二次根式的四则混合运算
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
本文介绍了二次根式的混合运算，其中重点剖析了有理化因式和分母有理化的方法，以及二次根式混合运算的注意事项。
在计算中，需要注意运算顺序和最简二次根式的表示。
文章提供了典型例题，通过运用相关知识点进行计算。
二次根式的混合运算包括加、减、乘、除和整式的加、减、乘。
在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。
分母有理化的一般方法是用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。
二次根式混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则在根式中仍然适用。
每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。
在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。
有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数。
例如，3
的有理化因式可以是3,23,33……但在一般情况下，我们所找
的有理化因式应是最简单的。
一般常见的互为有理化的两个代
数式有如下几种情形：a和a，a+b和a-b，a-b和a+b，ma+nb
和ma-nb。
二次根式的除法一般是先写成分式的形式，然后通
过分母有理化来进行。
典型例题中，例1的计算包括四个部分，分别是(1)、(2)、(3)和(4)。
在计算中，需要注意运用a-b=(a+b)(a-b)、分母有理化、最简二次根式的表示和整式除法法则等知识点。
通过对例题的计算，可以更好地理解二次根式的混合运算。
二次根式混合计算
二次根式混合计算二次根式，也叫做二次方根，是指一个数的平方等于给定数的根。
在数学中，二次根式是一个被开方的数，根号下面是一个整数或分数。
二次根式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们分别来看一下这四种运算。
1.二次根式的加法和减法：当两个二次根式具有相同的根指数，并且根数相同，可以进行加法和减法运算。
例如，√2+√3=√2+√3(二次根式不能进行化简，所以直接相加)√2+√2=2√2(相同数的根数相加)√2+√8=√2+2√2=3√2(相似的根数相加)2.二次根式的乘法：二次根式的乘法需要使用到公式：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd例如，(√3+√2)×(√3+√2)=(√3)²+√3×√2+√3×√2+(√2)²=3+2√6+2√6+2=5+4√63.二次根式的除法：二次根式的除法需要使用到有理化的方法。
具体步骤如下：Step 1: 计算除数和被除数的积Step 2: 将除数和被除数的积化简为一个二次根式Step 3: 用化简后的积除以除数，得到结果例如，计算(√6+√2)÷√2Step 1: (√6 + √2) ×√2 = 2√3 + 2Step 2: 化简为2√3 + 2Step 3: (2√3 + 2) ÷√2 = (2√3 ÷√2) + (2 ÷√2)=2√2+√2=3√2这就是二次根式的加法、减法、乘法和除法的基本运算方法。
除此之外，二次根式还有很多特殊的性质和运算规律，如指数法则、化简法则、合并根的法则等。
在实际的数学问题中，需要根据具体的题目来运用这些性质和规律进行计算。
北师大版八年级数学上册第二章 二次根式的计算
18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
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越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝ ＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？
二次根式四则运算
二次根式的四则运算同学们，我们已经学习了实数、整式、分式的混合运算，掌握了它们的运算顺序及运算法则。
本节课我们将一起来学习二次根式的四则运算。
（PPT1）二次根式的四则运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，但对于二次根式运算的最后结果一定要化成最简二次根式。
下面我们来看几个具体的例子例1计算下列各式：（1；（2）最后把它化成最简二次根式得.通过本小题的运算，我们要注意乘法分配律在二次根式的运算中都是适用的。
，然后把它化成最简二次根式得5．通过例1的学习，我们在做二次根式的四则运算的时首先要注意运算的顺序，其次是要注意运算律的应用，最后的结果若有二次根式的话一定要化成最简二次根式。
我们一起来看例2例2 计算：我们要做这个运算，方法1可以利用多项式的乘法法则进行展开，-所以最后结得1848果为－30多项式的乘法法则在二次根式的运算中仍然适用方法2：所以可利用整式乘法公式进行计算得22-＝18－48＝－30所以特别对具有整式乘法公式形式的二次根式的四则运算可灵活运用乘法公式，这样能达到简便运算的效果。
拓展提高（1）通过本题的运算我们发现在做二次根式的运算时，有时要合理巧妙的使用乘法公式。
总结：通过本节课的学习我们可以发现：（1）以前学过的运算法则在二次根式的四则运算中依然成立；（2）二次根式的四则运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点； （3）计算结果最后一定要化成最简二次根式。
知识点1 利用运算律进行二次根式的四则运算几种常见的类型：（1000)a b c ，，≥≥≥型，可类比单项式乘多项式运算法则进行运算； 2015201622)(3)-（2）0000)a b c d ，，，≥≥≥≥型，可类比多项式乘以多项式运算法则进行运算；（3）000)a b c >，，≥≥型，可类比多项式除以单项式运算法则进行运算．知识点2 利用整式乘法公式进行二次根式的四则运算几种常见的类型：（1）a b ≥0，≥0)型，类比平方差公式进行运算；（2）2(00a b ≥≥，）型，类比完全平方公式进行运算．（2）；（2）34+-＝1；（1）(5；（2）2；解：（1）(5＝225- ＝25－7＝18；（2）2＝222-⨯＝122-＝14-。
二次根式的混合运算法则
二次根式的混合运算法则二次根式是数学中的一个重要概念，也是数学中常见的运算形式。
在二次根式的混合运算中，我们需要遵循一定的法则和步骤，以确保运算结果的准确性。
本文将介绍二次根式的混合运算法则，并通过实例进行说明。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号内的数称为被开方数，根号外的数称为系数。
二次根式可以进行加、减、乘、除等运算，但需要遵循一定的法则和步骤。
二、二次根式的混合运算法则1. 加法运算当二次根式相加时，要求被开方数相同，系数相加即可。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 减法运算当二次根式相减时，同样要求被开方数相同，系数相减即可。
例如，√3 - √2 = √3 - √2。
3. 乘法运算当二次根式相乘时，可以将系数相乘，被开方数相乘并合并为一个二次根式。
例如，2√3 * 3√2 = 6√6。
4. 除法运算当二次根式相除时，可以将系数相除，被开方数相除并合并为一个二次根式。
例如，6√6 / 3√2 = 2√3。
5. 混合运算在二次根式的混合运算中，可以按照运算法则依次进行加、减、乘、除等运算。
需要注意的是，乘法和除法运算的优先级高于加法和减法运算。
三、实例分析为了更好地理解二次根式的混合运算法则，我们来看几个实例。
1. 实例一：计算√5 + √3 - √2的值。
根据加法运算法则，√5 + √3 = √5 + √3，再根据减法运算法则，√5 + √3 - √2 = √5 + √3 - √2。
2. 实例二：计算(2√6 - √2) * √3的值。
根据减法运算法则，2√6 - √2 = 2√6 - √2，再根据乘法运算法则，(2√6 - √2) * √3 = 2√18 - √6。
3. 实例三：计算(3√10 + 2√5) / √2的值。
根据加法运算法则，3√10 + 2√5 = 3√10 + 2√5，再根据除法运算法则，(3√10 + 2√5) / √2 = (3√10 + 2√5) / √2。
二次根式的计算方法
添加标题
乘法运算的应用：二次根式的乘法运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在计算面积、 体积、长度等物理量时，常常需要进行二次根式的乘法运算。
除法运算
公式：a√b/c√d = (a/c)√(b/d) 例题：(2√3)/(3√2) = (2/3)√(3/2) 注意事项：除法运算中，分母不能为0 应用：二次根式的除法运算在解决实际问题中具有广泛应用
二次根式的定义
概念：二次根式是形如√a（a≥0）的代数式，其中a称为被开方数，√a称为根号。
性质：二次根式具有非负性，即√a≥0（a≥0）。
运算：二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法，遵循一定的运算法则。
应用：二次根式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解方程、计算面积、体积 等。
二次根式的性质
转化为同类二次根式
概念：非同类二次根式是指 根号下含有不同字母的二次 根式
加减运算：将转化后的同类 二次根式进行加减运算，得
到结果
加减法运算规则
二次根式与有理数相加减， 先化成最简二次根式，再相 加减
不同底二次根式相加减，先 化成同底二次根式，再相加 减
同底二次根式相加减，底数 不变，被开方数相加减
03
二次根式的乘除法
乘法运算
添加标题
乘法运算的定义：二次根式的乘法运算是将两个二次根式相乘，得到一个新的二次根式。
添加标题
乘法运算的法则：二次根式的乘法运算法则是：(a√b)(c√d)=(ac)√(bd)。
添加标题
乘法运算的步骤：首先，将两个二次根式相乘，得到新的二次根式；然后，将新的二次根式的 被开方数相乘，得到新的被开方数；最后，将新的二次根式的系数相乘，得到新的系数。
乘除法运算规则
二次根式的混合运算 公开课教学设计
第2课时 二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？ 二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算 计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－46B ．2C ．25D ．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】 二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1； 第2个数，当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
二次根式的四则混合运算
乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：授课时间：年月日(星期)一、 知识回顾1,计算:（1）2）（）÷2．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x 3．下列各等式成立的是（）．A ．．C ．．二，新课讲解二、探索新知二次根式加减乘除混合运算时，等同于整式的加减乘除混合运算可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．二次根式的运算：（1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减；（2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。
（3）二次根式的运算结果能化简的必须化简。
1.计算：15)32125(⨯+，)52)(103(-+，)23()23(-⨯+， 2)523(+，(＋2)×，12)323242731(⋅-- )32)(532(+-，()－5)·，(－＋1)×2(2－3)2011(2＋3)2012，，。
(＋3)－)1232127---1112-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，26)1(30--+-π 4b)+)-(3a)+)(a>0,b>0)，(2–5)(+)2,+)––b,)(a>0,b>0)])251()251[(5122--+，3232353135-+---+，)23)(36(23346++++ ◆【典型例题】2.（1）若x ＝－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.（2）若x ＝＋1，求代数式x 2－2x －3的值.3.下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ）A 、3B 、6C 、2﹣1D 、3+34.设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…,2211=1(1)n S n n +++设...S =+S ＝_________(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．5.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且21amn bn +=，则2a b +=.6.先化简再求值。
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二次根式的四则混合运
算
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乐学教育学员个性化教学辅导教案
学科: 数学任课教师：授课时间：年月日(星期 )
本次课授课内容
一、 知识回顾
1,计算:
（1（2）（）÷
2．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值．
3．下列各等式成立的是（ ）．
A ．．
C ．．5 二，新课讲解 二、探索新知
二次根式加减乘除混合运算时，等同于整式的加减乘除混合运算可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并． 二次根式的运算：
（1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减； （2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。
（3）二次根式的运算结果能化简的必须化简。
1. 计算：
15)3212
5
(⨯+， )52)(103(-+， )23()23(-⨯+，
2)523(+， (3＋22)× 6 ， 12)3
2
3242731(⋅--
)32)(532(+-， (8
27
－53)· 6 ， (6－3＋1)×2 3
(22－3)
2011
( 22＋3)
2012，，。
12(75＋3
1
3
－48)
12
32127---，1
112-⎛⎫
++ ⎪⎝⎭，2
6)1(30--+-π
4b
a b +2a
a 3
b)-(3a b a +9ab)(a>0,b>0)， (26–5)(2+3)2 a+b+2ab a+b –a b –b a ab
(a>0,b>0)
])251()251[(51
22--+， 323
2353135-+-
--+， )23)(36(23346++++
◆【典型例题】
2.（1）若x ＝10－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.（2）若x ＝3＋1，求代数式x 2
－2x －3的值.
3.下列何者是方程式（
﹣1）x=12的解（ ） A 、3 B 、6 C 、2
﹣1
D 、3
+3
4.设12211=112S +
+,22211
=123
S ++,322
11=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．
5.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-21amn bn +=，则
2a b += .
6.先化简再求值。
ab
b a a b ab b a b a b a -÷
-++
-+])
())((4
[
，其中a=3，b=4
7、已知2
323,2
323-+=
+-=
y x 求代数式22353y xy x +-的值
◆【变式训练】
8.设2611-的整数部分为x ，小数部分为y ，求y
y x 2
++的值。
9. 已知117-=a ，求19992345)1718172(-+--+a a a a a 的值
10.已知223-=x ，y 是x 的倒数，则22xy y x -的值为 11.已知2
323,2
323-+=
+-=
y x ，则22y x +的值为
12.已知75+的小数部分为a ，75-的小数部分为b ，则ab+5b= 13.若y
m y 1
+
=，则y y 2
1+的结果为
◆【巩固练习】 14.若22+=a a ，则=+a
a 1
15.化简y
x y
x xy x y y x 2)2(
-+⋅
⋅-= 16.已知3
51,351+=
-=
y x ，求下列各式的值（1）225y xy x +- （2）
y
x y x y
x y
x +
---+
随堂检测
18.已知23+=-b a ，23-=-c b 求 ac bc ab c b a ---++222的值
19..已知1
54-=a ，求出122
1
23---a a a 的值
20.已知2222-=+=b a 求代数式b
a b a b
a a
b a
ab a b
ab b +-⋅
+÷
-+
+)(
的值
四、课堂小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并
可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 二次根式的运算：
（1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减； （2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用。
（3）二次根式的运算结果能化简的必须化简。
课后巩固复习：作业_________题
1.下列计算正确的是（ ）
56243=+ B.248=
C.
()23-=-3 D.
27÷3=3
2.下列计算正确的是（ ）
1. 10220= B.632=•
C.224=-
D.()22
33-=-
5.若a,b 为实数，且满足∣a-2∣+02=-b ，则b-a 的值为（ ）
D.以上都不对
6.已知x
10182
22=++x x x ，则x 的值为（ ） B.±2 D.±4
7.已知a>1，下列式子正确的是（ ）
A.
a a 〉1
B.a a 〉
C.
a
a 11〈 D.a a -=-1)1(2 二、 填空题
8.已知实数a 、b 、c 满足0=+a a ，ab ab =，0=-c c ，那么代数式
2222b bc c c a b a b +---++-化简后的结果为
9.满足不等式
2
34+＜x ＜
3
54-的整数x 的个数是
10、设5的整数部分为m ，小数部分为n ，则5
1⎪⎭⎫
⎝
⎛-n m m 的值为
11．当a =______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并． 12．若27+=a ，27-=b ，那么a ＋b =______，ab =______．
12．已知二次根式b a b +4与b a +3是同类二次根式，(a ＋b )a 的值是______． 13．
383
2
ab 与b a b 26无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”) 14．已知二次根式b a b +4与b a +3是同类二次根式，(a ＋b )a 的值是______． 15．
383
2
ab 与b a b 26无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”) 三、 计算题
16、化简：
)2(2
22322>-++-++x x x x x ，
3
211-+，
17、 已知c ＞1，1--=c c x ，c c y -+=1，12+-+=c c z ，比较x ，y ，z 的大小
关系。
18、 已知a=（2+5）2010
（25-）2011-2（25+）0+
()22-，求a 2+4a 的值。
19、已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（32932y
x y x x +）-（x 2x y
x
x 51-）的值。
20.已知x,y 为实数，y=31
9922-+-+-x x x ，求5x+6y 的值。
预习布置：。