泛函分析课件第一章

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泛函分析

§1.1.4 练习题一解答
1. 设 M = {(1, 1, 1), (0, 0, 2)}, 试说明 span M 的几何意义。解其几何意义是由在三维直角坐标系中，由 x = y = z 与z轴这两条直线所确定的平面。设向量⃗ a = (1, 1, 1), ⃗ b = (0, 0, 2), 那么 span M = {α⃗ a + β⃗ b α, β ∈ R} = {(α, α, α + 2β) α, β ∈ R} 就是由这两个向量确定的平面. 2. 证明线性空间X的任意多个子空间的交仍然是X的子空间。但是X的两个子空间的并不一定是X的子空间, 试举例说明.
设ℓ1 ( x, y)是P2 , P3 两点所确定的直线, ℓ2 ( x, y)表示由P1 ,P3 两点所确定的直线, ℓ3 ( x, y)是P1 ,P2 两点所确定的直线。由于P1 ,P2 ,P3 不在同一直线上, ℓ1 (P1 ) 构造函数 e1 ( x, y) = 类似地, ℓ2 (P2 ) ℓ1 ( x, y) ; ℓ1 ( P 1 ) ℓ2 ( x, y) ; ℓ2 ( P 2 ) 0, ℓ1 (P2 ) = ℓ1 (P3 ) = 0, 所以可
所以可构造函数
类似地, ℓ14 ( x, y)ℓ34 ( x, y) 含有P1 , P3 , P4 的信息,但不含P2 的信息, 可构造函数 e2 ( x, y) = ℓ14 ( x, y)ℓ34 ( x, y) ; ℓ14 (P2 )ℓ34 (P2 ) 0,ℓ3 (P2 ) =
ℓ12 ( x, y)ℓ14 ( x, y)含有P1 , P2 , P4 的信息,但不含P3 的信息, 以及ℓ3 (P3 ) ℓ3 (P1 ) = 0, 设 e3 ( x, y) = ℓ12 ( x, y)ℓ14 ( x, y) . ℓ12 (P3 )ℓ14 (P3 )

泛函分析讲义(中文版-武汉大学).

则称 d 是 X 上的度量（距离）函数，称 X 为度量（距离）空间．有时为了明确，记为 ( X , d ) ．
度量空间的子集合 E ，仍以 d 为 E 上度量构成的度量空间称为 ( X , d ) 的子空间．
例 1 对于 n 维空间Φ n 中的点 x = (x1, , xn ) 和 y = ( y1, , yn ) ，定义
利用 Zorn 引理可以证明：任一线性空间必存在极大线性无关集合，这一集合即是 X 的 Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基．
凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集． X 的子集 E 称为是凸的，若 ∀x, y ∈ E ，
0 ≤ r ≤ 1 ， rx + (1 − r) y ∈ E ．对于任一集合 E ⊂ X ，记
容易验证 X 是线性空间．今后对于有限维空间，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算．许多
在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间。注意：定义 1 与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中
广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为 n 数组。这一点很重要，例如在线性代数中有一个结论：任何 n +1 个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。
实际上在Φ
n
上还可以定义其他度量，例如
d1 ( x,
y)
=
max
1≤i≤n
xi
−
yi
，此时 (Φ n , d1) 仍是度
量空间．但须注意应把 (Φ n , d1) 与 (Φ n , d ) 视为不同的度量空间．此外注意今后当说到Φ n 是
度量空间时，总意味着它带有欧氏度量.

(53页幻灯片)泛函分析PPT课件

泛函分析的产生
十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段
对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论对数学分析的研究又建立了集合论
二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势
瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作希尔伯特空间的提出
分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方法常常存在相似的地方
泛函分析导引
泛函分析概览
形成于20世纪30年代的数学分支从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展而来综合运用了函数论，几何学，代数学的观点
➢ 可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分析
研究内容
无限维向量空间上的函数，算子和极限理论研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射
设 f (x) 是定义在[a, b]上的有界函数
并任在意[a取, bξ]上i 任∈意[x取i-1一,xi]组(i分=1点,2,a…=x,n0<)，x1…作<和xn式-1<xn=b,
n
S f (i )xi
i1
若其极限存在则称Riemann可积
nHale Waihona Puke b(R) a f (x)dx lxim0 i1 f
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函分析的特点
把古典分析的基本概念和方法
一般化几何化
从有限维到无穷维
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统

实变函数论泛函分析课件

02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数集的一个子集，可以是有限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集的一个子集，可以是有限或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定义域到值域的映射关系，通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析在许多应用领域都有交叉，如质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列，那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。

实变函数与泛函分析全册精品完整课件

University of science & Technology of China
五大论：
集合论-着重介绍 Cantor 关于集合的势论的知识.
测度论-讲解 Lebesgue 测度的思想与方法.
积分论-讲解 L 积分的定义、性质、极限定理和 L 可积函数空间，积分与微分的关系.
空间论-主要讲述无穷维赋范空间和内积空间，以及与共轭空间有关的知识. 算子论-主要讲述三大基本定理（共鸣定理、开映射定理、闭图像定理），共轭算子以及算子谱理
论.
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教学目的
使学生掌握 L 测度与 L 积分的基本理论、基本思想与方法，为今后进一步使用现代分析普遍应用的这一基本工具打下基础。
使学生掌握有关空间和算子的基本理论和思想方法 . 认识和理解现代数学中公理化、抽象与具体、理论和应用密切联系的特点并加以应用.
前言
课程的重要性课程讲授的主要内容教学目的难易程度考核方式
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《实变函数与泛函分析》的重要性在20世纪初期产生并发展起来的学科，是整个分析数学中最年轻的学科之一从“经典理论”向“现代理论”转折的关口是联系各门课程的纽带
通过与其他学科的联系，加强学生对于数学思想方法的内在联系和一致性的认识，从整体上提高学生的数学素养
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课程难度与考核方式
内容抽象，难度较大平时表现分+考试分数，比例认真学习则无须担心考核

应用泛函分析讲义第1章

在经济学中的应用
金融数学
在金融数学中，泛函分析用于描述和解析金融市场的动态行为，如期权定价和风险评估。
计量经济学
在计量经济学中，泛函分析用于建立经济数据的统计模型，如时间序列分析和回归分析。
微观经济学
在微观经济学中，泛函分析用于描述和解析市场供需关系和个体行为，如消费者选择和生产者行为。
02
线性空间与线性映射
线性空间的基本概念
线性空间
由满足加法和标量乘法封闭性的元素集合构成。
基与维数
线性空间中线性无关的元素个数称为该空间的维数，而线性无关的元素组称为该空间的基。
线性子空间
线性空间中的子集，满足子集中的元素也满足线性空间的定义。
线性映射的基本概念
01
02
03
线性映射
将一个线性空间的元素映射到另一个线性空间的元素，且满足线性映射的运算性质。
感谢您的观看
THANKS
03 范数的性质包括非负性、正齐次性、三角不等式等。
向量的模与向量范数的关系
向量的模是向量范数的特例，即当范数定义为向量与零向量之间的距离时，模即为该距离。
向量的模和范数具有相同的性质，如非负性、正齐次性和三角不等式等。
向量范数的性质
非负性
向量范数总是非负的，即对于任意向量x，有||x|| ≥ 0。
收敛序列的性质
收敛序列是稳定的，即对于任意给定的$varepsilon > 0$，存在一个正整数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| <
varepsilon$。
收敛性的判定
可以通过比较序列的各项大小、利用极限的性质或者通过级数收敛的判定定理来判断序列的收敛性。

泛函分析ppt课件

E
E
E
等号相等当且仅当它们线性相关
24
例子
• 以出租车距离定义的平面距离空间; • 序列空间 l ,l p , p 1 • 函数空间C[a,b]; • 离散距离空间; • R上函数|x-y|^2；|x-y|^1/2是距离吗？ • Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合
（总数为8）,元素x，y的距离是x，y中不同的对应分量的个数。 • 在开关和自动化理论以及编码理论中都有重要的应用。
• 可数基数a，连续基数c。
9
• 主要结论：1.可数集的子集至多可数； 2.有限或可数多个可数集合的并是可数集； 3.有限个可数集的直积是可数集； 4. 无限集必于它的某真子集对等，含可数子集；
可数集的例子：整数集，有理数集，n维欧式空间中的有理点集。
实数的基本定理：确界存在原理、单调有界原理、闭区间套引理、聚点定理、有限覆盖定理等等都当成已知
• 今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术的学科中，起着重要的作用，已成为近代分析的基础之一。
• 泛函分析的最基本的内容：三个空间，四个定理
5
第一章预备知识
1.集合
• 所谓集合，是指具有某种特定性质事物的全体，构成集合的“事物”称为集合的元素。
• 集合的表示方法：1.列举法；2.描述法。 • 相关的概念和符号：集合相等，子集，真子集，
的参考书。
11
12
选择公理
• 泛函分析的研究必须首先承认一些事情 • 选择公理：设C为一个由非空集合所组成的集合,
那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。 • Zorn引理：设（P,>）是偏序集，若P的每一个全序子集在P中都有上界，则P必有极大元 • 良序原理：所有集合能被良序化。换句话说，对每一个集合来说，都存在一种排序方法，使得它的所有子集都有极小元素

泛函分析 PPT课件

• 研究的空间的目的，在于把由实际问题归纳出来的某些集合抽象为具有某种属性的空间，从而利用数学上已有的结论去分析他们的性质。
• 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。
• 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其它的学科也能看到广泛的应用。
定理证明：随便给定一点x 0，压缩算子T 逐次作用，得到了一个 Cauchy列，由空间X的完备性，极限点x *存在且唯一,不动点就
得到了.(Tx*, x*) (Txn ,Tx*) (Txn , x*) 0。
该定理（Banach压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在
性和唯一性的问题，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用
中T未必是，但T n0是压缩时，命题仍然成立。注：1.该原理是求解代数方程、微分方程、积分方程、以及数值
同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y
的映射T是连续映射。
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
• 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧）空间。
• 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的，也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是紧空间，有界开集N是列紧的。
• 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则

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（3）分配律
A(

B )

( A B )
（4）
A A A,
A A A
掌握两个集合相等的证明
1 例题 1：设（1）Ai x | 0 x 1 , i 1, 2,... i
则
1 Ai x | 0 x 1 i 1 n
n n i 1
i 1
Ai x | 0 x 1
Ai x | 0 x 2
1 1 A x | x （2）设 i , i 1, 2,.... i i
则
1 1 Ai x | x , n n i 1
相等：两个集合有完全一致的元素时称为相等，记
为A=B。
空集：不含任何元素的集合，记为
子集：A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记为A B 真子集：若A是B的子集但不等于B，则称A为B的真子集。
注意
和
的区别：
：表示集合和它的元素之间的关系。
：表示集合与集合之间的关系。
S
S
(2) A 痧 S A S, A S A (3) 痧 S ( S A) A (4) A \ B A ðS B (5) 若 A B, 则痧 S A SB (6) 痧 S ( A B)
S
A痧 S B,
S
( A B) 痧 S A SB
5、上限集、下限集上限集：设A1 ，A2 ，…An，…是任意列集，由属于上述
§2 集合的运算
1、和集或并集 A B x | x A 或 x B

A x | 存在某个使x A
2、交集
A B x | x A 且 x B

A x | 对一切有x A
显然有(1)
(A B) A (A B)
则
A B
(2)若 A B ,
，

A

B
定理1 （1）交换律 A B B A,
（2）结合律
A B B A
A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) ( A C )
集合表示方法：
列举法：将其元素一一列举出来。
特征描述法：将元素所具有的特征义命题的形式描述出来。
p Q {x | x q , p Z , q Z , q 0}
定理1：对任何集合A、B、C，均有
（1）A A
（2）A B，B A，则A = B
（3）A B，B C，则A C 其中（2）是经常用于证明两个集合相等。
集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一
集列的上限集或上极限，记为 limAn 或 lim sup An n
n
limAn x | 存在无穷多个An , 使x An
n
下限集：设A1 ，A2 ，…An，…那种除有限个下标外，属于集列中每个集的元素的全体所组成的集称为这一集列的
作用：
是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿-莱布尼兹所建立的微积分学存在的缺点，是微分和积分的运算更加完美对称。
缺点：黎曼意义下可积的函数类太小。
1 例如： D( x) 0
x为有理数 x为无理数
黎曼意义下不可积。
黎曼积分的缺陷（内填外包法）
m X f ( )X M X
下限集或下极限，记为 lim An 或 lim inf An
lim An x | 当n充分大以后都有x An
n
n
n
显然有
lim An
n

limAn
n
An ，则称集列{An}收敛，将这一极限：如果 lim An lim n
n
集列称为{An}的极限，记为 lim An
n
6、单调集列
若An An1, 则称 An 为增加集列.
若An An1, 则称 An 为减少集列.
例题 2 设An如下一列点集：
1 A 2 m1 0, 2 , m 0,1, 2,... 2m 1
单调集列是收敛的。
1 A 2 m 0,1 , m 1, 2,... 2m
试确定An的上极限和下极限。
1 例题 3 An 0,1 , n 1, 2,3,... 试确定An的上极限和下极限。 n
1 A x , y | 0 x 2 n , 0 y , n 1, 2,... 例题 4 2n 2n 1 A2 n1 x, y | 0 x , 0 y 2n 1 , n 0,1, 2,... 2n 1
i i i i i i i i
i
L
集合
测度（集合的长度）
L积分
第一章集合
§1. 集合概念
•
§2. 集合的运算
§3. 对等与基数
§4. 可数集合
§5. 不
集合是指在一定范围内可以相互区别的事物的汇集，将它们看作一个整体时，就称这个整体为一个集合，用大写字母A、B、C…表示。其中每个个体事物成为该集合的元素或点，用小写字母a、b、c…表示。
n
i 1
Ai {0},
n i 1
Ai {1 x 1}
3、差集 C A B A \ B x | x A 但 x B
注意：这里并不要求 A B
( A \ B) B ？ A
4、余集设 S A ,则 S \ A 表示A关于S的余集，记为 ðS A 定理3： (1) 痧 S S ,
实变函数
• 第一章集合
• 第二章点集
泛函分析
• 第七章度量空间和赋范线性空间
• 第三章测度论
• 第四章可测函数
• 第八章有界线性算子
和连续线性泛函
• 第五章积分论
第一篇实变函数
实变函数论是19世纪末、20世纪初，主要由法国数学家勒
贝格（Lebesgue，1875-1941）创立的。