常微分方程
常微分方程第三版全文
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
常微分方程基本概念
常微分方程基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学分析中的一个重要分支，研究的是一元函数的导数与自变量之间的关系。
它在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念和相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
二、常微分方程的阶数常微分方程根据未知函数的最高阶导数的阶数不同，可以分为一阶、二阶、高阶等不同阶数的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指含有一阶导数的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)例如，y' = 2x + 1就是一个一阶微分方程，其中y'表示y对x的一阶导数。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指含有二阶导数的方程。
一般形式可以表示为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)例如，y'' + y = 0就是一个二阶微分方程，其中y''表示y对x的二阶导数。
三、常微分方程的初值问题和边值问题常微分方程除了描述函数的导数与自变量之间的关系外，还可以给出一些初始条件或边界条件，从而确定唯一的解。
1. 初值问题初值问题是指在微分方程中给出了函数在某一点的初值条件，要求求解出满足该条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(x₀) = y₀其中，y(x₀) = y₀表示在点(x₀, y₀)处给定了函数的初始值条件。
2. 边值问题边值问题是指在微分方程中给出了函数在多个点的边界条件，要求求解出满足这些条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(a) = y_a，y(b) = y_b其中，y(a) = y_a和y(b) = y_b表示在点(a, y_a)和(b, y_b)处给定了函数的边界条件。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
常微分方程
称为局部截断误差。 显然，这个误差在逐 步计算过程中会传播， 积累。因此还要估计 这种积累
yn +1 = yn + hf ( xn , yn )
步计算是精确的前提下， ， 定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑 称为局部截断误差 的截断误差 Ri = y(xi+1) − yi+1 称为 局部截断误差 /* local
当 β−1≠0 时，为隐式公 则为显式公式 显式公式。 式; β−1=0 则为显式公式。
f n = f ( xn , y n )
基于数值积分的构造法 上积分， 将 y′ = f ( x , y ) 在[ xn− p , xn+1 ] 上积分，得到
xi +1 xn− p
y ( xn +1 ) − y ( xn − p ) = ∫
f ( x, y ( x))dx
x n +1
n− p
只要近似地算出右边的积分 I k ≈ ∫x f ( x, y ( x )) dx ，则可通 只要近似地算出右边的积分 过 yn+1 = yn− p + I k近似y(xn+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不 同的计算公式。 同的计算公式。
为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论： ① 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题
8.1 Euler公式 公式
做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。
为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：
常微分方程-简介
用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，解 决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基 本的微分方程问题。 学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习后续课 程打下基础。
通过这门课的学习和训练，学习数学建模的一些基本方法。 初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为将来从事相关领域的科学研究工作打下坚实的基础。
常微分方程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象的运动、演化和变化规律最为基本的数学理论和方法。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融
领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程， 如牛顿运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发 展规律、疾病传染、股票的涨跌趋势、利率的浮动、市场 均衡价格的变化等。
对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分
方程模型的研究。
常微分方程最早出现在数学家们彼此的通信和 一些刊物中 荷兰数学家、物理学家、天文学家 惠更斯(Christiaan Huygens,1629.4—1695.7) 在1693年的《教师学报》中明确提出了微分方程
雅各布〃伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705) 是利用微积分求常微分方程问题解析解的 先驱者之一。在1695年提出了伯努利方程
约翰.伯努利（雅科布之弟，巴塞尔大学医学博士) 在1694年的《教师学报》中对齐次方程的解法 作了更加完整的说明，并首先提出了全微分方程 的概念
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646年－1716年，德国数学家）在1694年 利用变量替换法给出了一阶线性方程的解。 1696年给出证明：利用变量替换,可以把 贝努利方程化为线性方程。
常微分方程的基本概念
esin x esin xesin xdx C
esin x x C .
例2. 解方程 (x 1) dy y ex (x 1)1, (为常数)
dx
解：dy y ex (x 1)
dx x 1 利用求解公式
y
e
(
)dx x1
[
ex (x
1)
e
(
)dx x1
dx
C]
e [ ln(x1) e x (x 1) e ln(x1)dx C]
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
5.2.2 可化为可分离变量的方程
形如y' f ( y )的微分方程称为齐次微分方程. x
解齐次方程时,通常用变量替换法,即 设u y ,
x
将齐次方程化为可变量分离的方程.
由y ux, dy u x du , 代入原方程 ,得u x du f (u)
[解] 令 u y , y ux , y' u xu'
x
则 u xu' 1 u 1u
即 xu' 1 2u u2 1u
两端积分
1u 1 2u
u2
du
1 x
dx
凑微分
1 2
d(u2 1 2u
2u 1) u2
1 x
dx
得
1 2
ln(u2
2u
1)
ln
x
ln
C1
u2
2u 1
C x2
B.质点自由下落
一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。
常微分方程基本公式
常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。
原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。
3. 一阶线性微分方程。
- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。
1. 齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。
2. 非齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。
- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。
常微分方程基本概念
)
0
如果把 z, z, z, , z(n1)都理解为未知函数，并作变换
y
取(0,1)，(0,0)，(0,-1)，画出三条等斜 线,再在每条等斜线上适当选取若干个 点画出对应的向量，即可得方向场 （如图示），并可以进一步大体描绘 出其积分曲线。
o
x
考察方程
dy y dx x
的方向场和它的积分曲线。
除坐标原点（０，０）外，原方程在整个（x,y）平面上定
义了一个方向场，在任意一点P(x,y)处方向场的方向由比式
F(x,
y, dy dx
,,
dn dx
y
n
)
0
的左端为y及 dy , dx
,
dn dx
y
n
的一次有理整式,
则称其为n阶线性方程.
如 (1) dy 2x (2) xdy ydx 0
dx
(4) d 4 x 5 d 2 x 3x sin t dt 4 dt 2
是线性微分方程.
不是线性方程的方程称为非线性方程
x
2
3x sin t
;
(5) z z z ; x y
2u 2u (6) x y uz 0 .
x2 y 2
1.常微分方程
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程.
如 (1) dy 2x; (2) xdy ydx 0 ; dx
(3)
d2x dt 2
注：
1. 满足初始条件 y0 (x0 ) 的特解就是通过点(x0 , y0 ) 的一条积分曲线。
2.
方程的积分曲线的每一点
(x,
y)
上的切线斜率
dy dx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中国海洋大学本科生课程大纲
课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修
一、课程介绍
1.课程描述：
常微分方程是数学学科的一门基础理论课程,是一门专业必修课，是数学分析，高等代数和解析几何的综合应用和发展。
通过学习不仅可加强先修课程中已学过的概念和方法，且为后续课程的学习准备解决问题的方法和工具。
常微分方程与微积分同时诞生，以解决天文学、力学等实际问题而闻名于世，是研究事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最基本的数学理论和方法。
现实生活中许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如物体运动、生物群体竞争、疾病的传播等。
对这些规律的描述、认识和分析，往往可以归结为用常微分方程描述的数学模型的分析和研究。
由此可知，它是数学理论联系实际的重要渠道之一，它有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一种强有力的工具。
2.设计思路：
本课程适用于数学与应用数学专业、信息与计算科学专业二年级本科生。
本课程主要包括六个部分内容：初等积分法；基本定理；一阶线性微分方程组；n 阶线性微分方程；定性理论与稳定性理论简介；一阶偏微分方程初步。
- 1 -
初等积分法主要讲解几类能用初等（积分）解法求解的方程类型及其求解方法。
要求学生掌握各种类型的解法，具有判断一个给定方程的类型和正确求解的能力。
重点是求解方法，难点是识别方程的类型以及熟练掌握求解方法。
基本定理包括解的存在唯一性定理，解的延展定理，解对初值的连续依赖性定理和解的可微性定理，构成了常微分方程主要理论部分。
解的存在唯一性定理表明，若右端函数满足连续和利布希兹条件，则保证方程的解存在性与唯一性。
它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。
另一方面，由于能求得精确解的方程不多，所以该定理给出的求近似解法就具有重要的实际意义。
解的延拓定理及解对初值的连续依赖性与可微性定理揭示了微分方程的重要性质。
要求学生必需理解本章定理的条件和结论，掌握证明方法，能运用定理证明有关问题。
重点是证明的思路和方法，特别是逐次逼近法，难点是贯穿定理证过程的利布希兹条件运用和证明过程中不等式技巧的把握；
一阶线性微分方程组主要讲线性微分方程组的理论。
线性微分方程组理论是微分方程理论中的重要部分，无论从实用的角度或从理论的角度来说，本章所提供的方法和结果都是非常重要的，它是进一步学习常微分方程理论和其它有关课程必不可少的基本知识，基本要求：（1）理解线性微分方程组解的存在与唯一性定理，熟练掌握逐步逼近法；（2）掌握线性微分方程组的一般理论，把握解空间的代数结构；（3）基解矩阵求法。
一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是难以通过积分求得，但当系数矩阵是常系数矩阵时，可以通过代数方法（Jordan标准型、矩阵指数）求出基解矩阵。
重点掌握一阶线性微分方程组的解空间结构和常系数线性微分方程组的解法，难点是证明一阶齐次常微分方程组的解空间是n 维线性空间和一阶常系数齐次或非齐次微分方程组的求解。
- 1 -
n 阶线性微分方程是值得重视的方程，这不仅仅因为n阶线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且它是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术中也有广泛的应用。
要求学生重点掌握n阶线性微分方程的基本理论和常系数n 阶线性微分方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法作简单了解。
熟悉Laplace变换是求解n阶常系数线性微分方程初值问题的方法。
把握n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，能够将一阶线性微分方程组的有关结果推广到n 阶线性微分方程，以统一的观点理解这两部分的内容。
定性理论与稳定性理论简介主要介绍定性理论和稳定性理论，定性理论产生与发展与生产实践和物理、力学以及工程技术问题紧密联系，它主要研究轨线在相平面或相空间的分布以及极限环或周期轨的稳定性和不稳性等问题。
稳定性理论研究平衡态的稳定性问题，主要研究方法是李雅普诺夫第一方法和第二方法。
在现代科学技术中，无论是定性理论还是稳定性理论都有着极其广泛的应用。
要求学生对定性理论或是稳定性理论有所了解，对常微分方程的后继课程产生浓厚的兴趣。
一阶偏微分方程是选修内容，对学生不做基本要求。
3. 课程与其他课程的关系：
先修课程：高等代数、空间解析几何、数学分析I；
并行课程：数学分析II、III；
后置课程：《数学物理方程》。
本课程与这门课程构成了数学专业中应用性极强的微分方程理论，内容和要求各有侧重、联系密切。
二、课程目标（知识、能力、素质一体化设计）
课程目标是使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，建立确定性数学模型的思
- 1 -
想方法，培养学生运用数学理论和方法解决实际问题的能力。
通过对本课程的学习，一方面，要求学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握一些基本理论和各种类型方程求解的主要方法，具有一定的解题能力，为学习本学科的近代内容和后继课程（如数学物理方程、常微分方程定性与稳定性理论、泛函分析等）打下基础。
另一方面，要求学生具有分析与解决问题的能力。
三、学习要求（课程要求：主动学习、有效学习、学习指导）
要完成所有的课程任务，学生必须：
（1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试。
（2）按时完成常规练习作业。
这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程所要求的内容。
延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。
（3）完成教师布置的一定量的阅读文献资料、建模练习，引导学生探讨某些更深入的问题。
四、参考教材与主要参考书
1、选用教材:
[1]常微分方程（第二版），东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2006年5月出版；
2、主要参考书：
[1]《常微分方程》（第二版），王高雄等编，高等教育出版社，1995年出版。
[2]《常微分方程教程》，丁同仁等编，高等教育出版社，1991年出版。
[3]《常微分方程讲义》，王柔怀吴卓群编，人民教育出版社，1979年出版。
五、进度计划（时间顺序、讲授内容、指定阅读资料、课下作业）
- 1 -
- 1 -
六、成绩评定（过程考核、综合评价）
（一）考核方式 A ：A.闭卷考试 B.开卷考试 C.论文 D.考查 E.其他（二）成绩综合评分体系：
- 1 -
附：作业和平时表现评分标准
1）作业的评分标准
2）课堂讨论及平时表现评分标准
七、学术诚信
学习成果不能造假，如考试作弊、盗取他人学习成果、一份报告用于不同的课程等，均属造假行为。
他人的想法、说法和意见如不注明出处按盗用论处。
本课程如有发现上述不良行为，将按学校有关规定取消本课程的学习成绩。
八、大纲审核
教学院长：院学术委员会签章：
- 1 -。