第4章 空间行列式运算与空间权重矩阵设定

3.4 空间最近邻矩阵的设定
空间最近邻矩阵定义:以各个观测值的第1个、第2个，第m个最近邻作
为矩阵的行元素形成的空间权重矩阵。
第1个最近邻 第2个最近邻 D11 D12 第1个观测值 D 第1个观测值 D21 D22 Dn1 Dn 2 第n个观测值 第m个最近邻 D1m D2m Dnm
n
维诺图：对于平面数集 P {P 1, P 2, P 3 , , P n } ，可按照维诺方法将平面划
分为n的单元，其划分依据为每个基点构成的单元内的点到本基点的距 离最小，到其他所有基点的距离均比本基点大。
单个维诺边 界构成的多 边形，称为 维诺多边形。
3.2 空间权重矩阵设定的基础知识（*，续）
转换矩阵病态：转换矩阵的行列式取值为0时导致转换失败的空间维
度变换过程。
转换矩阵病态的案例： 例1. Y X , 左乘T 0的转换矩阵
=0时也能完全拟合，模型失效
例2.Y X , 其中，Y u v w , X 3
T
1 1 1 T 令 T 1 1 1 0 ，则 TY u v w u v w u v w 1 1 1 u v w时，能完全拟合，模型失效
空间计量经济学导论（詹姆斯.勒沙杰）课件
范 巧 fanqmn@ 重庆科技学院经济系
小范经济工作室 在经济学的边缘上
拟讲授的主要内容
空间行列式的作用：多维空间的平面转换 空间行列式的基本运算法则
空间权重矩阵和空间最近邻矩阵的设定 空间行列式 I n W 的设定与转换 1 逆矩阵 ( I n W ) 的基本计算
9.(C D)m C m Dm
10.( A B)(C D) ( AC BD)
11.tr ( A ) i j
j i 1
n
12.diag ( AB) ( A ☉BT )n ，其中，☉为Hadamard乘积（对应元素的乘积）
13.tr ( AB) nT ( A ☉BT )n nT ( AT☉B)n
1 2 0 例： 3 1 2 1 0 1 3 1 2 11 3 0 3 3 3 2 3 1
3.1 空间权重矩阵 W 的性质和设定
空间权重矩阵的性质：
稀疏矩阵性质：提升了空间建模和运算的效率； 将空间问题转化为矩阵问题，便于统计分析和数学运算；
1 空间模型参数效应计算中 ( I n W ) 的矩阵转化 对数行列式 ln I n W 的基本计算 对数行列式 ln I n W 的蒙特卡罗模拟 对数行列式 ln I n W 的复杂运算
对数行列式 ln I n W 的误差对参数估计的影响 空间计量经济模型参数估计的闭式解
i 1 n
4.ln I n W
i 1

i tr (W i )
i
5. eC etr (C )
6. C a C
a
7. C D C
dim( D )
D
dim( C )
，其中， dim （ *）为向量的维数
2.2 空间行列式的基本运算法则（续）
8.tr (C D) tr (C )tr ( D) ，其中， 为克内罗克积
转换矩阵的运用案例：正方形的平面拉伸
1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S 左乘 2 阶转换矩阵 T S [ ] C 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1.1 多维空间的平面转换：转换矩阵的利用(续)
转换矩阵的运用案例（续）； 0 1 0.9 1.9 0 1 0.5 1.5 T S S ; T S ; T S 0 0.9 1 1.9 0 0.5 1 1.5 C 0 C 0.9 C 0.5 C的不同取值对平面拉伸影响的图示分析：
计算行列式的值： A V ( I 2 a B )V
T
A V I 2 a B V T (1 a11 )(1 a 22 ) (1 a)(1 a) 1 a 2
2.2 空间行列式的基本运算法则
1. CD C D
2. C T C
3. G Gii , G为对角或者三角矩阵
空圆特性
最大化最小三角特性
3.3 空间权重矩阵的设定步骤
空间权重矩阵的设定步骤：
将空间观测值映射转化成二维平 面观测值； 基于软件得到n个观测值的维诺 多边形、位点和德劳内三角形网； 德劳内三角形的顶点即该位点 的一阶近邻；基于各位点与其顶点的 欧氏距离公式，可以计算得到空间权 重矩阵W；（距离数值需转化为空间 平均计算6 n次 随机矩阵）。 基于德劳内三角形网还可以搜寻 各个位点的m个最近邻；
空间权重矩阵设定原则：重新排列空间权重矩阵的元素不影响空间行
列式的计算。
设WP PWPT , 其中,P 1 PT , P PT 1 P( I n W ) PT I n W
空间权重矩阵设定的核心：基于维诺多边形、德劳内三角形和欧氏距 离公式赋值，可以得到 n n 阶空间权重矩阵。
(1.9,1.9)
行列式S代表的面积为1，则行列 式转换导致TS的面积取决于|T|。
(1.5,1.5)
(0,1) (0.5,1) (0.9,1)
T S (1 C 2 )S S
转换矩阵的引入将导致四边形 面积缩小。
(1,1)
(1, 0.9) (1, 0.5)
(0, 0)
(1, 0)
1.2 转换矩阵的病态取值
3.2 空间权重矩阵设定的基础知识（*）
欧氏距离公式：
对于n维观测值：A a(1), a(2),, a(n) B b(1), b(2), , b(n) ;
欧里几德度量的距离为(欧氏距离)： ( A, B) {[a(i) b(i)]2 }1 2
i 1
LU法：基于单位下三角矩阵L、上三角矩阵U、置换矩阵P，结合 PA=LU，得到 A L U P ； Cholesky分解： 2 A RT R A R RT R ； 对于对称正定矩阵， 对于非对称矩阵A，则：
A abs(U ii ) ln A A 2ln abs( A ) 2 ln abs(U ii )
空间行列式的排序方法对运算时间的影响：样本622226个
I n W的排列和Choleysky、LU 矩阵分解时间
不同计算方式 所需变换时间（秒）
按地理方式排序 0.058
反Cuthill-McKee排列 0.058
极小度排序 0.061
Choleskey方式计算时间（秒）
LU方式计算时间（秒） U矩阵中非0元素百分比
n T 1 n n 1 ( u ) ( u ) 1 2 )( ) (n ) 2 (1 ) 2 T分布：T (u ) ( 2 2 n
2.1 矩阵运算的几种主要算法
转换运算的主要算法：
高斯消元法：将某一行的倍数加到另一行得到三角矩阵；
1.3 平面转换的收缩效应与分布调整
平面转换的收缩效应：如PPT1.1正方形的拉伸面积缩小，更一般如书
上P58.
平面转换收缩效应条件下保持单位体积的分布调整： 1 1 2 二元正态分布： N (u) (2 )n 2 exp( (u )T 1 (u )) 2
A X X
特征值 特征向量
特征值与行列式值的关系：
给定行列式，求解行列式的特征值：
n n阶行列式A，其特征值为f A ( ) I n A 0的解
给定特征值，求解行列式的值：
若1、2、 、n为Ann的特征值，则A的行列式值 A i
i 1 n
T i 1 i 1 n n
2.1 矩阵运算的几种主要算法(续)
转换运算的主要算法（续）：
0 1 , 求解 A ? 1 0
频谱分解法： A I 2 aB, 其中，B
构造矩阵B的频谱分解等式： B V BV T
1 0 0.7071 0.7071 B ; V ;VV T I n ; V V T 1 0 1 0.7071 0.7071
2.3 克内罗克积的运算
克内罗克积（Kroneker）：两个任意大小矩阵之间的运算，其运算法
则如下：
a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn mn
a1n B a2 n B amn B
m个最近邻空间权重矩阵中行元素的获得：以累积四阶近邻中寻找m个 最近邻为例。 Z W W 2 W 3 W 4
基于德劳内三角形找观测值1的所有1-4阶近邻； 计算所有近邻到观测值1的距离，并按从小到大排序，分别填 入上述m个最近邻空间权重矩阵。重复以上步骤得到各行元素。
I n W
德劳内（ Delaunay ）三角形：对平面数据集 P {P 1, P 2, P 3 , , P n} ，
基于如何特征的任意三点形成的三角形组合。 空圆特性：德劳内三角形网是唯一的，在三角形网中任一三角 形的外接圆范围内不会有其它点存在。 最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中， Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。
b11 b12 b b22 21 B bp1 bp 2
b1q b2 q bpq p q
3 1 2 0 2 3 2 2 2 1 1 0 1 3 1 2 11
a11 B a12 B a B a B 22 A B 21 am1 B am 2 B