离散数学复习题及答案

1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案：

2.证明 答案：

3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案：

4. 写出下列式子的主析取范式： 答案：

)()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔Q)P (Q)(P P)

(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)

Q)P ((Q)Q)P (P)Q (Q)P (Q P ⌝∧⌝∨∧⇔∧∨∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∧∨⌝∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔↔Q Q P P ⇒∨∧⌝)()()(R P Q P ∨∧∧⌝

5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →⌝r, s →t, ⌝s →r, ⌝t ⇒ q 答案：

①s →t 前提 ②t 前提

③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提

⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提

⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提

⑨q ⑦⑧析取三段论I10

6. 用反证法证明：p →(⌝(r ∧s)→⌝q), p, ⌝s ⇒ ⌝q

)

()(R P Q P ∨∧∧⌝)

()(R P Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))(())(R Q P P Q P ∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝⇔)

()()()(R Q R P P Q P P ∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝⇔)

()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)

()()(P R Q P R Q Q R P ⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨)

()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)

(Q R P ⌝∧∧⌝∨

7. 请将下列命题符号化：

所有鱼都生活在水中。

答案：

令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中

))((W(x)F(x)x →∀

8. 请将下列命题符号化：

存在着不是有理数的实数。

答案：

令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数

Q(x))x)(R(x)(⌝∧∃

9. 请将下列命题符号化：

尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。

答案：

令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为

10. 请将下列命题符号化：

对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。

答案：

令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x

11. 请将下列命题符号化：

每个人都要参加一些课外活动。

答案：

令P(x):x 是人 Q(y): y 是课外活动 S(x,y):x 参加y

)))()((())()((x C x M x x C x M x →⌝∀∧∧∃)),()()((y x S y P x P y x →∧∀∀))(),()((y Q y x S x P y x ∧→∃∀

12. 请将下列命题符号化：

某些人对某些药物过敏。

答案：

令P(x):x 是人 Q(y): y 是药 S(x,y):x 对y 过敏

13. 求)())()((y yR y Q x P y ∀→→∃的对偶式: 答案：

14. 求下列谓词公式的前束范式： 答案：

15. 证明：

答案：

)

,,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃→∧∃∀∀)

,,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃∨∧∃∀⌝∀⇔)

,,()),(),((u y x uQ z y P z x P z y x ∃∨⌝∨⌝∀∃∃⇔)

,,()),(),((u t s uQ z y P x P y x ∃∨⌝∨⌝∀∃∃⇔ωω))

,,(),(),((u t s Q z y P x P u y x ∨⌝∨⌝∃∀∃∃⇔ωω))(),()((y Q y x S x P y x ∧∧∃∃),,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃→∧∃∀∀

16. 用反证法证明：

⌝∀x(P(x)∧Q(x)) , ∀xP(x) ⇒⌝∀xQ(x)

答案：

17. 证明：

前提：∀x(C(x)→W(x)∧R(x)), ∃x(C(x)∧Q(x)).

结论：∃x(Q(x)∧R(x)).

答案：

⏹(1) ∃x(C(x)∧Q(x)) 前提引入

⏹(2) C(a)∧Q(a) (1)ES

⏹(3) C(a) (2)化简规则

⏹(4) ∀x(C(x)→W(x)∧R(x)) 前提引入

⏹(5) C(a)→W(a)∧R(a) (4)US

⏹(6) W(a)∧R(a) (3)(5)假言推理

⏹(7) R(a) (6)化简规则

⏹(8) Q(a) (2)化简规则

⏹(9) R(a)∧Q(a) (7)(8)合取引入规则

⏹(10) ∃x(Q(x)∧R(x)) (9)EG

18. 判断：下列命题是否正确？

答案：

⏹(1) √

⏹(2) ×

⏹(3) √

⏹(4) √

⏹(5) √

⏹(6) √

⏹(7) √

⏹(8) ×

19. 列出下列集合的元素

⏹(1) {x|x∈N∧∃t(t∈{2,3}∧x=2t)}

⏹(2) {x|x∈N∧∃t∃s(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t

⏹(3){x|x∈N∧∀t(t整除2→x≠t)}

答案：

⏹(1) {4,6}

⏹(2) {1,2,3}

⏹(3) {3,4,5…}

20.

S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4,5,6,8}

B={1,4,5,9}，C={x|x∈Z+, 2≤x≤5}

答案：

21. 一个学校有507，292，312和344个学生分别选择了A,B,C,D四门课程。有14人选了