【全国百强校】四川省绵阳市东辰国际学校2017届高三上学期第三次月考数学试题

绵阳东辰学校高三第三次考试《数学试题》本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、科类填写在答题卡规定位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（非选择题，共90分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ）A.{1}B.{12}，C.{0123}，，，D.{10123}-，，，，2为虚数单位)的虚部为 （ ）A.－2B.iC.－2iD.13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝ （ ） A. (－2，1) B. (2，－1) C. (2，0) D. (4，3) 4．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则 （ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．下列有关命题的叙述，错误的个数为 （ ） ① 若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。

② “5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件。

③ 命题P ：∃x ∈R ，使得x 2＋x －1<0，则⌝p ：∀x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0。

④ 命题“若,0232=+-x x 则1=x ”的否命题为假命题 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知直线1+=x y 与曲线y ln()x a =+相切，则a 的值为 ( ) A. 1 B. －2 C. －1 D. 27．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B. 3π8C.3π4D.π48.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为 ( )A.8B.7C.2D.19．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） A.2 B.1 C.0 D.-210．如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客x 之间的关系图象，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图(2)(3)所示．以下说法：①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价； ②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中正确的序号是( )A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④11.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质： (1) 对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2) 对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．关于函数f (x )＝(e x )*1e x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]．其中所有正确说法的个数为 ( ) A ．0 B ．3 C ．1 D ．212．直角△ABC 的三个顶点都在单位圆221x y +=上，点11(,)22M ，则||MA MB MC ++ 的最大值是 ( )A.2＋2 B. 2 C.l D.2＋1第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．计算：sincos1212ππ-= .14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．15．设,x y R ∈，1,1a b >>，若3x ya b ==，a b +=11x y+的最大值为 16．设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <， 则a 的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ＞0，且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项．(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2) 求数列{}n n b a +的前n 项和n S 。

18．（本小题满分12分）已知向量)sin ,(sin B A =，)cos ,(cos A B =，C 2sin =⋅，且A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若2=+b a ，设D 为AB 边上中点，求||的最小值。

19．（本小题满分12分）已知函数的图象如图所示·(1) 求)(x f 在R 上的单调递增区间； (2) 设是函数)(x f y =的一个零点，求的值．20．（本小题满分12分）已知函数11()212x f x =+-。

（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （Ⅱ）若对于任意[2,4]x ∈，不等式21()()1(1)(7)x mf f x x x +<---恒成立，求正实数m 的取值范围。

21．（本小题满分12分）己知函数()ln(1)(1)f x x x x =+->-· （1）求()f x 的单调区间；（2）若k Z ∈，且3(1)(1)f x x k x-+>-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）对于任意给定常数)1,0(∈a ，是否存在正数x 0，使得20)(210x a e x f -<成立？请说明理由．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。

（Ⅰ）证明：DB=DC ；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=错误！未找到引用源。

，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g(x )=x +3. （Ⅰ）当a =－2时，求不等式f (x )＜g(x )的解集；（Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

)时，f (x )≤g(x )，求a 的取值范围.绵阳东辰学校高2014级高三第三次考试理科试题答案答案CABCB,DBBAA,DD. 13. 22-,14.21，15，1，16[错误！未找到引用源。

，1）17.解析：(1)∵等差数列{a n }的a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的第二、三、四项，且a 1＝1，即(1＋d )(1＋13d )＝(1＋4d )2，∴d ＝2，a n ＝2n －1，∵公比q ＝a 5a 2＝3，a 2＝b 2＝3，∴b n ＝b 2·q n －2＝3·3n －2＝3n －1，故b n ＝3n －1.（2）n S =2132-+n n 18.解：（1）sin cos cos sin sin()m n A B A B A B ⋅=⋅+⋅=+1分对于,,0sin()sin ,ABC A B C C A B C ππ∆+=-<<∴+=sin ,m n C ∴⋅=3分又sin 2m n C ⋅=，1sin 2sin ,cos ,.23C C C C π∴===2分 （2）32)()(,3cos 22222222=⎪⎭⎫⎝⎛+-+≥-+=++=⋅++==b a b a ab b a ab b a ab a b π，2224336,36,6c c c c ∴=-⨯=∴=1分19．解：(Ⅰ) 由图象知，2126561=-=A ，故312161-=-=b ，26322πππ=-=T ，即π=T ，于是由πωπ=2，解得2=ω． ∵ 6131)62sin(21=-+⨯ϕπ，且)22(ππϕ，-∈，解得6πϕ=． ∴31)62sin(21)(-+=πx x f ．…………………………………………………4分由22ππ-k ≤62π+x ≤22ππ+k ，Z ∈k ，解得3ππ-k ≤x ≤6ππ+k ，Z ∈k ，即)(x f 在R 上的单调递增区间为Z∈+-k k k ，，]63[ππππ．………………6分(Ⅱ)由条件得：31)62sin(21)(00=-+=πx x f ，即32)62sin(0=+πx ．∵0)0()6(<⋅f f π且)(x f 在)60(π，上是增函数，61)6(=πf >0，3143)4(-=πf >0，)(x f 在)46(ππ，上是减函数，∴)60(0π，∈x ，∴ )26(620πππ，∈+x ，……………………………………9分∴35)62(sin 1)62cos(020=+-=+ππx x ，…………………………………10分∴]6)62cos[(2cos 00ππ-+=x x6sin)62sin(6cos )62cos(00ππππ+++=x x6215+=． …………………………………………………………12分20 ．解：（Ⅰ）由210x -≠，得x R Î且0x ¹，∴函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， ··· 1分当(,0)(0,)x ∈-∞+∞时，()11212212(21)x x x f x +=+=--， ······················· 2分 ()21122(21)2(12)x xx x f x --++-==--， ······················································ 3分所以()()f x f x -=-， ································································· 4分 ∴f (x )在定义域上是奇函数； ······················································· 5分(Ⅱ) 由于()22ln 2(21)x x f x '=--，当(,0)x ∈-∞或(0,)x ∈+∞时，()22ln 20(21)x xf x '=-<-恒成立， 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数， ········································ 6分 因为x ∈[2,4]且m >0，所以210,01(1)(7)x mx x x +>>---， ······················ 7分 由21()()1(1)(7)x mf f x x x +<---及()f x 在(0,)+∞上是减函数， 所以211(1)(7)x mx x x +>---， ·························································· 8分 因为x ∈[2,4]，所以m <(x ＋1)(x －1)(7－x )在[2,4]x ∈恒成立． ············· 9分 设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，[2,4]x ∈，则g (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7， ···· 10分 所以g ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1＝－373x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋523，所以当[2,4]x ∈时，g ′(x )>0 ．所以y ＝g (x )在[2,4]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝15 ． ····················· 11分 综上知符合条件的m 的取值范围是(0,15)． ··································· 12分21．解：（1）1111)(+=-+='x xx x f ， ∴当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ，即f (x )在(-1，0)上是增函数， 当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是减函数．∴ f (x )的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f (x -1)+x >k )31(x -变形得)31()1(ln xk x x x ->+--，整理得x ln x +x -kx +3k >0，令g (x )=x ln x +x -kx +3k ，则.2ln )(k x x g -+=' ∵ x >1，∴ ln x >0若k ≤2时，0)(>'x g 恒成立，即g (x )在(1，+∞)上递增， ∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21->k ，∴ .221≤<-k 又∵ k ∈Z ，∴ k 的最大值为2． 若k >2时，由ln x +2-k >0解得x >2-k e ，由ln x +2-k <0，解得1<x <2-k e . 即g (x )在(1，2-k e )上单调递减，在(2-k e ，+∞)上单调递增． ∴ g (x )在(1，+∞)上有最小值g (2-k e )=3k -2-k e ， 于是转化为3k -2-k e >0(k >2)恒成立，求k 的最大值． 令h (x )=3x -2-x e ，于是23)(--='x e x h ．∵ 当x >2+ln3时，0)(<'x h ，h (x )单调递减，当x <2+ln3时0)(>'x h ，h (x )单调递增． ∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值．∵ 1<ln3<2，∴ 3<2+ln3<4， ∵ 013)1(>-=eh ，h (2+ln3)=3+3ln3>0，h (4)=12-e 2>0，h (5)=15-e 3<0， ∴ k ≤4．∴ k 的最大取值为4．…………………………………………………9分 （3）假设存在这样的x 0满足题意，则 由20)(210x a e x f -<等价于01120020<-++x e x x a （*）． 要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )=1122-++x ex x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可．∵ )1()(e a x x h -='，令)(x h '=0，得e x =a1，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ， 在0<x <x 0时，)(x h '<0，在x >x 0时，)(x h '>0，∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )=1ln )(ln 22-++a a a a a， 下面只需证明：在0<a <1时，1ln )(ln 22-++a a a a a<0成立即可． 又令p (a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，a ∈(0，1)， 则2)(ln 21)(a a p ='≥0，从而p (a )在a ∈(0，1)时为增函数． ∴ p (a )<p (1)=0，因此x 0=-ln a 符合条件，即存在正数x 0满足条件．………14分22.【答案】（1）连接DE ，交BC 为G ，由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠，BE CE =，又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，由勾股顶底得DB=DC.（2）由（1），C D E B D E ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC 的中垂线，故2BG =，圆心为O ，连接BO ，则060BOG ∠=，030ABE BCE CBE ∠=∠=∠=，所以CF BF ⊥，故外接圆半径为2.24.当2a =-时，令15,21212232,1236,1x x y x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+---=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，，做出函数图像可知，当(0,2)x ∈时，0y <，故原不等式的解集为}{02x x <<；（2）依题意，原不等式化为13a x +≤+，故2x a ≥-对1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立，故22a a -≥-，故43a ≤，故a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。