回想最优解的定义，可行的概念对 于不等式约束是怎么样的概念？ 于不等式约束是怎么样的概念？
min f ( x) s.t. c( x) ≥ 0
可行域为 Q = { x | c( x) ≥ 0 }。
x1 + λ1 = 3 ⇒ x1 + λ 3 = 0 ⇒ λ 3 = − x1 < 0 ∴ λ1 − λ 3 = 3 x1 + λ1 − λ 2 = 3 矛盾。 这与 λ3 ≥ 0 矛盾。 x +λ −λ = 3 1 3 2 (4) 若 x1 ≠ 0 , x2 ≠ 0 : λ1 (4 − x1 − x 2 ) = 0 λ2 x1 = 0 ∴ λ2 = λ3 = 0 λ3 x2 = 0 x1 + λ1 = 3 x1 + x2 ≤ 4 ⇒ x1 = x2 ∴ λ , λ , λ , x , x ≥ 0 x 2 + λ1 = 3 1 2 3 1 2 若 x1 + x 2 < 4 ⇒ λ1 = 0 ⇒ x1 = x2 = 3
最优化方法补充内容10
约束优化问题的最优性条件
先看等式约束问题
回顾以前学的知识
什么定理？
推广到一般的情况
几何解释
二阶充分条件
不等式约束问题
不等式约束问题和等式约束问题之 间是否存在什么关系？ 间是否存在什么关系？
Fritz-John一阶必要条件 一阶必要条件
举例验证
KT条件 条件
• KKT最优化条件是Karush[1939]以及Kuhn和Tucker[1951]先 后独立发表出來的。这组最优化条件在Kuhn和Tucker 发表之 后才逐渐受到重视，因此许多书只记载成「Kuhn-Tucker 最 优化条件 (Kuhn-Tucker conditions)」。
有效约束和非有效约束
再换句话说， 再换句话说，不等式约束问题的在最优解处的某 个小邻域内， 个小邻域内，看以看成等式约束问题
回想最优解的定义， 回想最优解的定义，可行的概念对 于不等式约束是怎么样的概念？ 于不等式约束是怎么样的概念？
min f ( x) s.t. c( x) ≥ 0
可行域为 Q = { x | c( x) ≥ 0 }。
x1 + λ1 = 3 ⇒ x1 + λ 3 = 0 ⇒ λ 3 = − x1 < 0 ∴ λ1 − λ 3 = 3 x1 + λ1 − λ 2 = 3 矛盾。 这与 λ3 ≥ 0 矛盾。 x +λ −λ = 3 1 3 2 (4) 若 x1 ≠ 0 , x2 ≠ 0 : λ1 (4 − x1 − x 2 ) = 0 λ2 x1 = 0 ∴ λ2 = λ3 = 0 λ3 x2 = 0 x1 + λ1 = 3 x1 + x2 ≤ 4 ⇒ x1 = x2 ∴ λ , λ , λ , x , x ≥ 0 x 2 + λ1 = 3 1 2 3 1 2 若 x1 + x 2 < 4 ⇒ λ1 = 0 ⇒ x1 = x2 = 3
最优化方法全部ppt课件
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
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定义4.1.1 若上述问题的一个可行点 使得某个
不等式约束cj(x)≥0中的等号成立,即
则该不等式约束cj(x)≥0称为关于 的有效约束.
否则,若对某个k,使得
则该不等式约
束ck(x)≥0称为关于 的非有效约束. 称所有在 处的有效约束的指标组成的集合.
为 处的有效(约束)集来自注:有时我们也将等式约束也视为有效约束.
aiTd<0(i=1,···,r) 成立的充要条件是,存在不全为零的非负实数
组l1,···,lr,使
20
Fritz-John一阶必要条件
证明概要(续)根据Gordan引理,存在不全为零
的数l0*≥0, li*≥0(i∈I*),使得 对于i∈I \ I*,只要令li*=0,即可得到Fritz-John
证明概要 设x*处的有效集为
I对显定*=于 理然I(无结有x*效论l)=i*约可{=i|0c束以.i(x描,由*)述=于0为c,ii=(存x1),在>20,·l,·若0·及,m定l}.理i(i∈的I结*)论,使成得立,
因为x*是局部最优解,在”指向有效约束的内 部的方向中”不含f(x)的下降方向.
16
均有 则x*是上面问题的严格局部极小点.
12
等式约束问题的二阶充分条件
定理4.1.2的几何意义是,
在Lagrange函数L(x,l)
s
的驻点处,若L(x,l)函数
关于x的Hesse矩阵在约
束超曲面的切平面上正
定(不要求在整个空间正
定),则x*就是严格局部
极小点.
13
4.1.1不等式约束问题的最优性条件
可以推出
引理4.1.5 在不等式约束问题中,假设
(i)x*为问题的局部最优解,且
I*={i|ci(x*)=0,i=1,2,···,m}; (ii)f(x)和ci(x)(i∈I*)在x*可微;
(iii)ci(x)(i∈I \ I*)在x*连续;则G∩S=f.
其中
表示下降方向
表示指向可行域内部的方向
18
Fritz-John一阶必要条件
证明概要(续)根据上述引理,不存在d∈Rn,使得
即 是这样一组向量,它们不
在过原点的任何超平面的同一侧. 于是我们总可以适当放大或缩小各向量的长 度,使得变化后的各向量的合成向量为零向量. 注:这一结论的依据是下面的Gordan引理.
19
Gordan引理
引理4.1.4 设a1,···,ar是n维向量,则不存在向量 d∈Rn使得
最优化方法
目录
第一章 最优化问题概述 第二章 线性规划 第三章 无约束最优化方法 第四章 约束最优化方法
2
第四章 约束最优化方法
作业
P212 4.4 (ii),(iii) P213 4.7 (ii) P214 4.9 (ii) 4.11
4
§4.1 约束最优化问题的最优性条件
问题
在求解问题之前,我们先讨论其最优解的必 要条件,充分条件和充要条件. 这些条件是最优化理论的重要组成部分,对 讨论算法起着关键的作用. 有的算法甚至可以直接用来求解问题.
5
4.1.1等式约束问题的最优性条件
问题
考虑n=2,l=1的情况.c1(x)=0表示二维平面的一 条曲线.最优点满足约束,必落在这一曲线上. 在最优点处作曲线的切线. 考虑f(x)在最优点处的负梯度方向
6
等式约束问题的最优性条件
-g* x*
f(x)=f*
c1(x)=0
若–g*与上述切线不垂直,则可以在曲线上移动充 分小的距离,使 f 的函数值下降. 这与”最优点”矛盾.因此梯度方向与切线垂直. 或,f(x)在最优点处的梯度方向就是c1(x)=0在该点 处的法向. 而c1(x)=0在该点处的法线方向为
条件.
21
例题 (Fritz-John条件)
例4.1.1 min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0
c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
在教材中有说法不一致的地方.
14
Fritz-John一阶必要条件
定理4.1.6 设x*为上述问题的局部最优解且 f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微,则存在非零向量
l*=(l0*,l1*,···,lm*)使得
满足上面的条件的点称为Fritz-John点. 上面的条件仅仅是必要条件.
15
Fritz-John一阶必要条件
若(i)x*是上述问题的局部最优解;
(ii)f(x)与ci(x)(i=1,2,···,l)在x*的某邻域内连续可微;
(iii)
线性无关
则存在一组不全为零的数
使得
9
等式约束问题的一阶必要条件
对于上述问题,引入n+l元的Lagrange函数
其中c(x)=(c1(x),···,cl(x))T,l=(l1,···,ll)T. 称l为Lagrange乘子向量.
Lagrange函数的梯度为
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等式约束问题的一阶必要条件
因此无约束问题min L(x,l)的最优性条件
恰好是原来问题的一阶必要条件及ci(x*),i=1,···,l.
所以求含n+l个未知数x1,···,xn,l1,···,ll的非线性 方程组的解(x*,l*),其中x*=(x1*,···,xn*)T在一定
条件下就是原来约束问题的最优解.
点(x*,l*)称为Lagrange函数L(x,l)的驻点.
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等式约束问题的二阶充分条件
定理4.1.2 在上面的等式约束问题中,若 (i)f(x)与ci(x)(1≤i≤l)是二阶连续可微函数
(ii)存在x*∈Rn与l*∈Rl使得Lagrange函数的
梯度为零,即 (iii)对于任意非零向量s∈Rn,且
因为x*是局部最优解,在”指向有效约束的内 部的方向中”不含f(x)的下降方向.
如图显示的是三 个约束的例子
其中c3(x)≥0为无效约
束,
c1(x)≥0,
c2(x)≥0为有效约束.
黑色部分为可行域.
由最优点指向可行域内 部的方向d都具有性质
这种方向都不是 下降方向,因此
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即由 因此有下面的引理
因此,存在数l1,使得
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等式约束问题 的最优性条件
如果n=3,l=2,约束曲线在三 维空间中曲面c1(x)=0和曲 面c2(x)=0的交线.
同样可以说明(-)g*与曲线的切线垂直.
因此,曲面在x*处的法向量
与
梯度向量g*共面.
存在数l1, l2,使得
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等式约束问题的一阶必要条件
定理4.1.1(一阶必要条件)