余弦定理证明过程
证明余弦定理的方法
证明余弦定理的方法余弦定理是三角学中的一个重要定理，用于求解三角形的边长或角度。
它可以通过几何方法或代数方法来证明。
下面将以几何方法为例，详细介绍如何证明余弦定理。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a、b、c，而角A、B、C的对边分别为a、b、c。
要证明余弦定理，我们需要根据几何性质来推导。
首先，我们可以在三角形ABC内部构造一个高（垂直于底边BC），并以h表示这个高的长度。
然后，我们将底边BC延长到一点M，使得AM与对边a垂直相交。
这样，我们可以得到两个小三角形：MBC和AMC。
根据勾股定理，我们可以得到以下两个等式：1. BM²= BC²- CM²（1）2. AM²= AC²- CM²（2）接下来，我们要考虑如何将h表示为a、b、c的函数。
我们发现，三角形ABC 的面积可以用三条边以及高h来表示，即S = (1/2)×a×h = (1/2)×b×h = (1/2)×c×h。
由此可得到以下等式：3. a×h = 2S（3）4. b×h = 2S（4）5. c×h = 2S（5）现在，我们可以通过将等式（3）、（4）和（5）代入等式（1）和（2）中，来推导出余弦定理。
将（3）代入（1）得到BM²= BC²- (2S/a)²，即BM²= BC²- (4S²/a²)。
同样地，将（4）代入（2）得到AM²= AC²- (4S²/b²)。
接下来，我们要观察AMC，通过它我们可以使用余弦公式来推导余弦定理。
根据余弦公式，我们有cos(∠AMC) = (AC²+ AM²- CM²) / (2×AC×AM)。
怎么证明余弦定理
怎么证明余弦定理证明余弦定理是高中数学中非常重要的知识点，它在解决平面几何和三角形相关问题时起着至关重要的作用。
接下来，我们将通过推理和几何图形的分析来证明余弦定理。
首先，我们从一个三角形ABC开始，设三角形的三边分别为a、b、c，对应的夹角为A、B、C。
我们需要证明的余弦定理是：c² = a² + b² - 2abcosC在证明过程中，我们将分别考虑三角形的三边之间的关系和夹角之间的关系，并通过几何图形进行辅助分析。
第一步，我们先来看一下三角形的三边之间的关系。
根据勾股定理，我们知道：对于一个直角三角形，斜边的平方等于其他两边平方之和。
因此，我们可以构造一个与三角形ABC有着共同斜边的直角三角形ADB。
我们可以将AB边作为直角三角形ADB的斜边，这样就可以得到：AB² = AD² + BD² （1）同样地，再构造一个与三角形ABC有着共同斜边的直角三角形AEC。
我们可以将AC边作为直角三角形AEC的斜边，这样可以得到：AC² = AE² + EC² （2）继续构造一个与三角形ABC有着共同斜边的直角三角形BFC。
我们可以将BC边作为直角三角形BFC的斜边，这样就可以得到：BC² = BF² + FC² （3）接下来，我们将这三个直角三角形组合在一起构成一个平行四边形ADEB。
根据平行四边形两对对边相等的性质，我们可以得到：AD = EC （4）BD = AE （5）我们将式（1）代入式（4），将式（2）代入式（5），可以得到：AB² = AD² + BD² （6）= EC² + AE²上式说明了AB的平方等于AC的平方加上BC的平方。
现在，让我们转向夹角之间的关系。
考虑三角形ABC的两边AB和AC之间的夹角BAC，以及直角三角形AEC的两个锐角。
用向量的方法证明三角形的余弦定理
用向量的方法证明三角形的余弦定理
三角形的余弦定理是指在一个任意三角形ABC中，设三角形的三条边分别为a、b、c，三个内角的对应角度分别为A、B、C，则有： c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)
要证明这个定理，我们可以利用向量的方法。
具体步骤如下：
1. 以A点为原点建立直角坐标系，设向量AB为a，向量AC为b。
2. 由向量的加法可知，向量BC等于向量AC减去向量AB，即向量BC = b - a。
3. 利用向量的模长公式，可得：
|a|^2 = a·a = AB·AB
|b|^2 = b·b = AC·AC
|c|^2 = (b - a)·(b - a) = b·b - 2ab·cos(C) + a·a
4. 将第3步中的式子带入c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)，可得：
|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cos(C)
即：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)
这就是三角形的余弦定理，利用向量的方法证明了该定理的正确性。
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证明余弦定理(精选多篇)
证明余弦定理(精选多篇)第一篇：怎么证明余弦定理怎么证明余弦定理证明余弦定理：因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。
又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab 2在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
坐标法证明余弦定理
坐标法证明余弦定理哎呀，这余弦定理啊，听起来就挺高大上的，其实呢，用坐标法证明起来，也挺有意思的。
咱们就聊聊这个，用大白话，不整那些复杂的数学符号，就当是聊天。
首先，咱们得知道余弦定理是啥。
简单来说，就是在一个三角形里，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与夹角的余弦值乘以这两边的乘积的两倍。
用数学公式表示就是：\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \)，其中 \( c \) 是对边，\( a \) 和 \( b \) 是另外两边，\( C \) 是夹角。
好，现在咱们用坐标法来证明这个定理。
假设我们有一个三角形ABC，我们把A 点放在坐标原点（0,0），B点放在x轴上，坐标是（b,0），这样C点的坐标就是（x,y）。
接下来，我们得找出C点的坐标。
因为C点在三角形里，所以它到A点和B点的距离就是三角形的边长。
根据距离公式，我们可以得到两个等式：1. \( AC^2 = x^2 + y^2 \)（因为A点在原点，所以AC的距离就是C点的坐标的平方和）2. \( BC^2 = (x - b)^2 + y^2 \)（B点在x轴上，所以BC的距离就是C点的x坐标减去b，再加上y坐标的平方）现在，我们用余弦定理来表示AB的长度。
AB的长度就是b，所以AB的平方就是b的平方。
根据余弦定理，我们有：\( AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB) \)把AC和BC的表达式代入，我们得到：\( b^2 = x^2 + y^2 + (x - b)^2 + y^2 - 2 \sqrt{(x^2 + y^2)[(x - b)^2 + y^2]} \cdot \cos(\angle ACB) \)这个等式看起来有点复杂，但是别急，我们慢慢来。
首先，我们可以展开和简化等式右边的表达式：\( b^2 = x^2 + y^2 + x^2 - 2bx + b^2 + y^2 - 2 \sqrt{(x^2 + y^2)(x^2 - 2bx + b^2 + y^2)} \cdot \cos(\angle ACB) \)然后，我们可以把等式左边的b^2和右边的b^2抵消，得到：\( 0 = 2x^2 + 2y^2 - 2bx - 2 \sqrt{(x^2 + y^2)(x^2 - 2bx + b^2 + y^2)} \cdot \cos(\angle ACB) \)这个等式告诉我们，C点的坐标和角度的余弦值是有关系的。
余弦定理的八种证明方法
余弦定理的八种证明方法研究背景：2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。
目的意义：用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。
内容摘要：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。
成果展示：一余弦定理的内容对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质a² = b² + c²- 2·b·c·cosAb² = a² + c² - 2·a·c·cosBc² = a² + b² - 2·a·b·cosC二证明方法方法一：平面几何法∵如图，有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c²=a·a+2a·b+b·b ∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ再拆开，得c^2=a²+b²-2*a*b*cosC方法二：勾股法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC²=AD²+DC²b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²b²=(sinB*c)²+a²-2ac*cosB+(cosB)²*c²b²=(sinB²+cosB²)*c²-2ac*cosB+a²b²=c²+a²-2ac*cosB方法三：解析法在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，设三角形三边abc则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA）∵BC=a则由距离公式得a=（c-bcosA）2-（bsinA）²化简得a=c²+b²-2bccosA∴a²=c²+b²-2bccosA方法四：面积法S△ACQ=(1/2)bc(cos∠BAC),S△PBC=(1/2)ac(cos∠CBA),bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=2(S△ACQ+S△PBC)=c²,同理，ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²,ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b².联立三个方程，bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=c²（1）ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²（2）ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b²（3）易得余弦定理方法五：正弦法∵＝＝∴＝bsin²B＝csin²C＝absinAsinB∴a²+b²-c²sin²A+sin²B-sin²C＝absinAsinB∴a²+b²-c²=absinAsinB（sin²A+sin²B-sin²C）（1）又∵sin²A=1-cos2A2sin²B=1-cos2B2∴sin²A+sin²B=1-（cos2A+cos2B）=1-cos（A+B）cos（A-B）ΔABC中cos（A+B）=cos（180°-C）=-cosC∴sin²A+cos²B=1-cosCcos（A-B）（2）（2）带入（1）得a²+b²-c²=[1+cosCcos（A-B）-sin²C]=[cos²C+cosCcos（A-B）]=cosC[cosC+cos（A-B）]=cosC[-cos（A+B）+cos（A-B）]=2abcosC∴c²=a²+b²-2abcosC同理可证b²=a²+c²-2accosBa²=c²+b²-2bccosA方法六：摄影定理法∵a=bcosC+ccosB（1）b=acosC+ccosA(2)c=bcosA+acosB(3)∴（1）×a+（2）×b-（3）×c得c²=a²+b²-2abcosC同理可证b²=a²+c²-2accosBa²=c²+b²-2bccosA方法七：复数法如下图，在复平面内作△ABC，则=a（cosB+i sinB），= =b[cos（－A）+i sin（－A）]，这里C'是平行四边形ACBC'的顶点，根据复数加法的几何意义可知，＝＋＝＋。
余弦定理的十一种证明方法
余弦定理的十一种证明方法余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较经典的十一种证明方法，供大家参考！余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。
如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：c2＝a2＋b2－2ab cosCa2＝b2＋c2－2bc cosAb2＝c2＋a2－2c a cosB.【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝b cosC，AD＝b sinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。
当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。
当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠ACD＝sin(180°－C)＝sinC，所以CD＝b cos(180°－C)＝－b cosC，AD＝b sin(180°－C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。
【证法2】将△ABC 的顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，如图4所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (b ，0)，B (a cosC ，a sinC)，C (0，0).由此得|AB|2＝(a cosC －b )2＋(a sinC －0)2＝a 2cos 2C －2ab cosC ＋b 2＋a 2sin 2C＝a 2＋b 2－2ab cosC ，即c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 。
余弦定理的证明方法
余弦定理的证明方法余弦定理的证明方法在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b则c^2=a^2+b^2-2ab*cosCa^2=b^2+c^2-2bc*cosAb^2=a^2+c^2-2ac*cosB下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a由勾股定理得：c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2=a^2+b^2-2a*CD因为cosC=CD/b所以CD=b*cosC所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC在任意△ABC中, 作AD⊥BC.∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a -->BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c勾股定理可知：AC=AD+DCb=(sinB*c)+(a-cosB*c)b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosBb=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+ab=c+a-2ac*cosB所以，cosB=(c+a-b)/2ac2如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A 为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而|AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……②由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ，∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
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余弦定理证明过程(精选多篇)
余弦定理证明过程ma=√ -ac*cosb)
=√
由b =a +c -2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入上述ma表达式：
ma=√
=√
证毕。
2
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac²=ad²+dc²
b²=²+²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以，cosb=/2ac
2
如右图，在abc中，三内角a、b、c 所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac 所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是，由三角函数的定义得b 点坐标是.∴cb=.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=cb∴=∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而
由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△abc 的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为,mc,应用余弦定理证明:
mb=
mc=ma=√ -ac*cosb)
=√
由b =a +c -2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入上述ma表达式：
ma=√
=√
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√ -ac*cosb)
=√
由b =a +c -2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入
上述ma表达式：
ma=√
=√
证毕。