2019-2020学年江苏省南通市启东市高一(上)期末数学试卷
江苏省南通市启东中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)
江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若1∈{x ，x 2}，则x =（ ） A. 1B. 1-C. 0或1D. 0或1或1-【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1， 进而分类讨论：①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x 2=1，解可得x =-1或x =1（舍）， 当x =-1时，x 2=1，符合题意， 综合可得，x =-1， 故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知集合{|1}P x y x ==+，集合{|1}Q y y x ==+，则P 与Q 的关系是（ ）A. P Q =B. P Q ⊆C. P Q ⊇D. P Q φ⋂=【答案】C 【解析】试题分析：因为集合代表的是函数的定义域，代表函数的值域，，.所以，故选C.考点：集合的包含关系.3.已知集合A ={a -2，2a 2+5a ，12}，-3∈A ，则a 的值为（ ） A. 1-B. 32-C. 1或32-D. 1-或32- 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 【详解】∵-3∈A ∴-3=a -2或-3=2a 2+5a ∴a =-1或a =-32， ∴当a =-1时，a -2=-3，2a 2+5a =-3，不符合集合中元素的互异性，故a =-1应舍去当a =-32时，a -2=-72，2a 2+5a =-3，满足． ∴a =-32．故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.4.如果集合S ={x |x =3n +1，n ∈N }，T ={x |x =3k -2，k ∈Z }，则（ ） A. S n T B. T S ⊆C. S T =D. S T ≠【答案】A 【解析】 【分析】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系.【详解】由T ={x |x =3k -2=3（k -1）+1，k ∈Z }={x |x =3（k -1）+1，k -1∈Z } 令t =k -1，则t ∈Z ，则T ={x |x =3t +1，t ∈Z } 通过对比S 、T ，且由常用数集N 与Z 可知N n Z故S n T. 故选A ．【点睛】本题考查集合间包含关系，考查基本分析判断能力，属基础题.5.已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ）A. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,4-C. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. []5,5-【答案】C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2，即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.6.函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()0,4B. [)0,4C. []0,4D. (]0,4【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意可知210mx mx ++>恒成立，当0m =时10>恒成立；当0m ≠时需满足0m >⎧⎨∆<⎩，代入解不等式可得04m <<，综上可知实数m 的取值范围是[)0,4考点：函数定义域7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭x 取值范围是（）A. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C. 12,23⎛⎫⎪⎝⎭D. 1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得1(21)()3f x f -<，再利用函数的单调性和奇偶性可得1213x -<，由此求得x 的取值范围，得到答案.【详解】由题意，函数()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞上为单调递增函数，又因为1(21)()03f x f --<，即1(21)()3f x f -<，所以1213x -<，即112133x -<-<，求得1233x <<，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，其中根据函数的奇偶性和函数的单调性，把不等式转化为1213x -<求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. ()3f x x =- B. 2()3f x x x =- C. 1()1f x x =-+ D. ()f x x =-【答案】C 【解析】 【分析】由题意知A 和D 在（0，+∞）上为减函数；B 在（0，+∞）上先减后增；c 在（0，+∞）上为增函数，根据基本函数的性质判断即可.【详解】观察函数∵f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，∴A 不正确； ∵2()3f x x x =-是开口向上对称轴为32x =的抛物线,所以它在(0,+∞)上先减后增，∴B 不正确；()11f x x =-+Q 在()0,∞+上y 随x 的增大而增大，所它为增函数，∴C 正确；∵f (x )=−|x |在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，所以它为减函数，∴D 不正确，故选C. 【点睛】一次函数的单调性由k 的正负确定。
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一上学期第一次质量检测数学试题(创新班)(解析版)
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一上学期第一次质量检测数学试题（创新班）一、单选题1．已知集合{1A =，22cos 2θ，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ⊆，则θ=( ) A ．0 B ．π2C ．πD ．3π2【答案】A【解析】B ⊆A ，可得：cosθ＝1，或cosθ222cos θ=，或cosθ＝3（舍去），由θ∈[0，2π），即可得出θ 【详解】 ∵B ⊆A ，∴cosθ＝1，或cosθ222cosθ=，或cosθ＝3（舍去），∵θ∈[0，2π），∴由cosθ＝1，可得θ＝0， 由cosθ222222coscos θθ==-1，无解．综上可得：θ＝0． 故选：A ． 【点睛】本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．2．已知非零向量m ，n 满足4│m│=3│n│，cos<m ，n>=13．若n ⊥（tm+n ），则实数t 的值为 A ．4 B ．–4C ．94D ．–94【答案】B【解析】试题分析：由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm m n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=所以4t =-，故选B ．【考点】平面向量的数量积 3．下列说法正确的是( )A ．因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；B ．因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；C ．因为π4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2是函数sin y x =的一个周期；D ．因为πcos()cos 3x x +≠，所以π3不是函数cos y x =的一个周期．【答案】D【解析】由周期函数的定义可判断A ；由tan （x +π）＝tan x ，结合周期函数的定义可判断B ； 由x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭不成立，结合周期函数的定义可判断C ；由周期函数的定义，可判断D ． 【详解】由sin(π)sin x x -=，不满足周期函数的定义，故A 错误；tan （2π+x ）＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的一个正周期，由tan （x +π）＝tan x ， 可得π是函数y ＝tan x 的最小正周期，故B 错误；4x π=时，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭成立，但x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭不成立，所以2π不是函数y ＝sin x 的一个周期，故C 错误； 由3cos x cosx π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，由周期函数的定义，可得3π不是函数y ＝cos x 的一个周期，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查周期函数的定义和应用，考查诱导公式的应用，以及推理能力，属于基础题． 4．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A ．12t =，s 的最小值为6πB ．t =s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．2t =，s的最小值为3π【答案】A【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为1(,)122π，此时min 4126s πππ=-=，故选A.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.5．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC 的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 6．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7．已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状． 详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2，根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选：B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．8．已知α∈R ，sin cos 2αα+=，则tan2α=( ) A ．43B ．34 C ．34-D ．43-【解析】将sin cos 2αα+=两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出tan α，再利用二倍角的正切公式即可求出tan2α. 【详解】()22222225sin 4sin cos 4cos sin 2cos =sin 4sin cos 4cos =2sin cos αααααααααααα++=++++再同时除以2cos α，整理得22tan 4tan 45tan 12ααα++=⇒+23tan 8tan 30αα--= 故tan 3α=或1tan 3α=-，代入22tan tan21tan ααα=-，得3tan 24α=-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题.9．已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[1，2]C ．1[4-，2]D ．1[4-，)+∞【答案】C【解析】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点,由f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点．f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 则a ∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与三角函数的单调性、方程的解转化为函数图象的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则3πsin(5π)sin()2αα-⋅-=( )A ．34B ．310C ．310±D ．310-【答案】B 【解析】由sin cos 2sin cos αααα+=-得tanα，根据诱导公式和同角三角函数间的基本关系化简所求为tanα的齐次式即可求出原式的值． 【详解】 已知sin cos 2sin cos αααα+=-故tanα＝3，又()223πsin cos sin(5π)sin()sin cos 2sin cos αααααααα-⋅-=--=+ 故原式＝2tan 31tan 10αα=+． 故选：B【点睛】此题考查学生灵活运用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值，是一道综合题． 11．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．6πB ． 4πC ．3π D ．2π 【答案】A【解析】利用函数的对称中心，求出ϕ的表达式，然后确定|ϕ |的最小值． 【详解】∵函数y ＝3cos （2x +ϕ）的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， ∴4232k ππϕπ⋅+=+，得136k πϕπ=-，k ∈Z ，由此得||6min πϕ=． 故选A. 【点睛】本题是基础题，考查三角函数中余弦函数的对称性，考查计算能力，对于k 的取值，确定|ϕ |的最小值，是基本方法．12．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==,===–2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是 A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题 【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．二、填空题 13．函数2tan 1y x =-的定义域是______．【答案】(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】利用正切函数性质及分母不为0列不等式求解即可 【详解】由题知：原式有意义则22k x k ππππ-<<+且 tan 1x ≠即224k x k x k ππππππ⎧-<<+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩，故函数2tan 1y x =-的定义域是(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查函数的定义域的求法，熟记正切函数的基本性质是关键，考查计算能力． 14．已知a 的方向与x 轴的正向所成的角为120，且||2a =，则a 的坐标为_______________．【答案】（﹣11，）【解析】根据题意画出向量，利用三角函数的定义求得对应点的坐标即可． 【详解】向量a 的方向与x 轴的正向所成的角为120°，且|a |＝2， 如图所示，向量a 的终点为A 或B ， 由三角函数的定义，可得A （﹣1， B （﹣1，；所以a 的坐标为（﹣11，． 故答案为：（﹣11，．【点睛】本题考查了平面向量的坐标求法问题，是基础题．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .【答案】4【解析】【详解】试题分析：当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． (1)证明：2a b c +=； (2)求证：cos C ≥12． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）先切化弦并将分式通分，利用两角和的正弦公式结合正弦定理即可证明 （2）利用余弦定理结合基本不等式证明 【详解】（1）tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+则sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B B A+=+⋅⋅，即()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2()2cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B B A A BA B A B A B A B A B++++=∴=⋅⋅ 由正弦定理得2c a b =+ （2）由余弦定理得()22222222332124242cos 22222a b ab ab a b a b ab a b c C ab ab ab ab +⎛⎫+-+-⨯- ⎪+-⎝⎭===≥= 当且仅当a b =等号成立，则cos C ≥12成立 【点睛】本题考查余弦定理，两角和的正弦、余弦公式，商的关系的综合应用，熟练掌握公式并会应用是解本题的关键，考查学生的化简计算能力． 18．已知α为第三象限角，且f (α)＝sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++- ．（1）化简f (α)； （2）若3π1cos()25α-=，求()f α的值；（3）若32π3α=-，求()f α的值．【答案】（1）f （α）＝﹣cosα；（2）f （α）=（3）f （α）＝12【解析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，利用同角三角函数的基本关系约分求得函数f （α）的解析式．（2）利用诱导公式求得sinα的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosα，代入（1）中函数解析式求得答案．（3）利用诱导公式化大角为小角代入求值即可 【详解】 （1）f （α）=sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++-=sin cos t n t n sin ααααααα⋅⋅-=-⋅（）cosα（2）∵cos （a 32π-）15=，∴sinα15=-，∵a 是第三象限角，∴cosα5==-，∴f （α）＝﹣cosα=（3）f （α）＝﹣cos 3241cos 332ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负．19．已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =sin 2)x a -，()f x OA OB =⋅．（1）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间； （2）当[0x ∈，π]2时，()f x 的最大值为5，求a 的值；（3）当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π]2上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）f （x ）=＝2a sin （2x 6π+），单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）；（2）a ＝﹣5或a 52=．（3）（0，1）． 【解析】（1）化简f （x ）＝2a sin （2x 6π+），再利用三角函数性质求单调区间； （2）讨论a 的正负，确定最大值，求得a ；（3）化简不等式，转化恒成立问题为函数的最值问题，即可求解． 【详解】（1）f （x ）OA =•OB =2a cos 2x sin2x ﹣a＝2a sin （2x 6π+）， ∵a ＞0，∴2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）（2）f （x ）＝2a sin （2x 6π+），当x ∈[0，2π]时，2x 6π+∈[6π，76π]； 若a ＞0，2a ＝5，则a 52=；若a ＜0，﹣a ＝5，则a ＝﹣5； 综上所述，a ＝﹣5或a 52=． （3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，2π]上恒成立， ∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，x ∈[0，2π]上恒成立，∴f （x ）max ﹣2＜m ＜f （x ）min +2，x ∈[0，2π]∵f （x ）＝2sin （2x 6π+）在[0，2π]上的最大值为2，最小值为﹣1．∴0＜m ＜1．即实数m 的取值范围为（0，1）． 【点睛】本题考查了平面向量的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性很强，属于难题． 20．已知在ABC 中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1an 3t CAD ∠=． (1)求BAC ∠的值；(2)若AD =ABC 面积． 【答案】（1）∠BAC 4π=（2）4．【解析】（1）直接利用两角和的正切公式求出结果． （2）在△ABC 和△ABD，利用正弦定理得以AC AD =AC ＝4，AB ＝，再利用三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】（1）在△ABC 中，D 为BC 中点，12tan BAD ∠=，13tan CAD ∠=． 所以tan ∠BAC ＝tan （∠BAD +∠CAD ）1123111123+==-⋅，由于0＜∠BAC ＜π，故∠BAC 4π=．（2）如图由12tan BAD ∠=，13tan CAD ∠=，所以sin BAD ∠=sin CAD ∠= 在△ABC 和△ABD ，利用正弦定理BD AD sin BAD sinB =∠，BC ACsin BAC sinB=∠得4BCsinACBD ADsin BAD π=∠，又BC ＝2BD ，所以AC AD =AD =，所以AC ＝4， 同理可得AB ＝所以1144222ABCSAB ACsin BAC =⋅∠=⋅⋅=． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的和角公式的运用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为S 1,正方形的面积为S 2．(1)用a ，θ表示S 1和S 2； (2)当a 固定，θ变化时，求12S S 取最小值时的角θ． 【答案】（1）S 112=a 2sinθcosθ；S 2＝21asin cos sin cos θθθθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭；（2）当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94． 【解析】（1）据题三角形ABC 为直角三角形，利用三角函数分别求出AC 和AB ，得出三角形ABC 的面积S 1；设正方形PQRS 的边长为x ，利用三角函数分别表示出BQ 和RC ，由BQ +QR +RC ＝a 列出方程求出x ，算出S 2； （2）化简比值12S S ，设t ＝sin2θ来化简求出S 1与S 2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ． 【详解】（1）在Rt △ABC 中，AB ＝a cosθ，AC ＝a sinθ，所以S 112=AB •AC 12=a 2sinθcosθ； 设正方形的边长为x 则BP xsinB =，AP ＝x cosθ，由BP +AP ＝AB ，得xsin θ+x cosθ＝a cosθ， 解得x 1asin cos sin cos θθθθ=+；所以S 2＝x 221asin cos sin cos θθθθ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；（2）()212112sin cos S S sin cos θθθθ+=⋅ 211222sin sin θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1124sin θ=+sin2θ+1， 令t ＝sin2θ，因为 0＜θ2π＜，所以0＜2θ＜π，则t ＝sin2θ∈（0，1]，所以12114S S t =+t +1； 设g （t ）114t =+t +1， 则g ′（t ）2114t =-+，t ∈（0，1]；所以函数g （t ）在（0，1]上递减，因此当t ＝1时g （t ）有最小值g （t ）min ＝g （1）1114=+⨯1+194=， 此时sin2θ＝1，解得θ4π=；所以当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94． 【点睛】本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．22．设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ，向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设函数ππ()2sin()cos()36h x x x =--+，求证：()h x S ∈；(2)记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x，若函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）13k <<（3）34⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【解析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为h （x）1sin 2x x=-+于是结论可证；（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围 （3）由f （x）=（x +φ）可求得x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，其中tan x 0a b=，换元求得ab 的范围，再利用二倍角的正切可求得tan2x 0的范围．【详解】（1）∵ππ()2sin()cos()36h x x x =--+1sin 2x x =-+∴函数h （x ）的相伴向量OM =（12-， ∴h （x ）∈S（2）∵()2cos f x x =则4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ⎧⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，[0x ∈，2π]则()g x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，3ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，53ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，又()()()401,3,1,5,2133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫====-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，实数k 的取值范围为13k <<（3）OM 的相伴函数f （x ）＝a sin x +b cosx =（x +φ）， 其中cosφ=sinφ=当x +φ＝2k π2π+，k ∈Z 即x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，∴tan x 0＝tan （2k π2π+-φ）＝cotφa b=，∴tan2x 0022022211()atanx b a b atan x b a b⨯===---． 令m b a =，则()()2223411043410m m a m m -+-=∴∆=-+≥ 解得113m ≤<（m=1不成立） 则tan2x 021m m=-，（113m ≤<） ∵1y m m=-单调递增，故m 1m -∈8,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∴tan 0342x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题．。
2019-2020学年江苏省南通市启东市高一(上)期末数学试卷
52019-2020学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷、单项选择题:A . 3B . §C .5D .5 5 53 3（3分）已知a331.4 2, b 1.7 ' , c1.7 2，则（）A . a c bB . c b aC . a bc D . b c a3分）在平面直角坐标糸中，设角的终边上任意一点P 的坐标是（x, y ），它与原点7.1.2.3. sin( -) 的值是（ )B .2 C .-22函数f(x ：）丄 竺的定义域为 ( )x 23B .( 3,2],2),2)(D .(,2)U (满足{1}A u {1 ,2, 3｝的集合 A 的个数为（ )A . 2B .34. （ 3分）在梯形ABCD 中， AB//CDLUT r UU LTrUUL ( ) 2 r rA . a b 3B . 2 r r a b32CD , E 是边CD 上的点，且CE1-CD •若 3(3 2ra3513，5 3 12 26分）已知向量 是第三象限角，贝U cos （—）的值为c 1^/3 5 C .5 3 12 26m (2,1) , n (0,1)(3,4) 26 ，若(m12 "3 5 26n)//p ，贝U ( (3 分)(3 分)A .(C .( (3 分)C . 82,f)1 A .- 2AB5则tan二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求&距离是r （r 0），规定：比值叫做r的正余混弦，记作 sch卄 1 .右 sch (09. （ 3分）已知全集U R ，集合A , B 满足A u B ，则下列选项正确的有 （ ）A . A |B BB . A U B BC .A)| BD . A | (e U B)10 . (3分)已知a , b , C 是三个非零向量，则下列结论正确的有()r rrr rA .若 ago |a ||b|，则 $//bB .若 a//b , b//C ，则 a//CA . f (0) 、2B .2C . f (x)的单调增区间为[1 8k , 1 8k](k Z)D . f (x)的图象关于直线 x 5对称三、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1 - 13 . （3 分）计算：（一）3log 2 32 _____ .64 3 2x 3,x, , 2314 . （3 分）已知函数 f （x ） x 2, 2 x 1,若 f （x ）2，则 x _____4x,15 . （3分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形ABCD 的顶点A , B 分别在x 轴非负半 轴和y 轴的非负半轴上滑动，顶点C 在第一象限内，AB 2 , BC 1，设 DAx ，若 一，4第2页（共16页）r rC .若 ag) bgc ，则 arb ra贝rb r ar b ra若D.11. （3分）下列函数中，既是偶函数，又在区间 A . y 疔B . y （1）|x|（,0）上单调递C . ylog2?X|D . y si n x12. （3分）如图所示，点M , N 是函数f （x ） 2cos （ x ）（ 0, 2-）的图象与x 轴的交点，点 P 在M , N 之间的图象上运动，若M （ 1,0），且当 MPN 的面积最大时,PM PN ，贝U ()数a 的取值范围是四、解答题：请在答题卡指定区域内作答 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1X17. 设全集 U R ，集合 A{x|1xm5} , B x| 24 .(1 )当 m 1 时，求 A | B)；(2)在①A I B，②A U B A ，③A (e U B)这三个条件中任选一个，求实数值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知函数 f(x) 2cosx(.3s inx cosx) 1 . (1 )求f(x)的周期和单调区间； (2 )若 f ( ) 8 ,(—,)，求 cos2 的值. 54 219. 已知函数f(x) 2x 2 x . (1) 判断并证明f (x)的奇偶性；(2) 求函数g(x) 22x 2 2x f (x)在区间［0,1］上的最小值和最大值.11 20. 如图，M , N 分别是 ABC 的边BC , AB 上的点，且BM BC , AN AB4 2交CN 于P .…UUU UUU LUT，亠(1 )若 AM xAB yAC ，求 x y 的值；uur LUT则OCgOD 的取值范围为| x 16. (3分)已知函数f(x) 2 (2xa)",xT.1|,x1,若函数y f(x) 1恰有4个不同的零点,2 “则实UU uur(2)若AB 4 , AC 3, BAC 60，求APgBC 的值.m的取,AM21. “百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利a(a 0)万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目•经过测算，发现该流水线改造后获利f(x)万元与技术投入x万元之间满足的关系式：f (x) 4x(a x).该公司希望流水线改造后获利不少于x2万元，其中为常数，且T .(1 )试求该流水线技术投入x的取值范围；(2)求流水线改造后获利f(x)的最大值，并求出此时的技术投入x的值.22. 已知函数f (x) log2 x , g(x) log2(ax 1), a R .(1 )若a 2，解关于x的方程f (x) g(x) 0 ;(2)设t R，函数h(x) | f (x) t | t在区间［2 , 8］上的最大值为3,求t的取值范围；(3)当a 0时，对任意m ［1,1］，函数y g(x) f (x)在区间［m , m 1］上的最大值与最2小值的差不大于1,求a的取值范围.。
江苏省启东中学2019-2020学年高一上学期第一次质量检测数学试题 含答案
江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期第一次月考高一数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若1∈{x，x2}，则x=（）A. 1B.C. 0或1D. 0或1或2.已知集合，集合，则P与Q的关系是A. B. C. D.3.已知集合A={a-2，2a2+5a，12}，-3∈A，则a的值为（）A. B. C. D.4.如果集合S={x|x=3n+1，n∈N}，T={x|x=3k-2，k∈Z}，则（）A. B. C. D.5.已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（）.A. B. C. D.6.函数f（x）=的定义域为，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是（）A. B. C. D.8.下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=4x2+kx-1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.10.已知函数y =f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，且f（2a-1）＜f（1-a），则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.函数的最小值为（）A. 0B.C.D.12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A. 0B. mC. 2mD. 4m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是______ ．14.设A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是______ ．15.已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______ ．16.已知函数是R上的递增函数，则实数m的取值范围是_____________.三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求值：（1）-（2-π）0-+；（2）已知0＜x＜1，且x+x-1=3，求．18.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．19.已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．20.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q （x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？21.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．22.已知二次函数满足，且．(Ⅰ)求a , b的值；(Ⅱ)若，在区间上的最小值为，最大值为，求的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，需要注意集合中元素的互异性，属于基础题.根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：x=1或者x2=1，每种情况下求出x的值，并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的表示方法，进行集合间的元素或判断集合间的关系时，应该先化简各个集合，再借助数轴或韦恩图进行运算或判断，属于基础题.通过求集合P中函数的定义域化简集合p，通过求集合Q中函数的值域化简集合Q，利用集合间元素的关系判断出集合的关系．【解答】解：依题意得，P={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，Q={y|y≥0}，∴Q⊆P，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】由于-3∈A则a-2=-3或2a2+5a=-3，求出a的值然后再代入再根据集合中元素的互异性对a进行取舍．本题主要考察了集合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的关键是求出a的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．【解答】解：∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a2+5a∴a=-1或a=-，∴当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去当a=-时，a-2=-，2a2+5a=-3，满足．∴a=-．4.【答案】A【解析】解：由T={x|x=3k-2=3（k-1）+1，k∈Z}={x|x=3（k-1）+1，k-1∈Z}令t=k-1，则t∈Z，则T={x|x=3t+1，t∈Z}通过对比S、T，且由常用数集N与Z可知N⊊Z故S⊊T故选A．若t=k-1，则将T化简为S的形式，对比常用数集即可得到答案本题考查了集合间相等关系的判断与应用，属于基础题5.【答案】C【解析】【分析】本题考查复合函数定义域的求解，是基础题.根据复合函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3，计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的定义域，考查含有参数的不等式恒成立问题，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于基础题．根据题意，可得在上恒成立，当时，有在上恒成立；当时，可得，即可求出结果.【解答】解：函数的定义域为，在上恒成立，①当时，有在上恒成立，符合条件；②当时，则，解得；综上，实数的取值范围是.故选.【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性,同时考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∴不等式等价为f（|2x-1|），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴，解得．故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的单调性与单调区间的知识点，属于基础题.根据各选项逐一分析各函数的单调性即可得出答案．【解答】解：A.∵f（x）=3-x在（0，+∞）上为减函数，故A不正确；B.∵f（x）=x2-3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，故B不正确；C.∵f（x）=-在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，故C正确；D.∵f（x）=-|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，故D不正确，故选C.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的单调性的判断，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．求出f（x）的对称轴方程，讨论f（x）在区间[1，2]上是单调增函数和减函数，注意对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=4x2+kx-1的对称轴为x=-，若f（x）在区间[1，2]上是单调增函数，可得-≤1，解得k≥-8；若f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，可得-≥2，解得k≤-16，综上可得k的范围是.故选A.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的性质的运用，利用函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，将f（2a-1）＜f（1-a）转化为：2a-1＞1-a求解，注意定义域的范围．【解答】解：函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，则有：，解得：.故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的最值，属于基础题.利用换元方法，设,t≥0，则x=t2-1,将已知函数化为关于t的二次函数们进一步求出最小值.【解答】解：设=t,t≥0，则x=t2-1,,解析式化为y=,t≥0，所以t=1时，原函数的最小值为-1.故选C.12.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．根据已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又函数y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故x i=×2=m，故选B．13.【答案】(-1，+∞）【解析】【分析】本题考查集合之间的基本运算问题，是基础题．因集合M、N是数集，容易得出结论．【解答】解：∵集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}={x|x≤k}，且M∩N≠∅，∴k的取值范围是：(-1，+∞）．故答案为(-1，+∞）．14.【答案】m≤3【解析】【分析】A∩B=B⇔B⊆A，利用集合的基本关系转化为元素与集合，元素与元素的关系求解．注意B=∅情情形．本题考查的知识点是交集及其运算及集合的包含关系判断及应用，解答时容易漏掉B=∅的情况．【解答】解：①由B={x|m+1≤x≤2m-1}=∅，可得m+1＞2m-1，m＜2，满足A∩B=B．②B≠∅时，需，解得2≤m≤3，综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3．故答案为：m≤3．15.【答案】0或【解析】【分析】通过集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出a的值即可．解题时容易漏掉a=0的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．【解答】解：因为集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，当a=0时，ax2-3x+2=0只有一个解x=，当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即△=9-8a=0即a=．所以实数a=0或．故答案为0或．16.【答案】m≤-10【解析】【分析】本题考查分段函数的单调性及一次、二次函数，函数f（x）是R上的单调递增函数，可得两段都是增函数，再结合函数在x=1时，二次函数的取值要大于或等于一次函数的取值，即可得出实数m的取值范围.【解答】解: 由题意可得，解得，所以m≤-10，故答案为m≤-10.17.【答案】解：（1）-（2-π）0-（+；原式=-1-+=-1-+=-+8=8.（2）由题意：0＜x＜1，∴＜0所以：（）2=x+x-1-2．∵x+x-1=3,∴（）2=1,故得=-1.【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）由题意0＜x＜1，且x+x-1=3，判断x-x的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．18.【答案】解：集合A={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|-3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|-4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（-4，3），∴2x2+ax+b=0的根是-4和3，由根与系数的关系得，解得a=2，b=-24．【解析】本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．（1）化简集合A、B，根据交集的定义进行计算即可；（2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、b的值．19.【答案】解：（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2+2x+1=0根的情况，是解答本题的关键．（1）若A中只有一个元素，表示方程ax2+2x+1=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，（2）A为空集，表示方程ax2+2x+1=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．20.【答案】解：（1）由题意得P（x）=12+10x，则f（x）=Q（x）-P（x）=,即为f（x）=；（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212-160=52万元当0≤x≤16时，函数f（x）=-0.5x2+12x-12，=-0.5（x-12）2+60，当x=12时，f（x）有最大值60万元，所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．【解析】本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，正确求出分段函数式，求出各段的最值是解题的关键，属于中档题．（1）先求得P（x），再由f（x）=Q（x）-P（x），由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．21.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式f（x2）-f（x）＞f（3x）的解集即可．22.【答案】解：（I）根据题意得，f(1)=a-4+b=-2，又因为f(x)=f(4-x)，所以二次函数的对称轴为，解得a=1，所以b=1，(II)由（I）可知，f(x)=，当m>2时，最小值，最大值，所以；当m+1<2<m+2，即0<m<1时，最小值为，最大值，所以；当m≤2<m+1，即1<m≤2，最小值为，最大值为，所以；当m+2≤2时，即m≤0时，最小值为，最大值，所以；所以，函数的图象如下：观察图象可知，函数的值域为.【解析】本题主要考查函数的解析式与分段函数，利用函数的图象求函数的值域，利用二次函数的性质研究最值.（1）利用二次函数的对称轴，即可得；（2）利用二次函数的性质，即可得最值，借助函数的图象，即可得分段函数的的值域.。
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一上学期第一次质量检测数学试题(创新班)(解析版)
13．函数 的定义域是______．
【答案】
【解析】利用正切函数性质及分母不为0列不等式求解即可
【详解】
由题知：原式有意义则 且
即 ，故函数 的定义域是
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的定义域的求法，熟记正切函数的基本性质是关键，考查计算能力．
14．已知 的方向与 轴的正向所成的角为 ，且 ，则 的坐标为_______________．
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标求法问题，是基础题．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC= ，a=1，则b=___.
【答案】
【解析】试题分析：因为 ，且 为三角形的内角，所以 ， ，又因为 ，所以 .
【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
∴cosθ＝1，或cosθ ，或cosθ＝3（舍去），
∵θ∈[0，2π），∴由cosθ＝1，可得θ＝0，
由cosθ 1，无解．
综上可得：θ＝0．
故选：A．
【点睛】
本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．
2．已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>= ．若n⊥（tm+n），则实数t的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用函数的对称中心，求出 的表达式，然后确定| |的最小值．
南通市启东市高一上期末数学试卷((含答案))
2017-2018学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）求值：sin1440°=．2．（5分）计算10lg3+log525=．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为．4．（5分）满足{1}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则tanα=．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为．8．（5分）已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则•=．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=，则f（﹣2016）=．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a 的取值范围是．13．（5分）若，是单位向量，且•=，若向量满足•=•=2，则||=．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求•及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．2017-2018学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）求值：sin1440°=0．【解答】解：sin1440°=sin（4×360°）=sin0°=0．故答案为：0．2．（5分）计算10lg3+log525=5．【解答】解：原式=3+2=5．故答案为：5．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为﹣2．【解答】解：∵∥，∴﹣k﹣2=0，解得k=﹣2．故答案为：﹣2．4．（5分）满足{1}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为7．【解答】解：若{1}⊊A⊆{1，2，3，4}，则A={1，2}或{1，3}或{1，4}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，3，4}或{1，2，3，4}显然这样的集合A有7个，故答案为：7．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=3．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=﹣22+2=﹣2，f（f（2））=f（﹣2）=（）﹣2﹣1=3．故答案为：3．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则tanα=﹣．【解答】解：∵α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，可得sinα=，cosα=﹣，则tanα==﹣，故答案为：﹣．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：由函数y=3x+b的图象不经过第二象限，可得1+b≤0，求得b≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．8．（5分）已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．【解答】解：∵sinθ=，θ∈（0，），∴cosθ=，∴sin（2θ﹣）=====．故答案为：．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则•=4．【解答】解：∵⊥，且||=2，∴=0，则．故答案为：4．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=，则f（﹣2016）=﹣1008．【解答】解：∵函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=0，y=0 得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，令y=﹣x 代入得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0 所以原函数是奇函数，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（2）=2f（1），f（3）=f（2）+f（1）=3f（1），∴f（n）=nf（1），∵f（1）=，∴f（﹣2016）=﹣f（2016）=﹣2016×f（1）=﹣2016×=﹣1008．故答案为：﹣1008．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．【解答】解：∵α∈（，2π），∴∈（），∴+==．故答案为：．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a 的取值范围是[0，1）．【解答】解：令g（x）=ax2﹣x﹣2a，a=0时，g（x）=﹣x，在（﹣∞，﹣1）递减，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，符合题意，a≠0时，则a＞0，g（x）的对称轴x=＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，只需g（﹣1）=a+1﹣2a＞0即a＜1即可，综上：0≤a＜1，故答案为：[0，1）．13．（5分）若，是单位向量，且•=，若向量满足•=•=2，则||=．【解答】解：∵，是单位向量，且•=，不妨设=（1，0），=．设=（x，y）．∵•=•=2，∴x=2，y=2，解得y=．∴=（2，）．则||==．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，令f（x）=0，即2sin（2x﹣）﹣1，sin（2x﹣）=，解得：x=或x=，（k∈Z）．故相邻的零点之间的间隔依次为，．y=f（x）在[a，b]上至少含有10个零点，等价于b﹣a的最小值为4×+5×=．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=+的定义域是A，∴定义域A={x|}={x|1≤x≤4}．（2）∵A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∪B=A，∴B⊆A，当B=∅时，m＞m+2，无解；当B≠∅时，，解得1≤m≤2．∴m的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求•及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，∴•=•（+）=2+•=22+2×1×cos60°=5，||2=2=（+）2=2+2•+2=22+2×2×1×cos60°+1=7，∴||=，cos∠BAC===；（2）∵P，Q分别是BC和CD的中点．∴=+，=﹣，∵=λ+，∴+=λ（+）+μ（﹣），∴，解得：，∴λ+μ=17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）=f（﹣1）=﹣2；（2）令x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=（1+x）﹣x=f（x），故x＞0时，f（x）=（1+x）﹣x，故f（x）=；故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减；（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1，故lga＞1或lga＜﹣1，解得：a＞10或0＜a＜．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a＞1，∴f（x）在[1，a]上单调递减，∴f（1）=a，即6﹣2a=a，解得a=2．（2）不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，即x|2ax﹣5|≤1对x∈[，]恒成立，故a≥且a≤在x∈[，]恒成立，令g（x）=，x∈[，]，则g′（x）=﹣，令g′（x）＞0，解得：≤x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x≤，故g（x）在[，）递增，在（，]递减，故g（x）max=g（）=，令h（x）=，x∈[，]，h′（x）=＜0，故h（x）在x∈[，]递减，h（x）min=h（）=7，综上：≤a≤7．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，∠PAB=a ，∠PAQ=，∴PB=100tanα，DQ=100tan （﹣α﹣）=100tan （﹣α），∴S 花卉种植面积=S △ABP +S △ADQ ==100×100tanα+100tan （﹣α）==，其中α∈[0，]，∴当sin （2α+）=1时，即θ=时，S 取得最小值为5000（2﹣）．…（8分）（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x ，CQ=y ，则BP=100﹣x ，DQ=100﹣y ， 在△ABP 中，tanα=，在△ADQ 中，tanβ=，∴tan （α+β）==，∵PB +DQ=PQ ，∴100﹣x +100﹣y=，整理可得：x +y=100+，∴tan （α+β）===1，∴α+β=，∴∠PAQ 是定值，且∠PAQ=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（16分）已知函数f （x ）=sinxcosx +sin 2x ﹣．（1）求f （x ）的最小正周期及其对称轴方程； （2）设函数g （x ）=f （+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．化简可得：f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）f（x）的最小正周期T=，由2x﹣=，（k∈Z），可得对称轴方程为：x=，（k∈Z）．（2）由函数g（x）=f（+）=sin（ωx+φ），（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）=sin（4x+）﹣4λsin（2x﹣）=cos（4x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=1﹣2sin2（2x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2．∵x∈[，]上，则2x﹣∈[0，]．故sin（2x﹣）∈[0，1]．当λ∈[﹣1，0]时，则有1+2λ2=，解得：λ=；当λ∈（0，+∞）时，sin（2x﹣）=0时，y取得最大值，此时﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2=1，与题意不符．当λ∈（﹣∞，﹣1）时，sin（2x﹣）=1时，y取得最大值，此时﹣2[1+λ]2+1+2λ2=﹣1﹣4λ=，解得：λ=﹣，不在其范围内，故舍去．故得满足题意的λ的值为．（ii）函数g（x）=sin（ωx+φ），若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），则有==3π，解得：T=4π，∴ω==．点（，1）在图象上，可得：+φ=2kπ．∵|φ|＜．∴φ=﹣不符合题意．舍去．当==3π，解得：T=．∴ω=．点（，0）在图象上，+φ=﹣π+2kπ．∵|φ|＜．∴φ=，∴g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）点（，1）在图象上，验证：sin（）=sin=1符合题意．故得g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）．。
江苏省启东中学2019-2020学年高一上学期第一次质量检测数学试题(创新班) Word版缺答案
江苏省启东中学2019～2020学年度第一学期第一次月考高一创新班数学试卷本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1A =，22cos 2θ，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ⊆，则θ= ( )A ．0B ．π2C ．πD ．3π22．已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos <m ，n 13>=．若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．4-C ．94-D ．943．下列说法正确的是( ) A ．因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；B ．因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；C ．因为π4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2是函数sin y x =的一个周期；D ．因为πcos()cos 3x x +≠，所以π3不是函数cos y x =的一个周期．4．将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(4P ，)t 向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '．若 P '位于函数sin 2y x =的图象上，则( ) A ．12t =，s 的最小值为π6 B ．3t =，s 的最小值为π6C ．12t =，s 的最小值为π3D ．3t =，s 的最小值为π35．已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为( )A ．58-B ．18C ．14D ．1186．若π3cos()45α-=，则sin2α=( )A ．725 B ．15C ．15-D ．725-7．已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则 ABC △一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．正三角形8．已知α∈R ，sin 2cos αα+=，则tan2α=( )A ．43B ．34 C ．34-D ．43-9．已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[1，2]C ．1[4-，2]D ．1[4-，)+∞10．已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则3πsin(5π)sin()2αα-⋅-=( )A ．34 B ．310C ．310±D ．310-11．如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4π(3，0)中心对称，则||ϕ的最小值为( )A ．π6B ．π4 C ．π3D ．π212．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-， 动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．494C 3763+ D 37233+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数2tan 1y x =-的定义域是 ．14．已知a r 的方向与x 轴的正向所成的角为120o ，且||2a =r，则a r 的坐标为 ． 15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =， 则b = ．16．设a ，b ∈R ，[0c ∈，2π)，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(a ，b ，)c 的组数为 ．三、解答题：本大题共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． ⑴证明：2a b c +=； ⑵求证：cos C ≥12． 18．(本题满分12分)已知α为第三象限角，且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋π）sin （π＋α）tan （2π－α）．⑴化简f (α)； ⑵若3π1cos()25α-=，求()f α的值； ⑶若32π3α=-，求()f α的值．19．(本题满分12分)已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =3sin 2)a x a -， ()f x OA OB =⋅．⑴求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间；⑵当[0x ∈，π]2时，()f x 的最大值为5，求a 的值；⑶当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π]2上恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本题满分12分)已知在ABC △中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1an 3t CAD ∠=．⑴求BAC ∠的值；⑵若10AD ABC △面积．21．(本题满分12分)如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的 内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为 S 1，正方形的面积为S 2． ⑴用a ，θ表示S 1和S 2； ⑵当a 固定，θ变化时，求12S S 取最小值时的角θ．22．(本题满分12分)设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ， 向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相 伴函数”构成的集合为S ．⑴设函数ππ()2sin()cos()36h x x x =--+，求证：()h x S ∈；⑵记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x ，若函数()()3sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π] 与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；⑶已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得 最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．。
2019～2020学年度学年度江苏省南通市通州、海安高一第1学期期末学业质量监测数学试题 及参考答案解析
江苏省南通市通州、海安2019—2020学年度第一学期学业质量检测高一数学试卷一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.集合A ＝{0,6,8}的非空子集的个数为A.3B.6C.7D.8 答案:C考点:集合子集个数问题解析:因为集合A 有三个元素,故子集的个数为23个,非空子集的个数为23﹣1个,即为7个,故选C.2.下列各图中,一定不是函数的图象的是答案:B考点:函数的定义解析:根据函数的定义,即可判断B 选项符合题意. 3.函数ln 1y x x=+-的定义域为 A.(0,1) B.(0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 答案:A考点:函数的定义域 解析:由题意得10x x ->⎧⎨>⎩,解得0＜x ＜1,即函数的定义域为(0,1),故选A.4.已知1tan 7α=,4tan 3β=-,且α,β∈(0,π),则αβ+＝ A.23π B.34π C.56π D.74π答案:B考点:两角和与差的正切函数解析:∵1tan 7α=＞0,4tan 3β=-＜0,且α,β∈(0,π), ∴α∈(0,2π),β∈(2π,π),∴αβ+∈(2π,32π),∴tan(αβ+)＝14tan tan 731141tan tan 1()73αβαβ-+==---⨯-,故34αβπ+=,所以选B. 5.智能主动降躁耳机工作的原理是:通过耳机两 端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听 感主动降躁芯片生成相等的反向的波抵消噪音 (如图).已知某噪音的声波曲线y =Asin(x ω)ϕ+(A ＞0,ω＞0,0≤ϕ＜2π)的振幅为1, 第5题 周期为2π,初相为0,则通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为 A.sin y x = B.cos y x = C.sin y x =- D.cos y x =- 答案:C考点:三角函数的图像与性质解析:根据振幅为1,得A ＝1；因为周期为2π,得ω＝1；初相为0,即ϕ＝0； ∴故声波曲线为sin y x =,则反向波曲线为sin y x =-,故选C.6.设1e u r ,2e u u r是平面内的一组基底,则下面的四组向量不能作为基底的是 A.1e u r ＋2e u u r 和1e u r ﹣2e u u r B.1e u r 和1e u r ＋2e u u rC.1e u r ＋32e u u r 和2e u u r ＋31e u rD.31e u r ﹣22e u u r 和42e u u r ﹣61e u r答案:D考点:平面向量的基本定理解析:根据平面向量的基本定理,不共线的两个向量才可以作为基底,由于选项D 中,31e u r﹣22e u u r ＝12-(42e uu r ﹣61e u r ),即31e u r ﹣22e u u r 和42e u u r ﹣61e u r 共线,故选项D 的两组向量不能作为基底.7.下列大小关系正确的是 A.4cos7π＜5cos 8π B.0.22()3-＜0.32()3- C.12(2)-＜12(3)-D.12log 2＜13log 3答案:B考点:余弦函数、指数函数、幂函数的单调性,对数的运算解析:选项A,函数cos y x =在(0,π)单调递减,又0＜47π＜58π＜π,故4cos 7π＞5cos 8π,故选项A 错误；选项B,函数2()3xy =在R 单调递减,又﹣0.2＞﹣0.3,∴0.22()3-＜0.32()3-,选项B 正确；选项C,函数12y x-=在(0,+∞)单调递减,又2＜3,∴12(2)-＞12(3)-,选项C 错误； 选项D,∵121log 22=-,131log 32=-,∴12log 2＝13log 3,故选项D 错误.综上所述,本题选B.8.已知方程ln 112x x =-的实数解为0x ,且0x ∈(k ,k ＋1),k N *∈,则k ＝ A.1 B.2 C.3 D.4答案:D考点:函数与方程解析:方程ln 112x x =-的实数解,即为方程ln 2110x x +-=的实数解, 令函数()ln 211f x x x =+-,显然函数()f x 单调递增,又(4)ln 430f =-<,(5)ln510f =->, 故存在0x ∈(4,5),使0()0f x =,故k ＝4,本题选D. 9.函数421y x x =--的图象大致为答案:A考点:函数的奇偶性、函数最值、函数图象解析:令42()1f x x x =--,则4242()()()11()f x x x x x f x -=----=--=, ∴原函数是偶函数,关于y 轴对称,排除选项B 、C, 又422215()1()24f x x x x =--=--,故当2x =,函数有最小值,则排除选项D.故本题选A. 10.已知函数3cos()2y x ππ=+,x ∈[56,t )(t ＞56)既有最小值也有最大值,则实数t 的取值范围是A.31326t <≤ B.32t >C.31326t <≤或52t > D.52t >答案:C考点:三角函数的图像与性质,三角函数最值 解析:∵x ∈[56,t )(t ＞56),∴32x ππ+∈[73π,32t ππ+),要使原函数既有最小值也有最大值,则311323t ππππ<+≤或342t πππ+>,解得31326t <≤或52t >,故选C. 二、 多项选择题(本大题共3小题,每小题4分, 共计12分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)11.对于给定的实数a ,关于实数x 的一元二次不等式()(1)0a x a x -+>的解集可能为 A.∅ B.(﹣1,a )C.(a ,﹣1)D.(-∞,﹣1)U (a ,+∞) 答案:ABCD考点:二次函数与一元二次不等式解析:关于实数x 的一元二次不等式()(1)0a x a x -+>,当a ＝0时,原不等式解集为∅,故A 正确；当a ＞0时,原不等式解集为(-∞,﹣1)U (a ,+∞),故D 正确； 当﹣1＜a ＜0时,原不等式解集为(﹣1,a ),故B 正确； 当a ＜﹣1时,原不等式解集为(a ,﹣1),故C 正确. 综上所述,本题答案为ABCD.12.定义:在平面直角坐标系xOy 中,若存在常数ϕ(ϕ＞0),使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后,恰与函数()y g x =的图象重合,则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”.下列四个选项中,函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是 A.2()f x x =,2()21g x x x =-+ B.()sin f x x =,()cos g x x = C.()ln f x x =,()ln 2x g x = D.1()()3x f x =,1()2()3x g x = 答案:AC考点:函数图象的变换解析:选项A,函数2()f x x =的图象向右平移1个单位得函数2()21g x x x =-+的图象,函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”；选项B,函数()sin f x x =的图象向右平移32π个单位得函数()cos g x x =的图象,函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”；选项C,函数()ln f x x =的图象横坐标扩大为原来的两倍得函数()ln2xg x =的图象,函数()y f x =不是函数()y g x =的“原形函数”；选项D,函数1()()3xf x =的图象纵坐标扩大为原来的两倍得函数1()2()3xg x =的图象,函数()y f x =不是函数()y g x =的“原形函数”. 故只有AB 符合题意.13.如图,4×6的方格纸(小正方形的边长为1)中有一个向量OA u u u r(以图中的格点O 为起点,格点A 为终点),则A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA u u u r是相反向量的共有11个B.满足OA OB 10-=u u u r u u u r的格点B 共有3个 C.存在格点B,C,使得OA OB OC =+u u u r u u u r u u u rD.满足OA OB 1⋅=u u u r u u u r的格点B 共有4个 第13题答案:BCD考点:平面向量综合解析:分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA u u u r是相反向量的共有18个,故A 错误；OA OB 10-=u u u r u u u r,即BA 10=u u u r ,确实格点B 共有3个,故B 正确；因为存在格点B,C,使得四边形OBAC 是以OA 为对角线的矩形,故存在格点B,C,使得OA OB OC =+u u u r u u u r u u u r ；不妨设O(0,0),则A(1,2),设B(0x ,0y ),由OA OB 1⋅=u u u r u u u r,即0021x y +=,格点B(0x ,0y )在一次函数1122y x =-+上,该直线正好经过图中4个格点,故选项D 正确. 故本题选BCD.三、填空题(本大题共4小题, 每小题4分,共计16分.其中第17题共有2空,每空2分；其余题均为一空, 每空4分.请把答案填写在答题卡相应位置上)14.已知集合A ＝{﹣1,0,1},B ＝{0,1,2},C ＝{1,3},则(A I B)U C ＝ . 答案:{0,1,3}考点:集合的交并运算解析:∵集合A ＝{﹣1,0,1},B ＝{0,1,2}, ∴A I B ＝{0,1},又C ＝{1,3}, ∴(A I B)U C ＝{0,1,3}15.如图,在平行四边形ABCD 中,AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r,点O 为对角线AC 与BD 的交点,点E 在边CD 上,且DE ＝2EC,则OE uuu r ＝ .(用a r ,b r表示)答案:1162a b +r r考点:平面向量的线性运算解析:111111OE OC CE (AB AD)AB AB AD 236262a b =+=+-=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r .16.中国扇文化有着深厚的文化底蕴,文人雅士喜在扇面上写字作画.如图,是书画家唐寅(1470—1523)的一幅书法扇面,其尺寸如图所示,则该扇面的面积为 cm 2.答案:704考点:弧长与扇形面积解析:设该扇环的圆心角为θ,设24cm 长的弧的半径为r ,则246416r r θ==+,求得r ＝485, 故该扇环的面积S ＝14814864(16)247042525⨯⨯+-⨯⨯=. 17.请先阅读下面的材料:对于等式ba c =(a ＞0,且a ≠1),如果将a 视为自变量x ,b 视为常数,c 为关于a (即x )的函数,记为y ,那么by x =,是幂函数；如果将a 视为常数,b 视为自变量x ,c 为关于b (即x )的函数,记为y ,那么x y a =,是指数函数；如果将a 视为常数,c 视为自变量x ,b 为关于c (即x )的函数,记为y ,那么log a y x =,是对数函数.事实上,由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如,如果c 为常数e(自然对数的底),将a 视为自变量x ,则b 为x 的函数,记为y ,那么yx ＝ ,若将y 表示为x 的函数,则y ＝ (x ＞0,且x ≠1). 答案:e ,1ln x考点:指对数函数解析:本题虽然文字多,但难度小,首先yx e =,即第一个空填e ,从而ln ln yx e =,则ln 1y x =,即1ln y x =,即第二个空填1ln x. 四、解答题(本大题共6小题,共计82分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,己知平面向量a r ＝(2,3),b r ＝(﹣2,4),c r＝(l,﹣1). (1)求证:a r ﹣b r 与a r ﹣c r垂直；(2)若a r ＋b λr 与c r是共线向量,求实数λ的值.19.(本小题满分14分)已知函数()sin f x x =,x ∈R.现有如下两种图象变换方案:方案1:将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移6π个单位长度； 方案2:将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变.请你从中选择一种方案, 确定在此方案下所得函数()g x 的解析式,并解决如下问题: (1)画出函数()g x 在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)请你研究函数()g x 的定义域,值域,周期性,奇偶性以及单调性,并写出你的结论.20.(本小题满分14分)已知全集U ＝R,集合A ＝{}22150x x x --<,集合B ＝{}2(21)()0x x a x a -+-<. (1)若a ＝1,求U ðA 和B ；(2)若A U B ＝A,求实数a 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知sin 23α=,α∈(2π,π),cos 35β=-,β∈(π,32π).(1)求sin(+4πα)和2sin cos sin cos ββββ+-的值；(2)比较α与2πβ-的大小,并说明理由.22.(本小题满分14分)用清水漂洗衣服上残留的洗衣液.对用一定量的清水漂洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一半,用水越多漂洗效果越好,但总还有洗衣液残留在衣服上.设用x单位量的清水漂洗一次后,衣服上残留的洗衣液质量与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数()f x,其中x＞0.(1)试规定(0)f的值,并解释其实际意义；(2)根据假定写出函数()f x应该满足的条件和具有的性质,并写出满足假定的一个指数函数；(3)设函数3()53xf xx+=+.现有c(c＞0)单位量的清水,可供漂洗一次,也可以把水平均分成2份后先后漂洗两次,试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由.23.(本小题满分14分)设a∈R,函数2()2xxa f xa+=-.(1)若a＝1,求证:函数()f x为奇函数；(2)若a ＜0,判断并证明函数()f x 的单调性；(3)若a ≠0,函数()f x 在区间[m ,n ](m ＜n )上的取值范围是[2m k ,2n k ](k R),求k a 的范围.。
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2019-2020学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：
1．（3分）sin()3π
-的值是( )
A ．
12
B C ．12
-
D ．
2．（3分）函数()f x =
的定义域为( ) A ．3
(,]2
-∞
B ．3
(,)2
-∞
C ．3
(,2)(2,]2
-∞--⋃
D ．3
(,2)(2,)2
-∞--U
3．（3分）满足{1}{1A ⊆Ü，2，3}的集合A 的个数为( ) A ．2
B ．3
C ．8
D ．4
4．（3分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 是边CD 上的点，且13
CE CD =．若
记AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r
，则(BE =u u u r ) A ．23a b -+r r
B ．23a b +r r
C ．43a b +r r
D ．2133
a b +r r
5．（3分）已知5
sin 13
θ=-，θ是第三象限角，则cos()3πθ-的值为( )
A B C D
6．（3分）已知向量(2,1)m =r ，(0,1)n =r ，(3,4)p =r ，若R λ∈，()//m n p λ+r r r
，则(λ=
) A ．35
B ．35
-
C ．53
D ．53
-
7．（3分）已知32
1.4a -=，32
1.7b -=，21.7c -=，则( ) A ．a c b <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．b c a <<
8．（3分）在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P 的坐标是(,)x y ，它与原点的距离是(0)r r >，规定：比值y x r -叫做α的正余混弦，记作sch α．若1
(0)5
sch ααπ=<<，则tan (α= )
A ．3
4
-
B ．
34 C ．43
-
D ．
43
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（3分）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有( ) A ．A B B =I
B ．A B B =U
C ．()U A B =∅I ð
D ．()U A B =∅I ð
10．（3分）已知a r ，b r ，c r 是三个非零向量，则下列结论正确的有( ) A ．若||||a b a b =r r
r r g
，则//a b r r B ．若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r
C ．若a b b c =r r r r g g ，则a b =r
r
D ．若||||a b a b +=-r r
r r ，则a b ⊥r r
11．（3分）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上单调递减的函数是( ) A ．32y x =
B ．||1
()2
x y =
C ．1
2
1log ||y x = D ．sin y x =
12．（3分）如图所示，点M ，N 是函数()2cos()(0,)22
f x x π
π
ωϕωω=+>-
<<的图象与x 轴
的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，若(1,0)M -，且当MPN ∆的面积最大时，
PM PN ⊥，则( )
A ．(0)2f =
B ．2
π
ωϕ+=
C ．()f x 的单调增区间为[18k -+，18]()k k Z +∈
D ．()f x 的图象关于直线5x =对称
三、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．（3分）计算：1
321()log 3264
--= ．
14．（3分）已知函数2323,,23(),1,24, 1.x x f x x x x x ⎧
+-⎪⎪
⎪
=-<<⎨⎪
⎪⎪⎩
„…若()2f x =，则x = ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴非负半轴和y 轴的非负半轴上滑动，顶点C 在第一象限内，2AB =，1BC =，
设DAx θ∠=，若4
π
θ=，
则点C 的坐标为
：若(0,)2
π
θ∈，则OC OD u u u r u u u r g 的取值范围为 ．
16．（3分）已知函数2|1|,1,
()2(2), 1.a
x x f x x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪-⎩…若函数()1y f x =-恰有4个不同的零点，则实
数a 的取值范围是 ．
四、解答题：请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设全集U R =，集合{|15}A x x m =-<-<，1|242x B x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
．
（1）当1m =时，求()U A B I ð；
（2）在①A B =∅I ，②A B A =U ，③()U A B ⊆ð这三个条件中任选一个，求实数
m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．已知函数()2cos (3cos )1f x x x x =+-． （1）求()f x 的周期和单调区间； （2）若8()5
f α=
，(4πα∈，)2π
，求cos2α的值．
19．已知函数()22x x f x -=-． （1）判断并证明()f x 的奇偶性；
（2）求函数22()22()x x g x f x -=+-在区间[0，1]上的最小值和最大值． 20．如图，M ，N 分别是ABC ∆的边BC ，AB 上的点，且14BM BC =，1
2
AN AB =，AM 交CN 于P ．
（1）若AM xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r
，求x y -的值；
（2）若4AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，求AP BC u u u r u u u r
g 的值．
21．“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利(0)a a >万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目．经过测算，发现该流水线改造后获利()f x 万元与技术投入x 万元之间满足的关系式：()4()f x x a x =-．该公司希望流水线改造后获利不少于2x λ万元，其中λ为常数，且1λ…．
（1）试求该流水线技术投入x 的取值范围；
（2）求流水线改造后获利()f x 的最大值，并求出此时的技术投入x 的值． 22．已知函数2()log f x x =，2()log (1)g x ax =+，a R ∈． （1）若2a =，解关于x 的方程()()0f x g x +=；
（2）设t R ∈，函数()|()|h x f x t t =-+在区间[2，8]上的最大值为3，求t 的取值范围；
（3）当0a >时，对任意1
[,1]2m ∈，函数()()y g x f x =-在区间[m ，1]m +上的最大值与最
小值的差不大于1，求a 的取值范围．。