离散数学复习题及答案

1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。

答案：2.证明 答案：3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案：4. 写出下列式子的主析取范式： 答案：)()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P)Q (Q)P (Q P ⌝∧⌝∨∧⇔∧∨∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∧∨⌝∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔↔Q Q P P ⇒∨∧⌝)()()(R P Q P ∨∧∧⌝5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →⌝r, s →t, ⌝s →r, ⌝t ⇒ q 答案：①s →t 前提 ②t 前提③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提⑨q ⑦⑧析取三段论I106. 用反证法证明：p →(⌝(r ∧s)→⌝q), p, ⌝s ⇒ ⌝q)()(R P Q P ∨∧∧⌝)()(R P Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))(())(R Q P P Q P ∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝⇔)()()()(R Q R P P Q P P ∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝⇔)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()(P R Q P R Q Q R P ⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)(Q R P ⌝∧∧⌝∨7. 请将下列命题符号化：所有鱼都生活在水中。

答案：令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中))((W(x)F(x)x →∀8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。

答案：令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数Q(x))x)(R(x)(⌝∧∃9. 请将下列命题符号化：尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。

答案：令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为10. 请将下列命题符号化：对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。

答案：令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x11. 请将下列命题符号化：每个人都要参加一些课外活动。

答案：令P(x):x 是人 Q(y): y 是课外活动 S(x,y):x 参加y)))()((())()((x C x M x x C x M x →⌝∀∧∧∃)),()()((y x S y P x P y x →∧∀∀))(),()((y Q y x S x P y x ∧→∃∀12. 请将下列命题符号化：某些人对某些药物过敏。

答案：令P(x):x 是人 Q(y): y 是药 S(x,y):x 对y 过敏13. 求)())()((y yR y Q x P y ∀→→∃的对偶式: 答案：14. 求下列谓词公式的前束范式： 答案：15. 证明：答案：),,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃→∧∃∀∀),,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃∨∧∃∀⌝∀⇔),,()),(),((u y x uQ z y P z x P z y x ∃∨⌝∨⌝∀∃∃⇔),,()),(),((u t s uQ z y P x P y x ∃∨⌝∨⌝∀∃∃⇔ωω)),,(),(),((u t s Q z y P x P u y x ∨⌝∨⌝∃∀∃∃⇔ωω))(),()((y Q y x S x P y x ∧∧∃∃),,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃→∧∃∀∀16. 用反证法证明：⌝∀x(P(x)∧Q(x)) , ∀xP(x) ⇒⌝∀xQ(x)答案：17. 证明：前提：∀x(C(x)→W(x)∧R(x)), ∃x(C(x)∧Q(x)).结论：∃x(Q(x)∧R(x)).答案：⏹(1) ∃x(C(x)∧Q(x)) 前提引入⏹(2) C(a)∧Q(a) (1)ES⏹(3) C(a) (2)化简规则⏹(4) ∀x(C(x)→W(x)∧R(x)) 前提引入⏹(5) C(a)→W(a)∧R(a) (4)US⏹(6) W(a)∧R(a) (3)(5)假言推理⏹(7) R(a) (6)化简规则⏹(8) Q(a) (2)化简规则⏹(9) R(a)∧Q(a) (7)(8)合取引入规则⏹(10) ∃x(Q(x)∧R(x)) (9)EG18. 判断：下列命题是否正确？答案：⏹(1) √⏹(2) ×⏹(3) √⏹(4) √⏹(5) √⏹(6) √⏹(7) √⏹(8) ×19. 列出下列集合的元素⏹(1) {x|x∈N∧∃t(t∈{2,3}∧x=2t)}⏹(2) {x|x∈N∧∃t∃s(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t<x<s)}⏹(3){x|x∈N∧∀t(t整除2→x≠t)}答案：⏹(1) {4,6}⏹(2) {1,2,3}⏹(3) {3,4,5…}20.S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4,5,6,8}B={1,4,5,9}，C={x|x∈Z+, 2≤x≤5}答案：21. 一个学校有507，292，312和344个学生分别选择了A,B,C,D四门课程。

有14人选了A和B，213人选了A和D，211人选了B和C ，43人选了C和D。

没有学生同时选择A和C，也没有学生同时选择B和D。

问共有多少学生在这四门课程中选了课？答案：解：画文氏图280+87+38+88 + 14+211+213+43=97422. 分别求下列集合的幂集(1) Ø (2){Ø} (3){1,{Ø,1}}答案：⏹解:(1) ρ(Ø)={Ø} 空集Ø的幂集的基数为1⏹(2) ρ({Ø})={Ø,{Ø} } 幂集的基数为2⏹(3) ρ({1,{Ø,1}})={Ø,{1},{{Ø,1}},{1,{Ø,1}}}23.A={0,1},B={1,2},C={3,4,5},求A×B, B×A, A×B×C, A2, C2 .答案：⏹A×B={(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)}⏹B×A={(1,0),(2,0),(1,1),(2,1)}⏹A×B×C={ (0,1,3), (0,1,4), (0,1,5), (0,2,3), (0,2,4), (0,2,5), (1,1,3),(1,1,4), (1,1,5), (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5)}⏹A2 ={ (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}⏹C2 ={ (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (4,4),(4,5),(5,3), (5,4),(5,5)}24.⏹ 1. 设A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}},下列选项正确的是（C）⏹ A. 1∈A B. {1,2,3} A C. {{4,5}} A D. Ø∈A⏹ 2. 设A={x|x3 –x=0}, B={x|x2 – 4<0,x∈z},C={x|y=2x-1},D={x|x+y=5, xy=6}则有（A）⏹ A. A=B B. A=C C. C=D D. C=A25. 求关系的定义域和值域：设A = {2，4，6，8}，R 是A 上的小于关系，即当a, b ∈A 且a< b 时，（a, b ）∈R ，求R 及D( R ),C( R )答案：R = {（2，4）,（2，6）,（2，8）,（4，6）,（4，8）,（6，8）}. R 的定义域D( R ) ={2，4，6}， R 的值域C( R ) = {4，6，8}。

26. 设A = {a, b, c, d },求A 上的恒等关系。

答案：I A = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)}。

27. 设A = {1,2,3,4,5}, R 是A 上的小于等于关系, 即当a ≤ b 时, (a, b) ∈R 。

求R 的关系矩阵和关系图。

答案：解:易知A 上的小于等于关系为R = {（1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5), (4,4),(4,5),(5,5)} 其关系矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000011000111001111011111R M28. X={a,b,c}，Y={1,2}，关系R={(a,1),(b,2),(c,1)} S={(a,1),(b,1),(c,1)} 求R ∪S 、R ∩S 和R 的补 答案：29. 设A={1，2，3}，B ={a, b, c, d},C ={x, y, z}，R 是A 到B 的二元关系，R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, c)}，S 是B 到C 的二元关系，S = {(a, x), (b, x), (b, y), (b, z)}。

求复合关系R οS 的关系矩阵. 答案：30.答案：31. 设A = {a,b,c}，R 是A 上的二元关系， R = {(a,a), (b,b), (a,b), (a,c), (c,a)}， 问：R 是自反的吗？是反自反的吗？是对称的吗？是反对称的吗？是可传递的吗？ 答案：⏹ 由于c ∈A ，而(c,c)，所以R 不是自反的。

× ⏹ 由于(a,a)∈R ，(b,b)∈R ，所以R 不是反自反的。

×⏹ 由于(a,b)∈R ，而(b,a)，所以R 不是对称的。

× ⏹ 由于(a,c)∈R ，且(c,a)∈R ，所以R 不是反对称的。

×⏹ 由于(c,a)∈R ，且(a,c)∈R ，但(c,c)，所以R 不是可传递的。

×R ∉R ∉R ∉32.⏹ 设A={1,2,3}，分析A 上的下述5个关系具有哪些性质： ⏹ L={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>} ⏹ N={<1,3>,<2,3>}⏹ S={<1,2>,<2,1>,<1,3>} ⏹ G={<1,1>,<1,2>,<2,3>} 答案：33. 设A = {a, b, c, d}，A 上的关系，R = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, d)} 求r(R)、s(R)、t(R) 答案：34. A={a,b,c}, R={(a,b),(b,c),(c,a)}，求r(R), S(R)和t(R) 答案：c)}(d,b),d),(c,(c,c),(b,a),(b,b),{(a,c)}(d,b),(c,b),(a,a),{(b,d)}(c,c),(b,a),(b,b),{(a,R R S(R)d)}(d,c),b),(c,(b,a),(a,d),(c,c),(b,a),(b,b),{(a,I R r(R)A=====Y Y Y ~234232432R d)}(b,b),(b,c),(a,a),{(a,R R R c)}(b,a),(b,d),(a,b),{(a,R R R d)}(b,b),(b,c),(a,a),{(a,R R R 而R R R R t(R)========οοοY Y Y35. A={1,2,3,4}，R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)},判断R是否是等价的。