几何造型和自由曲线曲面
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立体造型基础知识形态要素
立体造型基础知识形态要素立体造型基础知识——形态要素一、点（一）概念：点是最小的视觉单位，点的连续排列形成虚线，密集排列形成虚面、体。
点的概念不是绝对的，是相对的（人和蚂蚁，高楼与人）。
（二）基本特征：它的不同排列方式可以产生不同的力量感和空间感。
例如，大的点比小的点强；外形复杂的点比外形简单的点强；表明拱起的点比平坦或凹陷的点强；色彩对比强烈的点比弱的点更吸引视线；占据中心的点比处于边缘的点强烈；材质肌理丰富的发光的点比肌理单纯的不发光的点醒目。
（三）点的作用：（1）强调与节奏位置变化：在空间中，居中的点引起视觉稳定的集中注意；位置上移产生漂浮感，反之则有跌落感；位置移到上方一侧，产生不安定的感；移到下方中点时，产生踏实的安定感；移动左下或右下，踏实和安定中增加运动感；两个点：空间中，两个不同位置的相同点，点间形成张力感，这种张力感呈现为二点的视线，看不见，唯有在心理上才能感到；群点规律：一群点集合在一起时，成为线，也可以看成面；群点经过有序排列会产生连续和简短的节奏和线形扩散效果，如，由大到小渐变排列产生由强到弱的运动感，同时产生空间深远感，能加强空间变化，起到扩大空间的效果；沿高或宽两个方向或者高宽纵三个方向，较近的会产生面或者体的感觉，点放置位置越远与而已产生分离的效果，反之聚集、结实。
（2）凝聚视线让我们的视觉集中，如夜晚大海上的灯塔、黑夜中的萤火虫、服装上的饰扣等，都会吸引我们的视线。
如果两个性质相同的点同时存在于视野中，我们的视线会往返于视野中，三个点的话视线往返形成虚构三角形。
二、线（一）概念：由点的运动轨迹形成，概念上只有长度和方位，没有宽度和厚度。
（二）基本特征：粗线——力量感，细线——纤弱；粗糙线条——粗犷、古朴，光滑线条——细腻温柔。
（三）造型方式：（1）直线：包括水平线、垂直线、斜线和折线，水平线与垂直线都有牢固、平静、沉着大方。
直线像男性，冷漠、严肃、紧张、明确、锐利。
自由曲线与曲面
主要内容
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
第五讲 几何造型与自由曲线曲面分析
叶子节点——体素或几何变换参数 中间节点——施加在其上的集合运算或几何变换定义
差
根节点——所构造的几何形体
优点：
数据结构简单、紧凑，数据管理方便； 实体构造无二义性；
并
操作方便，概念直观，可通过修改构造环节改变形体的形状；
容易实现参数化造型。
缺点：
形体的CSG树型结构
造型过程只能采用集合运算，一些局部修改功能，如拉伸、倒 圆等不能使用； 边界以及边界与实体的连接关系难以提取； 形体显示效率低，不利于图形显示。
继承联系：构成特征之间的层次关系。 超类特征：位于层次上级的特征； 亚类特征：位于层次下级的特征。 亚类特征可继承超类特征的属性和方法。 特征与特征实例之间的联系也属于继承关系。 从属联系：描述形状特征中各形状特征之间的依从和附属关系。 从属特征依赖于被从属的特征而存在，对被从属的形状特征作局部修饰。 邻接联系：反映形状特征之间的相互位置关系。 如阶梯轴：相邻两个轴段之间的关系就是邻接联系，其中每个相邻面的状态可共享。 引用联系：描述特征类之间作为关联属性而相互引用的联系。 引用联系主要存在于形状特征对精度特征、材料特征的引用。
主特征：用以构造零件的基本几何形体。 简单主特征：简单的几何形体。（如圆柱体、长方体、球体等） 宏特征：指具有相对固定的结构形状和加工方法的形状特征，其几何形状较复 杂，且不便于进一步细分为其他形状特征的组合。（如如盘类零件、轮类零件的 轮辐和轮毂等，基本上都是由宏特征及附加在其上的辅助特征构成） 辅特征：依附于主特征（也可是另一辅特征）之上的几何形状特征，是对主特征的
用计算机程序设计语言描述特征，设计时直接 调用特征库及程序文件，进行绘图和 建立产品信息模型。
5. 4 特征造型技术
八、特征造型零件信息模型实例：轴的零件信息模型
差
根节点——所构造的几何形体
优点：
数据结构简单、紧凑，数据管理方便； 实体构造无二义性；
并
操作方便，概念直观，可通过修改构造环节改变形体的形状；
容易实现参数化造型。
缺点：
形体的CSG树型结构
造型过程只能采用集合运算，一些局部修改功能，如拉伸、倒 圆等不能使用； 边界以及边界与实体的连接关系难以提取； 形体显示效率低，不利于图形显示。
继承联系：构成特征之间的层次关系。 超类特征：位于层次上级的特征； 亚类特征：位于层次下级的特征。 亚类特征可继承超类特征的属性和方法。 特征与特征实例之间的联系也属于继承关系。 从属联系：描述形状特征中各形状特征之间的依从和附属关系。 从属特征依赖于被从属的特征而存在，对被从属的形状特征作局部修饰。 邻接联系：反映形状特征之间的相互位置关系。 如阶梯轴：相邻两个轴段之间的关系就是邻接联系，其中每个相邻面的状态可共享。 引用联系：描述特征类之间作为关联属性而相互引用的联系。 引用联系主要存在于形状特征对精度特征、材料特征的引用。
主特征：用以构造零件的基本几何形体。 简单主特征：简单的几何形体。（如圆柱体、长方体、球体等） 宏特征：指具有相对固定的结构形状和加工方法的形状特征，其几何形状较复 杂，且不便于进一步细分为其他形状特征的组合。（如如盘类零件、轮类零件的 轮辐和轮毂等，基本上都是由宏特征及附加在其上的辅助特征构成） 辅特征：依附于主特征（也可是另一辅特征）之上的几何形状特征，是对主特征的
用计算机程序设计语言描述特征，设计时直接 调用特征库及程序文件，进行绘图和 建立产品信息模型。
5. 4 特征造型技术
八、特征造型零件信息模型实例：轴的零件信息模型
自由曲线曲面造型技术
2、简单技术 (插值与拟合)
2.1曲 线 拟 合 问 题 的 提 法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
y
+
+
+
+ + (xi +i,yi)
+
+
y=f(x) +
但人们并不安于现状，继续探索新的造型方法。相继 出现了自由变形造型、偏微分方程造型、能量法造型、 小波技术等。这些方法目前还处于深入研究阶段，有 望于21世纪得到广泛的应用。
插值(interpolation)、拟合（fitting)和
逼近（approximation)，一直是曲线曲面 造型基本的方法。
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
4)线性插值
等等
样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
a
xi-1 xi
bx
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲
线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光
滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低
次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
自由曲面加工理论与应用(第02讲--自由曲面加工基础)
一、自由曲面加工概述
SSM系统的信息处理需要解决的问题
根据SSM系统的3个输出，对应3个信息处理阶段 • 基于特征的处理阶段（feature-based processing stage）
以最小的P/M-rate生成UMOs
• 几何处理阶段（geometric processing stage）
自由曲面加工理论与应用 第02讲--自由曲面加工基础
一、自由曲面加工概述 二、自由曲面加工数学基础 三、刀具路径生成基础
一、自由曲面加工概述
自由曲面（Sculptured Surface or Free Formed Surface）
The term “sculptured surface” denotes those surface shapes which “cannot be continuously generated ” and have the arbitrary character of the forms traditrs —— Duncan and Mair （1983） 随着自由曲面复杂程度的增加，需要数控编程技术 的发展
基于特征的信息处理 (feature-based processing) • 特征提取：由设计曲面提取加工特征 • CAPP（ computer-automated process planning）： 根据加工特征产生一系列UMO。
需解决的问题：如何定义加工特征，如何根据特征定义和生成UMO
一、自由曲面加工概述
几何信息处理（Geometric information processing）
• 刀具路径规划（ Tool-path planning）：根据设计曲面为每个UMO生 成刀触点轨迹（CC-paths）或初始刀位点轨迹（initial CL-paths） • 刀位计算（CL-data computation）：由CC-paths计算CL-paths • 加工仿真（Cutting simulation） • 干涉检查（过切检查，Gouge detection）
立体构成1-概念 三要素点线面
四、块
块体的基本特征是占据三维空间，块体可 以是由面围合而成，也可以是由面运动而成。 （一）几何平面体：几何平面体是由四个以上的平面，以 其边界直线相互衔接在一起所形成的封闭空间实体。如三 角锥（埃及金字塔）、正立方体、长方体、和其他多面体。 （二）几何曲面体：几何曲面体是由几何面所构成的回旋 体。如圆球、圆环、圆柱等。 （三）自由体：自由体包括很广，如有机 体，他们大多数是自然而朴实的形态。如 鹅卵石、人体等。 （四）自由曲面体：是由自由曲面构成的 立体造型。其中包括自由曲面形体和自由 曲面所形成的回旋体。如酒杯、花瓶。大 多数表现庄重而又优美活泼的感觉。
立 体 构 成
线的形态
线是构成空间立体的基础，线的不同组合方式， 可以构成千变万化的空间形态，如最常见的面和体。 （一）直线：直线具有男性特征。能表现冷漠、严肃、紧张、 明确而锐利的感觉。 １水平线 水平线能让人联想到地平线，水平线的组织能产 生横向扩张感。因此水平线能表达平稳、安定、广阔、无限 的感觉。 ２垂直线 由于是与地平线相交的直线形体、形成了与地球 引力和反方向的力量，显示出一种强烈的上升和下落的力度 和强度，能表达严肃、高耸、直接、明确、生长和希望的感 觉。 ３斜线形体 斜线的动势造成了不安定、动荡的倾斜感，向 外倾斜可引导视线向深远的空间发展；向内倾斜，可引导视 线向线的交汇点集中。
第二节 立体构成的要素
形态在三维立体空间上的概念：立体构成的中所涉 及到的造型语言，是立体构成的造型要素。立体构成而集中的立体形态。点的不 同的排列方式，可以产生不同的力量感和空间感。 （一）点的空间位置:空间中的点可以引起视知觉稳定的集中 注意。 （二）点与点的关系：点的有序排列，产生连续和间断的节 奏和线形扩散的效果。点与点之间的距离会产生积聚和分离 的效果。 （三）点的空间变化：由大到小排列的点，产生由强到弱的 运动感，同时产生空间的深远感，能加强空间的变化，起到 扩大空间的效果。
Bezier曲线及曲面
《自由曲线曲面》课程论文Bezier 曲线与曲面姓名：轩小静 学号：2010113010101、Bezier 曲线的背景给定n +1个数据点，p 0(x 0,y 0),…p n (x n ,y n )，生成一条曲线，使得该曲线与这些点所描述的形状相符。
如果要求曲线通过所有的数据点，则属于插值问题；如果只要求曲线逼近这些数据点，则属于逼近问题。
逼近在计算机图形学中主要用来设计美观的或符合某些美学标准的曲线。
为了解决这个问题，有必要找到一种用小的部分即曲线段构建曲线的方法，来满足设计标准。
当用曲线段拟合曲线f (x )时，可以把曲线表示为许多小线段φi (x )之和，其中φi (x )称为基（混合）函数。
)()(0x a x f i ni i φ∑==这些基（混合）函数是要用于计算和显示的。
因此，经常选择多项式作为基（混合）函数。
0111...)(a x a x a x a x n n n n ++++=--φ几何造型有两个分支：一个是曲线曲面造型（surface modeling ），一个是实体造型（solid modeling ）；后来随着技术的进步，两个分支逐渐融合在一起。
曲线曲面的造型的算法和概念是几何造型的公共基础，bezier 曲线曲面在几何造型中扮演着一个非常重要的角色。
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。
1962年，法国雷诺汽车公司的贝塞尔（P.E.Bezier ）构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
想法基点是在进行汽车外形设计时，先用折线段勾画出汽车的外形大致轮廓，然后用光滑的参数曲线去逼近这个折线多边形。
这个折线多边形被称为特征多边形。
逼近该特征多边形的曲线被称为Bezier 曲线。
Bezier 方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。
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2. 边：两个或多于两个相邻面的交界。 边具有方向性：由起点沿边指向终点。
3. 面：形体表面或表面的一部分，其范围由一个外环和若干内环界定。 面具有方向性：通常由面的外法矢方向作为其正方向。 外法矢方向：由组成面的外环的有向边按右手规则确定。
4. 1 描述形体的信息
4.1.1 基本几何元素的定义
4. 环：由有序、有向边组成的面的封闭边界。 外环：确定面的最大外边界。 内环：确定面中内孔或凸台边界。 环的方向性： 外环各边按逆时针排列 内环各边按顺时针方向排列
5. 体：由面围成的封闭三维空间。
6. 外壳：在观察方向上所能看到的形体的最大外轮廓线。
7. 体素：指可用有限个尺寸参数定位和定型的形体。
基本体素：如长方体、圆柱体、球体、棱柱体、圆环体等； 由轮廓线沿指定的空间参数曲线扫描或回转所形成的形体。
4. 1 描述形体的信息
正则形体和非正则形体
正则形体：具有维数一致的边界所定 义的形体称为正则形体。
第四章 几何造型与自由曲线曲面
• 描述形体的信息 • 表示形体的模型 • 特征造型技术 • 自由曲线曲面理论基础
4. 1 描述形体的信息
描述形体形状特征的信息：
几何信息：用来表示几何元素的性质和度量关系的信息。 拓扑信息：表示形体各个几何元素之间连接关系的信息。
4.1.1 基本几何元素的定义
1. 点：最基本的几何元素。任何几何形体都可用点的有序集合表示。
Brep信息的细节则为设计参数提供参考几何 基准。
4. 3 实体造型技术
5. 倒圆和拉伸（形体的局部处理）
倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。 拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理 方法。
拉伸面
倒圆角
4. 3 特征造型技术
一、特征造型：以实体造型为基础，使设计者采用常见的、具有一 定设计或加工功能的特征作为造型的基本单元来构造几何模型的方 法。 二、特征的定义及特点
蒙皮法：将二维图形沿任意曲线移动同时调整二维图形的尺寸甚至形状， 这种构造三维形体的方法称为蒙皮法。
4. 3 实体造型技术
旋转扫描法：将二维图形绕某一轴线旋转构造三维形体的方法。
2. 构造实体几何法（ Constructive Solid Geometry，CSG）
集合运算（布尔运算）：并、交、差
4. 边界表示法（Boundary Representation, B-Rep)
用组成实体边界的基本元素（即顶点、棱边和面）及其连接关系信息表示实体。 采用边界表示法定义的实体为有限数量的面的
集合，面则由边及顶点加以定义。 优点： 显示效率高； 边界信息提取容易，可进行局部修改。
缺点： 数据结构复杂； 修改操作不方便。
实 体 造 型 系 统 中 一 般 采 用 CSG 与 B-Rep 混 合 表示法，即用CSG模型表示实体几何造型的过程 和设计参数，用Brep模型维护详细的几何信息和 存储、管理、运算以及显示输出等操作。
在基于CSG模型的造型过程中，可将形状特 征、参数化设计引入造型过程的体素定义、几何 变换及最终的模型中；
特点：每条边只能有两个相邻面。
非正则形体：维数不一致的边界所定 义的形体称为非正则形体。
特点：具有悬边或悬面。
正则形体
非正则形体
4. 1 描述形体的信息
4.1.2 拓扑信息——说明各个几何要素间的连接关系
平面立体的拓扑关系： 包含性和相邻性
4.1.3 基本几何要素间的关系及层次结构
形体定义的层次结构
B A
A∪*BB -*A来自A-*BA∩*B
4. 3 实体造型技术
构造实体几何的表示方法（CSG二叉树) 用二叉树形式说明通过基本体素间的集合运算来构造复杂形体的历史过程。
差 并
形体的CSG树型结构
叶子节点——体素或几何变换参数
中间节点——施加在其上的集合运算或几何变换定义
根节点——所构造的几何形体
表面模型的缺点：
模型中所有面未必形成封闭的边界。 没有明确定义形体位于面的那一侧，仍不能有效地用来表示形体。
4. 2 表示形体的模型
三、实体模型：由具有一定拓扑关系的形体表面定义形体。表面之 间通过环、边、点建立联系，表面的方向由围绕表面的环的绕向决 定，表面法失总是指向形体之外。
与表面模型的区别： 实体模型中构成形体的表面之间具有一定的拓扑关系，根据表面的方向可以 判断形体在表面的哪一侧。
实体模型的拓扑合法检验 任一棱边必然只与两个表面相邻，且在这两个表面环上的方向必须相反。
4. 3 实体造型技术
一、基本几何形体（体素）创建 二、实体造型的方法 1. 扫描法
平移扫描法：将二维图形沿某一轨迹移动构造三维形体的方法。
正平移：二维图形沿与其垂直的直线移动； 斜平移：二维图形沿任意直线方向移动； 缩放平移：二维图形移动构造形体的过程中不断放大或缩小。
• 无法处理曲面的侧轮廓线。
线框模型的二义性
线框模型示例
4. 2 表示形体的模型
二、表面模型：是将有向棱边围成的部分定义形体的表面，用面的 集合表示形体的模型。
平面模型：用多边形网格描述形体表面。 曲面模型：用曲面片代替平面模型中的小平面片。
从美学和外形功能要求的角度对构造模型进行评价和修改。 对构造曲面生成NC加工程序，以完成对该曲面的加工。
优点：
➢数据结构简单、紧凑，数据管理方便； ➢实体构造无二义性； ➢操作方便，概念直观，可通过修改构造环节改变形体的形状； ➢容易实现参数化造型。
缺点：
造型过程只能采用集合运算，一些局部修改功能，如拉伸、倒 圆等不能使用； 边界以及边界与实体的连接关系难以提取； 形体显示效率低，不利于图形显示。
4. 3 实体造型技术
外壳：V1→ V2→ V3 → V6 → V5→ V8 → V1 E1→ E2→ E7 → E6 → E10→ E11
F1外环：V1→ V2→ V3 → V4 → V1 F1内环： V12 → V11 → V10→ V9 → V12
4. 2 表示形体的模型
一、线框模型：用顶点和边表示形体。
缺点： • 无法自动消隐，所构造的形体易产生不确定性，即具有二义性。 • 不能明确定义给定点与形体之间的关系，无法对构造形体进行物性分析、有限 元分析，不能生成加工表面的刀具路线，不能生成剖切图、渲染图等。
3. 面：形体表面或表面的一部分，其范围由一个外环和若干内环界定。 面具有方向性：通常由面的外法矢方向作为其正方向。 外法矢方向：由组成面的外环的有向边按右手规则确定。
4. 1 描述形体的信息
4.1.1 基本几何元素的定义
4. 环：由有序、有向边组成的面的封闭边界。 外环：确定面的最大外边界。 内环：确定面中内孔或凸台边界。 环的方向性： 外环各边按逆时针排列 内环各边按顺时针方向排列
5. 体：由面围成的封闭三维空间。
6. 外壳：在观察方向上所能看到的形体的最大外轮廓线。
7. 体素：指可用有限个尺寸参数定位和定型的形体。
基本体素：如长方体、圆柱体、球体、棱柱体、圆环体等； 由轮廓线沿指定的空间参数曲线扫描或回转所形成的形体。
4. 1 描述形体的信息
正则形体和非正则形体
正则形体：具有维数一致的边界所定 义的形体称为正则形体。
第四章 几何造型与自由曲线曲面
• 描述形体的信息 • 表示形体的模型 • 特征造型技术 • 自由曲线曲面理论基础
4. 1 描述形体的信息
描述形体形状特征的信息：
几何信息：用来表示几何元素的性质和度量关系的信息。 拓扑信息：表示形体各个几何元素之间连接关系的信息。
4.1.1 基本几何元素的定义
1. 点：最基本的几何元素。任何几何形体都可用点的有序集合表示。
Brep信息的细节则为设计参数提供参考几何 基准。
4. 3 实体造型技术
5. 倒圆和拉伸（形体的局部处理）
倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。 拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理 方法。
拉伸面
倒圆角
4. 3 特征造型技术
一、特征造型：以实体造型为基础，使设计者采用常见的、具有一 定设计或加工功能的特征作为造型的基本单元来构造几何模型的方 法。 二、特征的定义及特点
蒙皮法：将二维图形沿任意曲线移动同时调整二维图形的尺寸甚至形状， 这种构造三维形体的方法称为蒙皮法。
4. 3 实体造型技术
旋转扫描法：将二维图形绕某一轴线旋转构造三维形体的方法。
2. 构造实体几何法（ Constructive Solid Geometry，CSG）
集合运算（布尔运算）：并、交、差
4. 边界表示法（Boundary Representation, B-Rep)
用组成实体边界的基本元素（即顶点、棱边和面）及其连接关系信息表示实体。 采用边界表示法定义的实体为有限数量的面的
集合，面则由边及顶点加以定义。 优点： 显示效率高； 边界信息提取容易，可进行局部修改。
缺点： 数据结构复杂； 修改操作不方便。
实 体 造 型 系 统 中 一 般 采 用 CSG 与 B-Rep 混 合 表示法，即用CSG模型表示实体几何造型的过程 和设计参数，用Brep模型维护详细的几何信息和 存储、管理、运算以及显示输出等操作。
在基于CSG模型的造型过程中，可将形状特 征、参数化设计引入造型过程的体素定义、几何 变换及最终的模型中；
特点：每条边只能有两个相邻面。
非正则形体：维数不一致的边界所定 义的形体称为非正则形体。
特点：具有悬边或悬面。
正则形体
非正则形体
4. 1 描述形体的信息
4.1.2 拓扑信息——说明各个几何要素间的连接关系
平面立体的拓扑关系： 包含性和相邻性
4.1.3 基本几何要素间的关系及层次结构
形体定义的层次结构
B A
A∪*BB -*A来自A-*BA∩*B
4. 3 实体造型技术
构造实体几何的表示方法（CSG二叉树) 用二叉树形式说明通过基本体素间的集合运算来构造复杂形体的历史过程。
差 并
形体的CSG树型结构
叶子节点——体素或几何变换参数
中间节点——施加在其上的集合运算或几何变换定义
根节点——所构造的几何形体
表面模型的缺点：
模型中所有面未必形成封闭的边界。 没有明确定义形体位于面的那一侧，仍不能有效地用来表示形体。
4. 2 表示形体的模型
三、实体模型：由具有一定拓扑关系的形体表面定义形体。表面之 间通过环、边、点建立联系，表面的方向由围绕表面的环的绕向决 定，表面法失总是指向形体之外。
与表面模型的区别： 实体模型中构成形体的表面之间具有一定的拓扑关系，根据表面的方向可以 判断形体在表面的哪一侧。
实体模型的拓扑合法检验 任一棱边必然只与两个表面相邻，且在这两个表面环上的方向必须相反。
4. 3 实体造型技术
一、基本几何形体（体素）创建 二、实体造型的方法 1. 扫描法
平移扫描法：将二维图形沿某一轨迹移动构造三维形体的方法。
正平移：二维图形沿与其垂直的直线移动； 斜平移：二维图形沿任意直线方向移动； 缩放平移：二维图形移动构造形体的过程中不断放大或缩小。
• 无法处理曲面的侧轮廓线。
线框模型的二义性
线框模型示例
4. 2 表示形体的模型
二、表面模型：是将有向棱边围成的部分定义形体的表面，用面的 集合表示形体的模型。
平面模型：用多边形网格描述形体表面。 曲面模型：用曲面片代替平面模型中的小平面片。
从美学和外形功能要求的角度对构造模型进行评价和修改。 对构造曲面生成NC加工程序，以完成对该曲面的加工。
优点：
➢数据结构简单、紧凑，数据管理方便； ➢实体构造无二义性； ➢操作方便，概念直观，可通过修改构造环节改变形体的形状； ➢容易实现参数化造型。
缺点：
造型过程只能采用集合运算，一些局部修改功能，如拉伸、倒 圆等不能使用； 边界以及边界与实体的连接关系难以提取； 形体显示效率低，不利于图形显示。
4. 3 实体造型技术
外壳：V1→ V2→ V3 → V6 → V5→ V8 → V1 E1→ E2→ E7 → E6 → E10→ E11
F1外环：V1→ V2→ V3 → V4 → V1 F1内环： V12 → V11 → V10→ V9 → V12
4. 2 表示形体的模型
一、线框模型：用顶点和边表示形体。
缺点： • 无法自动消隐，所构造的形体易产生不确定性，即具有二义性。 • 不能明确定义给定点与形体之间的关系，无法对构造形体进行物性分析、有限 元分析，不能生成加工表面的刀具路线，不能生成剖切图、渲染图等。