冲击函数
冲击函数的拉氏变换
冲击函数的拉氏变换关键词：冲激偶拉普拉斯变换拉氏变换绪言：如果你是自动化专业的学生，恰好你也曾发现纯微分环节的潜力，并且你找到一种办法能够解决微分积分难以实现理想互消的问题，如果你做到了可以随心所欲地取被控对象内部的号来帮助补偿系统而将系统校正成最简单的一阶惯性系统，并且做到了及时修正储能偏差这件事。
那么你一定对纯微分环节情有独钟。
因为只要你能化解纯微分带来的危害，你就能享受纯微分带来的好处。
如果恰好你也研究了输入的拉氏变换与系统的冲激响应的拉氏变换之积等于输出的拉氏变换。
也就是你恰好对纯微分环节和冲激响应同时感兴趣，那么你可能会对我下面说的内容感兴趣。
因为每当得出新结论时，往往下意识地去举例验证，而你最在意的东西，比如纯微分环节，就成了你优先验证的对象。
问题是这样产生的，当得出输出的拉氏变换等于输入的拉氏变换与系统的冲激响应的拉氏变换之积的结论后，以纯微分环节验证。
那么系统的冲激响应的拉氏变换即冲激偶的拉氏变换成为研究对象，开始很不愿意面对这个问题，因为不好求[笑哭]。
几番纠结之后求出一个错误结果，微分环节的冲激响应的拉氏变换竟然等于0，显然不合理。
几番折腾，曾怀疑卷积的拉氏变换性质不严谨[害羞]，曾怀疑冲激偶函数曲线过于反常而暴露了拉普拉斯变换的bug[害羞]。
最终偶然发现，冲激偶的拉氏变换真不等于0，而等于s，等于s才是合理的，否则传递函数理论体系就不完美了。
现在解释冲激偶的拉普拉斯变换，首先你得知道冲激偶是冲激号的导数，你还要知道冲激号是阶跃号的导数。
冲激号的脉冲幅度为1/dt，仅在t=0处幅值非0，冲激偶号仅在t=0-或0+时非零，t=0-时，脉冲幅度为（1/dt ）/dt ; t=0+时，脉冲幅度为-(1/dt )/dt，在进行拉普拉斯变换时，\int_{0^{-}}^{\infty}\delta'(t)e^{-st}dt=\frac{\frac{1}{dt}}{dt}e^{-s0^{-}}dt+\frac{-\frac{1}{dt}}{dt}e^{-s0^{+}}dt=\frac{e^{-s0^{-}}-e^{-s0^{+}}}{dt}=-(e^{-st})'|_{t=0}=-(-se^{-s0})=s上式即为冲激偶的拉普拉斯变换，语言叙述为：冲激偶的拉普拉斯变换为s.我是学生，水平和精力有限，不免出现疏漏，欢迎批评指正，感谢。
冲击函数和阶跃函数的傅里叶变换
ut 1 1 sgnt
22
1
2
1 sgnt
2
1
2
t
O 1
2
1 sgnt 1
2
j
ut
1
O
t
u(t) π 1
j
F
π
O
O
π
O
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不 满足绝对可积条件，不能用定义求。
比较
(t) 1
( ) 1
2π
f t
冲击函数和阶跃函数的傅里叶变换阶跃函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换sinc函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换冲激函数的傅里叶变换门函数的傅里叶变换矩形函数的傅里叶变换周期函数的傅里叶变换
§3.6冲激函数和阶跃函数的 傅里叶变换
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
一．冲激函数
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
2π
O
t
二．冲激偶的傅里叶变换
f
t
td t
f
0
F t t ej t d t
ej t
t0
j j
三．单位阶跃函数
冲击函数匹配法
由初始条件确定常数A1,A2.
r
r(0) (0)
A1 A1
A2
1 6
2 A2
2 3
1
2
得
A1
A
2
11
3 5
2
所以,系统响应为
r (t ) 11 e t 5 e 2t 1 e 4t t0
3
2
6
完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称 为系统的强迫响应.特征方程根i(i=1,2,…,n)称为系 统的‘固有频率’(或‘自由频率’)
例2-3:电路见图(1).t<0开关S处于1的位置且已经达
到稳态;t=0时,
S由1转向2,求
i(0 )和
d dt
i(0 )
解: 换路前
i(0)
iL(0)
R1
2 R2
4 5
A
d dti(0)
0
2 1 i(t)
C
uC(0)
iL(0)R2
43 52
6V 5
图(1)
换路后,作出0+时刻等效电路,见图(2).
解:将e(t)=u(t)代入方程式(1),求得t=0时微分方程表示为
d2 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
2 r (t )
(t)
3 u (t )
(2)
Δu(t)为0-到0+相对单位跳变函数,方程(2)右端自由项中含有(t),故
从0-到0+状态发生跳变.
方程(2)右端的冲激函数项最高阶次是(t),因而可以设
r (k) (0 )
[r (0 ),
d dt
r
(0
),
,
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值图1-2均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
冲击函数求导
冲击函数求导一、什么是冲击函数冲击函数（Impulse Function）是一种特殊的函数，它的值在时间 t=0 时突然变化，其他时间的值均为 0。
冲击函数可以用来描述物理系统中的冲击现象。
二、冲击函数的形式冲击函数的形式通常有两种：1. 单位冲击函数单位冲击函数（Unit Impulse Function）是一种特殊的冲击函数，其值在时间t=0 时为 1，其他时间的值均为 0。
单位冲击函数的形式如下：δ(t)= {1， t=00，t≠0}2. 通用冲击函数通用冲击函数（General Impulse Function）是一种更一般的冲击函数，其值在时间 t=0 时为 a（a 为常数），其他时间的值均为 0。
通用冲击函数的形式如下：δ(t,a)= {a， t=00，t≠0}三、冲击函数的性质1. 冲击函数的积分是单位冲凾函数冲击函数的积分是单位冲击函数，即：∫ δ(t) dt= δ(t)2.冲击函数的微分是有限冲击函数冲击函数的微分是有限冲击函数，即：d/dtδ(t)= δ'(t)其中，δ'(t) 是有限冲击函数，其值在时间 t=0 时为 -1，其他时间的值均为0。
3. 冲击函数的卷积是常函数冲击函数的卷积是常函数，即：(f*δ)(t)= f(t)其中，f(t) 是任意函数。
四、冲击函数在线性系统中的应用1. 冲击函数的卷积求解线性系统的输出冲击函数的卷积可以用来求解线性系统的输出。
假设有一个线性系统，其输入为 u(t)，输出为 y(t)，系统的传递函数为 H(s)，则可以得到如下关系式：y(t)= (u*δ)(t)= ∫ u(t)δ(t-t') dt'= ∫ u(t')δ(t-t') dt'= ∫ (H(s)U(s)) δ(t-t') dt'= H(s)U(s)= L[H(s)U(s)]2. 冲击函数的微分求解线性系统的输入冲击函数的微分可以用来求解线性系统的输入。
振动与冲击相关计算公式
振动与冲击相关计算公式一、振动的计算公式：1.阻尼振动的计算公式：对于阻尼振动，当物体受到阻尼力的作用时，振动的形式将发生变化。
阻尼振动的位移方程可以表示为：mx'' + bx' + kx = 0其中，m为物体的质量，b为阻尼系数，k为弹性系数，x为物体的位移，x'和x''分别为位移的一阶和二阶导数。
2.简谐振动的计算公式：对于没有阻尼的简谐振动，可以使用如下的计算公式：x = A*sin(ωt + φ)其中，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
3.动能和势能的计算公式：动能和势能是振动系统中重要的物理量，它们的计算公式分别为：动能(K) = 1/2mv^2势能(U) = 1/2kx^2其中，m为物体的质量，v为物体的速度，k为弹性系数，x为物体的位移。
4.振动频率和周期的计算公式：振动频率和周期之间的关系可以表示为：f=1/T其中，f为频率，T为周期。
5.振动的物理量之间的关系：在振动中，位移、速度和加速度之间有如下关系：x(t) = A*sin(ωt + φ)v(t) = A*ω*cos(ωt + φ)a(t) = -A*ω^2*sin(ωt +φ)其中，x(t)为位移关于时间的函数，v(t)为速度关于时间的函数，a(t)为加速度关于时间的函数。
二、冲击的计算公式：1.冲量的计算公式：冲量是衡量冲击力大小和方向的物理量，可以表示为：I=FΔt其中，I为冲量，F为冲击力，Δt为冲击时间。
2.傅里叶变换在冲击计算中的应用：傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的数学工具，可以将非周期性的冲击信号分解成一系列频率成分。
傅里叶变换在冲击计算中的应用主要体现在频谱分析和滤波设计等方面。
3.能量守恒定律在冲击计算中的应用：在冲击发生时，由于能量守恒定律的存在，冲击前后的能量总和保持不变。
能量守恒定律在冲击计算中的应用可以用于计算冲击力、速度和位移等物理量。
离散数学冲激函数
离散数学冲激函数冲击函数是离散数学中的一种重要函数，也称为脉冲响应函数或单位脉冲函数。
它常用符号δ(n)或δ[n]表示。
冲激函数具有以下特点：1.冲激函数在离散时间n=0时取值为1，其他时刻取值为0。
即δ(0)=1，δ(n)=0，n≠0。
2.冲激函数的取值是一个理想化的信号，它在瞬间时间内具有无限大的振幅和无限短的时间宽度。
冲激函数的定义可以通过极限的方式来理解。
当我们得到一个脉冲宽度为0、振幅趋近于无穷大的函数时，我们可以将其逼近为冲激函数。
冲激函数在离散时间系统中具有重要的作用，可以用于描述信号的性质、系统的响应以及信号的滤波特性。
它可以用来表示信号的单位样本，在系统的输入中起到触发输出的作用。
在信号处理中，冲激函数通常被用来表示单位冲激信号，即在一些特定时间发生的瞬时脉冲。
通过将冲激信号与待处理的信号进行卷积运算，我们可以得到系统对输入信号的响应。
此外，冲激函数还可以用于构造信号的频谱表示。
根据频谱分析理论，任意一个信号都可以表示为一系列冲激函数的叠加。
这种表示方式被广泛应用于数字信号处理、图像处理等领域。
在离散控制系统中，冲激函数用于描述系统的动态性能。
通过对冲激函数进行观测和分析，我们可以得到系统的传递函数、阶跃响应以及频率特性等关键参数。
总结起来，冲激函数在离散数学中具有重要的意义。
它是描述信号和系统性质的重要工具，可以用于构造信号的频谱表示，描述系统的动态性能，以及解决各种实际问题。
在实际应用中，冲激函数被广泛应用于数字信号处理、图像处理、控制系统和通信系统等领域。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
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1、单位阶跃函数
单位阶跃函数用符号表示，其定义式如下
（1）
此函数的图形如图l所示。
图1 单位阶跃函数的图
单位阶跃函数的定义式表明：该函数在t<0 时，其值为0；t>0时，其值
1;当t＝0时,发生跳变，其值未定(可取为)；当t由负值(或正值)趋近于0时，
其值则是确定的，即
其中t=0-是t由负值趋近于零的极限，t=0+则是t由正值趋近于零的极限。
函数称为移位的单位阶跃函数。
因为若令，则根据式(1)有
图2 移位的单位阶跃函数的图形
此函数的图形表示在图2a中（仅向右平移）。
由此可见，函数在时，其值为0；时，其值为
时，发生跳变。
与此类似，移位的单位阶跃函数表示在图2(b)中，此函数在时发生跳变。
对任一函数f(t)与单位阶跃函数的乘积f(t)而言，当t<0时，其值为0；当t>0时，等于f(t)。
也就是f(t)只存在于t>0的区间。
类似地, f(t)只存在于t＞的区间。
图3 用单位阶跃函数表示电路的输入示例
图3(a)表示的网络在t<0时，A、B两端问的电压为零；在t>0时，接入一个电压为的直流电压源。
此电路
用单位阶跃函数等效地表示于图3(b)。
2、单位冲激函数
1、单位冲激函数
单位冲激函数用符号表示，其定义式如下
（2）
图5 单位冲激函数的图形
这表明单位冲激函数只存在于t=0时，其图形与t轴之间所限定的面积等于
1，如图5(a)所示(图中括号内的数值表示函数图形的面积)。
2、移位的单位冲激函数:
令
其图如5（b）
3、冲激函数：
——常数A与的乘积。
单位冲击函数与单位阶跃函数之间的关系：
图6 冲激函数Aδ（t）的图形。