济南市高一上学期数学期末考试试卷(II)卷
济南市高一上学期数学期末考试试卷（II）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高一下·玉林期末) sin600°=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（）
A . 11
B . 10
C . 16
D . 15
3. （2分） (2018高一下·宜昌期末) 若 ,则与的夹角为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高一上·水富期中) 已知，，，则（）
A .
C .
D .
5. （2分）已知ABCD是四面体，且O为△BCD内一点，则是O为△BCD的重心的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分又不必要条件
6. （2分） (2016高一下·右玉期中) 已知y=Asin（ωx+ϕ）的最大值为1，在区间上，函数值从1减小到﹣1，函数图象（如图）与y轴的交点P坐标是（）
A .
B .
C .
D . 以上都不是
7. （2分）函数f（x）=2x+2﹣x的图象关于（）对称．
A . 坐标原点
C . x轴
D . y轴
8. （2分） (2020高一上·南开期末) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）
A . 向左平移个单位长度
B . 向右平移个单位长度
C . 向左平移个单位长度
D . 向右平移个单位长度
9. （2分）(2018·浙江学考) 不等式的解集是（）
A .
B .
C . 2
D .
10. （2分）已知，，若对任意，都存在，使
，则a的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2019高三上·禅城月考) 方程的根所在的一个区间是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）(2018·南充模拟) 已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式
对任意恒成立，则实数的取值范是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （2分） (2018高一上·衢州期中) 计算： ________ ； ________．
14. （1分）设向量满足，，若向量方向上的投影为，且向量
与向量的夹角为120°，则的最大值等于________．
15. （1分）函数y=cos2x﹣2sinx+3的值域为________．
16. （1分） (2019高三上·北京月考) 设函数，，若函数
恰有三个零点，则的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共70分)
17. （5分） (2019高一上·绍兴期末) 已知，
Ⅰ 求的值；
Ⅱ 求的值
18. （20分） (2018高一上·苏州期中) 已知函数f（x）＝．
（1）求f（x）的定义域、值域利单调区间；
（2）求f（x）的定义域、值域利单调区间；
（3）判断并证明函数g（x）＝xf（x）在区间（0，1）上的单调性．
（4）判断并证明函数g（x）＝xf（x）在区间（0，1）上的单调性．
19. （5分） (2018高一上·宁波期末) 已知函数f（x）=Asin（x+ ），若f（0）= ．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．（i）写出g（x）的解析式和它的对称中心；
（ii）若α为锐角，求使得不等式g（α- ）＜）成立的α的取值范围．
20. （10分）(2018·上饶模拟) 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若关于x的不等式在R上的解集为R，求实数a的取值范围．
21. （20分） (2019高三上·霍邱月考) 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个零点，求的取值范围．
（4）若函数有两个零点，求的取值范围．
22. （10分） (2017高一上·潮州期末) 已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．
（1）
求函数g（x）的解析式；
（2）
设f（x）= ．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、答案：略
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、答案：略
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共70分)
17-1、
18-1、答案：略
18-2、答案：略
18-3、答案：略
18-4、答案：略
19-1、
20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略21-4、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略。
山东省济南市高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
山东省济南市高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案----b0caf010-6eb0-11ec-8938-7cb59b590d7d山东省济南市高一上学期期末考试数学试题word版含答案济南2022-2022高一期末考试试题及答案1道选择题（40分）1.集合m??1,?1?,n??x?1??2x?1?4,x?z?，m?2?n?（）A.1,1? B1.C0天？？1,0?2直线l过点a(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围（）a[0，]b？0,1? C0,2? d（0，）3函数f(x)?a(a?0,a?1)在区间【0，1】上的最小值与最大值的和为3，则实数a的值为（）ax121211b2c4d24110。
24集a？log13，b？（），c？23，然后（）32aa?b?cbc?b?aca?c?bdb?a?c5.直线L的方程是ax？通过C0，什么时候开始？0，b？0，c？当为0时，直线l必须经过（）a第一、第二和第三象限B第二、第三和第四象限C第一、第四和第三象限d 第一、第二和第四象限6。
已知的飞机？直线a，B，C，ab（）aa?,b?ba?c,b?cca?c,c??,b?da??,b??27集a？A.0，函数y？a（a？0，a？1）的图像形状大致为（）x8如果一个三角棱锥的三条边是垂直的，边的长度是1，顶点在一个球体上，那么球体的表面积是（）a？B2?c3?d2?39已知函数y?f(x)是定义在r上的奇函数，且f(2)?0，对任意x?r都有f（x？4）？f（x）？如果f（4）成立，则f（2022）的值为（）a0b2021c2021d401210.已知c:x2？y2？4x？2岁？15? 在0上有两个不同的点到直线L:y？k（x？7）？距离6离等于5，则k的取值范围是()a(,2)b(?2,?)c(??,?2)二：填空题（20分）11.直线2x？Y1和直线4x？是吗？3.0平行，那么a？12.如果函数f（x）是奇数函数，那么x是什么时候的？什么时候0，f（x）？十、x、那么F（？3）的值是13如图一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则该几何体的侧面积为14.计算3log3221212111(?,)(2,??)d(??,?)(2,??)2221?lg?lg5的结果为215.给出下列命题1.Ex（1）函数f（x）？它是一个偶数函数吗？E（2）函数f（x）？11的对称中心是（2，）2x？L的长度、C的宽度、L的长度和B的长度分别是L的长度、L的长度、C的长度和L的长度，B的长度分别是？A.BC4在x?[0,1]时，函数f(x)?loga(2?ax)是减函数，则实数a的取值范围是(1,2)5函数f(x)?1在定义域内即使奇函数又是减函数。
山东省济南市高一上学期数学期末考试试卷
山东省济南市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共25分)1. （2分） (2019高一上·拉萨期中) 下列四个命题：（1）空集没有子集；（2）空集是任何一个集合的真子集；（3） ={0}；（4）任何一个集合必有两个或两个以上的子集。
其中正确的个数有（）个A . 0B . 1C . 2D . 42. （2分）函数的图象（）A . 关于y轴对称B . 关于x轴对称C . 关于直线y=x对称D . 关于原点对称3. （2分） (2020高一下·开封期末) 已知，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·贺州期末) 已知某扇形的周长是6cm，面积是2 ，则该扇形的中心角的弧度数为（）A . 1B . 4C . 1或4D . 2或45. （2分）给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；③如图，在中，， P是BN上的一点，若，则实数m的值为．其中真命题是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ②6. （2分） (2020高一上·百色期末) 已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分）若函数的零点为2，那么函数的零点是（）A . 0，2B . 0，C . 0，D . 2，8. （2分）已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（）A . 10°B . 20°C . 70°D . 80°9. （2分） (2017高二下·红桥期末) 设a=0.60.6 ， b=0.61.5 ， c=1.50.6 ，则a，b，c的大小关系（）A . a＜b＜cB . a＜c＜bC . b＜a＜cD . b＜c＜a10. （2分）下列函数在其定义域内为偶函数的是（）A . y=2xB . y=2xC . y=log2xD . y=x211. （2分） (2017高一下·平顶山期末) 为了得到函数y=2sin（ + ），x∈R的图象，只需要把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（）A . 向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）B . 向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）C . 向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的3倍（纵坐标不变）D . 向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的3倍（纵坐标不变）12. （2分）已知函数y=f(x)的定义域为{x|-38,且}，值域为{y|-12,且}.下列关于函数y=f(x)的说法：①当x=-3时，y=-1；②点(5,0)不在函数y=f(x)的图象上；③将y=f(x)的图像补上点（5,0），得到的图像必定是一条连续的曲线；④y=f(x)的图象与坐标轴只有一个交点.其中一定正确的说法的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 413. （1分）已知发f(x-)=，则函数f（3）= ________二、填空题 (共3题；共3分)14. （1分） (2018高一上·和平期中) 计算 ________．15. （1分）计算： =________．16. （1分） (2019高一上·武功月考) 已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，则实数的取值范围是________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2020·江苏) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．18. （5分）已知值域为[﹣1，+∞）的二次函数满足f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），且方程f（x）=0的两个实根x1 ， x2满足|x1﹣x2|=2．（1）求f（x）的表达式；（2）函数g（x）=f（x）﹣kx在区间[﹣1，2]内的最大值为f（2），最小值为f（﹣1），求实数k的取值范围．19. （5分）已知f（x）= ，g（x）= （a＞0且a≠1），确定x的取值范围，使得f（x）＞g（x）．20. （10分） (2019高一下·浙江期中) 设的内角所对的边分别为，若且（1）求角的大小；（2）若角的平分线交于点，求线段长度的取值范围.21. （10分） (2016高一上·武邑期中) 已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁RA）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．22. （10分） (2020高一上·台州期末) 已知函数，若把图象上所有的点向左平行移动个单位后，得到函数的图象（1）求函数的解析式，并写出的单调增区间；（2）设函数，，求满足的实数x的取值范围.参考答案一、单选题 (共13题；共25分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共3题；共3分)14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2020-2021济南市高中必修一数学上期末试卷及答案
2020-2021济南市高中必修一数学上期末试卷及答案一、选择题1．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>2．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）A ．12BC D ．24．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．()1,+∞6．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 7．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<9．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}10．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1111．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( )A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；14．函数()()4log 5f x x =-+________.15．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．16．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 17．已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()x f x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 18．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 19．已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________.20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______． 三、解答题21．已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.22．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知全集U =R ，集合{|25},{|121}M x x N x a x a =-=++剟剟. （Ⅰ）若1a =，求()R M N I ð；（Ⅱ）M N M ⋃=，求实数a 的取值范围.24．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 25．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域; （2）求函数()f x 的零点;（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值．26．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤. (Ⅰ)若3m =，求U C B 和A B U ； (Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.3．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.4．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log 3a =3log 6b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 34a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈， 所以a c b <<，故选B.9．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．10．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.11．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x的图像，如图（实线部分），由()1152y xy x=+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A．故()f x有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】210x ax++≥对于一切10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a⩾21xx--对于一切x∈(0,12)成立，即a⩾−x−1x对于一切x∈(0,12)成立，设y=−x−1x,则函数在区间(0,12〕上是增函数∴−x−1x<−12−2=52-，∴a⩾5 2 -.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.14．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5，故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.15．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩， 即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．16．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考 解析：4【解析】【分析】设()2sin 1x g x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2sin 21=+++x y x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】 ∵函数2sin 21=+++x y x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =++，则()()2sin 1x g x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数，设()g x 的最大值M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -，又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-，∴max min 224y y M M +=++-=，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1x g x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题. 17．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】【分析】由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭，再代入求值即可.【详解】因为()()1f x f x +=-， 所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的函数，因为当11x -<≤时，()xf x e = ，所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用. 18．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键 解析：12- 【解析】【分析】由函数()f x 是奇函数，得到()010021f a =+=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()121x f x a =++是奇函数，所以()010021f a =+=+，解得12a =-， 当12a =-时，函数()11212x f x =-+满足()()f x f x -=-， 所以12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916【解析】【分析】将已知等式8(9)a aa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.【详解】 8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】 本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题. 20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+，综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x +【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题21．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】【分析】【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <, 则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0x x x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.(2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数,∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f .∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16.22．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m <<【解析】【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =.函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.(2)由(1)可知()()()221log log 117x m f x x x x +=>---，[]2,6x ∈， 所以()()10117x m x x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立. 当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =. 所以07m <<.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．23．（Ⅰ）(){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤（Ⅱ）2a ≤【解析】【分析】（Ⅰ）1a =时，化简集合B ,根据集合交集补集运算即可（Ⅱ）由M N M ⋃=可知N M ⊆，分类讨论N =∅，N ≠∅即可求解.【详解】（Ⅰ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，{|2R C N x x =<或}3x > .故 (){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤.（Ⅱ）,M N M ⋃=Q当N =∅时，121a a +>+，即0a <；当N ≠∅时，即0a ≥.N M ⊆Q ，12215a a +≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤.综上：2a ≤.【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.24．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ； （2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案.【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克), 所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+, 当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x +==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,可知()f x 在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少.本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.25．（1）()3,1.-（2）1-±3）2【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()=0f x ，即223=1x x --+，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值．【详解】（1）由已知得10,30,x x ->⎧⎨+>⎩, 解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为()3,1.- （2）()()()()()()2log 1log 3log 13log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+,令()=0f x,得223=1x x --+,即222=0x x +-,解得1x =-±∵1(-3,1)-,∴函数()f x 的零点是1-（3）由2知,()()()22log 23log 14a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦, ∵31x -<<,∴()20144x <-++≤.∵01a <<,∴()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦, ∴()min log 44a f x ==-,∴144a -==. 【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．26．（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x x x ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤【解析】【分析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。
2020-2021学年山东省济南市高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列集合与集合A＝{1，3}相等的是（）A．（1，3）B．{（1，3）}C．{x|x2﹣4x+3＝0}D．{（x，y）|x＝1，y＝3}2．（5分）命题：“∃x0∈R，x02﹣1＞0”的否定为（）A．∃x∈R，x2﹣1≤0B．∀x∈R，x2﹣1≤0C．∃x∈R，x2﹣1＜0D．∀x∈R，x2﹣1＜03．（5分）“α是锐角”是“α是第一象限角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）sin20°cos10°+sin70°sin10°＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知f（x）＝|lnx|，若a＝f（）（），c＝f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．（5分）要得到函数y＝cos（3x+）的图象，需将函数y＝cos3x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin2x的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林•梅森曾对“2P﹣1”（p是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“2P﹣1”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为M＝2127﹣1，第14个梅森素数为N＝2607﹣1，则下列各数中与最接近的数为（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．10140B．10142C．10141D．10146二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）若函数f（x）＝﹣x2+2ax（a∈Z）在区间[0，1]上单调递增，4]上单调递减，则a 的取值为（）A．4B．3C．2D．110．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．＜B．＜C．a+＞b+D．a+＞b+ 11．（5分）下列说法中正确的是（）A．函数y＝sin（x+）是偶函数B．存在实数α，使sinα cosα＝1C．直线x＝是函数y＝sin（2x+）图象的一条对称轴D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ12．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝，下列说法中正确的是（）A．当﹣＜x1＜x2＜时，恒有f（x1）＞f（x2）B．若当x∈（0，m]时，f（x）的最小值为，则m的取值范围为[]C．不存在实数k，使函数F（x）＝f（x）﹣kx有5个不相等的零点D．若关于x的方程[f（x）﹣][f（x）﹣a]＝0所有实数根之和为0，则a＝﹣三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）8+lg2+lg25的值为．14．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示（）的值为．15．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，对任意x∈R都有f（x+3）（x），当x∈[﹣，0]时，f（x），则f（100）的值为．16．（5分）设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，都有x+k∈D，且f（x+k）（x）恒成立，则称函数f（x）（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x），若f（x）为R上的“2021型增函数”．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}．（1）求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若C＝{x|m﹣1＜x＜m+1}，B∩C≠∅，求实数m的取值范围．18．（12分）在①2sinα＝3sin2α，②cos＝，③tanα＝2，补充在下面问题中，并解决问题．已知α∈（0，），β∈（0，），cos（α+β），____，求cosβ．19．（12分）设函数f（x）＝cos x•cos（x﹣）+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[]时，求函数f（x）20．（12分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每万台的销售收入为R（x）万元（x）＝．（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣（2b﹣6＜x＜b）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）是区间（2b﹣6，b）上的减函数；（3）若f（m﹣2）+f（2m+1）＞022．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣x，若g（lnx），e2]恒成立，求实数m的取值范围．2020-2021学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列集合与集合A＝{1，3}相等的是（）A．（1，3）B．{（1，3）}C．{x|x2﹣4x+3＝0}D．{（x，y）|x＝1，y＝3}【分析】利用集合相等的定义直接求解．【解答】解：∵{x|x2﹣4x+6＝0}＝{1，8}，∴与集合A＝{1，3}相等的是{x|x6﹣4x+3＝6}．故选：C．【点评】本题考查相等集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）命题：“∃x0∈R，x02﹣1＞0”的否定为（）A．∃x∈R，x2﹣1≤0B．∀x∈R，x2﹣1≤0C．∃x∈R，x2﹣1＜0D．∀x∈R，x2﹣1＜0【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案．【解答】解：命题：“∃x0∈R，”的否定为“∀x∈R，x6﹣1≤0”，故选：B．【点评】本题考查的知识点是命题的否定，特称命题，难度不大，属于基础题．3．（5分）“α是锐角”是“α是第一象限角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】利用锐角的定义以及第一象限角的定义，结合充分条件与必要条件定义进分析，即可得到答案．【解答】解：因为α是锐角，故0°＜α＜90°，若α是第一象限角，不妨取﹣330°，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判定，涉及了象限角定义的理解，解题的关键是掌握判断充分条件与必要条件的方法．4．（5分）sin20°cos10°+sin70°sin10°＝（）A．B．C．D．【分析】利用两角差的余弦公式求解即可得答案．【解答】解：sin20°cos10°sin＝cos（70°﹣10°）＝cos60°＝．故选：C．【点评】本题考查三角函数化简求值，是基础题．5．（5分）已知f（x）＝|lnx|，若a＝f（）（），c＝f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】先由函数f（x）的解析式对a，b，c的值化简，再利用函数y＝lnx的单调性即可比较出大小．【解答】解：a＝f（）＝|ln，b＝f（|＝ln3，∵函数y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，∴ln3＜ln2＜ln5，即c＜b＜a，故选：D．【点评】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，是基础题．6．（5分）要得到函数y＝cos（3x+）的图象，需将函数y＝cos3x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝cos3x的图象，向左平移，可得函数y＝cos（3x+）的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin2x的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当＜x＜π时，f（x）＜0，利用排除法进行求解即可．【解答】解：f（﹣x）＝2|﹣x|sin（﹣2x）＝﹣8|x|sin2x＝﹣f（x），函数为奇函数，排除A，B，当＜x＜π时，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的对称性以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．8．（5分）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林•梅森曾对“2P﹣1”（p是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“2P﹣1”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为M＝2127﹣1，第14个梅森素数为N＝2607﹣1，则下列各数中与最接近的数为（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．10140B．10142C．10141D．10146【分析】由题意可知＝≈2480，两边同时取常用对数，再利用对数的运算性质即可求出结果．【解答】解：＝≈2480，令8480＝k，两边同时取常用对数得：lg2480＝lgk，∴lgk＝480lg2≈144.48，∴k＝10144.48，∴与最接近的数为10142，故选：B．【点评】本题主要考查了对数的运算性质在实际问题中的应用，是基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）若函数f（x）＝﹣x2+2ax（a∈Z）在区间[0，1]上单调递增，4]上单调递减，则a 的取值为（）A．4B．3C．2D．1【分析】由已知可得函数是开口向下，对称轴为x＝a的二次函数，则根据二次函数求单调性的方法即可求解．【解答】解：函数f（x）＝﹣x2+2ax是开口向下，对称轴为x＝a的二次函数，因为函数f（x）＝﹣x4+2ax（a∈Z）在区间[0，7]上单调递增，4]上单调递减，所以1≤a≤6，又a是整数，所以a的可能取值为1，2，7，故选：BCD．【点评】本题考查了二次函数的单调性，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．10．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．＜B．＜C．a+＞b+D．a+＞b+【分析】由不等式的性质可判断选项A，C，利用作差法即可判断选项B，取特殊值即可判断选项D．【解答】解：若a＞b＞0，则＜，故A正确；﹣＝，由a＞b＞0，所以，即＜，故B正确；由A可知a+＞b+；取a＝，b＝＝，b+＝＜b+．故选：ABC．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，常用作差法和特值法解题，属于基础题．11．（5分）下列说法中正确的是（）A．函数y＝sin（x+）是偶函数B．存在实数α，使sinα cosα＝1C．直线x＝是函数y＝sin（2x+）图象的一条对称轴D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ【分析】直接利用正弦型函数的性质，同角三角函数的关系式，象限角的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：函数y＝sin（x+）＝cos x，故A正确；对于B：由于sinα，故sinα和cosα互为倒数2α+cos5α＝1矛盾，故不存在实数α，使cosα＝1；对于C：当x＝时，f（）＝﹣1；对于D：设，，由于α，但是sinβ＞sinα；故选：AC．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，同角三角函数的关系式，象限角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝，下列说法中正确的是（）A．当﹣＜x1＜x2＜时，恒有f（x1）＞f（x2）B．若当x∈（0，m]时，f（x）的最小值为，则m的取值范围为[]C．不存在实数k，使函数F（x）＝f（x）﹣kx有5个不相等的零点D．若关于x的方程[f（x）﹣][f（x）﹣a]＝0所有实数根之和为0，则a＝﹣【分析】直接利用函数的图象和函数的性质的应用，利用函数的图象和函数的零点和方程的根的关系判断A、B、C、D的结论．【解答】解：根据定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，如图所示：对于A：当﹣＜x2＜x2＜时，根据函数的图象f（x1）＞f（x2）不一定成立，故A错误；对于B：要使f（x）的最小值为，令，解得x＝]，故B正确；对于C：令f（x）＝kx，故x2﹣x+1＝kx，整理得x4﹣（k+1）x+1＝8，由于△＝（k+1）2﹣4＞0，解得k＞1或k＜﹣8，还有一个原点，故C正确；对于D：f（x）＝或f（x）＝a或，所以）时，此时所有的根之和，0）时，，故a＝﹣也满足题意；故选：BC．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的零点和方程的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）8+lg2+lg25的值为5．【分析】利用对数的运算性质求解．【解答】解：原式＝+lg2+lg3＝22+3＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．14．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示（）的值为．【分析】结合图象求出A，T，根据f（）＝2，结合φ的范围，求出φ的值，求出f （x）的解析式，求出f（）的值即可．【解答】解：由图象得：A＝2，＝﹣（﹣，故T＝π，故ω＝，由f（）＝2sin（3×，故+φ＝，故f（x）＝4sin（2x﹣），f（﹣）＝8sin＝，故答案为：．【点评】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图求出φ的值，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，对任意x∈R都有f（x+3）（x），当x∈[﹣，0]时，f（x），则f（100）的值为2．【分析】根据题意，分析可得f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），则函数f（x）是周期为6的周期函数，则有f（100）＝f（4）＝﹣f（1）＝f（﹣1），结合函数的解析式可得答案．【解答】解：根据题意，对任意x∈R都有f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+8）＝f（x），则函数f（x）是周期为6的周期函数，则f（100）＝f（4+6×16）＝f（4）＝﹣f（1）＝f（﹣1），当x∈[﹣，0]时，则f（﹣1）＝﹣5，故f（100）＝f（4）＝﹣f（1）＝f（﹣1）＝2，故答案为：6．【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性与周期性，属于基础题．16．（5分）设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，都有x+k∈D，且f（x+k）（x）恒成立，则称函数f（x）（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x），若f（x）为R上的“2021型增函数”（﹣∞，）．【分析】利用奇函数的性质可得f（x）的解析式，再利用新定义对x分类讨论和绝对值的意义即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0．设x＜0，则﹣x＞5，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣|x+a|+2a．∴f（x）＝，①当x＞0时，由f（x+2021）＞f（x），可得|x+2021﹣a|﹣5a＞|x﹣a|﹣2a，化为|x﹣（a﹣2021）|＞|x﹣a|，由绝对值的几何意义可得a+a﹣2021＜0，解得a＜；②当x＜0时，由f（2021+x）＞f（x），分为以下两类研究：当x+2021＜0时，可得﹣|x+2021﹣a|+8a＞﹣|x﹣a|+2a，化为|x+2021﹣a|＜|x﹣a|，由绝对值的几何意义可得﹣a﹣a﹣2021＞0，解得a＜﹣．当x+2021＞0，|x+2021﹣a|﹣2a＞﹣|x+a|+5a，化为|x+2021﹣a|+|x+a|≥|2021﹣2a|＞4a，a≤4时成立；当a＞0时，因此可得a＜．③当x＝0时，由f（2021）＞f（0）可得|2021﹣a|﹣2a＞8，当a≤0时成立，当a＞0时．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查了奇函数的性质、新定义、分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能方法，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}．（1）求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若C＝{x|m﹣1＜x＜m+1}，B∩C≠∅，求实数m的取值范围．【分析】（1）可求出B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，然后进行并集、补集和交集的运算即可；（2）根据B∩C≠∅可得出m﹣1＜﹣1或m+1＞4，然后解出m的范围即可．【解答】解：（1）∵A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣7或x＞4}，∴A∪B＝{x|x＜2或x＞5}，∁R B＝{x|﹣1≤x≤4}，A∩（∁R B）＝{x|﹣7≤x＜2}；（2）∵B∩C≠∅，∴m﹣1＜﹣6或m+1＞4，解得m＜8或m＞3，∴m的取值范围为：（﹣∞，0）∪（7．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（12分）在①2sinα＝3sin2α，②cos＝，③tanα＝2，补充在下面问题中，并解决问题．已知α∈（0，），β∈（0，），cos（α+β），____，求cosβ．【分析】选择条件①，2sinα＝3sin2α．利用二倍角公式求出cosα，再利用同角的三角函数关系求出sinα、α+β的值，由β＝（α+β）﹣α计算cosβ的值．选择条件②：cos＝，利用二倍角公式求出cosα的值，以下解法同条件①．选择条件③：由tanα＝2，利用同角的三角函数关系求出sinα、cosα，以下解法同条件①．【解答】解：选择条件①，2sinα＝3sin2α．得sinα＝3sinαcosα，因为α∈（0，），所以sinα＞0；所以sinα＝＝＝；由于α∈（0，），β∈（6，），π），所以sin（α+β）＝＝＝；所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．选择条件②：cos＝，cosα＝2cos2﹣1＝2×﹣2＝．选择条件③：因为α∈6（0，），所以sinα＞2；由tanα＝2，可得，cosα＝；以下解法同条件①．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用问题，也考查了计算能力和转化思想，是中档题．19．（12分）设函数f（x）＝cos x•cos（x﹣）+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[]时，求函数f（x）【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x﹣），利用正弦函数的周期公式可求f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间；（2）由已知可求2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x•cos（x﹣）+3x﹣＝cos x（cos x+（3﹣cos2x）﹣＝sin x cos x﹣5x+＝sin2x﹣＝sin（2x﹣），所以f（x）的最小正周期是T＝＝π，由﹣+8kπ≤2x﹣≤，k∈Z+kπ≤x≤，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[﹣+kπ，，k∈Z．（2）当x∈[]时∈[﹣，]，此时sin（2x﹣）∈[﹣，可得f（x）∈[﹣，]，综上，f（x）最大值为．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．20．（12分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每万台的销售收入为R（x）万元（x）＝．（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）分0＜x≤20和x＞20两种情况，由利润＝销售收入﹣成本，知S＝xR（x）﹣（380x+150），再代入R（x）的解析式，进行化简整理即可；（2）当0＜x≤20时，利用配方法求出S的最大值，当x＞20时，利用基本不等式求出S 的最大值，比较两个最大值后，取较大者，即可．【解答】解：（1）当0＜x≤20时，S＝xR（x）﹣（380x+150）＝500x﹣2x3﹣380x﹣150＝﹣2x2+120x﹣150，当x＞20时，S＝xR（x）﹣（380x+150）＝370x+2140﹣﹣380x﹣150＝﹣10x﹣，∴函数S的解析式为S＝．（2）当5＜x≤20时，S＝﹣2x2+120x﹣150＝﹣6（x﹣30）2+1650，∴函数S在（0，20]上单调递增，∴当x＝20时，S取得最大值，当x＞20时，S＝﹣10x﹣）+1990≤﹣7+1990＝﹣500+1990＝1490，当且仅当10x＝，即x＝25时，此时S取得最大值，∵1490＞1450，∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大．【点评】本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣（2b﹣6＜x＜b）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）是区间（2b﹣6，b）上的减函数；（3）若f（m﹣2）+f（2m+1）＞0【分析】（1）由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x）可求得a值，由定义域关于原点对称可求得b值；（2）利用函数单调性的定义即可证明；（3）利用函数的奇偶性与单调性列不等式组，即可求得m的取值范围．【解答】（1）解：函数f（x）＝1﹣（2b﹣8＜x＜b）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即1﹣，整理得（a﹣2）（2x+1）＝0，所以a＝7，因为b﹣6+b＝0，解得b＝8，所以a＝2，b＝2．（2）证明：由（1）得f（x）＝4﹣＝，x∈（﹣2，设任意x6，x2∈（﹣2，7）1＜x2，则f（x6）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（5﹣，因为x4＜x2，所以＜，所以﹣，而+3＞0，，所以＞4，所以f（x1）﹣f（x2）＞7，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）是区间（4b﹣6，b）上的减函数．（3）解：f（m﹣2）+f（5m+1）＞0，所以f（m﹣2）＞﹣f（2m+1），因为函数f（x）是奇函数，所以f（m﹣3）＞f（﹣2m﹣1），因为函数f（x）是区间（﹣7，2）上的减函数，所以，解得7＜m＜，所以实数m的取值范围是（6，）．【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣x，若g（lnx），e2]恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，结合二次函数的性质建立关系式，解之即可；（2）g（lnx）≤0对任意的x∈[e，e2]恒成立等价于0≤m（lnx）2﹣mlnx+2≤2（lnx）2在x∈[e，e2]恒成立，然后利用换元法进行参变量分离，从而可求出所求．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，即mx2﹣mx+2≥2在R上恒成立，当m＝0时，2≥4恒成立，当m≠0时，即得0＜m≤3，综上，实数m的取值范围是[0．（2）因为g（x）＝f（x）﹣x＝﹣x，所以g（lnx）≤5对任意的x∈[e，e2]恒成立等价于0≤m（lnx）4﹣mlnx+2≤2（lnx）3在x∈[e，e2]恒成立，即（*）在x∈[e，e2]恒成立，设t＝lnx，因为x∈[e，e2]，所以t∈[1，不等式组（*）化为，t∈[1，t2﹣t≥3（当且仅当t＝1时取等号），（i）当t＝1时，不等式组成立，（ii）当t∈（3，2]时，恒成立，因为，所以m≥﹣3，因为在t∈（3，所以，综上，实数m的取值范围时[﹣1．【点评】本题主要考查了函数恒成立求参数的问题，解决这一类问题的关键是参变量分类法，同时考查了利用函数的单调性求最值问题，是中档题．。
济南市高一数学第一学期期末考试试卷(必修1与必修2)及参考答案
绝密★启用并使用完毕前济南市高一数学第一学期期末考试试卷（必修1与必修2）（2018.1.10）说明：本试卷为发展卷，采用长卷出题、自主选择、分层计分的方式，试卷满分150分，考生每一大题的题目都要有所选择，至少选作120分的题目，多选不限。
试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页。
考试时间120分钟。
温馨提示：生命的意义在于不断迎接挑战，做完120分基础题再挑战一下发展题吧，你一定能够成功！第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本题包括15个小题，每题4分，其中基础题48分，发展题12分。
每题只有一个选项符合题意）1．若全集{}1,2,3,4U=，集合{}{}Μ=1,2,Ν=2,3，则()UC M N =（）A．{}1,2,3B.{}2C.{}1,3,4D.{}42．有以下六个关系式：①{}a⊆φ②{}aa⊆③{}{}aa⊆④{}{}b aa,∈⑤{}c b aa,,∈⑥{}b a,∈φ，其中正确的是（）A.①②③④B.③⑤⑥C.①④⑤D.①③⑤3．下列函数中，定义域为R的是（）A．y B.2logy x=C.3y x= D.1yx=4．,下列各组函数中表示同一个函数的是（）A.1,y y x== B.2,xy x yx==C.,ln xy x y e==D.2,y x y==5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.3y x= B.1yx=C.3logy x=D.1()2xy=6.函数()23f x x =-的零点为 ( )A.3(,0)2B.3(0,)2 C.32 D.23 7.在同一坐标系中，函数1()f x ax a =+与2()g x ax =的图象可能是 ( )A. B. C. D.8．2132)),a a a +-<11若((则实数的取值范围是22（ ）A.12a <B. 12a >C. 1a <D.1a >9．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ）A ．3ln xB ．3ln 4x +C ．3x eD ．34x e + 10．设20.320.3,2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b << B.．c b a << C ．a b c << D ．a c b << 11．已知平面α和直线,,a b c ，具备下列哪一个条件时//a b （ ） A.//,//a b αα B.,a c b c ⊥⊥ C. ,,//a c c b αα⊥⊥ D ．,a b αα⊥⊥12．某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的俯视图的面积是（ ） A.6 B.8C. 12D ．1613．若过原点的直线l 的倾斜角为3π，则直线l 的方程是（ ）0y +=B. 0x =0y -= D．0x =14．若一个棱长为a 的正方体的各顶点都在半径为R 的球面上，则a 与R 的关系是（ ）A.R a =B.2R a=C. 2R a = D．R =15．某几何体中的线段ＡＢ，在其三视图中对应线段的长分别为２、4、4，则在原几何体中线段AB 的长度为（ ）A.B.主视图 左视图第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔、钢笔或圆珠笔在试题卷上答题，考试结束后将答题卡和第Ⅱ卷一并上交。
山东省济南市高一上学期期末数学试卷
山东省济南市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩（∁UB）=（）A . {4，5}B . {2，3}C . {1}D . {2}2. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 已知函数若则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高三上·潍坊期中) 函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（）A . （0，）B . （，）C . （，）D . （，1）4. （2分）集合{x|x2=1}的子集个数是（）A . 2B . 4C . 6D . 85. （2分） (2016高三上·平罗期中) 已知平面向量，满足 =1， =2，且（ + ）⊥ ，则与的夹角为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·荆门期末) 若一圆弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角弧度数为（）A .B .C .D . 27. （2分）若，则（）A .B .C .D .8. （2分）下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=（x﹣1）2B . y=lg（x+3）C . y=21﹣xD . y=9. （2分）下列命题中正确的是（）A . 第一象限角必是锐角B . 终边相同的角相等C . 相等的角终边必相同D . 不相等的角其终边必不相同10. （2分） (2019高一上·仁寿期中) 已知函数，则方程的根的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，把f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间为（）A . [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B . [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C . [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）D . [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）12. （2分）已知函数满足：，则；当时，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）在△ABC中，若tanA=﹣，则sinA+cosA=________14. （1分） (2019高一上·邵东期中) 已知幂函数的图象过点，则 ________．15. （2分）(2020·杭州模拟) 在中，若， .则=________， =________16. （1分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一上·荆门期中) 已知函数（且）（1）求的定义域，并证明的奇偶性；（2）求关于x的不等式的解集．18. （10分）化简求值（1）化简：（2）求值：．19. （10分）已知函数f（x）=2 sinxcosx+1﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移单位，得到的函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值．20. （15分） (2019高二上·延吉月考) 已知函数是定义在上的奇函数，且 .（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式， .21. （10分）已知函数f（x）=log2（﹣x2﹣2x+8）．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）写出函数f（x）的单调区间．22. （10分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且 .（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，求证： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
山东省济南市高一上学期数学期末考试试卷
山东省济南市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·吉林期中) 已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·六安月考) 已知| | =3，A，B分别在x轴和yp轴上运动，O为原点，，则点P的轨迹方程为（）．A .B .C .D .3. （2分）已知三条直线a,b,c,若a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么直线a和c的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 平行、相交或异面4. （2分）已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R”，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A . a≤－2或a＝1B . a≤－2或1≤a≤2C . a≥1D . －2≤a≤15. （2分） (2016高二上·包头期中) 设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+（a﹣1）2=0，0＜a＜1时原点与圆的位置关系是（）A . 原点在圆上B . 原点在圆外C . 原点在圆内D . 不确定6. （2分） (2017高二上·玉溪期末) 经过直线2x﹣y=0与直线x+y﹣6=0的交点，且与直线2x+y﹣1=0垂直的直线方程是（）A . x﹣2y+6=0B . x﹣2y﹣6=0C . x+2y﹣10=0D . x+2y﹣8=07. （2分）(2017·广州模拟) 如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A .B .C .D . 28. （2分）(2016·上海模拟) 若直线y=k（x﹣2）与曲线有交点，则（）A . k有最大值，最小值-B . k有最大值，最小值C . k有最大值0，最小值-D . k有最大值0，最小值10. （2分） (2018·台州模拟) 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则 ________.12. （1分）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为________.13. （1分） (2015高二上·滨州期末) 已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为________．14. （1分） (2018高二上·合肥期末) 下列四个命题：（1）已知向量是空间的一组基底，则向量也是空间的一组基底；（2）在正方体中，若点在内，且，则的值为1；（3）圆上到直线的距离等于1的点有2个；（4）方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.三、解答题 (共5题；共36分)15. （10分）设直线l1：（a﹣1）x﹣4y=1，l2：（a+1）x+3y=2，l3：x﹣2y=3．（1）若直线l1的倾斜角为135°，求实数a的值；（2）若l2∥l3，求实数a的值．16. （1分）若点P（﹣1，）在圆x2+y2=m2上，则实数m=________．17. （15分） (2018高二上·苏州月考) 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P—ABCD的体积．18. （5分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E、F、H分别为AD、CD、DD1的中点，EF与BD交于点G．（1）证明：平面ACD1⊥平面BB1D；（2）证明：GH∥平面ACD1 ．19. （5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）设△AOB 的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共36分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、。
山东省济南市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
山东省济南市2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1A =-,{}0,1,2B =,则A B =( )A. {}0B. {}1C. {}0,1D.1,0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}1,0,1A =-,{}0,1,2B =,故{}0,1A B =.故选：C【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题. 2.命题“()0,,e 1xx x ∀∈+∞+”的否定是( )A. ()0,,e1xx x ∃∈+∞+B. ()0,,e 1xx x ∀∈+∞<+C. ()0,,e 1xx x ∃∈+∞<+D. (],0,e1xx x ∀∈-∞+【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题判定即可. 【详解】命题“()0,,e1xx x ∀∈+∞+”的否定是“()0,,e 1x x x ∃∈+∞<+”.故选：C【点睛】本题主要考查了全称命题的否定,属于基础题. 3.函数()2lg 23y x x =--的定义域为( ) A. ()1,3-B. ()3,1-C. ()(),31,-∞-⋃+∞D. ()(),13,-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据对数中真数大于0求解即可.【详解】由题,2230x x -->,即()()310x x -+>,解得3x >或1x <-. 故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域,属于基础题. 4.为了得到函数sin(2)4y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）A. 向左平移4π个单位长度 B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移8π个单位长度 D. 向右平移8π个单位长度 【答案】D 【解析】sin 2sin 248x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可知，为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象向右平移8π个单位长度. 本题选择D 选项.5.方程2log 5x x =-的解所在的区间是( ) A. ()1,2 B. ()2,3 C. ()3,4 D. ()4,5【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判定即可. 【详解】设2()log 5f x x x =+-，202(2)log 252f =+-=-<，204(4)log 451f =+-=>根据零点存在性定理可知方程2log 5x x =-的解所在的区间是()3,4. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题. 6.函数2()1xf x x =+ 的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性与当0x >时的正负判定即可. 【详解】因为()22()()11xxf x f x x x --==-=-+-+.故()f x 为奇函数,排除CD. 又当0x >时, 2()01xf x x =>+,排除B. 故选：A【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式判断函数图像的问题,需要判断奇偶性与函数的正负解决,属于基础题. 7.已知123a -=21log 3b =,121log 3c =,则( ) A. b a c <<B. b c a <<C. c b a <<D.a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】判断各式与0,1的大小即可. 【详解】()()120,3013,a -=∈=,221log log 103b =<=,1221log log 313c ==>。
2023-2024学年山东省济南市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省济南市高一上册期末数学试题一、单选题1．若{}|24xA x =<，{}|13B x x =∈-<<N ，则A B = （）A ．{}|12x x -<<B ．{}01，C ．{}1D ．{}|13x x -<<【正确答案】B【分析】解不等式求出集合A ，列举法写出集合B ，由交集的定义求A B ⋂即可.【详解】由24x <，得2x <，所以{}|2A x x =<,又{}0,1,2B =所以{}01A B ，⋂=故选B ．2．化简sin 600︒的值是（）A ．12B ．12-C D ．【正确答案】D【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可.【详解】()()sin 600sin 720120sin 120sin120︒=-︒=-︒=-︒=故选：D3．命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是（）A ．20,0x x x ∃>-≤B ．20,0x x x ∃>->C ．20,0x x x ∀>->D ．20,0x x x ∀≤->【正确答案】B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定为：“20,0x x x ∃>->”.故选：B.4．函数()3e 2xf x x =+-（e 2.7183≈）的零点所在的区间为（）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【正确答案】B【分析】利用零点存在定理进行逐一验证.【详解】因为()3e 2xf x x =+-，所以()131551=10e 2e 221f =--<---<，()031e 0=0220f =+--<，1311102212f ⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，()31e+1=e 0212f =-->，()223e +2=e 02221f =-+>则()10()02f f ⋅<，即函数()3e 2xf x x =+-的零点所在的区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.5．已知 2.112ln2,,lne 3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c>>【正确答案】D【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可【详解】因为 2.1112ln1<ln2ln e,,ln ln1e e 3-⎛⎫⎛⎫<>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以() 2.112ln20,1,1,ln0e 3a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭所以b a c >>.故选：D6．已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 3θ=，则πsin 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．79B ．79-C ．9D ．9-【正确答案】A【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得.【详解】π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3θ=，2π27sin 2cos212sin 1299θθθ⎛⎫∴+==-=-= ⎪⎝⎭.故选：A.7．已知函数()22,1,23,1x x f x x ax a x -+<⎧=⎨-+-⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围为（）A ．[]2,1-B ．()2,1-C ．[)2,-+∞D ．(),2-∞-【正确答案】A【分析】由已知可得关于a 的不等式组，求解得答案．【详解】当1x <时，()2f x x =-+单调递减，且()()1,f x ∈+∞当1x 时，()223f x x ax a =-+-单调递减，则1a ，因为函数()22,1, 23,1x x f x x ax a x -+<⎧=⎨-+-⎩在R 上单调递减，所以11123a a a ⎧⎨-+-⎩，解得21a -，故a 的取值范围为[]2,1-．故选：A ．8．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（）A ．43B C ．45D ．45【正确答案】A【分析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，根据已知可得()222cos sin 14a a αα-=，由同角三角函数关系化简得23tan 8tan 30αα-+=，结合角的范围求tan α.【详解】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=，即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=，解得4tan 3α=或4tan 3α+=.因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故4tan 3α=.故选：A 二、多选题9．如果幂函数()22233mm y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（）A ．0B ．2C ．1D ．无解【正确答案】BC【分析】利用已知条件可得出关于实数m 的等式与不等式，由此可解得实数m 的值.【详解】由已知可得2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得1m =或2.故选：BC.10．若0a >，0b >，则下列不等式恒成立的是A ．21a a +>B ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D ．296a a+>【正确答案】ABC根据基本不等式分别判断选项.【详解】A.根据基本不等式可知0a >时，212a a a +≥>，即212a a +>，所以A 正确；B.当0,0a b >>时，12a a +≥=，当1a =时等号成立，12b b +≥=，当1b =时等号成立，所以当114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当1,1a b ==时等号成立，故B 正确；C.()1111224b a a b a b a b ⎛⎫++=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当a b =时等号成立，故C 正确；D.296a a +≥=，当29a =时等号成立，又因为0a >，所以3a =等号成立，即296a a +≥，故D 不正确.故选：ABC本题考查基本不等式，重点考查公式的理解和简单应用，属于基础题型.11．已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点【正确答案】AC【分析】作出()f x 的图像如图所示，B 可直接由图像或二次函数单调性判断；AC 零点及交点问题均可以通过()y f x =与y m =交点个数判断；D 通过图像或者联立方程求解即可判断.【详解】当0,x ≤()22211y x x x =--=++-，故()221,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩的图像如图所示，对AC ，函数()()g x f x m =-有3个零点，相当于()y f x =与y m =有3个交点，故m 的取值范围是()0,1，直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点，AC 对；对B ，函数()f x 在(),0∞-上先增后减，B 错；对D ，如图所示，联立222y x y x x =+⎧⎨=--⎩可得解得20x y =-⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，由图右侧一定有一个交点，故函数()f x 的图象与直线2y x =+不止一个公共点，D 错.故选：AC12．已知函数()()ππsin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，则（）A ．函数()f x 在ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦上为减函数B ．函数π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数C ．由()()1212f x f x ==可得12x x -是π的整数倍D ．函数()f x 在区间()0,10π上有19个零点【正确答案】AB【分析】由函数的对称性求出ϕ的值，从而可得()f x 的解析式．对于A ，由三角函数的性质即可判断；对于B ，化简co 2πs 3f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可判断；对于C ，当1π6x =，2π2x =时，即可得出判断；对于D ，令()0f x =，则π2π,Z 6x k k -=∈，由题意解得112066k -<<-，由此即可判断．【详解】因为函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，Z k ∈，可得,Z 6k k ϕπ=π-∈，又ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=-，所以π()sin(2)6f x x =-．对于A ，当ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2ππ5π,626x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质知()f x 是减函数，故A 正确；对于B ，πsin 2sin 6ππ2cos232π3f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦是偶函数，故B 正确；对于C ，当1π6x =，2π2x =时，121()()2f x f x ==，但12π3x x -=-不是π的整数倍，故C 错误；对于D ，令π()sin(2)06f x x =-=，则π2π,Z 6x k k -=∈，即ππ,Z 122k x k =+∈，由ππ010π122k <+<，解得112066k -<<-，因为Z k ∈，所以0,1,2,,18,19k =L ，因此()f x 在区间()0,10π上有20个零点，故D 错误，故选：AB ．三、填空题13．当0a >且1a ≠时，函数24x y a -=+的图象一定经过定点___________【正确答案】()2,5【分析】令20x -=可求出定点.【详解】令20x -=，可得当2x =时，5y =，所以图象一定经过定点()2,5.故答案为.()2,514．tan 70tan 50tan 50tan 70+= ______.【正确答案】【分析】根据tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70+=-⋅，化简整理，即可得出结果.【详解】因为tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70+=-⋅，所以()tan 70tan 50tan1201tan 50tan 7050tan 70+=-⋅=⋅，∴原式50tan 70tan 50tan 70=⋅⋅= .故答案为本题主要考查三角恒等变换，熟记两角和与差的正切公式即可，属于常考题型.15．已知扇形的半径为2，面积为43π，则扇形的圆心角的弧度数为_______.【正确答案】23π【分析】根据扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α212234S απ=⋅=扇形,解得23απ=故答案为23π本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.16．若函数()()2lg 21f x x ax a =-++在区间(],1-∞上递减，则a 的取值范围是______．【正确答案】[)1,2【分析】令221u x ax a =-++，则lg f u u =（），结合2210x ax a -++>及复合函数单调性得解．【详解】令221u x ax a =-++，则lg f u u =（），函数221u x ax a =-++的对称轴为x a =，如图所示：若函数()()2lg 21f x x ax a =-++在区间(],1-∞上递减，只需221u x ax a =-++在区间]1∞（-，上单调递减，由图象可知，当对称轴1a ≥时，221u x ax a =-++在区间]1∞（-，上单调递减，又真数2210x ax a -++>，且221u x ax a =-++在]1∞（-，上单调递减，故只需当1x =时，2210x ax a -++>，代入1x =解得2a <，所以a 的取值范围是[1，2）故答案为.[)1,2四、解答题17．（1）计算：1213lg15lg 42-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）已知4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+，求tan α的值．【正确答案】（1）1（2）2【分析】（1）利用指数、对数的运算及其运算性质计算求解.（2）4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+分子分母同时除以cos α，把弦化切进行求解.【详解】（1）原式=()121233122lg 1523-⨯⨯⎛⎫⎛⎫+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()1112lg102-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=221-+=1（2）因为4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+，且cos 0α≠，所以分子分母同除以cos α有：4cos sin 4tan 13sin 2cos 3tan 24αααααα--==++，即3tan 2164tan αα+=-，7tan 14α=解得tan 2α=.18．已知0,022ππαβ<<<<，且3cos ,cos()510ααβ=+=.(1)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求β的值.【正确答案】(1)50；(2)4πβ=.【分析】（1）由同角平方关系可得4sin 5α=，再由二倍角正余弦公式有7cos 225α=-、24sin 225α=，最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得sin()αβ+=，根据()βαβα=+-，结合差角余弦公式求出β对应三角函数值，由角的范围确定角的大小.【详解】（1）由02πα<<，3cos 5α=，则4sin 5α=，所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==，而17sin 22cos 2)425αααπ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭.（2）由题设0αβ<+<π，而cos()αβ+=sin()10αβ+=，而cos cos[()]cos()cos 3sin (410510)si 5n βαβααβααβα-+=+-=++⨯+=2=.又02βπ<<，则4πβ=.19．已知关于x 的不等式()233log 2log 30x x --≤的解集为M .（1）求集合M ；（2）若x M ∈，求函数()()33log 3log 81x f x x ⎛⎫=⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭的最值．【正确答案】（1）1,273⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()min 254f x =-，()max 0f x =.【分析】（1）由()233log 2log 30x x --≤得31log 3x -≤≤，可解出实数x 的范围，即可得出集合M ；（2）换元3log t x =，可得出13t -≤≤，则()()()14f x t t =+-，问题转化为求二次函数()()14y t t =+-在[]1,3t ∈-上的最值问题，然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】（1）由()233log 2log 30x x --≤，得31log 3x -≤≤，解的1273x ≤≤，因此，1,273M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）()()()()()23333log log 3log log 811434f x x x t t t t =+-=+-=--Q ，1,273x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，则[]3log 1,3t x =∈-，二次函数223253424y t t t ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭，当32t =时，()min min 254f x y ==-，又当1t =-时，0y =，当3t =时，4y =-，()max 0f x ∴=.因此，函数()y f x =在区间M 上的最大值为0，最小值为254-.本题考查对数不等式的求解，同时也考查了对数型函数的最值问题，解题的关键就是利用换元法将对数型函数的最值问题转化为二次函数的最值问题来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.20．已知函数()9π3π19πsin 2sin 246f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)()0,πx ∈，求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()2f x ≤的解集.【正确答案】(1)单增区间是3π7π,88⎡⎤⎢⎣⎦，单减区间是3π7π0,,,π88⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；(2)π17ππ,π,Z 2424k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用诱导公式及三角函数恒等变换可得()π24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据余弦函数的图象和性质即得.【详解】（1）因为()9π3π19πsin 2sin 246f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122x x x ⎛⎫⎛⎫=-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos 2cos 1x x x =-+-cos 2sin 2x x=-π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2ππ22π2π,Z 4k x k k +≤+≤+∈，得37,Z 88k x k k πππ+≤≤π+∈，令π2π22ππ,Z 4k x k k ≤+≤+∈，得3,Z 88k x k k πππ-≤≤π+∈，故函数()f x 的递调递增区间为37,,Z 88k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为3,,Z 88k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎣⎦，又()0,πx ∈，所以函数()f x 的单增区间是3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单减区间是3π7π0,,,π88⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）由()π242f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，可得π1cos 242x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π22π,Z 343k x k k +≤+≤+∈，即π17πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈，所以不等式的解集是π17ππ,π,Z 2424k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.21．某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）(1)分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数；(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【正确答案】(1)1()(0)4f x x x =≥，()0)g x x =≥(2)6.25万元，4.0625万元【分析】（1）设()()0f x kx x =≥，()0)g x x =≥，代入点的坐标，求出解析式；（2）设B 产品的投资额为x 万元，创业团队获得的利润为y 万元，列出1(10)(010)4y x x =+-≤≤，换元后，配方得到 6.25x =时，y 取得最大值4.0625.【详解】（1）因为A 产品的利润与投资额成正比，故设()()0f x kx x =≥，将()1,0.25代入，解得：14k =，故1()(0)4f x x x =≥，因为B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设()0)g x x =≥，将()4,2.5 2.5=，解得：54m =，故()0)g x x =≥；（2）设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为()10x -万元，创业团队获得的利润为y 万元，则1()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+-=-≤≤.(0t t =≤≤，可得2155(0442y t t t =-++≤≤，即21565(04216y t t ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭.当52t =，即 6.25x =时，y 取得最大值4.0625.答：当B 产品的投资额为6.25万元时，生产A ，B 两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元.22．已知函数()()2,R x b f x a b x a +=∈+是定义在[]1,1-上的奇函数且()112f =(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 的单调性；并利用单调性定义证明你的结论；(3)设()()12g x f x =-+，当121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()21112100g mx x g x f x -+->成立，试求实数m 的所有可能取值.【正确答案】(1)()21xf x x =+(2)函数()f x 在[]1,1-上增函数，证明见解析(3)25<≤m .【分析】（1）利用题给条件列出关于a 、b 的方程，解之即可求得a 、b 的值，进而得到函数()f x 的解析式；（2）利用函数单调性定义去证明函数()f x 在[]1,1-上为增函数；（3）利用函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，构造关于实数m 的不等式，解之即可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）由()f x 在[]1,1-上的奇函数，所以()00b f a ==，则0b =，则()2x f x x a =+由()11112f a ==+，得1a =，所以()21x f x x =+.经检验符合题意；（2）函数()f x 在[]1,1-上增函数，证明如下：设[]12,1,1x x ∀∈∈-，且12x x <，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，又12x x <，所以120x x -<，因为[]12,1,1x x ∈-，所以1210x x ->，所以()()()()121222121011x x x x x x --<++，则()()12f x f x <，故函数()f x 在[]1,1-上增函数；（3）121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()21112100g mx x g x f x -+->成立，即121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()21112111040f mx x f x f x --+--+>成立，即()()()2111211104f mx x f x f x --+->-，∵()2min 1225f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()211121110405f mx x f x --+->⨯-=成立，11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()211111f mx x f x -->-，即11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，211111mx x x -->-且1111mx x -≤--≤1，即11min 21m x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭且1max 211m x ⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭，当11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，11min 212x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，1max 215x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即m>2且15m ≤≤，解得.25<≤m。
山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题含答案
济南市2024年高一学情检测数学试题（答案在最后）本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为（）A.71.17910⨯B.81.17910⨯C.611.7910⨯ D.80.117910⨯【答案】A【解析】【分析】由科学记数法要求可得.【详解】711790000 1.17910=⨯，故选：A .2.下列运算正确的是（）A.232a a a -=B.222()a b a b +=+C.322a b a a÷= D.2224()a b a b =【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用幂的运算法则判断D.【详解】对于A ，()233a a a a -=-，A 错误；对于B ，()2222a b a ab b +=++，B 错误；对于C ，3222a b a ab ÷=，C 错误；对于D ，2222242()()a b a b a b ==，D 正确.故选：D3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（）A.160，162B.158，162C.160，160D.158，160【答案】D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义易得.【详解】因在156，158，158，160，162，165，169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是158；根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.故选：D.4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三视图的相关概念分析即可.【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在左侧，故A 正确.故选：A5.已知点()13,A y -，()2,3B -，()21,C y -，()32,D y 都在反比例函数k y x=0k ≠）的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.213y y y << B.312y y y <<C.231y y y << D.132y y y <<【答案】B【解析】【分析】首先代入点B 的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断.【详解】将点()2,3B -代入反比例函数32k =-，得6k =-，即反比例函数的解析式是6y x -=，将点,,A C D 的坐标代入函数解析式，得12y =，26y =，33y =-，即312y y y <<.故选：B6.如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E ，F ，则PE PF +的值为（）A.125 B.245 C.5 D.285【答案】B【解析】【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且相互平分求出,OA OD ，然后根据AOD AOP DOP S S S =+△△△列式求解即可.【详解】如图，连接OP ，四边形ABCD 为矩形，6AB =，8AD =，10BD ∴===，11052OA OD ∴==⨯=，AOD AOP DOP S S S =+ ，11112222AD AB AO PE OD PF ∴⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，111168552222PE PF ∴⨯⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，解得245PE PF +=，故选：B.7.如图，在ABCD 中，2AB =，3AD =，60ABC ∠= ，在AB 和AD 上分别截取()AE AE AB <，AF ，使AE AF =，分别以,E F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在DAB ∠内交于点G ，作射线AG 交BC 于点H ，连接DH ，分别以,D H 为圆心，以大于12DH 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交CD 于点K ，则CK 的长为（）A.34 B.23 C.35 D.12【答案】C【解析】【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相似三角形的判定与性质计算即可.【详解】如图所示，设直线MN 分别交直线,,BC AD HD 于,,P Q S ，作HR AD ⊥，垂足为R ，根据题意易知,AG MN 分别为BAD ∠的角平分线，线段DH 的垂直平分线，所以60BAH ABC ∠=∠= ，所以ABH 为正三角形，则2,1,2,AH BH AR CH DR HR ======，所以2DH SD ==，而3tan 2QS ADH SD ∠==，则217,44QS DQ ==，易证HSP DSQ ≅ ，故73,44DQ HP CP HP CH ===-=，易知CKP DKQ ，故372CP CK CK QD KD CK =⇒=-，解之得35CK =.故选：C 8.如图，抛物线24y x x =-+，顶点为A ，抛物线与x 轴正半轴的交点为B ，连接AB ，C 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），过点C 作//CD AB 交y 轴于点D ，连接AD 交抛物线于点E ，连接OE 交CD 于点F ，若34DOF DEF S S =△△，则点C 的横坐标为（）A.43 B.65 C.76 D.87【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出点,A B 坐标，设点0(,0)C x 并表示点,,D E F 的坐标，再利用三角形面积关系列式计算即得.【详解】抛物线2(2)4y x =--+的顶点(2,4)A ，由0,0y x =>，得4x =，即点(4,0)B ，设直线AB 方程为y kx b =+，由4204k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得2,8k b =-=，则直线:28AB y x =-+，设点00(,0),04C x x <<，由//CD AB ，设直线CD 方程为2y x c =-+，由0x x =，得02c x =，由0x =，得02y c x ==，即点0(0,2)D x ，直线0:22CD y x x =-+，设直线AD 的方程为y mx n =+，则0242x n m n=⎧⎨=+⎩，解得002,2m x n x =-=，即直线00:(2)2AD y x x x =-+，由002(2)24y x x x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，解得02004x x y x x =⎧⎨=-+⎩，即点2000(,4)E x x x -+，显然DOE DOC S S = ，由34DOF DEF S S =△△，得37DOF DOE S S = ，则37DOF DOC S S = ，因此点0038(,)77F x x ，由37DOF DOE S S = ，得||3||7OF OE =，因此020083747x x x =-+，解得043x =，所以点C 的横坐标为43.故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y （km ）与时间x （h ）的关系，则（）A.小明家与图书馆的距离为2kmB.小明的匀速步行速度是3km/hC.小明在图书馆查阅资料的时间为1.5hD.小明与小亮交谈的时间为0.4h【答案】AD【解析】【分析】由图象可判断A 选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B 选项；通过计算点C 到D 所需的时间，可判断C 选项；通过计算点E 到F 所需的时间，可判断D 选项.【详解】对于A ：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km ，故A 正确；对于B ：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，所以小明的匀速步行速度是()24km /h 0.5=，故B 错误；对于C ：小明返回的路上走()20.8 1.2km -=后遇到小亮，则走1.2km 所需的时间为()1.20.3h 4=，所以小明在图书馆查阅资料的时间为()2.60.50.3 1.8h --=，故C 错误；对于D ：走0.8km 所需的时间为()0.80.2h 4=，所以小明与小亮交谈的时间为()3.2 2.60.20.4h --=，故D 正确.故选：AD.10.如图，点B 在线段AD 上，分别以线段AB 和线段BD 为边在线段AD 的同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ，连接AE ，AE 与BC 相交于点G ，连接CD ，CD 与AE ，BE 分别相交于点F ，H ，连接BF ，GH ，则（）A.//GH ADB.FB 平分GFH ∠C.GE BD= D.ABE CBD≅△△【答案】ABD【解析】【分析】结合图形和题设条件，易得ABE CBD ≅△△，可推得D 项；由此得到ABE CBD ∠=∠，可证GBE HBD ≅ ，可得GB HB =，从而得到正三角形BGH ，由60GHB HBD ∠==∠ 易得A 正确；再由全等三角形的对应边上的高相等，易得点B 到AFD ∠的两边距离相等，故得B 项正确；对于C 项，可采用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命题不成立，排除C 项.【详解】因ABC V 和BFD △都是正三角形，故,,60AB BC BE BD ABC EBD ==∠=∠= ，则ABC CBE FBD CBE ∠+∠=∠+∠,即ABE CBD ∠=∠，由AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩可得ABE CBD ≅△△，故D 正确；由ABE CBD ≅△△可得，AEB CDB ∠=∠,因18026060CBE ∠=-⨯= ，由GBE HBD BE BD GEB HDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩可得，GBE HBD ≅ ,则有GB HB =，故BGH V 为正三角形，则60GHB HBD ∠==∠ ,故//GH AD ，即A正确；如图，分别作,BM AE BN CD ⊥⊥,垂足分别是,M N ，由上知，ABE CBD ≅△△，故BM BN =，由角平分线的性质定理，可得FB 平分GFH ∠，故B 正确；对于C 项，假设GE BD =，则GE BE =,故60EGB EBG ∠=∠= ，而在ACG 中，60,60ACG CAG CAB ∠=∠<∠= ,故60CGA EGB ∠=∠>产生矛盾，故假设不成立，即C 错误.故选：ABD .11.如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4BC =，动点D 从点A 开始沿AB 边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E 从点B 开始沿BC 边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE ，F 为DE 中点，连接AF ，CF ，设时间为t （s ），2DE 为y ，y 关于t 的函数图象如图2所示，则（）A.当1t =时， 2.5DE = B.2AB =C.DE 有最小值，最小值为2 D.AF CF +【答案】BD【解析】【分析】设AB a =，列出y 关于t 的函数式，结合图2，列方程求出a 的值，判断B 项，继而代值检验A 项；利用二次函数的图象性质，即可得到DE 的最小值，判断C 项；最后通过建系，将AF CF +转化为14+，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值.【详解】设AB a =，则0.5,0.5,0.5AD t BD a t BE t ==-=，则22222(0.5)(0.5)0.5y DE a t t t at a ==-+=-+（*），由图2知，函数220.5y t at a =-+经过点(1,2.5)，整理得，220a a --=，解得2a =或1a =-（舍去），故B 正确；由B 项知，20.524y t t =-+，当1t =时，0.524 2.5y =-+=，即2 2.5DE =,故A 错误；对于C ，由题意易得，04t ≤≤，由220.524=0.5(2)2y t t t =-+-+可得，当2t =时，min 2y =，即DE 故C 错误；对于D ，如图，以点B 为原点,,OA OC 所在直线分别为,x y 轴建立直角坐标系.则(2,0),(0,4),(20.5,0),(0,0.5)A C D t E t -，因F 为DE 中点，故11(1,)44F t t -，于是AF CF +=+14=+结合此式特点，设(,),(4,0),(4,16)P t t M N -,则1()4AF CF PM PN +=+,作出图形如下.作出点(4,0)M -关于直线y x =的对称点1(0,4)M -，连接1M N ,交直线y x =于点P ，则点P 即为使PM PN +取得最小值的点.(理由：可在直线y x =上任取点(,)P t t '''，利用对称性特点，即可证明P M P N PM PN ''+>+,即得)，此时22min 1()4(164)426PM PN M N +==++=即AF CF +的最小值为26.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是()1,3A ，()3,4B -，()2,3C --，()4,3D ，()3,5E -，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______.【答案】25##0.4【解析】【分析】利用概率公式求解即可求得答案.【详解】五个点中在第一象限的点有A 和D 两个，从中任选一个点共有5种等可能的结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是25.故答案为：25.13.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AB =，ABC V 的周长为14，则AB 边上的高为________.【答案】73##123【解析】【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果.【详解】根据题意可设,BC a AC b ==，所以146BC C AB A a b =++++=，可得8a b +=，又90ACB ∠=︒，利用勾股定理可得222226BC AC a b ++==；可得2236a b +=；所以()222228236a b a b ab ab +=+-=-=，即14ab =；设AB 边上的高为h ，由三角形面积可得6ab AB h h =⋅=，解得14763h ==.故答案为：7314.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，6AD =，E 为AD 中点，F 为边CD 上一点，连接EF ，将DEF 沿EF 翻折，点D 的对应点为D ¢，G 为边BC 上一点，连接AG ，将ABG 沿AG 翻折，点B 的对应点恰好也为D ¢，则BG =________.【答案】6-【解析】【分析】过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，利用等积法可求3D S '=，再根据Rt D GU '△可求BG 的长度.【详解】由题设3,4AE D E AD AB ==='='，过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，则2AH HD ='=，则EH ==，故1122AD AE D S '=⨯'，所以3D S '=，故83AS ==，故83BU =，设BG x =，则D G x '=，故222845433x x ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故6x =-故答案为：6-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.先化简再求值：（1）求22111244x x x x x x x ---÷+--+的值，其中3x =；（2）求222x y y x y x y x y---+-的值，其中2x y =.【答案】（1）12（2）43【解析】【分析】（1）先因式分解进行化简，进而代入3x =即可求解；（2）先同分母进行化简并转化x y 的表达式，进而代入2x y=即可求解.【小问1详解】()()()2222111=12441211x x x x x x x x x x x x x x -----÷-⋅+--++--+121x x x x --++=()21x x x --=+21x =+.即3x =代入可得21312=+.【小问2详解】()()()()222222x x y y x y x y y y x y x y x y x y x y x y +----=--+--+-22222x xy xy y y x y +-+-=-222x x y =-221x y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭.即2x y =代入可得2224213=-.16.某超市销售,A B 两种品牌的牛奶，购买3箱A 种品牌的牛奶和2箱B 种品牌的牛奶共需285元；购买2箱A 种品牌的牛奶和5箱B 种品牌的牛奶共需410元.（1）求A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买,A B 两种品牌的牛奶共20箱，且A 种品牌牛奶的数量至少比B 种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B 种品牌牛奶的3倍，购买,A B 两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？【答案】（1）A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.（2）最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.【解析】【分析】（1）设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，根据题设列方程组后可求各自的单价；（2）购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买总费用12005C a =-，由题设条件可得a 可为13,14,15中的某个数，故可求最小费用及相应的箱数.【小问1详解】设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，则3228525410x y x y +=⎧⎨+=⎩，故5560x y =⎧⎨=⎩.故A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.【小问2详解】设购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买B 品牌的牛奶20a -箱，此时总费用()55602012005C a a a =+-=-，而()206320a a a a ≥-+⎧⎨≤-⎩，故1315a ≤≤，而a 为整数，故a 可为13,14,15中的某个数，故C 的最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.17.如图，在O 中，AB 是直径，点C 是O 上一点，9AC =，3BC =，点E 在AB 上，2AE BE =，连接CE 并延长交O 于点D ，连接AD ，AF CD ⊥，垂足为F .（1）求证：ADF ABC △△；（2）求DF 的长.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角可判断90AFD ACB ︒∠=∠=，再利用同弧所对的圆周角相等，可得ADF ABC ∠=∠，从而证明ADF ABC △△；（2）在Rt ABC △中，求出tan 3ABC ∠=，AB =利用tan tan 3ABC ADF ∠=∠=，设DF x =，把Rt ADF 的三边表示出来，再利用CBE ADE 求出103DE x =，最后在Rt AEF 中求出x 的值，也即是DF 的长.【小问1详解】AB 是O 的直径，BC AB ∴⊥，90AFD ACB ︒∴∠=∠=，又ADF ABC ∠=∠ ,ADF ABC ∴ .【小问2详解】在Rt ABC △中，9tan 33AC ABC BC ∠===，AB ==又2AE BE =，则AE =BE =，又ABC ADF ∠=∠，tan tan 3ABC ADF ∴∠=∠=，在Rt ADF 中，设DF x =，则3AF x =，故AD ==，又CEB AED ∠=∠，CBE ADE ∴ ，BC BE DA DE ∴=10DE=，解得103DE x =，10733EF DE DF x x x ∴=-=-=，在Rt AEF 中，222AF EF AE +=，即()(222733x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x =，即DF =.18.已知抛物线223y mx mx =--（0m >），根据以上材料解答下列问题：（1）若该抛物线经过点(3,0)A ，求m 的值；（2）在（1）的条件下，B ，C 为该抛物线上两点，线段BC 的中点为D ，若点(2,1)D ，求直线BC 的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ，则有223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.①-②得：()()()()()2222B C B C B C B C B C B C y y m x x m x x m x x x x m x x -=---=+---，两边同除以()B C x x -，得()2B C B C B Cy y k m x x m x x -==+--……；（3）该抛物线上两点E ，F ，直线EF的表达式为：()2y mx n =+（0n ≥）.(ⅰ).请说明线段EF 的中点在一条定直线1l 上；(ⅱ).将ⅰ中的定直线1l 绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ，当13x <<时，该抛物线与2l 只有一个交点，求m 的取值范围.【答案】（1）1m =（2）23y x =-（3）ⅰ.线段EF的中点在定直线1:2l x =上；ⅱ.1m ≥或12m =或103m <≤.【解析】【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，计算即得m 的值；（2）按照题中的思路先求出2B C k x x =-+，再由线段BC 的中点为(2,1)D 求得k 的值，利用直线BC 经过点(2,1)D 即可求得直线BC 的表达式；（3）(ⅰ)由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y ，利用韦达定理即可得到线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得2:5l y x =-；根据函数223y mx mx =--与2:5l y x =-在13x <<时的图象特点，依题意可得34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解之即得.【小问1详解】因223y mx mx =--经过点(3,0)A ，则9306m m --=，解得，1m =；【小问2详解】1m =时，2223(1)4y x x x =--=--，设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ,则223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.由①-②：222((2))()B C B C B C B C B C y y x x x x x x x x -=---=--+，两边同除以()B C x x -，则2B C B C B Cy y k x x x x -=+--=，因线段BC 的中点为(2,1)D ，则22C B x x +=，即2222k =⨯-=，则2y x b =+，将点(2,1)D 代入解得，3b =-，故直线BC 的表达式为：23y x =-；【小问3详解】（i）由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y，整理得，230mx n ---=，依题意，设(,),(,)E E F F E x y F x y ,EF 的中点为(,)M M M x y ,则E F x x +=22F M E x x x =+=，即线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)如图，将定直线1:2l x =绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ,则点(,0)2A 转到了点1A ,则1522OA OA ==,设点111(,)A x y ，2(,0)B x 则11525525cos45,sin 45,2222x y ===-=-oo 215x ==,即155(,)22A -，(5,0)B ,设2:l y mx n =+，则得，505522m n m n +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得，15m n =⎧⎨=-⎩，即得2:5l y x =-；因抛物线2223(1)3y mx mx m x m =--=---的对称轴为1x =，故该函数在13x <<时，y 随着x 的增大而增大，且1x =时，3y m =--，3x =时，33y m =-，要使抛物线与2:5l y x =-只有一个交点，可分以下种情况讨论：①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解得1m >；②抛物线顶点在直线上，如上图，即1m =时，由2235y x x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得1x =或2x =，因13x <<，故符合题意；③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足13x <<，如上图，由2235y mx mx y x ⎧=--⎨=-⎩消去y ，可得2(21)20mx m x -++=，由2(21)80m m ∆=+-=解得，12m =，代入方程可得2440x x -+=，解得2x =，符合题意；④如上图，抛物线顶点在直线上方，但在13x <<内只有一个交点，须使34332m m -->-⎧⎨-≤-⎩，又0m >，解得103m <≤.综上可得m 的取值范围为：1m ≥或12m =或103m <≤.19.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.（1）如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，2AE AC =，F 是AE 中点，连接BF .若1BC =，求线段BF 的长；（2）如图2，在BCD △中，120BDC ∠=︒，2BD CD =，F 是AB 中点，连接DF ，求BF DF的值；（3）如图3，在CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，连接BD ，DF ，求DF BD的值.【答案】（17（221（3）32【解析】【分析】（1）由90BAF ∠=︒，2AB =，3AF =，可求BF 的长；（2）将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒得FCD '△，证明,,B D D '三点共线，FD BD '⊥，设1CD DD '==，勾股定理求出FD 和BF 即可；（3）将CDE 绕点C 顺时针旋转60︒，得CD B '△，证明,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，//ED FD '，设1CD =，求出BD 和FD 即可.【小问1详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.若1BC =，则2AB =，AC =，如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，由30BAC ∠=︒，得90BAF ∠=︒2AE AC =，F 是AE 中点，则AF AC ==Rt ABF中，BF ==.【小问2详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，F 是AB 中点，连接FC ，则BFC △为等边三角形，如图所示，将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒，得FCD '△，CD CD '=，60DCD '∠=︒，则CDD '△为等边三角形，60CDD '∠=︒，又120BDC ∠=︒，则,,B D D '三点共线，120FD C BDC '∠=∠=︒，60CD D '∠=︒，则60FD D '∠=︒，2BD CD =，则2FD D D ''=，FDD '△中，60FD D '∠=︒，2FD D D ''=，H 为FD '中点，连接DH ，则有DD HD ''=，DHD ' 为等边三角形，DH FH HD '==，60DHD ︒'∠=，30HFD HDF =︒∠=∠，所以FDD '△为直角三角形，FD BD '⊥，不妨设1CD DD '==，则2FD BD '==，223FD FD D D ''=-=227BF FD BD =+=所以72133BF DF ==；【小问3详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，将CDE 绕点C 逆时针旋转60︒，得CD B '△，如图所示，由（2）同理可得CDD '△为等边三角形，,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，由2DE CD =，有2BD D D ''=，又2BE EF =，则有//ED FD '，得FD BD ⊥，不妨设1CD DD CD ''===，则2BD ED '==，3BD =。