《一元二次方程》单元综合测试题含答案

第一章 一元二次方程单元综合测试题
一、填空题（每题2分，共20分）
1．方程12
x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________．
（1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x
－2x=1； （4）ax 2+bx+c=0；（5）12
x 2=0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________．
4．如果21x －2x －8=0，则1x
的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是
________．
6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0•有两个不相等的实数根，则m•的取值范围是定______________．
7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________．
8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形_________
原方程的根为________．
9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）．
10．代数式12
x 2+8x+5的最小值是_________． 二、选择题（每题3分，共18分）
11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）．
A ．a=b=c
B ．一根为1
C ．一根为－1
D ．以上都不对
12．若分式22632
x x x x ---+的值为0，则x 的值为（ ）． A ．3或－2 B ．3 C ．－2 D ．－3或2
13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）．
A ．－5或1
B ．1
C ．5
D ．5或－1
14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）．
A ．（x+2）（x+3）
B ．（x －2）（x －3）
C ．（x －2）（x+3）
D ．（x+2）（x －3）
15已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，•则这个三角形的周长是（）．
A．8 B．8或10 C．10 D．8和10
三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分）
17．（1）2（x+2）2－8=0；（2）x（x－3）=x；
（3）2=6x；（4）（x+3）2+3（x+3）－4=0．
四、解答题（18，19，20，21题每题7分，22，23题各9分，共46分）
18．如果x2－10x+y2－16y+89=0，求x
y
的值．
19．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，•体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．
20．如图，是丽水市统计局公布的2000～2003年全社会用电量的折线统计图．
（1）填写统计表：
年份2000 2001 2002 2003
全社会用电量
（单位：亿kW·h）
13.33
（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率（保留两个有效数字）．
21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程1
2
x2b x+c－
1
2
a=0有两个
相等的实数根，•方程3cx+2b=2a的根为x=0．
（1）试判断△ABC的形状．
（2）若a，b为方程x2+mx－3m=0的两个根，求m的值．
24、如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?
25、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（不与B 点重合），动直线QD 从AB 开始以2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与BC 、AC 交于Q 、D 点，连结DP ，设动点P 与动直线QD 同时出发，运动时间为t 秒，
（1）试判断四边形BPDQ 是什么特殊的四边形？如果P 点的速度是以1cm/s ，
则四边形BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？
（2）求t 为何值时，四边形BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？
C A B P Q
D ← ↑ Q P B D A C
答案:
1．x1=3，x2=10
2．（5）点拨：准确掌握一元二次方程的定义：即含一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程．
3．6x2－2=0
4．4 －2 点拨：把1
x
看做一个整体．
5．m≠±1
6．m>－
1
12
点拨：理解定义是关键．
7．0 点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想．
8．y2－5y+6=0 x1x2=，x3x4=
9．x2－x=0（答案不唯一）
10．－27
11．D 点拨：满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．
12．A 点拨：准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．
13．B 点拨：理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x2+y2式子本身的属性．
14．C 点拨：灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键．
15．D 点拨：本题的关键是整体思想的运用．
16．C 点拨：•本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用．17．（1）整理得（x+2）2=4，即（x+2）=±2，∴x1=0，x2=－4
（2）x（x－3）－x=0，x（x－3－1）=0，x（x－4）=0，∴x1=0，x2=4．
（3）26x=0，x2－x+1=0，由求根公式得x1，x2．
（4）设x+3=y，原式可变为y2+3y－4=0，解得y1=－4，y2=1，
即x+3=－4，x=－7．由x+3=1，得x=－2．∴原方程的解为x1=－7，x2=－2．
18．由已知x2－10x+y2－16y+89=0，得（x－5）2+（y－8）2=0，∴x=5，y=8，∴x
y
=
5
8
．
19．（1）换元降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，解得y1=6，y2=－2．
由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，
b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解．所以原方程的解为x1=－3，x2=2．20
（2）设2001年至2003年平均每年增长率为x ，则2001年用电量为14.73亿kW ·h ， 2002年为14.73（1+x ）亿kW ·h ，2003年为14.73（1+x ）2亿kW ·h ． 则可列方程：14.73（1+x ）2=21.92，1+x=±1.22，∴x 1=0.22=22%，x 2=－2.22（舍去）． 则2001～2003年年平均增长率的百分率为22%．
21．（1）设每件应降价x 元，由题意可列方程为（40－x ）·（30+2x ）=1200， 解得x 1=0，x 2=25， 当x=0时，能卖出30件； 当x=25时，能卖出80件． 根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意． 故每件衬衫应降价25元．
（2）设商场每天盈利为W 元．
W=（40－x ）（30+2x ）=－2x 2+50x+1200=－2（x 2－25x ）+1200=－2（x －12.5）
2+1512.5 当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．
22．∵12x 2x+c －12
a=0有两个相等的实数根，
∴判别式=）2－4×12（c －12a ）=0， 整理得a+b －2c=0 ①，又∵3cx+2b=2a 的根为x=0，∴a=b ②．
把②代入①得a=c ，∴a=b=c ，∴△ABC 为等边三角形．
（2）a ，b 是方程x 2+mx －3m=0的两个根，
所以m 2－4×（－3m ）=0，即m 2+12m=0，∴m 1=0，m 2=－12．
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），
∴m=12．。