2020高三第三次月考数学试卷
四川省泸州市泸县部分高中2022-2023学年高三上学期12月第三次月考数学(文科)试题(解析版)
泸县2020级高三（上）第三次学月考试数 学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x += A ．22B ．22-C ．5D ．5-3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A ．-6B ．-4C ．-2D ．27．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是A ．12 B ．1336 C ．49 D ．5128．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A B ． C ．12 D ．12-9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应a0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=A ．-2B ．2C ．-1D ．1 12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.14．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：共60分．17．（12分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表． （ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；良好 不良好 合计 男 48 女 16 合计()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828(2)求四面体F ACE -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列； (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x x =--- (1)若0a =，求()f x 的极小值 (2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=. (1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.2023届四川省泸县高三上学期第三学月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =（ ）A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义域可得2603x x x +->⇒<-或2x >， 所以{|3A x x =<-或2}x >， 所以{|25}A B x x ⋂=<≤， 故选：C. 2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x +=（ ） A ．22 B ．22-C ．5D ．5-【答案】C【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.【详解】解：2i(2i)(1i)22i 1i (1i)(1i)22x x xx ----+==-++-，因为2i1ix -+是纯虚数，所以2x =，则22i 2i 215x +=+=+=.故选：C ．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【解析】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【详解】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a = A ．-6 B ．-4 C ．-2 D ．2【答案】A【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=- 解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-． 故选A ．【解析】等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（ ） A ．12 B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示， 则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =． 故选：B8．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】1sin22=α11sin212sin co 2s ∴-=-=ααα，即221sin 2sin cos cos 2-+=αααα， ()21sin cos 2∴-=αα， π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，sin cos ∴<αα，即sin cos 0-<αα，则sin cos -=αα 故选：B9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数． 反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数a 的值，如下表，现取其平均值作为参数a 的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min【答案】A【分析】根据给定条件，求出参数a 的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答. 【详解】依题意，0.90450.91220.91830.92270.9271(53)0.917a ++++==，而024.3C =，0100T =，则()24.3(10024.3)0.24.9170.917375.7t t f t =+⨯=+-⨯，当85t =时，24.375.70.98517t +⨯=，有8524.30.80275.70.917t-=≈，lg 0.8020.0953lg 0.917 1.9622t -==≈-， 当60t =时，24.375.70.96017t +⨯=，有6024.30.47275.70.917t-=≈，lg 0.4720.3269lg 0.917 1.9622t -==≈-， 所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min ，9min. 故选：A11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=（ ） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B【分析】根据tan 1C =进行化简整理即可求得(1tan )(1tan )A B --的值. 【详解】由题意得4C π=，则有tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++ ,整理得：()()tan 1tan 12A B --=，()()1tan 1tan 2A B --= 故选：B12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>【答案】D【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出z y >，再由4334log 33=，可比较出43与z 的大小即可得出,x z 的大小关系. 【详解】43log 51,log 41y z =>=>，(()2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5log 3log log 41log 422y z +⎛⎫⎛⎫∴==⋅≤==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即z y >，4334log 33=，而344333381464⎛⎫==>= ⎪⎝⎭， 43334log 3log 43∴=>，又514444333⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x z ∴>，综上，x z y >>， 故选：D二、填空题13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________. 【答案】13【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩，则样本空间{},,,bb bg gb gg Ω= ，且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则{},,A bg gb gg =,{}B gg =.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为()|P B A .此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB .根据古典概型知识可知，()()()1|3n A P A B n A B ==. 故答案为：1314．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.【答案】2x （答案不唯一）【分析】由题意可知()g x 为常函数或为偶函数，然后分别令()1g x =或2()g x x =进行验证即可【详解】因为()3f x x x =-为奇函数，()()()h x g x f x =为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x =时，()3h x x x =-，则'2()31h x x =-，此时'(0)10h =-≠，所以 ()1g x =不合题意，当2()g x x =时，53()h x x x =-，因为5353()()()()()h x x x x x h x -=---=--=-，所以()h x 为奇函数，'42()53h x x x =-，由'()0h x >，得155x <-或155x >，由'()0h x <，得151555x -<<，所以()h x 的增区间为15,5⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和15,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为1515,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()h x 为先增后减再增， 因为()00h '=，所以2()g x x =满足题意，故答案为：2x （答案不唯一）15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.【答案】32333π+ 【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果. 【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，如图故所求几何体的体积2211442333233ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯V 即32333π=+V . 故答案为：32333π+ 【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．【答案】1【分析】先根据图像求得()π2sin(26f x x =+），再解()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦求得最小正整数x ． 【详解】解：由题意得函数f （x ）的最小正周期2ππ2π2π36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x =+． 又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以π2sin 226φ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 即πsin 13φ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以ππ2πZ 32k k φ+=+∈，， 解得π2πZ 6k k φ=+∈，． 由π||2φ<，得π6φ=， 所以()π2sin(26f x x =+）， 所以π5π5π2sin 103612f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 由()π3f x f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5π012f x f ⎡⎤⎛⎫-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 可得()()10f x f x ⎡⎤->⎣⎦，则()0f x <或()1f x >， 即πsin 206x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭或1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭． ① 由sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 可得()π2ππ22πZ 6n x n n -<+<∈， 解得()7ππππZ 1212n x n n -<<-∈， 此时正整数x 的最小值为2；② 由1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 可得()ππ5π222πZ 666k x k k π+<+<+∈， 解得()πππZ 3k x k k <<+∈， 此时正整数x 的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男48女16合计（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)73.8(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.018a =，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a ++++=，解得0.018a =．所以平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8⨯+⨯+⨯⨯+⨯=＋，故受奖励的分数线的估计值为73.8．（2）（ⅰ）列联表如下表所示．良好 不良好 合计 男8 40 48 女16 36 52 合计24 76 100（ⅱ）由列联表得()2210083616406050 2.72 3.841247648522223K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．18．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB平面DCF ，BE 平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE 平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD .又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ， AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ，∴平面ABE 平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =，又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥，∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，（2）由体积的性质知：13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =，由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==， 132CEF SCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEF V V S h --∴==⨯=⨯⨯=19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2122+=-n n n T【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-，两式作差可得出()1121n n a a --=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得111122n n n a a +=+-，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，1122a a =-，则12a =；.当2n ≥时，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-.两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()1121n n a a -∴-=-.因为1110a -=≠，则212a -=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，数列{}1n a -构成首项为1，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）112n n a --=，故121n n a -=+，则1121111222n n n n n a a -++==+-. 所以，22111111111111222222222222n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=++⋯++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112121222212n n n n -+=+⋅=--. 20．已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）依题意22222411c aa b c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）圆222x y +=的圆心为()0,0，半径r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为xx =22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB的方程为yy =22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2221b k =+.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+-()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ====>另一方面，由于2214448k k ++≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立.所以3=，即3AB ≤.综上所述，AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.21．已知函数()()ln 1f x x a x x =---(1)若0a =，求()f x 的极小值(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.【答案】(1)2-(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的极小值.（2）先求得()f x '，然后通过构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论，从而求得函数()f x '的单调区间.（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）当0a =时，()ln 1f x x x x =--，()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 11ln f x x x '=+-=，所以在区间()()()0,1,0,f x f x '<递减；在区间()()()1,,0,f x f x '+∞>递增.所以当1x =时，()f x 取得极小值12f .（2）()()ln 1f x x a x x =---的定义域为()0,∞+，()ln 1ln x a a f x x x x x-'=+-=-. 令()()()221ln 0,a a x a h x x x h x x x x x +'=->=+=， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在()0,∞+上递增.当a<0时，在区间()()()0,,0,a h x h x '-<即()f x '递减；在区间()()(),,0,a h x h x '-+∞>即()f x '递增.（3）当2a =时，()()2ln 1f x x x x =---，()2ln f x x x'=-， 由（2）知，()f x '在()0,∞+上递增，()()22ln 210,3ln 303f f ''=-<=->， 所以存在()02,3x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =. 在区间()()()00,,0,x f x f x '<递减；在区间()()()0,,0,x f x f x '+∞>递增.所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，由于0044x x +>=，所以()00f x <.11111122ln 12110e e e e e ee f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=----=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f =-⋅--=---=->，根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞各有1个零点，所以()f x 有2个零点.【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决. 22．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.【答案】（1）1C ： 4cos ρθ=，2C ：2cos ρθ=；（2）cos α=【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．【详解】解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-， 若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =， 当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MN PM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t t t t +=，整理得cos α=23．已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=.(1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+.【分析】（1）对2()a b c ++应用基本不等式可证； （2）由（1）只要解不等式1219x x -++≥，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++()222329a b c ≤+++=， 所以3a b c ++≤，当且仅当a b c ==时等号成立（2）由（1）可知()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立， 等价于1219x x -++≥， 令3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩， 当1x ≥时，393x x ≥⇒≥， 当112x -<<时，297x x +≥⇒≥，舍去， 当12x ≤-时，393x x -≥⇒≤-，即3x ≥或3x ≤-. 综上所述，x 取值范围为(][),33,∞∞--⋃+.。
2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数答案
取'#0"&则#0 !$&"&!""!
所以=79,"&#-0
"# " #
0 $ 0$& 槡%槡#
所以平面<), 与平面<-6 所成二面角是+$A! !"#分"
"+!$解析%!""由题得脐橙质量在 *%'$&&$$"和 *&$$&&'$"的比例为%B#!
"
0#$#$&解得%"0!#$"*&故选
/2
"$!,!$解析%把语文和英语看作一个复合元素和数学全排&形成了三个空&把音乐和体育插入到其中#个空 中&故有 -##-# #-#%0#&种&若第"节排数学&第%&&节只能排语文和英语&第#&'节只能排音乐和体育&故有 -##-##0& 种&故第"节不排数学&语文和英语相邻&且音乐和体育不相邻&则不同的排课方式有#&!&0#$ 种&故选 ,2
整理得&)+*,)+*-0$&则)+*,,)+*-&
5,+*--+*)0 !)+*-!)+*,"-+*)0)+*--+*)!)+*,-+*)0!)+*-#0!"(&
设向量,+*-与-+*)的夹角为&
2019-2020年高三上学期第三次月考数学试题
2019-2020年高三上学期第三次月考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合2{5,log (3)},{,},A a B a b =+=集合若AB={2},则b-a=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42.“”是方程表示椭圆的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分但不必要条件C. 必要但不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.项数大于3的等差数列中，各项均不为零，公差为1，且则其通项公式为（ ）A ．n-3B ．nC ．n+1D ．2n-34.要得到函数的图象，只需将函数的图象 （ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位5.已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．方向上的投影为 B ．C ．D ．6.满足条件的点构成的区域的面积为（ ）A ．B ．1C ．D ．7.已知是定义在R 上的函数，对任意都有，若函数的图象关于直线对称，且，则等于（ ）A.2B.3C.-2D.-38.在平面直角坐标系中，定义为点到点的一个变换——“一中变换”．已知1222111(01)()()()n n n n n n P P x y P x y P x y +++，，，，，，，，是经过“一中变换”得到的一列点，设，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9.设函数，曲线处的切线方程为，则曲线处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．10.若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是 （ ）A ．点B ．线段C ．圆弧D ．抛物线的一部分第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上11.函数的零点有 个12.在中，三内角所对边的长分别为，已知，不等式 的解集为，则 ．13.已知取最大值时，a 的最小值为 。
2022-2023学年四川省泸州市合江县重点中学高三上学期第三次月考试题 数学(理)(解析版)
C.若 ，则 ，
D. 的图像关于点 对称
11.如图，已知正方体 的棱长为1，点 为 上一动点，现有以下四个结论：①面 面 ；② 面 ；③当 为 的中点时， 的周长取得最小值；④三棱锥 的体积是定值，其中正确的结论个数是（）
A1B.2C.3D.4
12.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（）
8.已知某锥体的三视图如图所示，其中侧视图为等边三角形，则该锥体的体积为（）
A. B. 3C. D.
9.已知定义域为 的奇函数 的周期为 ，且 时， ，若函数 在区间 （ 且 ）上至少有5个零点，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
10.已知：函数 ，则下列说法错误的是（）
A.将 的图像向右平移 个单位长度得 的图像
所以 在 上递增，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
A. B.
C D.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13. ________．
14.若 的最小正周期为 ，则 ________.
15.已知直线 与曲线 相切，则 的最小值为________.
16.棱长为6的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为______
【解析】
【分析】
在R上的偶函数且在 上是减函数，即在 上增函数，要使 成立，而 有 结合函数的性质列不等式，求x取值范围
湖南省茶陵县第三中学2020届高三数学第三次月考试题文
文湖南省茶陵县第三中学2020届高三数学第三次月考试题题为选～23本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22 考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
I卷第只有一项是,分,在每小题给出的四个选项中每小题5分,共60:一、选择题本大题共12小题, 符合题目要求的．????22?x??xy?Q2x??yy?P?QP．集合∩，是，则1????????2y?y?11,0,2, CB．．．DA．(0, 2), (1, 1)i21??z．在复平面内，复数2对应的点位于i．第四象限 DB．第二象限 C．第三象限A．第一象限34αα( )＝，则cos(3．若sin(π＋))＝－π－253344 C. BA．－．－ D.5555x x?)?23f(x）的零点所在的区间是（4．函数(1,2)1,0)(0,1)1)(?(?2,?B CA D3.11.1cab( )，则＝0.87，25．设＝＝log，3bcacab<< B．A．<<babacc<< DC．．<<xyyx) 的图像，只要将函数的图像＝6．要得到函数cos 2＝cos(2( ＋1) 个单位．向右平移1．向左平移1个单位 BA11 个单位个单位 D．向右平移．向左平移C2223xxx）≤－0”的否定是（＋17．命题“对任意的R∈，2332xxxxxx0 ≥R，－＋＋1≤0 B．存在－1．不存在A，∈R∈0002233xxxxxx1>0 －1>0 D＋．对任意的．存在C＋∈RR∈，－，000 aSSnaS( )，则}中，前项和＝满足－＝45{8．在等差数列nn57218 ．14 D9 C7 BA．．．- 1 -( )9．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为B.24πC.28πD.32π A.20πs ( )、执行如图所示的程序框图，输出的值为103 2 B.A ． 285 C. D. 53xfab 是凸函数，则(，))11.凸函数是一类重要的函数，其具有如下性质：若定义在(上的函数xxxxxfffx ＋…＋＋??＋…＋?＋?????n 21n 21??fbaxin 已，，1,2…，)必有≥成立．∈(对任意的，)(＝in ??nRyABCx 时，其周的外接圆半径为知sin ＝，π)上的凸函数，利用凸函数的性质，当△是(0 ） 长的最大值为 （33RR 362R 333RD. A. B. C.2- 2 -12axxax)]成立，则的最小值为＋1≥0对于一切( ∈．若不等式12(0＋，253．－．－2 C．－ DA．0 B 2第Ⅱ卷题为必考题，每个试题考生都必须做21本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第题为选考题，考生根据要求做答．答．第22题～第23 4小题，每小题5分二、填空题：本大题共xy .在点(1,0)13.曲线处的切线方程为＝2ln????π2baba·eeeeeke，则实．已知.、是夹角为的两个单位向量，若＝＋－2＝，0＝142112123k 的值为________数．22yxCC 1的一个焦点为(2,0)，则。
某中学2020届高三年级第三次月考数学试卷(文科)及答案解析
某中学2020届高三年级第三次月考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．复数11i-的值为（ ）（A ）i 2121+ （B ）i 2121- （C ）i -1 （D ）i +12．已知(2,5)a =-，||2||b a =，若与反向，则等于（ ）(A)（1-，25） (B)（1，52-） (C)（4,10-） (D)（4,10-） 3．集合[0,1]A =，(,)B a =+∞ 若φ=B A ，则实数a 的取值范围为（ ） （A ）),1(+∞ （B ）),1[+∞ （C ）),0(+∞ （D ）]1,(-∞4．若直线20x ay +-=与直线2(1)30ax a y +-+=互相垂直，则a 的值为（ ） (A) 0 (B) 0或2 (C) 0或1 (D) 0或1-5. 长方体的长、宽、高分别为2,2,3cm cm cm ，若该长方体的各顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）(A) 27cm π (B) 214cm π (C) 217cm π (D) 256cm π6．若tan β=31-,tan()αβ+=97，则tan α的值是 ( )(A) 617 (B) 35 (C) 1517 (D) 327．过点)1,1(),1,1(--B A 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（ ）(A) 4)1()3(22=++-y x (B) 4)1()3(22=-++y x (C) 4)1()1(22=-+-y x (D) 4)1()1(22=+++y x 8．如图，函数)0,0)(sin(πϕϕω<<>+=A x A y 的图象经过点)0,6(π-、)0,67(π，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为( ) （A ）)423sin(2π+=x y （B ） )42sin(2π+=x y（C ）)623sin(2π+=x y （D ）)62sin(2π+=x y 9．已知直线m 与n ，平面α与β，那么下列结论正确的( )（A ）若βαβα//,,,则n m n m ⊥⊂⊂ (B) 若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂(C) 若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m (D)若βααββα////,//,,则n m n m ⊂⊂10．已知函数),(1)(22R b R a b b ax x x f ∈∈+-++-=,对任意实数x 都有)1()1(x f x f +=-成立，若当[]1,1-∈x 时，0)(>x f 恒成立，则b 的取值范围是（ ）（A ）01<<-b （B ） 2>b （C ） 1-<b 或 2>b （D ）不能确定二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分；把答案填在答题卷中相应的横线上） 11．已知向量→a =（1，2），→b =（－2，x ），若//a b ，则x =__________．12．光线自点(2,1)P 射到x 轴上点()1,0A ，经x 轴反射，则反射光线的直线方程是________ ．13．函数2sin 2cos y x x =+ （36x ππ-≤≤） 的最大值是．14．已知()sin 5f x x x =+，(1,1)x ∈-，如果2(1)(1)0f a f a -+-<，则a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）： 15．（本小题满分14分）已知3||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为60°，2c a b =-，m -=, （1）求⋅及||c ； （2）若c ⊥d ，求m 的值. 16．（本小题满分12分）已知函数2()sin sin cos f x x x x =+（1）求()f x 的最大值及取得最大值时对应的x 的值， （2）写出该函数在[]0,π上的单调递增区间。
河北深州市中学2020届高三第三次月考数学(理)试卷含答案
-%*"'
/%*!'*
0%*2'
1%*''&
*%m345'!&")$"+!)345槡' 槡"$&a"")&$Atiuf
-%*
/%2 '
0%!'*
1%!'.
.%vhw-xy=z{|'}~{f &(-=)*!&!&&&'&$&2&
!!"!#"""
#$#!##$"#$#$!!#"%!!!"%##!!""%!!"&#"'!!"&!"!""$#"#$ "#%&' () *%+ , - . / 0 1 2 3 4 5 6#7 % & ' 8 ! 9 : ; 4 < & = > ? @ A & ' &#"'#B&'&#"'4C!(!(D4EF
)$!Leabharlann +$$!-$#
/$$
#($ab&'&#"'4C"DEF%"#c%"'#'%"%&"!'!1"!"#$ "#7##$)##"#B%"
defgh#" 4gF
重庆市南开中学2020届高三数学第三次教学质量检测考试试题 理(含解析)
重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
江西省赣州市2020届高三数学上学期第三次月考试题 理
2020学年上学期第三次月考高三数学试题（理科）时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题（ ）A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠C ．若0a ≠且0b ≠，则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠2．已知集合{}(){}22,|30,|log 1,U R A x x x B y y x x A ==->==+∈，则()U A C B I 为（ ）A ．[)2,3B ．()2,3C ．()0,2D ．∅3．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ） A.83π- B.86π-C.203D.1634．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量1(sin,sin ),(cos ,sin ),222A B C A B +==⋅=a b a b ,则tan tan A B⋅（ ）A ．43- B ．43 C ．13D ．－345．如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是（ ）正视图俯视图侧视图A ．242 B ．123 C ．122 D ．2436．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．123(,)23B ．123[,]23C ．3(,)3+∞ D ．23[,)3+∞7．若不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．()2,0-B ．()(),20,-∞-+∞UC ．()4,2-D ．()(),42,-∞-+∞U8．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和为425S S =，则3825a a a g 的值为（ ） A ．2-或1- B ．1或2 C ．2±或1- D ．1±或29．已知函数()sin cos f x x x λ=+的图象的一个对称中心是点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()2sin cos sin g x x x x λ=+的图象的一个对称轴是直线（ ）A ．56x π= B ．43x π= C ．3x π= D ．3x π=-10．动点p 满足则动点p 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心 11．已知函数4()f x x x =+，()2xg x a =+，若11[,1]2x ∀∈，2[2,3]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A.1a ≤B.1a ≥C.2a ≤D.2a ≥ 12．下列命题正确的个数是（ ）①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立()()2max min2x xax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立；④“平面向量a r 与b r的夹角是钝角” 的充分必要条件是“0a b <r r g ”．A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题 ：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.) 13．焦点坐标为(2,0)-的抛物线的标准方程为_____________.14．设()f x 是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(3)0f -=，则()0f x <的解集是____________.15．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 相交于点,P Q ，且2OP OQ •=-u u u r u u u r，则弦PQ 的长度为16．定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，(2014)2f =，则(1)f -= 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设25n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．已知函数()2223sin cos 3sin cos 3f x x x x x =--+．（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域； （2）若ABC∆的内角A、B、C所对的边分别为a 、b、c ，且满足()()sin 23,22cos sin A C bA C a A+==++,求()f B 的值．19．如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BCD=900， PA=PB ，PC=PD ．（1）试判断直线CD 与平面PAD 是否垂直，并简述理由； （2）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（3）如果CD=AD+BC ，二面角P-CB-A 等于600， 求二面角P-CD-A 的大小．20．定长为3的线段AB 的两个端点,A B 分别在x 轴，y 轴上滑动，动点P 满足2BP PA =u u u r u u u r.（1）求点P 的轨迹曲线C 的方程；（2）若过点(1,0)的直线与曲线C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的最大值.21．已知函数2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，0a >. （I ）设()'()g x f x =，求()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.22．如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1A 、2A 、1B 、2B 为椭圆C 的顶点． （1）若椭圆C 上的点P 到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆方程； （2）已知:直线:l y kx m =+相交于A ，B 两点（A B，不是椭圆的左右顶点），并满足22BA AA ⊥．试研究：直线l 是否过定点？ 若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．第三次月考参考答案-----理科1．D【解析】试题分析：命题“若，则且”的逆否命题为“若或，则”选D考点：四种命题2．A【解析】试题分析：,故选A．考点：1、不等式的解法；2、函数的值域；3、集合的基本运算．3．C【解析】试题分析：几何体为正方体去掉以正方体中心为定点，上底面为底面的四棱锥，所以体积为，选C.考点：三视图【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.4．C【解析】试题分析：．考点：1、向量的数量积；2、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式．5．A【解析】试题分析：正三棱锥的相对棱互相垂直，所以．又因为E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，所以．所以平面．以因这是一个正三棱锥，所以，所以体积．故选A．考点：1、空间直线与平面垂直的判定、2、空间几何体的体积．6．D【解析】试题分析：由已知得，双曲线的渐近线的倾斜角应大于或等于，，选D．考点：双曲线的渐近线与离心率．7．C【解析】试题分析：，故选C．考点：1、重要不等式；2、二次不等式的解法．【方法点晴】本题主要考查的重要不等式、二次不等式的解法，属于容易题．但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）．平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型．8．C【解析】试题分析：，故选C．考点：等比数列．【答案】D【解析】试题分析：对称轴,只有选项D符合该式，故选D．考点：三角函数的图象与性质．10．A【解析】试题分析：由正弦定理得：，所以，点P在BC边的中线上，即点P的轨迹过三角形的重心．故选A．考点：1、向量的基本运算；2、正弦定理．11．D【解析】试题分析：恒成立,设，再设，令当当仅有一解，且，故选D．考点：1、函数与不等式；2、导数及其应用；3、重要不等式．【方法点晴】本题考查函数与不等式、导数及其应用、重要不等式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．利用导数处理不等式问题．在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题．常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意数形结合思想的应用．12．B【解析】试题分析：命题①显然成立；在命题②，故命题②成立；在命题③中的最值不一定同时取到，故命题③错误；在命题④中试得成立的有可能夹角为，故命题④错误，综上正确命题的是①②，故选B．考点：命题的真假．13．【解析】试题分析：由题意可设抛物线的标准方程为，其中，所以抛物线的标准方程为考点：抛物线的标准方程14．【解析】试题分析：由题意得，而在上是增函数，所以当时，又是上的偶函数，所以当时，因此的解集是考点：函数性质综合应用【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系15．【解析】试题分析：由题则由余弦定理考点：余弦定理，向量的数量积16．【解析】试题分析：由题为奇函数，则，以代，可得即函数的周期为3，而考点：函数的周期性17．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题设条件，列出方程，求解出，即可得到等比数列的通项公式；（2）化简，分类讨论，利用乘公比错位相减法求和. 试题解析：（1）成等差数列，即，则（2）当时，，当时，，两式相减，得考点：等比数列通项公式及数列求和.18．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）化简；（2）由已知可得，又由．试题解析：（1）,．（2）,,即。
河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考数学试卷(理科)(解析版)
2020河北省衡水中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、单选题1．（3分）设复数z满足|z﹣1|＝1，则z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝12．（3分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．13．（3分）等差数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．0B．9C．12D．184．（3分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）已知函数的两个零点分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1，x1+x2＞﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1，x1+x2＞﹣1C．x1＜﹣2，x1+x2＞﹣2D．x1＜﹣2，x1+x2＞﹣16．（3分）抛物线方程为x2＝4y，动点P的坐标为（1，t），若过P点可以作直线与抛物线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为（）A．B．C．2D．﹣27．（3分）已知函数，则下述结论中错误的是（）A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为98．（3分）某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）A．6.25%B．7.5%C．10.25%D．31.25%9．（3分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g （x）为奇函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．10．（3分）一个由两个圆柱组合而成的的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为h1．如图2放置容器，液面以上空余部分的高为h2．则＝（）A．B．C．D．11．（3分）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且•（＝0（O为坐标原点），cos∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．12．（3分）设函数f（x）＝﹣t（lnx+x+）恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（，+∞）C．（，）∪（，+∞）D．（﹣∞，]∪（，+∞）二、填空题13．（3分）世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大．14．（3分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为4的菱形，∠ABC＝60°，AA1＝4，过点B与直线AC1垂直的平面交直线AA1于点M，则三棱锥A﹣MBD的外接球的表面积为．15．（3分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，a4﹣a2＝6，且a1，a3，a8成等比数列，则＝．16．（3分）根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．现有△ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB＝4，D为“弦”BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则＝．三、解答题17．已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，b sin B+a sin C＝a sin A+c sin C．（1）求角B；（2）若c＝1，△ABC的面积为，求C．18．已知椭圆的短半轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AE⊥x轴，垂足为E，连接BE并延长交椭圆于点D，证明：△ABD是直角三角形．19．如图1，在等腰梯形ABF1F2中，两腰AF2＝BF1＝2，底边AB＝6，F1F2＝4，D，C是AB的三等分点，E是F1F2的中点．分别沿CE，DE将四边形BCEF1和ADEF2折起，使F1，F2重合于点F，得到如图2所示的几何体．在图2中，M，N分别为CD，EF的中点．（1）证明：MN⊥平面ABCD．（2）求直线CN与平面ABF所成角的正弦值．20．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下：AQI[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望．21．已知函数（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性（Ⅱ）当a＝1时，，对任意x∈（0，+∞），都有F（x）≥1恒成立，求实数b的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为（1，2），求直线l的斜率．23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|，（实数a＞0）．（1）当a＝1，求不等式f（x）＞3的解集；（2）求证：f（x）≥2．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD ＝1，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：P A∥平面EDB；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求P A与面ABCD所成角的正弦值．25．设函数f（x）＝x﹣，g（x）＝tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（l）若f（x）的图象总在函数g（x）的图象的下方，求实数t的取值范围；（2）设H（x）＝（lnx﹣x2+1）e x+（x2﹣l）（l﹣），证明：对任意x∈（0，1），都有H （x）＞0．参考答案一、单选题1．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），由|z﹣1|＝1，得|（x﹣1）+yi|＝1．∴（x﹣1）2+y2＝1．故选：B．2．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为＝50；∴P（A）＝．故选：B．3．【解答】解：∵等差数列{a n}：x，3x+3，6x+6，…，∴2（3x+3）＝x+6x+6，解得x＝0．∴此数列的首项a1＝0，公差d＝3．∴a4＝0+3×（4﹣1）＝9．故选：B．4．【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．5．【解答】解：函数的两个零点分别为x1，x2（x1＜x2）；即有两个实根；设函数，并作出其图象；根据图象有：﹣2＜x1＜﹣1，﹣1＜x2；所以，即；则＞2 ＝2 ；所以x1+x2＞﹣2；故选：A．6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），两点代入抛物线的方程：，两式相减可得＝，而由题意可得x1+x2＝2×1＝2，所以直线的斜率k＝＝＝＝，故选：A．7．【解答】解：∵∈[0，2π]，∴．类比函数y＝sin x可得，要使f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，必有4π≤，所以．所以选项C正确；此时，f（x）在第1个零点与第2个零点之间有一个极小值点，在第3个零点与第4个零点之间有一个极小值点，故f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点，故选项A正确；∵，∴；∵．故取ω＝2，此时．时函数不是单调函数，所以选项B错误；∵f（x）图象关于对称，且在单调，∴⇒ω＝4k+1.0＜ω≤12．ω＝11时，﹣φ＝kπ，可得φ＝﹣在不单调，ω＝9时，﹣φ＝kπ，φ＝，在单调，故的最大值为9．故选项D正确．故选：B．8．【解答】解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100＝800（万元），共中水费支出250（万元），∴去年的水费开支占总开支的百分比为：＝6.25%．故选：A．9．【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到y＝sin（x+），再将所得到的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象由，即g（x）＝sin[（x﹣m）+]＝sin（x+﹣），因为g（x）是奇函数，所以﹣＝kπ，k∈Z．解得m＝﹣2kπ．因为m＞0，所以当k＝0时，m的最小值为．故选：D．10．【解答】解：在图1中，液面以上空余部分的体积为：，在图2中，液面以上空余部分的体积为：，∵＝，∴＝．故选：B．11．【解答】解：如图，取PF1的中点为M，则＝（+），由•（＝0，得•＝0，即⊥．因为OM为△PF1P2的中位线，所以⊥．由cos∠PF2F1＝，设|PF2|＝12，则|F2F1|＝13，|PF1|＝5，所以2a＝|PF2|﹣|PF1|＝7，2c＝|F2F1|＝13，得C的离心率为＝．故选：D．12．【解答】解：函数f（x）＝﹣t（lnx+x+），x∈（0，+∞），∴f'（x）＝＝＝，∵函数f（x）＝﹣t（lnx+x+）恰有两个极值点，∴方程f'（x）＝0恰有两个正根，显然x＝1时方程f'（x）＝0的一个正根，∴方程e x﹣t（x+2）＝0 有唯一正根，即方程有唯一正根，等价于函数g（x）＝与函数y＝t在（0，+∞）上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，∵g'（x）＝＝＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵g（0）＝，g（1）＝，函数g（x）的图象如图所示：，∴t＞且t，故选：C．二、填空题13．【解答】解：设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p（A）＝0.5，p（B）＝0.3，p（C）＝0.2，p（D|A）＝0.95，p（D|B）＝0.90，p（D|C）＝0.85，则p（D）＝p（D|A）p（A）+p（D|B）p（B）+p（D|C）p（C）＝0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2＝0.915，故答案为：0.91514．【解答】解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系．O（0，0，0），B（2，0，0），D（﹣2，0，0），A（0，﹣2，0），C1（0，2，4），设M（0，﹣2，t），＝（﹣2，﹣2，t），＝（0，4，4），∵⊥，∴•＝﹣8+4t＝0，解得t＝2．∴|AM|＝2．∵CB＝CA＝CD，∴△ABD的外接圆的圆心为点C，则三棱锥A﹣MBD的外接球的球心G在直线CC1上．线段AM的垂直平分面与CC1的交点为球心G（0，2，1）．R＝|GM|＝＝．∴三棱锥A﹣MBD的外接球的表面积＝4πR2＝68π．故答案为：68π．15．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a4﹣a2＝6，可得2d＝6，即d＝3，又a1，a3，a8成等比数列，可得a32＝a1a8，即（a1+2d）2＝a1（a1+7d），即为（a1+6）2＝a1（a1+21），解得a1＝4，从而a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1，故＝＝，故答案为：．16．【解答】解：如图，根据题意知，△ABC，△ABD都为直角三角形，则：5•AD＝3•4，∴AD＝，且∠DAB＝∠ACB，且AB＝4，AC＝3，∴＝•＝||×||×cos∠DAB＝4××cos∠ACB＝4××＝．故答案为：三、解答题17．【解答】解：（1）由b sin B+a sin C＝a sin A+c sin C及正弦定理可得b2+ac＝a2+c2，由余弦定理可得，又因为B∈（0，π），所以．（2）因为，所以a＝1．又因为，所以△ABC是等边三角形，所以．18．【解答】解：（1）依题意可得，所以，解得a＝2，所以椭圆的方程是；（2）法一：设A（x1，y1），D（x D，y D），则B（﹣x1，﹣y1），E（x1，0），直线BE的方程为，与联立得，因为x D，﹣x1是方程的两个解，所以，又因为，所以，代入直线方程得，∴，所以AB⊥AD，即△ABD是直角三角形；（2）法二：设B（x1，y1），D（x2，y2），则A（﹣x1，﹣y1），E（﹣x1，0）设直线BD的方程为y＝kx+m，与联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，∴，，，，所以k AB•k AD＝﹣1，所以AB⊥AD，即△ABD是直角三角形；（2）法三：设B（x1，y1），D（x2，y2），则A（﹣x1，﹣y1），E（﹣x1，0）设，则，∴，因为B（x1，y1），D（x2，y2）在椭圆上，满足椭圆方程，所以，所以，所以k AB•k AD＝﹣1，所以AB⊥AD，即△ABD是直角三角形．19．【解答】（1）证明：连接CF，DN，由图1知，四边形BCEF为菱形，且∠CEF＝60°，所以△CEF是正三角形，从而CN⊥EF．同理可证，DN⊥EF，所以EF⊥平面CDN．又EF∥BC，所以BC⊥平面CDN，因为BC⊂平面ABCD，所以平面CDN⊥平面ABCD．易知CN＝DN，且M为CD的中点，所以MN⊥CD，所以MN⊥平面ABCD．（2）解：由（1）可知CN＝，MN＝，且四边形ABCD为正方形．设AB的中点为G，以M为原点，以MG，MC，MN所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz，则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），N（0，0，），F（1，0，），所以，，．设平面ABF的法向量为，由．取．设直线CN与平面ABF所成的角为θ，所以sinθ＝＝．，所以直线CN与平面ABF所成角的正弦值为．20．【解答】解：（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P（ξ≥2）＝P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝+＝．（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，则X的可能取值为0，220，1480，P（X＝0）＝P（0＜X≤100）＝＝，P（X＝220）＝P（100＜X≤250）＝＝，P（X＝1480）＝P（250＜X≤300）＝＝，∴E（X）＝＝302（元），故该企业一个月的经济损失的数学期望为30EX＝9060（元）．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣﹣+a＝，当a＜0时，ax﹣e x＜0，∴当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，（Ⅱ）由F（x）≥1恒成立可得，xe x﹣lnx+（1﹣b）x≥1恒成立，即b﹣1≤e x﹣﹣，设g（x）＝e x﹣﹣，∴g′（x）＝，再设h（x）＝x2e x+lnx，∴h′（x）＝（x2+2x）e x+，∴当x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝e＞0，h（）＝﹣ln2＜0，∴函数h（x）有唯一的零点x0，且＜x0＜1，当x∈（0，x0），h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞），h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x0）是g（x）在定义域的最小值，∴b﹣1≤﹣﹣，∵h（x0）＝0可得x0e＝﹣，＜x0＜1，（*）令k（x）＝xe x，＜x＜1，方程（*）等价于k（x）＝k（﹣lnx），＜x＜1，而k（x）＝k（﹣lnx）等价于x＝﹣lnx，＜x＜1，设函数m（x）＝x+lnx，＜x＜1，易知函数m（x）单调递增，又m（）＝﹣ln2＜0，m（1）＝1＞0，故x0是函数的唯一零点，∴lnx0＝x0，＝，故函数g（x）的最小值为g（x0）＝1，故实数b的取值范围是（﹣∞，2]．22．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．转换为直角坐标方程为y﹣2＝tanα（x﹣1）．曲线C的极坐标方程为ρ＝．转换为直角坐标方程为4x2+y2＝16，整理得．（2）把直线的参数方程代入4x2+y2＝16，得到：4（1+t cosθ）2+（2+t sinθ）2＝16，整理得（3cos2θ+1）t2+（4sinθ+8cosθ）t﹣8＝0，所以由于曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为（1，2），所以，即：4sinθ+8cosθ＝0，解得k＝tanθ＝﹣2．23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|，因为f（x）＞3，当x≥1时，可得x﹣1+x+1＞3，∴；当﹣1＜x＜1时，可得﹣x+1+x+1＞3，∴2＜3不成立；当x≤﹣1时，可得﹣x+1﹣x﹣1＞3，∴；综上所述，原不等式的解集为．（2），当且仅当时等号成立，又，当且仅当a＝1的时等号成立，∴f（x）≥2．24．【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于G，则G是AC的中点，连接EG，则EG是△P AC的中位线，所以P A∥EG，又因为P A⊄面EDB，EG⊂面EDB，所以P A∥平面EDB；（2）法一：如图以D为原点，方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，则A（a，0，0），B（a，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），，，设，则F（at，t，1﹣t），，又EF⊥PB，即，解得……①设是平面DEF的一个法向量，则，即，方程的一组解为，显然是面ABCD的一个法向量，依题意有，得，结合①式得，因为PD⊥底面ABCD，所以∠P AD是P A与面ABCD所成的角，．25．【解答】解：（1）依题意，在（0，1）上恒成立，，①当△＝t2﹣4≤0，即0＜t≤2时，F′（x）≥0，函数F（x）在（0，1）上单调递增，则F（x）＜F（1）＝0，满足题意；②当t2﹣4＞0，即t＞2时，设φ（x）＝x2﹣tx+1，0＜x＜1，则φ（x）的对称轴为，φ（0）＝1，φ（1）＝2﹣t＜0，∴φ（x）在（0，1）上存在唯一零点x1，当x∈（x1，1）时，φ（x）＜0，F′（x）＜0，∴F（x）在（x1，1）上单调递减，故F（x）＞F（1）＝0，不合题意．综上，实数t的取值范围为（0，2]；（2）证明：由题意可得，因为当x∈（0，1）时，xe x﹣x+1＞0，lnx＜0，∴要证H（x）＞0，即证，即证，由常见不等式可知，e x＞x+1在（0，1）上恒成立，∴xe x﹣x+1＞x（x+1）﹣x+1＝x2+1，从而，由（1）知，当t＝2时，在（0，1）上恒成立，整理得，令，则，故m（x）在（0，1）单调递增，∴，即m（x）＜2在（0，1）上恒成立．综上可得，对任意x∈（0，1），都有H（x）＞0．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
邵阳县一中高三第三次月考数学试题xx ．11一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案填在题后的括号内.1． 一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为（ ）A.14B.16C.18D.202. .函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数 （ ）A.]4,4[ππ-B.]43,4[ππC.]2,0[πD.],2[ππ 3．设)2(53sin παπα<<=，,21)tan(=-βπ则=-)2tan(βα （ ）A ．724-B ．247-C ．724D ．2474．数列{a n }的通项式902+=n na n ，则数列{a n }中的最大项是 （ ） A 、第9项 B 、第8项和第9项C 、第10项D 、第9项和第10项5．集合A 、B 都是锐角，且cos sin A B >,则A+B 的范围是 （ ）A ．（0，2π）； B.（,42ππ） C.（0，π） D.（2π，π）6．已知奇函数()[]上为，在01-x f 单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ）A 、f(cos α)＞ f(cos β)B 、f(sin α)＞ f(sin β)C 、f(sin α)＜f(cos β) ；D 、f(sin α)＞ f(cos β)7．已知函数),0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的图象如下图所示，则函数的 解析式为 （ ）(A))32sin(3π-=x y(B))32sin(3π+=x y(C))62sin(3π-=x y(D) )62sin(3π+=x y8.数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6=b 7,则有（ ） 10493b b a a .A +≤+ 10493b b a a .B +≥+10493b b a a .C +≠+ 的大小不确定与10493b b a a .D ++9. 已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）A ．23 B.32C.2D.310．曲线21)4cos()4sin(2=-+=y x x y 与直线ππ在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上11． 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，()54cos -=-x π，则=x 2tan .12、把y= sinx 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，再把所得图象向左平移 π3 个单位，得到函数 的图象13．在等比数列{}n a 中，已知n a a a +++Λ21n )21(1-=，则22221n a a a +++Λ的值为14．在数列}{n a 中，已知n a n 225-=，那么使其前n 项和n S 取最大值时的n 值等于15．已知函数xx f )21()(=的图象与函数g （x ）的图象关于直线x y =对称，令|),|1()(x g x h -=则关于函数)(x h 有下列命题①)(x h 的图象关于原点对称； ②)(x h 为偶函数；③)(x h 的最小值为0；④)(x h 在（0，1）上为减函数.其中正确命题的序号为 （注：将所有正确．．命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且145=a ，207=a . （I ）求数列{}n b 的通项公式；(II)若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=L ，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求证：72n T <. 17．（本小题满分12分）设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==，其中)4,0(πθ∈.（I ）求⋅-⋅的取值范围；（II ）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且,,a b c 成等比数列． (I)求∠B 的范围； (II)求22sin sin 26y B B π⎛⎫=++⎪⎝⎭的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,2cos 262sin 2)(x x x x f .（I ）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （II ）求函数)(x f 的值域.20．（本题满分13分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数 （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？21．（本小题满分14分）已知函数(),f x ax b =+当11[,]x a b ∈时，()f x 的值域为[22 b a ，]，当∈x [22 b a ，]时，()f x 的值域为[33 b a ，]，…，当],[11--∈n n b a x 时，()f x 的值域为],[n n b a ，其中a ，b 为常数，01=a ，11=b 。
（I ）1a =时，求数列}{n a 与}{n b 的通项；（II ）设0a >且1a ≠，若数列}{n b 是公比不为1的等比数列，求b 的值；（III ）若0a >，设}{n a 与}{n b 的前n 项和分别记为n S 与n T ， 求：)()(2121n n S S S T T T +++-+++ΛΛ 的值。
附： 参考答案及评分标准一、选择题1~5 C C D D A 6~10 C B B B A二、填空题：11. -24/7 12. y= sin (12 x + π3 ) 13. ])41(1[31n - 14.12 15. ②③三、解答题：16. 解：（1）由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以123b =. 21222()b b b =-+，则229b =. ………………2分 当2≥n 时，由22n n b S =－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---.即113n n b b －＝. 所以{}n b 是以123b =为首项，31为公比的等比数列，于是n n b 312⋅=. (4)分（2）数列{}n a 为等差数列，公差751() 3 2d a a ==－,可得13-=n a n .…………6分 从而nn n n n b a c 31)13(2⋅-=⋅=. ………………8分 ∴].31)13(31)43(315312[231],31)13(318315312[213232+⋅-+⋅-++⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n T n T ΛΛ …………10分 ∴]31)13(31313313313313[232132+⋅---⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n T Λ. 从而2733127271<-⋅-=-n n n n T . ………………12分17.解：（I ）∵22cos 2 2sin 12cos 2a b c d ⋅=+⋅=+=-r r r u rθθθ，………（2分） ∴2cos 2a b c d ⋅-⋅=r r r u rθ， ………（4分）∵04<<πθ，∴022<<πθ∴02cos22<<θ，∴(0,2)a b c d ⋅-⋅r r r u r的取值范围是。
……… （6分）（II ）∵2()|2cos 21||1cos 2|2cos f a b ⋅=+-=+=r r θθθ， 2()|2cos 21||1cos 2|2sin f c d ⋅=--=-=r u rθθθ， ………………（8分）∴22()()2(cos sin )2cos 2f a b f c d ⋅-⋅=-=r r r u r θθθ， ……… ………（10分）∵04<<πθ，∴022<<πθ，∴2cos20>θ，∴()()f a b f c d ⋅>⋅r r r u r 。
………………12分18。
解：(I)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．根据余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12．又因为0＜B ＜π2，所以0＜B ≤π3．所以∠B 的范围是(0，π3]．………6分(II)y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋π6)＝1－cos2B ＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π6＝1＋sin2Bcos π6－cos2Bsin π6＝1＋sin(2B －π6)．因为0＜B ≤π3，所以－π6＜2B －π6≤π2，所以－12＜sin(2B －π6)≤1，所以12＜y ≤2．所以y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋π6)的取值范围是(12，2]．19. [解]（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππΘ，……2分2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=∴-==∴x x x x x ……4分 x x x x f 2cos 22cos 212sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x 2cos 2sin 3-= ………… 6分52735224+-=. …………8分 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2)(πx x f ， …………10分ππ≤≤x 2Θ， 6116265πππ≤-≤∴x ， 2162sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]1,2[-. …………12分20．解：（1）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=……………………（2分）当1x c ≤≤时，16P x=-，21192(1)2()1666x x T x x x x x -∴=-⋅⋅-⋅⋅=--- 综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩…………………………………………………………（4分） （2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0……………………………（6分）当1x c ≤≤时，2926x x T x -=-9152[(6)]6x x=--+-15123≤-=当且仅当3x =时取等号所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =……………………………（8分）()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2max 926c c T c-∴=-，此时x c =……（10分）综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润…………（12分）21解：（I ）解：1,a =∴Q 函数()f x ax b =+在R 上是增函数，1111,,(2).n n n n n n a a a b a b b a b b b b n ----∴=⋅+=+=⋅+=+≥数列{}n a 与{}n b 都是公差为b 的等差数列。