第4讲 二次根式及其运算【2021中考数学一轮复习考点真题集训】答案版
中考数学一轮基础考点一遍过第四节 二次根式
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考点 2 二次根式的运算
1. 加减运算：二次根式加减时，先将各二次根式化成_最__简__二__次__根___式___，再将被开
方数相同的二次根式进行合并．
2. 乘除运算：
(1) a · b ＝____a_b___(a≥0，b≥0)；
a
a
(2) b ＝____b____(a≥0，b＞0)．,
1
(2) 3 2＝__3____2__．
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考点 3 二次根式的估值
1. 确定二次根式的值在两个整数之间的方法： (1)先将根式平方； (2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数； (3)对以上两个整数开方； (4)确定这个根式的值在这两个整数之间． 【提分要点】熟记常见二次根式的值也能快速解题，如
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提分必练 4. 计算： (1) 8 － 2 ＝_____2___； (2) 27 ＋ 3 － 12 ＝__2__3__； (3) 4 × 9＝_____6___； (4) 12 ÷ 3＝_____2___； (5) 5 × 10－ 8＝____3__2__．
5. 化简：(1)
3 3
＝____3____；
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提分必练 8. 若 x 1＋(4－2y)2＝0，则x＋y＝___1___． 9. 若|3x－6|与 x y 3互为相反数，则xy＝___3_2____.
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加减运算 乘除运算
二次根式 的运算
二次根式的估值
考点 1 二次根式及其性质
1. 概念：一般地，我们把形如 a (a__≥___0)的式子叫做二次根式． 二次根式的双重非负性：a≥0， a≥0. 2. 二次根式有意义的条件：被开方数___大__于__等__于__0_____． 3. 最简二次根式： 同时满足两个条件： (1)被开方数不含_分__母_____； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2021年中考数学一轮复习二次根式(含答案)
2021年中考数学一轮复习二次根式一、单选题1有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x=3B ．x≥3C ．x＜3D ．x＜3 2．如果31a ，那么代数式21(1)11a a a +÷--的值为（ ）A ．3BCD 23．下列计算不正确的是（ ）A 2=B 2=-C =D 5=- 4．下列运算结果是无理数的是（ ）A ．BC D5．计算(⎛÷ ⎝的结果为（ ）A ．7B ．-5C ．5D ．-76．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）A B CD7 ） A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间8．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）A B．C D+ 29n是（）A．3B．2C．48D．610199+++的整数部分是()A．3B．5C．9D．6二、填空题113a=--，则a的取值范围________．12．一个长方形的面积为+，其中一边长为_________．13．比较大小：-________-14．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为_____．三、解答题15．计算：（1（2（3（416．先化简，再求值：236(1)693x x x x -÷-+++，其中3x ．17之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：3==；==；2(31)2(31)31231(31)(31)以上这种化简的过程叫做分母有理化．（1；（2（3111 3153752121n n．18．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC BC，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．答案1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B7．C 8．A 9．A 10．C 11．a≤-312．3+ 13．< 14．15．（1）（2；（3）（4）1816．-13x+，．17．（1）3；（2-（3）18．（1）4；（2）；（3）3。
2021年中考数学一轮复习专题突破训练：二次根式的性质与化简计算(附答案)
2021年九年级中考数学小专题复习：二次根式的性质与化简计算（附答案）1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b2．下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．①③3．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞54．已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为（）A．B．C．D．5．若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5D．2a﹣16．下列等式成立的是（）A．（）2＝3B．＝﹣3C．＝3D．（﹣）2＝﹣3 7．化简二次根式的结果是（）A．B．C．D．8．当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（）A．﹣1B．1C．2a﹣3D．3﹣2a9．下列运算正确的是（）A．＝B．2×＝C．＝a D．|a|＝a（a≥0）10．已知ab＜0，则化简后为（）A．﹣a B．﹣a C．a D．a11．化简﹣a的结果是（）A．B．﹣C．﹣D．12．将a根号外的因式移到根号内，得（）A．B．﹣C．﹣D．13．化简二次根式（a＜0）得（）A．B．﹣C．D．﹣14．k、m、n为三整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n15．把二次根式化简为（）A．B．C．D．16．已知+2＝b+8，则的值是．17．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为．18．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+＝．19．化简二次根式的正确结果是．20．若＝2﹣x，则x的取值范围是．21．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝．那么12※4＝．22．已知a，b，c为三角形的三边，则＝．23．＝．24．若＝2﹣a，则a的取值范围是．25．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是．26．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+＝．27．化简：＝．28．计算＝．29．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．30．观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算．31．观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）32．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣﹣．33．a、b、c三个数在数轴上的点如图所示，求|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣的值．34．观察下列各式：请利用你所发现的规律，解决下列问题：（1）第4个算式为：；（2）求的值；（3）诸直接写出的结果．35．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．36．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+2﹣|a﹣b|．37．有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn ＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简因为所以仿照上例化简下列各式：（1）；（2）．参考答案1．解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b．故选：A．2．解：①＝＝4，正确；②＝（﹣1）2＝1×4＝4≠16，不正确；③＝4符合二次根式的意义，正确；④＝＝4≠﹣4，不正确．①③正确．故选：D．3．解：∵＝x﹣5，∴5﹣x≤0∴x≥5．故选：C．4．解：∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0，又∵x有意义，∴y＜0，∴x＞0，y＜0，当x＞0，y＜0时，x＝，故选：B．5．解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C．6．解：（）2＝3，A正确；＝3，B错误；＝＝3，C错误；（﹣）2＝3，D错误；故选：A．7．解：若二次根式有意义，则﹣≥0，﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2，∴原式＝＝．故选：B．8．解：∵1＜a＜2，∴+|1﹣a|＝2﹣a+a﹣1＝1．故选：B．9．解：A、无法化简，故此选项错误；B、2×＝，故此选项错误；C、＝|a|，故此选项错误；D、|a|＝a（a≥0），正确．故选：D．10．解：∵ab＜0，﹣a2b≥0，∴a＞0，∴b＜0∴原式＝|a|，＝a，故选：D．11．解：∵≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a＝﹣，故选：B．12．解：a＝﹣＝﹣．故选：B．13．解：当a＜0时，b≤0，∴＝＝＝＝．故选：A．14．解：＝3，＝15，＝6，可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n．故选：D．15．解：∵﹣＞0，∴a＜0．原式＝a×＝a×＝﹣．故选：A．16．解：由题可得，解得，即a＝17，∴0＝b+8，∴b＝﹣8，∴＝＝5，故答案为：5．17．解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|＝5﹣a+a﹣2＝3．故答案为：3．18．解：由数轴可得：0＜a＜2，则a+＝a+＝a+（2﹣a）＝2．故答案为：2．19．解：由二次根式的性质得﹣a3b≥0∵a＜b∴a＜0，b＞0∴原式＝＝﹣a．20．解：∵＝2﹣x，∴x﹣2≤0，x≤2则x的取值范围是x≤2故答案为：x≤2．21．解：12※4＝＝＝．故答案为：．22．解：∵a，b，c为三角形的三边，∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，∴＝|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|＝a+b﹣c+a+c ﹣b+b+c﹣a＝a+b+c．故答案为：a+b+c．23．解：原式＝|2﹣|＝﹣（2﹣）＝﹣2．故答案为﹣2．24．解：∵＝2﹣a，∴a﹣2≤0．即a≤2．25．解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，则原式＝﹣a﹣（a﹣b）＝b﹣2a．故答案为：b﹣2a．26．解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+＝a﹣1+2﹣a＝1．故答案为：1．27．解：＝＝π﹣3．故答案是：π﹣3．28．解：＝＝2，故答案为：2．29．解：如图所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，则原式＝﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b＝a﹣b．30．解：①猜想：＝1+﹣＝1；故答案为：1+﹣，1；②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：＝＝＝1+﹣＝1．31．解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．32．解：根据题意得：﹣1＜a＜0＜b＜1，∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，则原式＝|a+1|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|＝a+1+b﹣1+a﹣b＝2a．33．解：由数轴可知，a＜c＜0＜b，|c|＜|b|，则a﹣b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，∴|a﹣b|+|c﹣a|﹣|c+b|﹣＝b﹣a+c﹣a﹣c﹣b﹣c+a＝﹣a﹣c．34．解：（1）依题意：接下来的第4个算式为：故答案为（2）原式＝＝＝＝（3）原式＝＝＝＝35．解：由数轴可知：a＞0，a+b＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，∴原式＝a+a+b﹣（c﹣a）﹣b﹣c＝a+a+b﹣c+a﹣b﹣c＝3a﹣2c．36．解：由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+3＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，原式＝a+3+2（b﹣1）+（a﹣b）＝2a+b+1．37．解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝＝。
专题04 二次根式的运算(解析版)2021年中考数学必考34个考点高分三部曲
专题04 二次根式的运算1．二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。
（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。
2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质： （1）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即=·（a ≥0,b ≥0）。
（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。
反之，4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。
7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。
8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b ab a b a ab b a 专题知识回顾（＞0）（＜0）0 （=0）；9．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。
如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。
（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组（3）合并同类二次根式11．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
中考数学一轮复习第4讲二次根式专题精练及答案.doc
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】第4讲：二次根式一、夯实基础1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( ) A ．18 B ．27 C ．23 D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5 B．43－27＝1 C ．18÷2＝9 D ．24·32＝6 5．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间 二、能力提升6．若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y2 012的值是__________． 7．有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)三、课外拓展8．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y＝__________. 9．当－1＜x ＜3时，化简：x －32＋x 2＋2x ＋1＝__________.10．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．11、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 14 －13 12、若最简根式m 2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= . 13、若 5 的整数部分是a ，小数部分是b ，则a －1b= 。
四、中考链接14．（乳山）计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.15．（福州）计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2.参考答案一、夯实基础1．C 由题意得3x －1≥0，所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0，解得x ＝52，此时y ＝－3，所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32，27＝33，23＝63，32＝62. 4．D 25＝5,43－27＝43－33＝3，18÷2＝9＝3，24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9，4＝16，9＜11＜16，所以11在3到4之间． 二、能力提升6．1 由题意得x －3＝0，y ＋3＝0，则x ＝3，y ＝－3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 7．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|，③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4，这两个运算是错误的．三、课外拓展8．1 因为由题意得x ＋1＝0，y －2 012＝0，所以x ＝－1，y ＝2 012，所以x y ＝(－1)2 012＝1.9．4 原式＝(x －3)2＋(x ＋1)2＝|x －3|＋|x ＋1|＝3－x ＋x ＋1＝4. 10．x ＞3 11.> > 12.6 13.－ 5 四、中考链接14．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2. 15．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
第04章 二次根式-2021年中考数学一轮复习(考点梳理+重难点讲解+过关演练)(通用版)(含答案)
2021年中考数学一轮复习(通用版)第04章二次根式考点梳理考点一二次根式的相关概念及性质1．二次根式(a)的式子叫做二次根式．2．最简二次根式最简二次根式必须同时满足以下条件：(1)被开方数的因数是，因式是；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式几个二次根式化成后，如果被开方数，这几个二次根式称为同类二次根式．是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．4. 二次根式的性质)2＝a(a≥0)．|a|＝(0)(0).a aa a≥⎧⎨⎩，－＜a≥0，b≥0)．(a≥0，b>0)．(5)0.a≥⎧⎪被开方数，考点二二次根式的运算及估值1．二次根式的加减先将各二次根式化为，然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除(1)＝(a≥0，b≥0)；(2)＝(a≥0，b＞0)；(3)二次根式的运算结果一定要化成．3．二次根式的开方＝(0)(0).a aa a≥⎧⎨⎩，－＜4．二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；(2)加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；(3)多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；(4)二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．5. 二次根式的估值(1)确定在哪两个相邻整数之间⇒先对根式平方，如)2＝7；⇒找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；⇒＝23；⇒确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间，如<3.(2)确定离哪个整数较近⇒先确定这个根式在哪两个整数之间，如<3；⇒求这两个整数的平均数，如232＝2.5；⇒用平方法比较根式和平均数的大小：若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近．如2.52＝6.25<7离3较近．【点拨】估算二次根式加上(减去)一个整数的值时，要先估算二次根式的值，然后根据不等式的性质：不等式两边同时加上(减去)1，，⇒2＋1<3＋1，即1<4.重难点讲解考点一二次根式有意义的条件方法指导：解题的关键是熟练运用二次根式的性质——被开方数是非负数.解决此类题需从整体上观察代数式的特点，若存在二次根式，便可根据被开方数是非负数列不等式；若存在分母，便可根据分母不为0列不等式.字母的取值范围便是所有不等式联立组成的不等式组的解集.经典例题1 (2020•湖北荆州模拟)x 的取值范围是 ．【解析】 ∵1－3x ≥0，∴x ≤13x 的取值范围是x ≤13．【答案】 x ≤13考点二 二次根式的运算方法指导：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径往往能事半功倍，在运算过程中除了注意运算顺序外，还要特别注意公式的运用和实数运算律的使用简化计算.采用的运算公式包括二次根式乘除运算公式，以及完全平方和平方差公式等．经典例题2 (2020•安徽合肥模拟)计算：＋1)2解：原式=2＋1＋＋2×2=2＋1＋－=3．过 关 演 练1．(2020·江西模拟)下列根式是最简二次根式的是( )A. B C. D 2．(2020·浙江嘉兴模拟)下列运算错误的是( )B. ×＝C. 2D. 133．(2020•山东青岛模拟)( )A ．5B ．6C ．7D ．84．(2020•浙江衢州)有意义，则x 的值可以为( )A ．0B ．1C ．2D ．45. (2020•四川成都模拟)有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ＜－1且x ≠1 B ．x ≥－1 C ．x ≠1 D ．x ≥－1且x ≠16．(2020•山东济宁)下列各式是最简二次根式的是( )A B C D7．(2020•黑龙江绥化)化简－3|的结果正确的是( )A－3B－3C＋3D．3 8．(2020•重庆)下列计算中，正确的是()A B．2＝C D．29．(2020•山东聊城)÷的结果正确的是()A．1B．53C．5D．910．(2020•江苏泰州)下列等式成立的是()A．3＋＝BC＝D＝311．(2020•山东滨州)x的取值范围为．12．(2020•安徽阜阳模拟)x的取值范围为．13. (2020•北京中考第11题2分)小的整数．14．(2020•山东潍坊二模)＝．15. (2020•江苏南京一模)＝．16．(2020•黑龙江哈尔滨)的结果是．17．(2020·甘肃模拟)(－)2.18．(2020•山东滨州模拟)计算：tan45°－(12)－1．19．(2020•浙江湖州)－1|．20. (2020·陕西模拟)计算：23－a 621．(2020•甘肃武威)计算：(2)＋tan60°－(π－0．参 考 答 案考点梳理考点一 1. ≥0 2. (1)整数 整式 3. 最简二次根式 相同考点二 1. 最简二次根式 2. (3)最简二次根式或整式过关演练1. C2. D 解析：原式＝4＝A的计算正确；原式＝B的计2，所以选项C－，所以选项D的计算错误．3. B 解析：⇒36＜37＜49，6＜7，⇒37与36最接近，⇒是6.故选B.4. D 解析：由题意得x－3≥0，解得x≥3.5. D 解析：根据二次根式有意义的条件可得x＋1≥0，根据分式有意义的条件可得x－1≠0，解得x≥－1，且x≠1．6. A 是最简二次根式，选项A B不符合题|a，不是最简二次根式，选项C，不是最简二次根式，选项D不符合题意．7. D 解析：－3＜0，－3|＝－－3)＝3．8. C A计算错误；2不是同类二次根式，不能合并，故选项B与－2不是同类二次根式，不能合并，故选项D错误．9. A 解析：原式＝＝1515＝1．10. D 解析：3与不是同类二次根式，不能合并，故选项A B计，故选项C3，故选项D计算正确．11. x≥5 在实数范围内有意义，必须x－5≥0，解得x≥5．12. x≥－2 解析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得x＋2≥0，解得x≥－2．13. 2或3(答案不唯一) 解析：∵12，3＜4，2或3(答案不唯一)．14. 解析：直接利用二次根式的性质计算得出答案．原式＝＝．15. －解析：先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并．原式－＝－．16. 解析：原式＝17. 解：原式＝1818.18. 解：原式＝1－21－2－12＝－32．19. 解：原式＝－1＝－1．20. 解：原式＝－2a＋.21. 解：原式＝4－31．。
2024年中考数学一轮复习考点04 二次根式(精讲)(解析版)25
考点04.二次根式（精讲）【命题趋势】二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。
此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】1：二次根式的相关概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。
其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
注意：被开方数a 只能是非负数。
即要使二次根式a 有意义，则a ≥0。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）（1）二次根式的性质：1）双重非负性：a ≥0（a ≥0）；2）)0()(2≥=a a a ；32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（2）二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
2021年九年级数学中考一轮复习突破训练：二次根式性质的应用(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习突破训练：二次根式性质的应用（附答案）1．若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4）相等的是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a3．把二次根式化简为（）A．B．C．D．4．已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．D．95．下列计算正确的是（）A．（m﹣n）2＝m2﹣n2B．（2ab3）2＝2a2b6C．2xy+3xy＝5xy D．＝2a6．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（）A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm27．若三角形的三边分别是a，b，c，且，则这个三角形的周长是（）A．+5B．C．D．8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖部分的周长和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm 9．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（）A．（2﹣2）a2B．a2C．a2D．（3﹣2）a2 10．代数式+的最小值是（）A．B．C．D．11．当x≤2时，化简：＝．12．化简：＝．13．当0＜x＜4时，化简的结果是．16．已知+2＝b+8，则的值是．14．已知|6﹣3a|+（b﹣4）2＝3a﹣6﹣，则b a＝．15．若长方形相邻两边的长分别是cm和cm，则它的周长是cm．16．若a＞a+1，化简|a+|﹣＝．17．不等式2x﹣＜x的解集是．18．如图，D是等边三角形ABC中AC延长线上一点，连接BD，E 是AB上一点，且DE＝DB，若AD+AE＝5，BE＝，则BC＝．19.同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：反之，3﹣2∴3﹣2∴﹣1求：（1）；（2）；（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．20．观察下列各式：请利用你所发现的规律，解决下列问题：（1）第4个算式为：；（2）求的值；（3）诸直接写出的结果．21．先来看一个有趣的现象：＝＝＝2．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3、＝4等等．（1）猜想：＝，并验证你的猜想；（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？（3）证明你找到的规律；（4）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数．22．有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，并且mn ＝，那么将a±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而将化简．例如：化简因为所以仿照上例化简下列各式：（1）；（2）．23．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．24．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？25．一个直角三角形的两条直角边长分别是（3﹣）cm，（3+）cm，求这个三角形的面积和周长．26．已知长方形长a＝，宽b＝．①求长方形的周长；②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．参考答案1．解：由|m﹣4|＝|m﹣3|+1得，m≤3，∴m﹣4＜0，m﹣3≤0，∴（m﹣4）＝﹣＝﹣．故选：D．2．解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．3．解：∵﹣＞0，∴a＜0．原式＝a×＝a×＝﹣．故选：A．4．解：∵原式＝＝＝∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时代数式的值最小，为即3故选：B．5．解：A、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本选项错误；B、（2ab3）2＝4a2b6，故本选项错误；C、2xy+3xy＝5xy，故本选项正确；D、＝，故本选项错误；故选：C．6．解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝4+2，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．故选：A．7．解：根据题意得a﹣2＝0，a﹣b﹣1＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝2﹣1，c＝4，∴三角形的周长为2+2﹣1+4＝4+3．故选：D．8．解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝，则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．故选：B．9．解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，依题意得x+2x＝a，则x＝＝，∴正八边形的面积＝a2﹣4××＝（2﹣2）a2．故选：A．10．解：+＝+，设P（x，0），M（3，5），N（4，﹣3），则+表示点P到点M与点N的距离之和，当点P在线段MN上时，点P到点M与点N的距离之和最短，即+的最小值等于线段MN的长，∵MN＝＝，∴代数式+的最小值是，故选：B．11．解：∵x≤2，∴＝＝2﹣x．故答案为：2﹣x．12．解：原式＝＝，故答案为：．13．解：∵0＜x＜4，∴＝|x+1|+|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3．故答案为：2x﹣3．14．解：由题可得，解得，即a＝17，∴0＝b+8，∴b＝﹣8，∴＝＝5，故答案为：5．15．解：∵＝|b﹣4|，∴a﹣3≥0，即a≥3，∴6﹣3a＜0，∴3a﹣6+（b﹣4）2＝3a﹣6﹣|b﹣4|，∴（b﹣4）2+|b﹣4|＝0，当b≥4时，有（b﹣4）2+（b﹣4）＝0，即（b﹣4）（b﹣4+）＝0，∴b﹣4＝0或b﹣4+＝0，∵b﹣4≥0，且b﹣4+＝0，∴b＝4，a＝3，当b＜4时，有（b﹣4）2﹣（b﹣4）＝0，即（b﹣4）（b﹣4﹣）＝0，∵b﹣4＜0，≥0，∴b﹣4﹣＜0，因此不存在a、b的值使b﹣4+＝0，综上所述，a＝3，b＝4，∴b a＝43＝64，故答案为：64．16．解：∵长方形相邻两边的长分别是cm和cm，∴它的周长是：2（+）＝2（2+5）＝14（cm）．故答案为：14．17．解：∵a＞a+1，∴（1﹣）a＞1，则a＜，即a＜﹣1﹣，∴a+＜﹣1，a++1＜0，原式＝﹣a﹣+a++1＝1，故答案为：1．18．解：2x﹣＜x，故答案为：x19．解：过D作DF⊥AB于F，交BC于G，∵DE＝DB，∴EF＝BF＝，设AE＝x，∴AD＝5﹣x，AF＝AE+EF＝x+，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠ADF＝30°，∴AD＝2AF，即5﹣x＝2（x+），∴x＝，∴BC＝AB＝+＝，故答案为：．20．解：（1）当x＝2时，＝，＝＝3，4﹣＝4﹣2＝2，∴△ABC的最长边的长度是3，故答案为：3；（2）由根式有意义可得即﹣1≤x≤4．可得，．所以C△ABC＝＝．（3）由（2）可得，且﹣1≤x≤4．由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证．当x＝4时，三条边的长度分别是，但此时，不满足三角形三边关系．所以x≠4．当x＝3时，三条边的长度分别是2，2，3，满足三角形三边关系．故此时C△ABC取得最大值为7，符合题意．不妨设a＝2，b＝2，c＝3，得＝＝．24．解：（1）＝＝+1；（2）＝＝﹣1；（3）m+n＝a，mn＝b．理由：∵，∴（±）2＝a±2，∴m+n±2＝a±2，∴m+n＝a，mn＝b．20．解：（1）依题意：接下来的第4个算式为：故答案为（2）原式＝＝＝＝（3）原式＝＝＝＝21．解：（1），；（2）＝n；（3）证明：＝＝；（4）．22．解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝＝．23．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴Rt△ABC的面积＝＝＝4，即Rt△ABC的面积是4；（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴AB＝＝＝2，即AB的长是2；（3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2，∴AB边上的高是：＝，即AB边上的高是．24．解：剩余部分的长为dm，宽为﹣＝dm，∵＜1.5，∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，∵4.2＜＜4.3，4.2÷1.5≈2，因此只能截出2块，答：最多能截出2块．25．解：三角形的面积＝×（3﹣）×（3+）＝；三角形的斜边长＝＝，∴三角形的周长＝（3﹣）+（3+）+＝（6+）cm．26．解：①长方形的周长为2×（+）＝2×（2+）＝6；②长方形的面积为×＝2×＝6，则正方形的边长为，∴此正方形的周长为4，∵6＝，4＝，且＜，∴6＞4，则长方形的周长大于正方形的周长。
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第4讲二次根式及其运算一、选择题
1．(2020·杭州)2×3＝(B)
A．5B．6C．23D．32
2．下列二次根式化简后，与2的被开方数相同的是(D)
A．12B．3
2C．
2
3D．18
3．(2020·聊城)计算45÷33×3
5的结果正确的是(A)
A．1 B．5
3C．5 D．9
4．(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的是(B)
A．1
2B．2C．4D．12
5．(2020·临沂)设a＝7＋2.则(C)
A．2＜a＜3 B．3＜a＜4
C．4＜a＜5 D．5＜a＜6
6．若m 与6是同类二次根式，则m的值可以是(B)
A．12 B．24 C．36 D．48
7．(2020·南通)下列运算，结果正确的是(D)
A．5－3＝2B．3＋2＝32
C．6÷2＝3 D．6×2＝23
8．(2020·黔东南州)实数210介于(C)
A．4和5之间B．5和6之间
C．6和7之间D．7和8之间
9．若a，b为实数，且|a＋1|＋b－1＝0，则－(－ab)2019的值是(C) A．1 B．2019 C．－1 D．－2019
10．(2020·武威)若一个正方形的面积是12，则它的边长是(A) A．23B．3 C．32D．4
二、填空题
11．(2020·扬州)代数式x＋2
3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__x≥－
2__．
12．(2020·遵义)计算：12 －3 的结果是__3 __． 13．(2020·常德)计算：92 －12
＋8 ＝__32 __． 14．(2020·北京)写出一个比2 大且比15 小的整数__2(或3)__．
15．(2020·威海)计算3 －12 －(8 －1)0的结果是__－3 －1__.
16．(北师八上P51T14改编)满足－3 <x <5 的整数x 的和为__2__．
17．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示8 的点落在第__③__段内．
18．(北师八上P46T3改编)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则△ABC 的面积为__6__．
三、解答题
19．(2019·长沙)计算：|－2 |＋(12
)－1－6 ÷3 －2cos 60°. 解：原式＝2 ＋2－6÷3 －2×12
＝2 ＋2－2 －1
＝1.
20．(2020·大连)计算(2 ＋1)(2 －1)＋3－8 ＋9 .
解：原式＝2－1－2＋3＝2.
21．(2020·临沂)计算：（13－12）2 ＋22 ×16
－sin 60°. 解：原式＝12 －13 ＋123
－32 ＝16 ＋36 －32
＝1－236
.。