排列组合与集合的简单教程
高中数学排列组合的方法的方法
高中数学排列组合的方法的方法高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法。
以下是高中数学中常见的排列组合方法：1. 排列（Permutation）：定义：从一组元素中选取若干个进行排列，所得到的不同的顺序称为一个排列。
公式：对于有n 个不同元素的集合，选取r 个元素进行排列的方法数可以表示为P(n, r) 或nPr，计算公式为P(n, r) = n! / (n - r)!，其中"!" 表示阶乘运算。
示例：从5 个不同的元素中选取 3 个进行排列的方法数为P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60。
2. 组合（Combination）：定义：从一组元素中选取若干个进行组合，不考虑顺序的情况下称为一个组合。
公式：对于有n 个不同元素的集合，选取r 个元素进行组合的方法数可以表示为C(n, r) 或nCr，计算公式为C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)。
示例：从5 个不同的元素中选取 3 个进行组合的方法数为C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 10。
3. 二项式定理（Binomial Theorem）：定义：二项式定理是展开一个二项式的公式，用于计算二项式的各项系数。
公式：对于任意实数a 和b，以及非负整数n，二项式定理可以表示为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
示例：展开(x + y)^4 的结果为x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4。
这些方法在解决排列组合问题时非常有用，可以帮助我们计算不同情况下的可能性和概率。
1。
组合与排列问题的解题方法
第8讲数学广角—搭配（二）知识点一：简单的排列问题用几个不同的数字组成没有重复数字的两位数时，先让每一个数字（0除外）作十位上的数字，再把其余的数字依次和它组合。
知识点二：简单的搭配问题可用图示法找出简单事物的组合，按一定的顺序把要组合的事物两两相连，再数一数连了几条线，就得到了组合数。
知识点三：简单的组合问题解决稍复杂的组合问题可以用图示连线的方法来完成，组合中不计算事物的先后顺序，只需注意不同组合中的元素。
考点一：简单的排列问题例1．（2019春•河间市期末）接着画下去，你所画的第15个球是白球（黑球白球）【分析】黑色球的所处的位置的序号从2开始每次递增3、4、5、6…，即第2、5、9、14、20…个，所以第15个球是白球．【解答】解：根据分析可得，所画的第15个球是白球．故答案为：白球．【点评】本题关键是得出黑球所处位置的排列规律．1．（2019•北京模拟）四个小动物换座位，一开始小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号．以后不停地交换座位，第一次上下两排交换，第二次是第一次交换后在左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换…，这样一直下去，第十次交换位子后，小猫在第1号位子上．【分析】观察图形，由已知小猫坐在第4号，按要求交换，第一次⇒3，第二次⇒1，第三次⇒2，第四次回到原位4，…，得到的规律是每4次一循环，根据此规律很容易得到第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上．【解答】解：由已知和图形得知，小猫自第一次交换位子后依次坐在2→1→3→4→2…，得到每4次一循环，因为，10÷4＝2……2，所以，第十次交换位子后，小猫坐在和第二次交换的位子相同，即第1号位子上．答：第十次交换座位后，小猫坐在第1号位子．故答案为：1．【点评】此题考查的知识点是图形的变化类问题，解题的关键是通过观察图形和已知得到规律：小兔自第一次交换位子后依次坐在3→1→2→4→3…，得到每4次一循环．2．（2018春•淮上区期末）（）里是什么图形？画线连起来．【分析】观察每组图形的排列情况，找出几个一组在循环出现，即可得解．【解答】解：【点评】得出每组图形排列的周期特点，是解决本题的关键．3．（2015秋•萧县校级期末）如图，每两块正方形瓷砖中间贴一块长方形彩砖．像这样一共贴了50块长方形彩砖，那么正方形瓷砖有多少块？【分析】由题意可得这组瓷砖的排列规律是正方形瓷砖的个数比长方形彩砖的个数多1，据此即可解答．【解答】解：50+1＝51（块），答：正方形瓷砖有51块．【点评】本题考查了事物的间隔排列规律，解答此类问题的关键明确彩砖的排列规律．考点二：简单的搭配问题例2．（2020春•巩义市期末）按规律接着画一画、填一填．．【分析】根据图示，第一、第三、第五个图形圆的个数依次减少2个，第二、第四、第六个图形方形的个数依次增加1个；由此求解。
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
1.2集合的排列与组合
从剩下n-1个元 素中任取一个
从剩下n-r+1个元素中 任取一个
从n个元个元素 中任取一个
1.2.2 集合的组合
n个元素集合的r组合(r-combination) 从n个元素集合S中任取r个元素，无序地放在 一起，亦即组成S的一个子集 S n个元素集合S的r组合的个数记作 C 或C(n,r) 若r＞n，则 C ＝0；若r＞0，则 C ＝0。 任意非负整数n，有 C ＝1， ＝n，C ＝1。 C
{1,2},{3,4},{5,6}
1.2.4 举例
解二 先将2n个人做全排列，再将每一个全排列从 前向后每2人依次分为组1,组2, …,组n 有组别之分的分组
？ (2n)!
无组别之分的分组
？
(2n )! n!
1.2.4 举例
上述有组别之分的一种分组，一一对应2n个元素的 2n个不同排列。例如，看1,2,3,4,5,6这6人的情形：
r n
r n r n
r r
1.2.2 集合的组合
定理1.2.3 C ＋ C ＋C ＋…＋ C ＝2n (n为非负整数) 证明 设S＝{a1, a2,…, an } 分类： 分类： 0组合 Cn 1组合 C … n组合 C
n n 1 n 0
0 n
1 n
2 n
n n
S的组合
ห้องสมุดไป่ตู้
分步： 分步： 确定a1是否在组合中 2 确定a2是否在组合中 2 … 确定an是否在组合中 2
a1, a2或a2, a1
8！ a3 a4
a10 … 2×8！
1.2.4 举例
例1.2.2 某停车场有6个入口处，每个入 口处每次只能通过一辆汽车。有9辆汽 车要开进停车场，试问有多少种入场方 案？
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
数学排列与组合的技巧和方法
一类在数学中常看到的问题便是排列与组合问题，这是指如何从一组元素中选取大量个元素以排列或组合方式进行。
如何解决排列与组合问题，下面给大家介绍了一些建从写：理清基本概念：首先，要把排列和组合的定义弄清楚。
排列是从n 个不同元素中取m ( m < n )个元素的方法，按一定的顺序排在一起，而组合是从n 个不同元素中取m( m < n)个元素并成一组，不考虑顺序。
掌握基本公式：排列数公式为a(n, m)= n!/(n−m)！，组合数公式为C(n,m)=n! /m! (n−m)！。
它们是解排列与组合问题的基础。
用性质简化运算：排列与组合有一些基本性质，如c(n, m)=c(n, n−m) ,c(n+1,m)=c(n,m)+c(n,m−1)等。
用这些性质可以有所加快计算的速度。
分类与分步计数法异常棘手：对于那种遇到复杂问题时，试试用分类与分步计数原理。
分类计数法也称分类计数原理，是将问题分成几种情况，然后分别计数每类情况的数目，最后加起来。
分步计数法也称分步计数原理，是将问题分成若干步骤，然后分别计数每步的情况数，最后把它们乘在一起。
捆绑法与插空法：对于一些特殊的排列组合问题，可以采用捆绑法或插空法。
捆绑法是将彼此相邻的元素捆绑到一起看成一个整体进行排列，再考虑相邻元素之内的排列。
插空法是一种方法：将不相邻的元素插入已排好的元素之间的空隙中。
排除法：当直接计算某一排列或者组合的情况数极为困难时，可以考虑用排除法。
而先计算总的排列(组合)情况数，再减去不符合条件的情况数。
实际转化应用中：在实际的应用中有时不得不将问题转化为例如排列与组合问题求解。
例如，将分配问题转化为组合问题，将选举问题转化为排列问题等。
可以看到，解决排列与组合问题，首先要掌握基本概念、公式和性质；其次，要学会各种技巧和方法意想不到的。
通过不断的练习和经验汇总，可以逐渐培养这种类方面的解题能力。
数学排列组合常用方法与技巧精讲
比赛分组
在大型体育赛事中，如何将参赛选手或队伍分成若干小 组进行预赛是一个重要的排列组合问题。例如，在篮球 比赛中，将参赛队伍分成若干小组进行循环赛，需要考 虑队伍之间的实力对比和小组内比赛的公平性。
彩票中的排列组合问题
彩票选号
彩票选号是一个典型的排列组合问题。彩票号码由一 组数字组成，每个数字都有特定的范围和出现概率。 彩民需要从指定范围内选择一定数量的数字，并按照 一定的顺序排列，以获得中奖的机会。
不同元素问题
总结词
解决不同元素问题时，需要全面考虑 所有元素的排列或组合情况。
详细描述
在排列组合问题中，如果所有元素都 是不同的，需要全面考虑所有元素的 排列或组合情况。可以采用全排列或 全组合的方法进行计算。
插空法
总结词
插空法是一种解决排列组合问题的常用方法，通过在已排好的元素之间插入新元素来满足题目的要求 。
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定位置的选取和排 列。这种方法的关键在于识别出问题中的特殊元素或特定位置，然后优先处理它们，从
而简化问题并提高解题效率。
分组法
总结词
将问题中的元素按照一定的规则进行分 组，然后对分组后的元素进行排列组合 ，可以解决一些复杂的问题。
答案
$A_{5}^{2} - 1 = 24$
解析
先从5个元素中取出2个元素进行排 列，再减去特定元素不在首位的排 列方式。
题目
在7个不同元素中取出4个元素进行 组合，其中某个特定元素必须包含在 内，有多少种不同的组合方式？
答案
$C_{6}^{2} = 15$
解析
先从7个元素中取出2个元素进行组 合，再减去特定元素不在首位的组 合方式。
排列组合学习中的常用方法与技巧
排列组合学习中的常用方法与技巧1.排列与组合的定义排列是指从一组对象中选取一部分对象（有顺序地排列）的方法。
组合是指从一组对象中选取一部分对象（不考虑顺序）的方法。
设集合A包含n个元素，k是一个非负整数，排列的数量记作P(n,k)，组合的数量记作C(n,k)。
这里有两个重要的定理:P(n,k)=n!/(n-k)!C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)2.乘法原理乘法原理是排列组合学中最基本的推理方法之一、它指出，如果一个任务可以被分解为几个独立的子任务，那么完成整个任务的方式数等于各个子任务方式数的乘积。
举例来说，如果一个班级有3个男生和4个女生，要从中选取一个男生和一个女生担任班级的代表，那么总共的方式数为3*4=12种。
3.加法原理加法原理是排列组合学中另一个基本的推理方法，它指出，如果一个任务可以通过几种不同的方式完成，那么完成任务的总方式数等于各个方式数的和。
举例来说，如果一个班级要在体育馆选取5个学生参加篮球比赛，班级有12个男生和8个女生，那么总的方式数为12+8=20种。
4.阶乘函数的应用阶乘函数在排列组合学中经常出现，我们可以利用它来计算排列和组合的数量。
阶乘函数定义为n!=n*(n-1)*...*2*1、这个函数有以下几个重要的性质:-0!=1-对于任意正整数n,n!=n*(n-1)!-P(n,k)=n!/(n-k)!-C(n,k)=n!/((n-k)!*k!)5.特殊问题的解决方法在排列组合学中，有一些特殊的问题需要使用特殊的解决方法。
例如，对于一些问题，我们可以使用集合的包含排除原理来求解。
对于其他问题，我们可以使用二项式系数和二项式定理来计算排列和组合的数量。
这些特殊的解决方法在实际问题中非常有用。
在学习排列组合学时，需要掌握的还有一些重要的概念和技巧，如容斥原理、鸽笼原理、分组问题的解决方法等。
此外，多做题目、理解概念和定理的证明，以及灵活运用解决问题的方法，都是学习排列组合学的关键。
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C. {b, d, e}
D. {b, c, d, e} E. {d, f, g}
2. （NOIP11）设全集I = {a, b, c, d, e, f, g, h}， 集合B∪A = {a, b, c, d, e, f}， C∩ A = {c, d, e}，A∩~B = {a, d}，那么集合C∩ B∩ A A. {c, e} B. {d, e} C. {e} D. {c, d, e} E. {d, f}
为（ ）。
2、容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研 究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对 象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目 排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计 数的方法称为容斥原理。
对有限集合S，用 S 表示S的元素个数
种选P7法4 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种P8.8 P74
结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 : 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
◆ 集合及其运算
1、集合的运算：并、交、补、差 2、容斥原理
1、集合的运算：并、交、补、差 并：∪ 交：∩ 补：^或～或 差: -
AB
A
B
A
A∪B
A∩B
A
AB A-B
8. （NOIP9）设全集E={1，2，3，4，5}，集合A={1，4}，B={1，2，5}，C为（
出全体,就可以得到所求.
例5 某个班级共有43位同学,从中任抽5人,正、副班 长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几
种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重
复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不
但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可
Pnm n(n1)(n2)(nm1) n!
(nm)!
全排列问题： n个不同的元素排成一排，排列方法有：
P n =n*(n-1)*(n-2)*…*2*1=n! n
2.组合的定义:
从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.
组合数公式:
Cnm
Pnm Pmm
结论3 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例4 学校安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序?
分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的
话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他
们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有 P种66 排法,其中女生内部 也有 种P 3排3 法,根据乘法原理,共有 种P不66 P同33 的排法.
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可 以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一 个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元 素内部也可以作排列.
2、某学校足球队有球衣30件，篮球队有球衣15件， 排球队有球衣18件，三队队员总数为50人，其中 有2人同时参加3个队，那么同时只参加两个队的 队员有多少？
３、分母是1001的最简分数一共有多少个？
10，9,720
◆排列与组合
1.排列的定义:
从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 排列数公式:
够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题
的复杂性.
解 不加任何限制条件,整个排法有 P种99 ,“语文安排在
数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是
相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有
1 2
种P 99 .
结论4 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与
否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求
容斥原理的第一形式：设A，B是有限集合，则
A BABA B
容斥原理的第二形式：设A、B、C是有限集合，则
A B C A B C B C C A A B A B C
1、（NOIP10）75名儿童到游乐场去玩。他们可以骑 旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船。已知其中 20人这三种东西都玩过，55人至少玩过其中的两 种。若每样乘坐一次的费用是5元，游乐场总共收 入700，可知有 名儿童没有玩过其中任何一种。
）。
A） 空集 B） {1} C） {3，5} D）{1，5} E） {1，3，5}
1、（NOIP10）设全集I = {a, b, c, d, e, f, g}，集合A = {a, b, c}，
B = {b, d, e}，C = {e, f, g}，那么集合为（ ）。
A. {a, b, c, d} B. {a, b, d, e}
n(n1)(n2)(nm1) m!
n!
m!(nm)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无 关的为组合问题.
加法原理和乘法原理 从A到C共有多少中走法？
A
B
C
例1 :学校师生合影，共8个学生，4个老师， 要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有 多少种不同的合影方式？
解 先排学生共有 P种88 排法,然后把老师插入学生之间 的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有
例3 : 袋中有不同年份生产的5分硬币23个, 不同年份生产的1角硬币10个,如果从袋中取 出2元钱,有多少种取法?
分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很 容易解决问题.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元, 所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角, 所以共C23有3C213C110种取法.