最优化方法
最优化方法及其应用
最优化方法及其应用最优化方法可以分为无约束优化和约束优化两种情况。
无约束优化是指在没有任何限制条件下，通过优化算法寻找函数的最小值或最大值。
约束优化则是在一定的约束条件下，寻找函数的最优解。
无约束优化问题可以通过求导数或者对函数进行逼近来解决，而约束优化问题往往需要使用更为复杂的方法，如拉格朗日乘数法、内点法等。
最优化方法在工程领域中有着广泛的应用。
例如在电力系统中，需要优化电力分配，以确保电力的高效利用和供应的稳定性。
另外，在机器学习算法中，最优化方法被用于调整模型参数，以提高模型的预测能力。
最优化方法还被广泛应用于交通流优化、资源分配、供应链管理等各种工程问题中。
经济学中的优化方法可以帮助决策者在有限资源下做出最佳的决策。
例如，在企业决策中，需要通过优化方法确定生产数量和价格，以实现最大的利润。
此外，最优化方法还可以帮助经济学家解决资源配置、市场设计等问题。
最优化方法在运筹学中也有着重要的应用。
运筹学是一门研究如何有效利用有限资源的学科，最优化方法在其中发挥着重要的作用。
例如，在物流领域中，需要通过最优化方法确定最短路径和最佳资源分配，以提高物流运输的效率。
此外，最优化方法还可以应用于排产调度、库存管理等问题中。
最优化方法的常见算法主要有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
梯度下降法是一种迭代优化算法，通过不断迭代更新参数值，直至达到最优解。
牛顿法基于函数的泰勒展开式，通过求解线性方程组来逼近最优解。
拟牛顿法则是对牛顿法的改进，通过近似求解Hessian矩阵，减少计算量。
除了传统的最优化方法，近年来深度学习的兴起也为最优化方法带来了新的挑战和应用。
深度学习网络中的参数优化也可以看作是一种最优化问题，通过梯度下降法或其他优化方法来调整参数值，以降低模型在训练数据上的误差。
随着深度学习的发展，越来越多的变种最优化算法被提出和应用于不同的深度学习架构中。
总结来说，最优化方法是一种解决最优化问题的强大工具，可以应用于各个领域中的决策问题。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化方法习题答案
最优化方法习题答案最优化方法习题答案最优化方法是数学中一门重要的学科，它研究如何找到使函数取得最大值或最小值的方法。
在实际问题中，最优化方法被广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域。
本文将为读者提供一些最优化方法习题的答案，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一学科。
一、单变量函数的最优化问题1. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[0, 3]上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x)的驻点。
计算f'(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到x = 1。
然后，我们计算f''(x) = 2，发现在x = 1处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查区间的端点和驻点，找到函数f(x)在这些点的函数值。
f(0) = 1，f(1) = 0，f(3) = 4。
由于f(1)是最小的函数值，因此函数f(x)在区间[0, 3]上的最小值为0。
2. 求函数f(x) = e^x - 2x在整个实数轴上的最小值。
解：首先，我们计算f'(x) = e^x - 2，并令其等于零，得到x = ln(2)。
然后，我们计算f''(x) = e^x，发现在x = ln(2)处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查整个实数轴上的函数值。
由于函数f(x)在x趋近负无穷大时趋于负无穷大，而在x趋近正无穷大时趋于正无穷大，因此函数f(x)在整个实数轴上没有最小值。
二、多变量函数的最优化问题1. 求函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y在闭区域D={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤3}上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x, y)的驻点。
计算f_x(x, y) = 2x - 2和f_y(x, y) = 2y - 4，并令它们同时等于零，得到x = 1和y = 2。
最优化方法全部课件
f x0
据此有
ⅰ) 等号成立当且仅当 p 与f x0 同方向或与 f x0
同方向。且当
p与
f x0
同方向时，f x0
p
取到最大值
f x0 。当 p 与 f x0 同方向时，f x0 取到最小值 p
f x0
第1章 预备知识
1.1 经典极值问题 1. 例子， 2. 数学模型 第一，无约束极值问题
min f x1, x2, , xn 或 max f x1, x2, , xn
解法：解方程组 第二，仅含等式约束的极值问题
min f x1, x2, , xn s.t. hi x1, x2, , xn 0, i 1, 2, ,l(l n)
p
思考：f x 与
f x f x f x
,
,,
的异同。
p
x1 x2
xn
根据极限理论，易见
若
f x0
p
0，则p方向是 f
x
在点
x0 处的上升方向；
若 f x0 0，则 p方向是 f x在点 p
x0
处的下降方向。
因此，方向导数的正负决定了函数值的升降。
例1.8 P19
几个常用函数的梯度公式
（1）若 f x C ，则 f x 0
（2） bT x b ；
（3） xTQx 2Qx ；
（4） xT x 2x .
，即 C 0 ；
2. Hesse矩阵
问：函数 f x 关于变量 x 的二阶导数又是什么？
1.5 梯度和Hesse矩阵
本段讨论都基于对函数 f x 可微的假定。
最优化方法求解技巧
最优化方法求解技巧最优化问题是数学领域中的重要课题，其目标是在给定一组约束条件下寻找使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
解决最优化问题有多种方法，下面将介绍一些常用的最优化方法求解技巧。
1. 直接搜索法：直接搜索法是一种直接计算目标函数值的方法。
它的基本思路是在给定变量范围内，利用迭代计算逐步靠近最优解。
常用的直接搜索法包括格点法和切线法。
- 格点法：格点法将搜索区域均匀划分成若干个小区域，然后对每个小区域内的点进行计算，并选取最优点作为最终解。
格点法的优点是简单易行，但对于复杂的问题，需要大量的计算和迭代，时间复杂度较高。
- 切线法：切线法是一种基于目标函数的一阶导数信息进行搜索的方法。
它的基本思路是沿着目标函数的负梯度方向进行迭代搜索，直到找到最优解为止。
切线法的优点是收敛速度较快，但对于非光滑问题和存在多个局部最优点的问题，容易陷入局部最优。
2. 数学规划法：数学规划法是一种将最优化问题转化为数学模型的方法，然后借助已有的数学工具进行求解。
常用的数学规划法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
- 线性规划：线性规划是一种求解目标函数为线性函数、约束条件为线性等式或线性不等式的优化问题的方法。
常用的线性规划求解技巧包括单纯形法和内点法。
线性规划的优点是求解效率高，稳定性好，但只能处理线性问题。
- 非线性规划：非线性规划是一种求解目标函数为非线性函数、约束条件为非线性等式或非线性不等式的优化问题的方法。
常用的非线性规划求解技巧包括牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。
非线性规划的优点是可以处理更广泛的问题，但由于非线性函数的复杂性，求解过程相对较复杂和耗时。
- 整数规划：整数规划是一种在变量取值为整数的前提下求解优化问题的方法，是线性规划和非线性规划的扩展。
由于整数规划的复杂性，常常利用分支定界法等启发式算法进行求解。
3. 近似法：近似法是一种通过近似的方法求解最优化问题的技巧，常用于处理复杂问题和大规模数据。
最优化方法及应用
最优化方法及应用最优化方法是一种数学领域的研究方法，旨在寻找最佳解决方案或最佳结果的方法。
最优化方法广泛应用于各个领域，如工程、经济、物流、管理等。
本文将介绍最优化方法的基本原理、常用模型和应用案例。
最优化方法的基本原理是通过建立数学模型，定义目标函数和约束条件，利用数学方法求得最佳解决方案。
最常见的最优化方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、模拟退火等。
线性规划是最常见的最优化方法之一，适用于目标函数和约束条件都是线性的问题。
线性规划通常使用单纯形法或内点法进行求解。
一个经典的应用案例是生产计划问题，通过最小化生产成本或最大化利润来确定最佳生产量和产品组合。
非线性规划是一个更一般的最优化方法，适用于目标函数和约束条件中包含非线性项的问题。
非线性规划可以使用梯度下降法、牛顿法等迭代算法进行求解。
一个典型的应用案例是参数估计问题，通过最小化误差函数来确定最佳参数值。
动态规划是一种适用于具有阶段性决策的问题的最优化方法。
动态规划通常将一个大问题划分为若干小问题，并通过递推的方式求解最优解。
一个常见的应用案例是背包问题，通过在每个阶段选择是否放入物品来最大化总价值。
整数规划是一种最优化方法，适用于目标函数和约束条件中包含整数变量的问题。
整数规划的求解比线性规划更困难，通常使用分支定界法等算法进行求解。
一个典型的应用案例是旅行商问题，通过确定一条最短路径来解决路线规划问题。
模拟退火是一种全局优化方法，通过模拟退火的过程来搜索最优解。
模拟退火可以应用于各种问题，如旅行商问题、机器学习算法优化等。
最优化方法在实际应用中具有广泛的应用场景。
在工程领域，最优化方法可以应用于产品设计、流程优化、资源调度等问题。
在经济领域，最优化方法可以应用于投资组合优化、货币政策制定等问题。
在物流领域，最优化方法可以应用于仓库位置选择、路径规划等问题。
在管理领域，最优化方法可以应用于员工排班、生产计划等问题。
总之，最优化方法是一种求解最佳解决方案或最佳结果的数学方法。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化方法是指为了在给定的条件和约束下，找到一个最优解或者接近最优解的问题求解方法。
这些方法可以用于解决各种实际问题，例如优化生产计划、项目管理、机器学习、数据分析等。
下面将介绍五种常见的最优化方法。
1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是一种数学优化技术，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的问题。
线性规划方法可以用于优化生产计划、资源分配、供应链管理等问题。
它的基本思想是将问题转化为一个线性目标函数和线性约束条件的标准形式，然后使用线性规划算法求解最优解。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming）：与线性规划不同，非线性规划处理非线性目标函数和约束条件。
非线性规划方法适用于一些复杂的问题，例如优化机器学习模型、最优化投资组合配置等。
非线性规划方法通常使用梯度下降、牛顿法等迭代算法来逐步优化目标函数，找到最优解。
3. 整数规划（Integer Programming）：整数规划是一种数学优化技术，用于求解在决策变量为整数的情况下的优化问题。
整数规划方法通常用于优化工程排程、选址和布局问题等。
整数规划在求解时需要考虑变量取值范围的整数要求，使用分支定界、割平面等方法求解，保证最优解是整数。
4. 动态规划（Dynamic Programming）：动态规划是一种将复杂问题分解为一系列子问题来求解的最优化方法。
它通常用于处理具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，例如最优路径问题、背包问题等。
动态规划方法通过记忆化或者状态转移的方式来求解最优解，可以有效避免重复计算，提高求解效率。
5. 元启发式算法（Metaheuristic Algorithm）：元启发式算法是一类基于启发式的最优化方法。
与传统的优化方法不同，元启发式算法通常不需要依赖目标函数的导数信息，适用于处理复杂问题和无法建立数学模型的情况。
常见的元启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等，它们通过模拟自然界中的生物群体行为来最优解。
最优化方法(刘)第一章
所以 c T x 是凸函数． 类似可以证明 c T x 是凹函数．
凸函数的几何性质
对一元函数 f x , 在几何上f x1 1 f x2
下面的图形给出了凸函数 f x, y x 3x y
4 2
4
y 2 xy 的等值线的图形，可以看出水平集是凸集
凸函数的判定
定理1:设 f x 是定义在凸集 D R n 上，x, y D , 令 t f tx 1 t y , t 0,1, 则: (1) f x 是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对 任意的x, y D ,一元函数 t 为 0,1上的凸函数. (2)设 x, y D , x y, 若 t 在 0,1 上为严格 凸函数， f x 在 D 上为严格凸函数． 则
例1： 证明超球 x r 为凸集．
0 证明： x , y 为超球中的任意两点， 1, 设
则有：
x 1 y
x 1 y
r 1 r r 即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集 为凸集． （２） 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的 集合是凸集： D y y x , x D （３）设 D1 , D2 是凸集， D1 , D2 的和集 则
相关定义（P7—P8）
定义１.1 可行解 满足约束条(1.2)和(1.3)
的x称为可行解，也称为可行点或容许点。
定义１.2 可行域 全体可行解构成的集合 称为可行域，也称为容许集，记为F,即：
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1.1 问题提出
1 何为优化问题? 2 优化问题如何描述? (即如何进行数学建模?)
3 如何求解?
最优化问题
• 现实世界中普遍存在着优化问题
如：（1）电影院的座位设计问题 （2）组合投资问题 （3）背包问题/贪婪问题 （4）旅行售货问题
优 化 问
（1）电影院的座位设计问题
题
优 化 问
最优化问题的提出 在所有可行的方案中选出最合理的，达到规 定要求最优目标方案的实际问题称之为最优化问 题。
其它的最优化问题： 田忌赛马Leabharlann 本课程名为：运筹与优化 更合适
优化问题的数学描述，包括： （１）优化的目标 追求的目的，路程最短，花费最少… （２）寻求的决策 众多可选的方案中寻找一个使目标达到最优的决策
整数线性规划模型的实例
例1 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体 积、重量、可获利润以及托运所受限制如表5－1：
货物 甲 乙 托运限制 体积 重量 利润
每箱（米3） 每箱（百斤） 每箱（百元）
5 4 24
2 5 13
20 10
问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？
解：设托运甲、乙两种货物x1，x2箱，用数学式 可表示为：
使用两个临时料场A(5,1)，B(2,7).求从料场j向工地i 的运送量为Xij，在各工地用量必须满足和各料场运送 量不超过日储量的条件下， 改建两个新料场，要同时 确定料场的位置(xj,yj)和运送量Xij，在同样条件下 使总吨千米数最小。
组合优化（Combinatorial Optimization）
如何选拔队员组成4100米混合泳接力队? 如果丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成 绩进步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？
穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。
0-1规划模型
cij j=1 j=2 j=3 j=4 i=1 66.8 75.6 87 58.6
cij(秒)~队员i 第j 种泳姿的百米成绩
约束非线性规划
例1
加工奶制品的生产计划
问题：一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制 品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤 A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据 市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1 获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能 得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间 为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1， 设备乙的加工能力没有限制。
模型建立： 决策变量 设每天用x1桶牛奶生产A1 ，用x2桶牛奶生产A2 目标函数 设每天获利为z元。 x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1; x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16*4x2; 故z=72x1+64x2
约束条件 原料供应 生产A1、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的 供应50桶，即 x1+x2≤50 劳动时间 生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人 总的劳动时间480小时，即 12x1+8x2≤480 设备能力 A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小 时，即 3x1≤100 非负约束 x1、x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0
例：游泳队员的选拔问题
5名候选人的百米成绩
甲 蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6 乙 57”2 1’06” 1’06”4 53” 丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4 丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2 戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大.
问题分析：
1桶 牛奶 或 12小时 3公斤A1 4公斤A2 获利24元/公斤 获利16元/公斤
8小时
每天： 50桶牛奶
时间480小时 至多加工100公斤 A1 制订生产计划，使每天获利最大
生产计划是什么? 每天的牛奶：安排多少生产A1，多少生产A2 ? 有决策变量（生产计划），有目标，肯定就是 一个优化问题！考虑建立优化模型~
X∈D
1.2 优化问题分类
根据决策变量取值情况不同，分为连续型和离散型。
根据处理思想方法的不同，分为数学规划、组合优 化、图论与网络流、动态规划…
数学规划
一般线性规划
运输问题 线性规划 (Linear 整数规划（Integer Programming） Programming) 无约束非线性规划 非线性规划 (Non-Linear Programming)
i=2 57.2 66 66.4 53 i=3 78 67.8 84.6 59.4 i=4 70 74.2 69.6 57.2 i=5 67.4 71 83.8 62.4
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 条件 每人最多入选泳姿之一 每种泳姿有且只有1人
非线性规划：使用临时料场的情形
（３）限制条件
方案需满足特定的规则约束，如背包容量有限
优化问题的数学描述，包括：
优化的目标——目标函数
寻求的决策——决策变量
限制条件 ——约束不等式
优化问题的一般表述（优化问题的数学模型）：
X表示决策变量，X=(x1,x2,…xn)’ Max f(X) ( 或 Min )目标函数
S.T g(X)>=0 约束条件
综上所述可得如下优化模型：
Max z 72x1 64x2
x1 x2 50 12 x 8 x 480 1 2 st 3 x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
目标函数和约束条件都是线性的，这种优化 模型称为是线性规划（linear programming,LP） 模型。
（2）组合投资问题
题
（3）背包问题(贪婪问题)
一个小偷打劫一个保险箱，发现柜子里有3类不 同大小与价值的物品，但小偷只有一个容积为20的 背包来装东西，背包问题就是要找出一个小偷选择 所偷物品的组合，以使偷走的物品总价值最大。
（4）旅行售货问题 有一个推销员，要到各个城市去推销产品，他希 望能找到一个最短的旅遊途径，访问每一个城市，而 且每个城市只拜訪一次，然后回到最初出发的城市。