2019届广东省汕头市高三第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
(完整版)2019汕头一模理科数学(教师版)(可编辑修改word版)
a 2 + 4 22 2019 年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A = {x | log 2 x > 0}, B = {x | x ≤ 2} ，则 A B = （）A ．{x | x ≤ 2}B ．{x | 0 < x ≤ 2}C ．{x | 0 ≤ x ≤ 2}D ．{x |1 < x ≤ 2}1. 答案：D解析： A = {x | log 2 x > 0 = log 2 1} = {x | x > 1}, B = {x | x ≤ 2},∴ A B = {x |1 < x ≤ 2}．a + 2i2. 已知 a ∈ R , i 是虚数单位，复数 z =1+ i，若 z = 2 ，则 a = （） A ．0B ．2C ． -22. 答案：A2D ．1解析： z == = = 2,∴ = 2, a + 4 = 4, a = 0 ．3. X 0 12 3P8274 9m1 27则 X 的数学期望 E ( X ) = （ ）2 3 A ．B ．1C ．32D ．23. 答案：B84128 4 2 1解析：由 + + m + = 1，得 m = 27 9 27 ，所以 E ( X ) = 0 ⨯ +1⨯ + 2 ⨯ + 3⨯ = 1． 9 27 9 9 27 4．已知向量 a = = (1, 3), c = (k , -2) ，若(a - ) ，则向量 a + 与向量c的夹角为（）(3,1), bA ．B ．64c / / b bC ．D ．324. 答案：D解析： a - c = (3 - k , 3) ，因为(a - c ) / / b ，所以(3 - k ) ⨯ 3 = 3⨯1，解得 k = 2 ，当 k = 2 时，a +b = (4, 4), b = (2, -2),∴(a + b )⋅ c = 0 ，所以向量 a + b 与向量c 的夹角为．5. 一动圆的圆心在抛物线 y 2 = 8x 上，且动圆恒与直线 x + 2 = 0 相切，则此动圆必过定点（）A ． (4, 0)B ． (2, 0)C ． (0, 2)D ． (0, 0)5. 答案：B解析：由抛物线的定义可知该圆必过抛物线的焦点(2, 0) ．a + 2i 1+ i a 2+ 4 a + 2i 1+ i6.将函数 f (x ) = sin ⎛ 2x + ⎫的图象向右平移个单位长度，得到函数 y = g (x ) 的图象，则 g (x ) 在 4 ⎪ 3⎝ ⎭⎡- 3⎤, ⎣ 8 8 ⎥⎦ 上的最小值为（）A. -16. 答案：AB. -32C. - 2D ．0⎛ ⎫ ⎡ ⎛ ⎫ ⎤ ⎛ 5⎫ ⎡ 3⎤解析： g (x ) = f x - 3 ⎪ = sin ⎢2 x - 3 ⎪ + 4 ⎥ = sin 2x - 12 ⎪ ，因为 x ∈ ⎢- , ⎥ ，所以2x - 5⎝ ⎭⎡ 2 ⎤⎣ ⎝ ⎭ ⎦ ⎝ ⎭ 5⎣ 8 8 ⎦12 ∈ ⎢- , ⎥ ，当2x - = - ，即 x = - 时， g (x )min = -1．⎣ 3 3 ⎦ 12 2 247. 将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） 33A ．B ．20409 9C ．D ．20 407. 答案：C解析：6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事 件共有C 3 = 20 个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有： 3C 1 = 9 个，所以639所求概率为．208. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，关于直线 A 1O ，下列说法正确的是（ ）A ． A 1O / / D 1CB ． A 1O ⊥ BC8. 答案：CC ． A 1O / / 平面 B 1CD 1D ． A 1O ⊥ 平面 AB 1D 1解析：选项 A ，连接 A 1B ，则 A 1B / / D 1C ，因为 A 1B 与 A 1O 相交，所以 A 错；选项 B ，取 AB 中点 E ，连接 A 1E , OE ，则OE / / BC ，在△A 1EO 中， ∠A 1EO = 90︒ ，所以 A 1O 与OE121086CO2F5 10421 ⎢35 3 5 1C 11不垂直，所以 A 1O 与 BC 不垂直，B 错；选项 C ，设 A 1C 1 B 1D 1 = O 1 ，连接CO 1 ，则CO A 1O 1 ，所以四边形 A 1O 1CO 是平行四边形， 所以 A 1O / / CO 1 ，又因为 A 1O ⊄ 平面 B 1CD 1 ， CO 1 ⊂ 平面 B 1CD 1 ，所以 A 1O / / 平面 B 1CD 1 ，C 正确； 选项 D ，连接 A 1C ，易证得， A 1C ⊥ 平面 AB 1D 1 ，所以 A 1O 与平面 AB 1D 1 不垂直，D 错．A 1D 1A 1D 1A 1D 1 A 1 D 1O 1B B 11B B1C 1C 1ADAEOOBCB DADADOOCBCB C9. 若函数 f (x ) = e x (cos x - a ) 在区间⎛- ⎫ 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）, ⎪A ． (-2, +∞)⎝ 2 2 ⎭B ． (1, +∞)C ．[ 2, +∞)D ．[1, +∞)9. 答案：C解析：由题意， ∀x ∈⎛- ⎫， f '(x ) = e x (-sin x + cos x - a ) ≤ 0 恒成立，即, ⎪⎝ 2 2 ⎭a ≥ cos x - s in x = 2 c os ⎛ x + ⎫ 恒成立，当 x ∈⎛ - ⎫ 时， x ⎛ 3⎫， 4 ⎪ , ⎪ + ∈ - , ⎪ ⎝ ⎭ ⎝2 2 ⎭ 4 ⎝ 4 4 ⎭∴cos ⎛ x + ⎫ ⎛ 2 ⎤ ⎛ + ⎫∈(-1, 2]，所以实数 a 的取值范围是[ 2, +∞) ．4 ⎪∈ - 2 ,1⎥ , 2 cos x 4⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎦⎝ ⎭x 2 y 210.过双曲线 a 2- 1(a > 0, b > 0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点，与双曲线 b 2的渐近线交于C , D 两点，若 AB ≥ CD ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ． ⎡ 5, +∞⎫B ． ⎡ 5 , +∞⎫C ． ⎛1,5 ⎤D ． ⎛1,5 ⎤⎢⎣ 3⎪⎢ 4 ⎪ 3 ⎥ 4 ⎥ ⎭⎣ ⎭⎝ ⎦⎝ ⎦10. 答案：B解析：渐近线方程为 y = ± bx ，将 x = c 代入，得C ⎛ c , bc ⎫ , D ⎛c , - bc ⎫ ,∴ CD = 2bc ，aa ⎪ a ⎪a ⎝ ⎭ ⎝ ⎭AB 为双曲线的通径， AB = 2b 2 ，因为 AB ≥ CD ，所以 2b 2≥ 3 ⋅2bc ，即b ≥ 3 c ， a a 5 a 5Cx x ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 1 ⎡ 1 ⎤ ⎛ 1 ⎫ 1 ⎪ ⎢ ⎥ 21则b 2 ≥9 c 2 ⇒ c 2 - a 2 ≥ 9 c 2 ，即 16 c 2 ≥ a 2 ，则e 2 ≥ 25 ，则e ≥ 5 ． 25 25 25 16 411. 三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC , ∠ABC = 30︒, △APC 的面积为 2，则三棱锥 P - ABC 的外接球体积的最小值为（ ） 32 4 A ．B ．33C ． 64D ． 411. 答案：A1解析：因为 PA ⊥ 平面 ABC ，所以是圆柱模型，设 AC = m , PA = h ，则 S △APC = 2hm = 2,∴ hm = 4 ，m设△ABC 外接圆半径为 r ， P - ABC 的外接球半径为 R ，则 ⎛ h ⎫2sin 30︒ = 2r ， r = m ，32所以 R 2 = r 2 + ⎪ ⎝ 2 ⎭≥r h = 4 ，即 R 的最小值为 2，所以外接球的体积的最小值为 ． 312. 定义在 ⎡ 1 ,⎤ 上的函数 f (x ) ， 满足 f (x ) = f ⎛ 1 ⎫ ， 且当 x ∈ ⎡ 1 ,1⎤时，f (x ) = ln x ， 若函数⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ ⎢⎣ ⎥⎦g (x ) = f (x ) - ax 在⎡ 1 ,⎤上有零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A ． ⎡-ln⎤⎢⎣ ⎥⎦⎡ e1 ⎤⎡ 1 ln ⎤⎣⎢, 0⎥⎦B ． ⎢⎣- 2 , -⎥⎦C ． ⎢⎣- e,⎥⎦D ．[-ln , 0]12. 答案：D解析：当 x ∈[1,] 时， ∈ ,1 ，此时 f (x ) = f = ln⎧ln x , x ∈ ⎡ 1 ,1⎤= -ln x ，所以 f (x ) = ⎣ ⎦ ， x ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ ⎨ ⎪⎩- ln x , x ∈[1,]画出函数 f (x ) 的图象，因为函数 g (x ) = f (x ) - ax 在⎡ 1 ,⎤上有零点，所以 y =f (x ) 的图象与 y = ax⎢⎣⎥⎦的图象有交点，由图，当直线 y = ax 过点⎛ 1 , -ln⎫时， a = -ln ，由图象可得，实数 a 的取值范围⎪ ⎝⎭是[-ln , 0] ．x⎨ ⎩5 5 2 2A1O2 4 61BC二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．⎧ y ≥ -1 13.设 x , y 满足约束条件⎪x - y ≥ 2 ，则 z = 4x + y 的最大值为．⎪3x + y ≤14 13．答案：19解析：作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的△ABC ，其中 A (4, 2), B (1, -1), C (5, -1) ，z A = 18, z B = 3, z C = 19 ，所以 z max = z C = 19 ．14．已知 t an⎛+ ⎫ = 4，则cos 2= ．4 ⎪ 3 ⎝ ⎭ 24 14. 答案：252 sin ⎛+ ⎫cos ⎛+ ⎫⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ 4 ⎪ 4 ⎪cos 2= s in 2+ ⎪ = sin 2 + ⎪ = 2 s in + ⎪cos + ⎪ = ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝4 ⎭ ⎝ 4 ⎭ cos 2 ⎛+ ⎫ + sin 2 ⎛+ ⎫ 4 ⎪ 4 ⎪ 2 t an ⎛+ ⎫ 2 ⨯ 4⎝ ⎭ ⎝ ⎭4 ⎪ 24 = ⎝ ⎭ = 3 = 1+ t an 2 ⎛+ ⎫ + 16 254 ⎪9 ⎝ ⎭15. 在(1- ax + x 2 )5 的展开式中， x 3 的系数为 30，则实数 a 的值为．15．答案： -1解析：展开式中含 x 3 的项为C 212 ⋅ (-ax )3 ⋅ (x 2 )0 + C 3C 113 ⋅ (-ax )1 ⋅ (x 2 )1 = (-10a 3 - 20a )x 3，所以-10a 3 - 20a = 30 ， a 3 + 2a + 3 = 0 ， (a 2 - a + 3)(a +1) = 0 ，所以 a = -1 ．16. 在锐角三角形 ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,a = 1，且(bc - 2) cos A + ac cos B = 1- b 2 ，则△ABC 面积的最大值为．16．答案：433 ⎩ ⎭4 4 4 4解析：由(bc - 2) cos A + ac cos B = 1- b 2 ，得c (b cos A + a cos B ) + b 2 = 1+ 2 cos A ，所以c2 + b 2= 1+ 2 c os A ，故cos A =c 2 + b 2 -1 2 ，又由余弦定理， cos A = c 2 + b 2 - a 2 , 2bca = 1，c 2 + b 2 -1 2bc -1 1 3 1 3故bc = 1 ，又cos A =≥ = ，所以sin A ≤ 2 2 2 2 ，故 S △ABC = 2 bc s in A ≤ ，当且 4仅当b = c = 1 即△ABC 为等边三角形时等号成立，所以△ABC 面积的最大值为．4三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且2S n = na n + 2a n -1．（1） 求数列{a n }的通项公式；⎧ 1 ⎫ （2） 若数列⎨ a 2 ⎬ 的前 n 项和为T n ，证明： T n < 4 ．⎩ n ⎭17．解析：（1）当 n = 1 时， 2S 1 = a 1 + 2a 1 -1，即 a 1 = 1，… ........................................................... 1 分当 n ≥ 2 时， 2S n = na n + 2a n -1①， 2S n -1 = (n -1)a n -1 + 2a n -1 -1②… ........................... 2 分① - ② ，得2a n = na n - (n -1)a n -1 + 2a n - 2a n -1 ，即 na n = (n +1)a n -1 ，… ........................................... 3 分 所以 a n = a n -1 ，且 a 1 = 1，… .................................................................................................................. 4 分n +1 n 2 2所以数列⎧ a n ⎫为常数列，…................................................................................................................... 5 分⎨ n +1⎬a n = 1 ，即 a = n +1(∀n ∈ N * ) ．… .................................................................................................. 6 分n +1 2n2 n +1 1 4 4 ⎛ 1 1 ⎫ （2）由（1）得 a n = 2 ，所以 a 2 = (n +1)2< n (n +1) = 4 - +1 ⎪ ，… .................................. 8 分n⎝ n n ⎭所以T n = 22 + 32 + 42 + + (n +1)2 ，… .......................................................................................... 9 分< 4+ 4 + 4 + + 4 ，…………（没写也不扣分）… .................................................. 10 分 1⨯ 2 2 ⨯ 3 3⨯ 4 n (n +1)= ⎡⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤4 ⎢ 1- 2 ⎪ + - ⎪ + - ⎪ + + - ⎪⎥ .......................................................... 11 分 ⎣⎝ ⎭ ⎝ 2 3 ⎭ ⎝ 3 4 ⎭ ⎝ n n +1 ⎭⎦3 = ⎧= 4 ⎛1- 1 ⎫ < 4 ．… .......................................................................................................................... 12 分n +1 ⎪ ⎝⎭18．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥ 菱形 ABCD 所在的平面， ∠ABC = 60︒, E 是 BC 中点， F 是 PC 上的点．（1） 求证：平面 AEF ⊥ 平面 PAD ；（2） 若 M 是 PD 的中点，当 AB = AP 时，是否存在点 F ，使直线 EM 与平面 AEF 的所成角的正弦值为1PF？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．5PCPDB18．解析：（1）连接 AC ，因为底面 ABCD 为菱形， ∠ABC = 60︒ ，所以△ABC 是正三角形， E 是 BC 的中点，∴ AE ⊥ BC ，… ...................................................................................................1 分 又 AD / / BC ,∴ AE ⊥ AD ，… ............................................................................................................... 2 分PA ⊥ 平面 ABCD ， AE ⊂ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AE ，… ........................................................... 3 分又 PA AD = A , ∴ AE ⊥ 平面 PAD ，… ........................................................................................... 4 分 又 AE ⊂ 平面 AEF ，所以平面 AEF ⊥ 平面 PAD ．… ........................................................................... 5 分 （2）以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 AB = AP = 2 ，则 AE = ，则 A (0, 0, 0), C ( 3,1, 0), D (0, 2, 0), P (0, 0, 2), E ( 3, 0, 0), M (0,1,1) ，… ........................................... 6 分设 PF = PC = ( 3,1, -2) ，则 AF = AP + PF = (0, 0, 2) + ( 3,1, -2) = ( 3, , 2 - 2) ，……7 分 又 AE ( 3, 0, 0) ，⎪n ⋅ AE = 设 n = (x , y , z ) 是平面 AEF 的一个法向量，则⎨⎪⎩n ⋅ AF = 3x = 0 ， 3x + y + (2 - 2)z = 0取 z = ，得 n =（0，2- 2, ），… ....................................................................................................... 9 分设直线 EM 与平面 AEF 所成角为，由 EM = (- 3,1,1) ，得：M F AC3- 2 5 ⋅ (2- 2)2 + 2x 年收益增量y （万元）70 60 50 40 30 20 10 0 05 10 15人工投入增量x （万人）⋅sin = cos EM , n EM n = = = 1 ．… ...................................................... 10 分 5 EM ⋅ n 化简得：102 -13+ 4 = 0 ，解得= 1 或= 4，2 5PF 1 4故存在点 F 满足题意，此时 为 或 ．… .......................................................................................... 12 分PC 2 5B19．（本小题满分 12 分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态 分布 N (32, 16) ．（1） 购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性有多大？（2）2019 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x （人）与年收益增量 y （万元）的数据如下：人工投入增量 x （人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量 y （万元）13223142505658模型①：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： yˆ = 4.1x +11.8 ； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： y = b + a 的附近，对人工投入增量 x7 7做变换，令t = ，则 y = b ⋅ t + a ，且有 t = 2.5, y = 38.9,∑(t - t )( y - y ) = 81.0, ∑(t - t )2 = 3.8 ．iiii =1i =1z PM F AyDECxxnnn ∑ 81.0 ∑ n（i ） 根据所给的统计量，求模型②中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1）；（ii ） 根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 R 2 ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量．附：若随机变量 Z ～N (,2) ，则 P (- 3< Z < + 3) = 0.9974 ， 0.998710 ≈ 0.9871；∑(t i - t )( y i - y )样本(t , y ) (i ＝1, 2,⋯, n ) 的最小二乘估计公式为： b ˆ = i =1, a ˆ = y - b ˆt ，ii(tii =1- t )2∑( y - y ˆ )2i i另，刻画回归效果的相关指数 R 2 = 1-i =1∑( y i - y ) 2i =119．解析：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量～N (32,16) ，则= 32,= 4 ，… ............................ 1 分由正态分布的对称性可知，P (< 20) = 1 [1- P (20 < < 44)] = 1 [1- P (- 3< < + 3)] = 1(1- 0.9974) = 0.0013 ，…3 分2 2 2设购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于 20g 的牡蛎为 X 只，故 X ～B (10, 0, 0013) ，…4 分故 P ( X ≥1) = 1- P ( X = 0) = 1- (1- 0.0013)10 = 1- 0.9871 = 0.0129 ，所以这 10 只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性仅为 1.29%．… ........................... 5 分7 7（2）（i ）由 t = 2.5, y = 38.9,∑(t - t )( y - y ) = 81.0, ∑(t - t )2 = 3.8 ，有iiii =1i =17(t i - t )( y i - y )b ˆ = i =1 = ≈ 21.3 ，… .......................................................................................... 6 分∑ i =1(t i - t )23.8且 a ˆ = y - b ˆx = 38.9 - 21.3⨯ 2.5 ≈ -14.4 ，… ........................................................................... 7 分所以，模型②中 y 关于 x 的回归方程为 yˆ = 21.3 -14.4 ………………………………………………8 分 x 7回归模型 模型① 模型②回归方程y ˆ = 4.1x +11.8y = b x + a7∑( y - y ˆ )2iii =1182.479.216 77c 22 1 2 1 2 += 2 182.479.2（ii ） 由表格中的数据，有182.4 > 79.2 ，即∑( y- y )2>∑( y- y )2…………………………9 分i =1 i ii =1模型①的 R 2 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．…................................................... 10 分 当 x = 16 时，模型②的收益增量的预测值为y ˆ = 21.3⨯ -14.4 = 21.3⨯ 4 -14.4 = 70.8 （万元），… .......................................................... 11 分这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．…........................................................................... 12 分 20．（本小题满分 12 分）x 2 y 2 1 已知椭圆C : + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 ，离心率为 2 ，点 A 在椭圆C 上， AF 1 = 2 ， ∠F 1 AF 2 = 60︒ ，过 F 2 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于 P , Q 两点．（1） 求椭圆C 的方程；（2） 若 P , Q 的中点为 N ，在线段OF 2 上是否存在点 M (m , 0) ，使得 MN ⊥ PQ ？若存在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（1）由e = = a 1 ，得 a = 2c ，… ................................................................................................... 1 分 2 AF 1 = 2, AF 2 = 2a - 2 ，… .................................................................................................................. 2 分在△AF 1F 2 中，由余弦定理得： AF 1 + AF 2- 2 AF ⋅ AF cos A = F F 2，代入化简得 a 2 - 4a + 4 = 0 ，… ................................................................................................................... 3 分解得 a = 2 ，从而c = 1， b 2 = a 2 - c 2 = 3 ，… .......................................................................................... 4 分2 所以椭圆C 的方程为x y 1．… ............................................................................................. 5 分43（2）存在这样的点 M 符合题意．设 P (x 1 , y 1 ), Q (x 2 , y 2 ), N (x 0 , y 0 ) ，由 F 2 (1, 0) ，设直线 PQ 的方程为 y = k (x -1), k ≠ 0 ，… ........................................................... 6 分⎧ x 2 + y 2 =⎪ 由⎨ 4 3 1 ，得(4k 2 + 3)x 2 - 8k 2 x + 4k 2 -12 = 0 ，… ........................................................... 7 分 ⎪⎩ y = k (x -1) ∆ = (-8k 2 )2 - 4(4k 2 + 3)(4k 2 -12) = 144(k 2 +1) > 0 ，8k 2x + x 4k 2由 x 1 + x 2 = 4k 2 + 3 ，得 x 0 = 1 2 = 2 4k 2 + 3，… ................................................................... 8 分⎝ ⎭ ⎝ ⎭ - 1 ⎛ 4k 2 ⎫ -3k又点 N 在直线 PQ 上，所以 y 0 = k (x 0 -1) = k 4k 2 + 3 -1⎪ = 4k 2 + 3 ，… ........................... 9 分⎛ 4k 2 -3k ⎫ 所以 N 4k 2 + , 3 4k 2 + 3 ⎪ ．若有 MN ⊥ PQ ，则 k MN = k 2 1 0 - -3k4k 2+ 3 4k 2 m 4k 2+ 3= - ，… ........................................................................... 10 分 k 整理得 m = = 4k 2 + 3 4 + 3k 2，… ........................................................................................................... 11 分所以存在实数 m ，且 m 的取值范围为⎛ 0, 1 ⎫．… .................................................................................. 12 分4 ⎪ ⎝ ⎭21．（本小题满分 12 分）已知 f (x ) = - 1ax 2 + ax + (x - 2)e x 2（1） 讨论 f (x ) 的单调性；(a > 0) ．（2） 若 f (x ) 存在 3 个零点，求实数 a 的取值范围．21．解析：（1） f '(x ) = -ax + a + e x + (x - 2)e x = (x -1)(e x - a ) ............................................... 1 分因为 a > 0 ，由 f '(x ) = 0 ，得 x 1 = 1 或 x 2 = ln a ．… .......................................................................... 2 分 （i ）当0 < a < e 时，1 > ln a ，在(-∞, ln a ) 和(1, +∞) 上， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；在(ln a ,1) 上， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减，… .................................................................................. 3 分（ii ）当 a = e 时，1 = ln a ，在(-∞, +∞) 上， f '(x ) ≥ 0 ， f (x ) 单调递增，… ........................... 4 分PMF 1OF 2NQ（iii ）当 a > e 时， ln a > 1，在(-∞,1) 和(ln a , +∞) 上， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；在(1, ln a ) 上， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减，… .................................................................................. 5 分（2） f (x ) = - 1ax 2 + ax + (x - 2)e x = (x - 2) ⎛ - 1 x + e x⎫，22 ⎪ ⎝⎭所以 f (x ) 有一个零点 x = 2 ．… ............................................................................................................... 6 分 要使得 f (x ) 有 3 个零点，即方程- 1ax + e x = 0 (x ≠ 2) 有 2 个实数根，2又方程- 1 2ax + e x = 0 (x ≠ 2) ⇔ a = 2e x x (x ≠ 2, 0) ，令 h (x ) = 2e x x (x ≠ 2, 0) ，… ................... 7 分即函数 y = a 与 y = h (x ) 图像有两个交点，' 2xe x - 2e x2e x (x -1)令 h(x ) = == 0 ，得 x = 1 ...................................................................... 8 分x2x2h (x ) 的单调性如表：x (-∞, 0)(0,1)1 (1, 2)(2, +∞)h '(x ) － － 0 ＋ ＋ h (x )↘↘极小值↗↗………………………………………………………………………………………………………………9 分当 x < 0 时， h (x ) < 0 ，又 h (2) = e 2， h (x ) 的大致图像如图，… ................... 11 分 所以，要使得 f (x ) 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为(2e , e 2 ) (e 2 , +∞) ...................................... 12 分（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计86422O分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10 分）2 ⎩4⎧x = 2 c os在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨y =a + 2 s in（为参数，a > 0 ）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin⎛-⎫= 2 ．4 ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，若点P 到直线l 的距离的最大值为2（2）若曲线C 上任意一点(x, y) 都满足y ≥x +2 ，求a 的取值范围．+2 ，求a 的值；22.解析：（1）依题意得曲线C 的普通方程为x2+ ( y -a)2= 4 ，… .................................................. 1 分⎛⎫因为sin -⎪= 2⎝⎭，所以sin-cos= 4 ，因为x =cos, y =sin，因为直线l 的直角坐标方程为y -x = 4 ，即x -y + 4 = 0 ，… .......................................................... 2 分所以圆心C(0, a) 到直线l 的距离为，…................................................................................... 3分则依题意得+ 2 = 2 + 2 ，… .............................................................................................. 4 分因为a > 0 ，解得a = 8 ．… .................................................................................................................. 5 分（2）因为曲线C 上任意一点(x, y) 都满足y ≥x +2 ，所以≥2 ，… ................................7 分所以 a -2 ≥2，解得 a ≤2 -2或a ≥2 +2，… ...............................................................9 分又a > 0 ，所以a 的取值范围为[2 + 2 2, +∞) ．…................................................................................... 10 分23.【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10 分）已知函数f (x) =2x +k +x - 2 (k ∈R) ．（1）若k = 4 ，求不等式f (x) ≥ x2- 2x - 4 的解集；（2）设k <-4 ，当x ∈[-1, 2] 时都有f (x) ≥ x2- 2x + 4 ，求k 的取值范围．22-a + 42-a + 422a - 222 2 2⎨ ⎩k⎧-3x - 2, 23．解析：（1）因为 k = 4 ，所以 f (x ) = 2x + 4 + x - 2 ，所以 f (x ) = ⎪x + 6, ⎪3x + 2, x < -2 - 2 ≤ x ≤ 2 …1 分x > 2当 x < -2 时，由 f (x ) ≥ x 2 - 2x - 4 ，得-3x - 2 ≥ x 2 - 2x - 4 ，即 x 2 + x - 2 ≤ 0 ，得-1≤ x ≤2 ． 所以不等式无解… ............................................................................................................................... 2 分当-2 ≤ x ≤ 2 时，由 f (x ) ≥ x 2 - 2x - 4 ，得 x + 6 ≥ x 2 - 2x - 4 ，即 x 2 - 3x -10 ≤ 0 ，得-2 ≤ x ≤5 ． 所以-2 ≤ x ≤ 2 ............................................................................................................. 3 分当 x > 2 时，由 f (x ) ≥ x 2 - 2x - 4 ，得3x + 2 ≥ x 2 - 2x - 4 ，即 x 2 - 5x - 6 ≤ 0 ，得-1≤ x ≤ 6 ， 所以2 < x ≤ 6 ............................................................................................................... 4 分 综上所述，不等式 f (x ) ≥ x 2 - 2x - 4 的解集为：{x | -2 ≤ x ≤ 6}．… ........................................ 5 分（2）因为 k < -4 ，所以- > 2 ，… .......................................................................................................... 6 分 2因为 x ∈[-1, 2]，所以 f (x ) = -3x + 2 - k ，… ........................................................................................... 7 分因为 f (x ) ≥ x 2 - 2x + 4 在[-1, 2] 上恒成立，所以-3x + 2 - k ≥ x 2 - 2x + 4 ，即 x 2 + x + k + 2 ≤ 0 ，… ................................................................... 8 分令 g (x ) = x 2 + x + k + 2 (x ∈[-1, 2]) ，依题意可知 g (x ) ≤ 0 恒成立，所以 g (2) ≤ 0 ，即 k ≤ -8 ，… .................................................... 9 分所以 k 的取值范围为(-∞, -8]．… ...................................................................................................... 10 分。
广东省汕头市2019届高三3月高考模拟数学理试题
B2019年汕头市普通高考模拟考试试题理 科 数 学本试卷共4页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生首先检查试题卷、答题卡是否整洁无缺损，之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己班级，姓名和座位号。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案答在答题卡上。
不按要求填涂的，答案无效。
3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：体积公式：,，其中分别是体积、底面积和高；一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 为虚数单位，则复数的模是（ ）A.4B.C.D.82.若集合,,则=（ ）A.(1,3)B.C.（-1,3）D.（-3,1） 3．如图，在中，则 ( )A.1B.-1C.2D.-2 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A.2B.C.1D.3 第3题图5.在下列命题 ①； ②③展开式中的常数项为2；④设随机变量若，则，其中所有正确命题的序号是（ ）A.①②③B.①③④C.①②④D. ②③④6.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A.4种B. 10种C. 18种D. 20种7.某个长方体被一个平面所截，截得的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A.4B.C.D.88.设）为平面直角坐标系上的两点，其中.令,,若,且，则称点B为点A的“相关点”，记作：,已知）为平面上一个定点，平面上点列满足：=，且点的坐标为，其中,z则点的相关点”有（）个A.4B.6C.8D.10二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题（9-13题）9.已知，则10.在等比数列中，,若为等差数列，且, 则数列的前5项和等于11.若执行如图所示的框图，输入A则输出的数等于12.设是周期为2的奇函数，当时,),13.某公司生产甲、乙两种桶装产品。
汕头市2019届普通高中毕业班教学质量监测(理数)
汕头市2019届普通高中毕业班教学质量监测数学（理科）本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务心用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答. 漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若复数212izi-+=+（i 为虚数单位），则｜z+ 2｜＝A B C、3 D、52、已知全集U =R ，集合A={0,1,2,3,4,5,6}，B={x |3xx≤-0}，则图中阴影部分表示的集合为A、{1, 2}B、{0,1, 2}C、{1,2,3}D、{0,1,2,3}3、为了普及消防知识，增强消防意识，某学校组织消防知识抢答活动，现在随机抽取30名学生参加本次活动，得分情况（十分制）如图所示，则得分值的众数和中位数分别为A、5，5B、5，5.5C、5，6D、6，6.54、已知 x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩， 则 z= 2x – y + 2 的最大值为A 、1B 、2C 、3D 、45、如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆、将一颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内，用 A 表示事件 “ 豆子落在圆 O 内”， B 表示事件“ 豆子落在扇形 OEF （ 阴影部分）内”，则 P (B ｜A ) ＝A.4π B.14 C.16π D.186、执行如图所示的程序框图， 则输出的 S =A 、74B 、83C 、177D 、1667、已知向量)2,2(),,5(-==b m a ，则 m =A.－1 B 、1 C 、2 D.－28、已知一个简单几何体的三视图如图所示， 若该几何体的体积为24π+48， 则 r = A 、2 B 、4C 、1D 、39、函数 f (xxx的大致图象为10、若将函数 f (x ) = sin 2x 的图象向右平移ϕ（ϕ0>）个单位，所得图象关于 y 轴对称， 则ϕ的最小值是 A 、12π B.4π C 、38π D 、512π11、在四面体 ABCD 中， AB=1，，，当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为A.2π B 、3π C.6π D 、8π12、设曲线x e x f x 2)(+= f （e 为自然对数的底数） 上任意一点处的切线为 l 1 ， 总存在曲线x ax x g sin )(+-=上某点处的切线 l 2 ，使得l 1 ⊥l 2 ，则实数 a 的取值范围为A 、]2,1[- B. )2,1(- C 、)1,21(- D 、]1,21[-二、 填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分。
汕头市高考理科数学模拟试题.doc
08汕头市高考理科数学模拟试题数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，试卷满分150分，答题时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚，请按照题号顺序在各个题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n kn n P k C P P -=-第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i ii(11-＋为虚数单位)等于（ ）A ．– 1B ．1C ．iD ．i - 2．=+---→)2144(lim 22xx x（ ）A ．41B ．41-C ．21D ．21-3．以抛物线x y 82=上的任意一点为圆心作圆与直线02=+x 相切，这些圆必过一定点，球的表面积公式24S R π=其中Ｒ表示球的半径球的体积公式343V R π=其中Ｒ表示球的半径DACBM则这一定点的坐标是（ ）A ．)2,0(B ．（2，0）C ．（4，0）D ． )4,0(4．在ABC ∆中,“60>A ”是“23sin >A ”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5． 函数)2()1ln(>-=x x y 的反函数是（ ）A ．)0(1>+=x e y xB ．)0(1>-=x e y xC ．)(1R x e y x ∈+=D ．)(1R x e y x∈-=6．已知四面体ABCD ，⊥AD 平面BDC ，M 是棱AB 的中点，2==CM AD ，则异面 直线AD 与CM 所成的角等于 （ ） A ．30B ． 45C ． 60D ． 907．公差不为零的等差数列}{n a 中，02211273=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且 ==8677,b b a b 则 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．168．设函数)()0(16sin()(x f x x f '>-+=的导函数ωπω的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．2π=xB ．3π=xC ．6π=xD ．9π=x9．用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有 （ ） A ．480个 B ．240个 C ．96个 D ．48个 10．已知正整数b a ,满足304＝＋b a ，使得ba 11+取最小值时，则实数对（),b a 是（ ）A ．5，10）B ．（6，6）C ．（10，5）D ．（7，2）11．函数,2)()1(001)sin()(12=+⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-a f f x e x x x f x 若，，；，π则a 的所有可能值为（ ）A ．1B ．22-C ．1，22-D ．1，22 12．已知直线l 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右准线，如果在直线l 上存在一点M ，使得线段OM （O 为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．)1,23[B ． )1,22[ C ．)1,22( D ． )1,21[第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡的横线上） 13．已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是5，切点到二面角棱的距离是1，则球的体积是 .14．点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且在不等式032>-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是 .15．已知)1()1(6-+ax x 的展开式中，3x 的系数为10，则实数a 的值为16．一个总体中的100个个体的号码分别为0，1，2，…，99，依次将其均分为10个小组.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组（号码为0～9）中随机抽取的号码为m ，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k 组中抽取的号码的个位数为m +k -1或m +k -11（如果m +k ≥11）.若第6组中抽取的号码为52， 则m = . 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向量m ),cos ,(sin A A = n )sin ,(cos B B =, m . n C B A C ，，，且2sin =分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角. （Ⅰ）求角C 的大小;（Ⅱ）若sin A , sin C , sin B 成等比数列, 且18)(=-⋅, 求c 的值.18．（本小题满分12分）“ 五·一”黄金周某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条旅游线路.（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； （Ⅱ）求恰有2条线路被选择的概率； （Ⅲ）求选择甲线路的旅游团个数的期望.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD.BC=2AD ，BC//AD ，AD ⊥DC.（Ⅰ）证明：AC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角C —PB —A 的大小.20．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{n a }满足221120n n n n a a a a ++--=（*∈N n ），且23+a 是42,a a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式n a ；（Ⅱ）若n b =n a n n n b b b S a +⋅⋅⋅++=2121,log ，求使S 12+⋅+n n n >50成立的正整数n的最小值.21．（本小题满分14分）如图,F 为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点,P 为双曲线C 在第一象限内的一点,M 为左准线上一点,O 为坐标原点,,OF MP == （Ⅰ）推导双曲线C 的离心率e 与λ的关系式；（Ⅱ）当1=λ时, 经过点)0,1(且斜率为a -的直线交双曲线于B A ,两点, 交y 轴于点D , =DB )23(-，求双曲线的方程.22．（本小题满分12分）已知函数)0(1)1ln()(≥-+-=x x e x f x， （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）若x y <≤0，求证：)1ln()1ln(1+-+>--y x e yx .参考答案一、选择题： 1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．C 12．B 二、填空题 13．π33214．（7，3） 15．2 16．7 17．解：（1） ∵ m ),cos ,(sin A A = n )sin ,(cos B B =, m . n C 2sin =, ∴sin A cos B +cos A sin B =sin2C 1分 即 sin C =sin2C 3分∴ cos C =214分 又C 为三角形的内角， ∴ 3π=C 6分（Ⅱ） ∵sin A ,sin C ,sin B 成等比数列，∴ sin 2C =sin A sin B 7分 ∴ c 2=ab 8分又18)(=-⋅,即 18=⋅CB CA ， 9分 ∴ abcosC =18 10分 ∴ ab =36 故 c 2=36∴ c =6 12分18．解：（Ⅰ）3个旅游团选择3条不同线路的概率为P 1=834334=A …………3分（Ⅱ）恰有两条线路被选择的概率为P 2=16943222324=⋅⋅A C C ……6分 （Ⅲ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3P （ξ=0）=64274333= P （ξ=1）=6427433213=⋅CP （ξ=2）= 64943313=⋅C P （ξ=3）= 6414333=C ……………………8分 ∴ξ的分布列为：∴期望E ξ=0×6427+1×6427+2×649+3×641=43……………………………12分19．方法一)6( )4( 90 245452)2( //22,0)(222分由三垂线定理，知内的射影，在面是斜线分由余弦定理中在中在分且证明：设Ⅰ PB AC AB AC ABCD PB AB BAC BC AC AB a AB ACB ABC ACD a AC ADC Rt CD BC AD BC aBC ADBC CD AD a CD AD PA ⊥∴⊥︒=∠∴=+∴=︒=∠∆︒=∠=∆⊥=∴==⊥===)12( 303tan ,323,)9(,,)(分中在中在分的平面角即为二面角由三垂线定理知连结于作过点面面Ⅱ παπααα=∴≤≤==∆=⋅=∴=∆--∠⊥⊥∴=⊥⊥∴⊥AEACAEC Rt a PBABPA AE a PB PAB Rt A PB C AEC CE E PB AE A PABCA AAB PA AB CA CA PA ABCD PA )1,0,1()0,1,0()0,1,2()0,0,1()2( 2//,2,1,:)1(:P C B A CD BC BC AD BC AD BC DC AD CD AD PA xyz D 则分且设系如图建立空间直角坐标证明方法二 ⊥=∴=⊥===-分）（即6 0)1,1,1()0,1,1( PB AC ⊥⊥∴=⋅-=-=∴（2）)1,1,1()1,1,1(-=-=PB CP)12( .321,cos )10(011()8( 11000000 ),,(分为二面角分），，的一个法向量为同理可取平面分），，（取的一个法向量为设平面 πA PBC PAB zy x z y x z y x z y x PBC --∴=>=<-=--=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=+-∴=⋅=⋅∴⊥⊥=20．解：（Ⅰ）∵221120n n n n a a a a ++--=，∴11()(2)0n n n n a a a a +++-=, ∵数列{n a }的各项均为正数， ∴10n n a a ++>， ∴120n n a a +-=，即12n n a a +=（*∈N n ），所以数列{n a }是以2为公比的等比数列.………………3分∵23+a 是42,a a 的等差中项， ∴24324a a a +=+，∴1112884a a a +=+，∴12a =，∴数列{n a }的通项公式2nn a =.……………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及n b =12log n n a a 得，2nn b n =-⋅， ……………………………8分∵12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，∴23422232422nn S n =--⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅-⋅ ○1 ∴2345122223242(1)22n n n S n n +=--⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅--⋅-⋅ ②②-○1得，234512222222n n n S n +=+++++⋅⋅⋅+-⋅ =112(12)2(1)2212n n n n n ++--⋅=-⋅--……………………………10分 要使S 12+⋅+n n n >50成立，只需2n+1-2>50成立，即2n+1>52，n ≥5∴使S 12+⋅+n n n >50成立的正整数n 的最小值为5. ……………………………12分21．解：(Ⅰ) ,OF MP =OFPM ∴为平行四边形.设l 是双曲线的右准线,且与PM交于N点====e ==∴即.022(22=--∴-=⋅e e ca c e c λλ………………6分 （Ⅱ）当1=λ时,得.3,2,2ab ac e ==∴=所以可设双曲线的方程是132222=-a y a x ,…8分 设直线AB 的方程是),1(--=x a y 与双曲线方程联立得:.042)3(2222=-+-a x a x a由0)3(164224>-+=∆a a a 得20<<a ..34,32),,(),,(222122212211-=-=+a a x x a a x x y x B y x A 则设①由已知，),0(a D ，因为=DB )23(-， 所以可得.)23(21x x -=②…………10分由①②得34)23(,32)13(2222222-=--=-a a x a a x ， 消去2x 得,22=a 符合0>∆，所以双曲线的方程是16222=-y x ………………14分 22．解：（Ⅰ）)(x f '=11+-x e x，………………2分 当0≥x 时，111,1≤+≥x e x，所以当0≥x 时，)(x f '0≥， 则函数)(x f 在[)∞+,0上单调递增，所以函数)(x f 的最小值为0)0(=f ；………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0>x 时，0)(>x f ，∵y x >， ∴01)1ln()(>-+--=--y x e y x f yx ，∴)1ln(1+->--y x eyx ①……………………7分∵011)(ln)]1ln()1[ln()1ln(≥+++-=+-+-+-x x y x y y x y x ，∴)1ln()1ln()1ln(+-+≥+-y x y x ②…………………………10分 由①②得 )1ln()1ln(1+-+>--y x e yx …………………………………12分。
广东省汕头市2019年普通高考第一次模拟考试数学理试题(解析版)
2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|log 0},{|2}A x x B x x =>=≤，则A B =（ ）A ．{|2}x x ≤B ．{|02}x x <≤C ．{|02}x x ≤≤D ．{|12}x x <≤答案：D考点：集合的运算。
解析：22{|log 0log 1}{|1},{|2},{|12}A x x x x B x x A B x x =>==>=∴=<≤≤．2．已知,i R a ∈是虚数单位，复数2i1ia z +=+，若2z =，则a = （ ） A ．0 B ．2 C ．2- D ．1答案：A考点：复数概念及其运算。
解析：2i (2)(1)221i 222a a i i a az i ++-+-===++，因为2z =， 所以，2222()()222a a +-+=，即2288a +=，解得：a =0 3．已知离散型随机变量X 的分布列为X 0123P827 49m127则X 的数学期望()E X =（ ） A ．23B ．1C ．32D ．2答案：B考点：随机变量的分布，数学期望。
解析：由841127927m +++=，得29m =，所以8421()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 4．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a b +与向量c 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 答案：D考点：平面向量的数量积，坐标运算，共线向量的性质。
解析：(3,3)a c k -=-，因为()//a c b -，所以(3)331k -⨯=⨯，解得2k =，当2k =时，()(4,4),(2,2),0a b b a b c +==-∴+⋅=，所以向量a b +与向量c 的夹角为2π． 5．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)答案：B考点：抛物线的定义。
广东省汕头市2019年普通高考第一次模拟考试数学理试题(含解析)
2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数不等式的解法得到集合A，再由集合交集运算得到结果.【详解】故选：D【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于简单题.2.已知是虚数单位，复数，若，则（）A. 0B. 2C.D. 1【答案】A【解析】【分析】通过复数的除法运算得到，再由模的求法得到方程，求解即可.【详解】，因为，，即，解得：0 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据分布列概率的性质得到m的值，再由均值公式得到结果.【详解】由，得，所以．故选：B【点睛】这个题目考查了离散型分布列的性质，以及均值的计算.4.已知向量，若，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据得到两个向量垂直.【详解】，因为，所以，解得，当时，，所以向量与向量的夹角为．故选：D【点睛】这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.5.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆和x轴相交于M点，根据圆的定义得到CA＝CM＝R，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M点为焦点.【详解】圆心C在抛物线上，设与直线相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA ＝CM＝R，直线为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点．故选：B【点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。
广东省汕头市2019年普通高考第一次模拟考试数学理试题(解析版)
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中， 菱形 所在的平面， 是 中点， 是 上的点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 是 的中点，当 时，是否存在点 ，使直线 与平面 的所成角的正弦值为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
答案：
考点：余弦定理，三角形面积公式，基本不等式。
解析：由 ，得 ，
所以 ，故 ，又由余弦定理， ，
故 ，又 ，所以 ，故 ，当且仅当 即 为等边三角形时等号成立，所以 面积的最大值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
解析：当 时， ，此时 ，所以 ，
画出函数 的图象，因为函数 在 上有零点，所以 的图象与 的图象有交点，由图，当直线 过点 时， ，由图象可得，实数 的取值范围是 ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．设 满足约束条件 ，则 的最大值为．
答案：19
考点：线性规划。
所以数列 为常数列，………………………………………………………………………5分
，即 ．………………………………………………………6分
（2）由（1）得 ，所以 ，…………………8分
所以 ，………………………………………………………………9分
，…………（没写也不扣分）……………………………10分
………………………………………11分
．……………………………10分
化简得： ，解得 或 ，
故存在点 满足题意，此时 为 或 ．……………………………………………………12分
2019汕头一模理科数学(教师版)
2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|log 0},{|2}A x x B x x =>=≤，则A B =（ ）A ．{|2}x x ≤B ．{|02}x x <≤C ．{|02}x x ≤≤D ．{|12}x x <≤1．答案：D解析：22{|log 0log 1}{|1},{|2},{|12}A x x x x B x x A B x x =>==>=∴=<≤≤．2．已知,i R a ∈是虚数单位，复数2i1ia z +=+，若z =a = （ ） A ．0B ．2C ．2-D ．1 2．答案：A解析：22i 2i2,44,01i 1ia a z a a ++=====+==++． 3则X 的数学期望()E X =（ ） A ．23B ．1C ．32D ．23．答案：B 解析：由841127927m +++=，得29m =，所以8421()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 4．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a b +与向量c 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．答案：D解析：(3,3)a c k -=-，因为()//a c b -，所以(3)331k -⨯=⨯，解得2k =，当2k =时，()(4,4),(2,2),0a b b a b c +==-∴+⋅=，所以向量a b +与向量c 的夹角为2π． 5．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0) B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)5．答案：B解析：由抛物线的定义可知该圆必过抛物线的焦点(2,0)．()y g x=的图象，则()g x在,88-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A．1-B．C．12-D．06．答案：A解析：5()sin2sin233412g x f x x xππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3,88xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以522,1233xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52122xππ-=-，即24xπ=-时，min()1g x=-．7．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A．320B．340C．920D．9407．答案：C解析：6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有3620C=个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：1339C=个，所以所求概率为920．8．在正方体1111ABCD A B C D-中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线1AO，下列说法正确的是（）A．11//AO D C B．1AO BC⊥C．1//AO平面11B CD D．1AO⊥平面11AB D 8．答案：C解析：选项A，连接1A B，则11//A B D C，因为1A B与1AO相交，所以A错；选项B，取AB中点E，连接1,A E OE，则//OE BC，在1AEO△中，190A EO∠=︒，所以1AO与OE不垂直，所以1AO 与BC 不垂直，B 错； 选项C ，设11111AC B D O =，连接1CO ，则11CO AO ，所以四边形11AO CO 是平行四边形， 所以11//AO CO ，又因为1AO ⊄ 平面11B CD ，1CO ⊂平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CD ，C 正确； 选项D ，连接1AC ，易证得，1AC ⊥平面11AB D ，所以1AO 与平面11AB D 不垂直，D 错．ABCDA 1B 1C 1D 1OABCDA 1B 1C 1D 1OEABCDA 1B 1C 1D 1OO 1ABCDA 1B 1C 1D 1O9．若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()+∞ B ．(1,)+∞C ．)+∞D ．[1,)+∞9．答案：C解析：由题意，,22x ππ⎛⎫∀∈-⎪⎝⎭，()(sin cos )0x f x e x x a '=-+-≤恒成立，即 cos sin 4a x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭≥恒成立，当,22xππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， cos ,1,(424x x ππ⎛⎤⎛⎫⎛⎫∴+∈-+∈- ⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎦，所以实数a 的取值范围是)+∞． 10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，与双曲线的渐近线交于,C D 两点，若35AB CD ≥，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦10．答案：B解析：渐近线方程为b y x a =±，将x c =代入，得2,,,,bc bc bc C c D c CD a a a ⎛⎫⎛⎫-∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， AB 为双曲线的通径，22b AB a =，因为35AB CD ≥，所以22325b bca a⋅≥，即35b c ≥，则22222992525b c c a c ⇒-≥≥，即221625c a ≥，则22516e ≥，则54e ≥． 11．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,30,ABC ABC APC ∠=︒△的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为（ ） A ．323π B ．43π C ．64π D ．4π11．答案：A解析：因为PA ⊥平面ABC ，所以是圆柱模型，设,AC m PA h ==，则12,42APC S hm hm ==∴=△，设ABC △外接圆半径为r ，P ABC -的外接球半径为R ，则2sin 30mr =︒，r m =，所以22242h R r rh ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭≥，即R 的最小值为2，所以外接球的体积的最小值为323π．12．定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足1()f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[ln ,0]ππ-12．答案：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．，2222sin cos 44cos 2sin 2sin 22sin cos 2444cos sin 4442tan 22443162511tan 94ππααππππαααααππααπαπα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=+=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭===⎛⎫+++ ⎪⎝⎭15．在25(1)ax x -+的展开式中，3x 的系数为30，则实数a 的值为 ． 15．答案：1-解析：展开式中含3x 的项为22320313121335521()()1()()(1020)C ax x C C ax x a a x ⋅-⋅+⋅-⋅=--，所以3102030a a --=，3230a a ++=，2(3)(1)0a a a -++=，所以1a =-．16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,1a b c a =，且2(2)cos cos 1bc A ac B b -+=-，则ABC △面积的最大值为 ．16解析：由2(2)cos cos 1bc A ac B b -+=-，得2(cos cos )12cos c b A a B b A ++=+，所以2212cos c b A +=+，故221cos 2c b A +-=，又由余弦定理，222cos ,12c b a A a bc+-==，故1bc =，又221211cos 222c b bc A +--==≥，所以sin 2A ≤，故1sin 24ABC S bc A =△≤仅当1b c ==即ABC △为等边三角形时等号成立，所以ABC △面积的最大值为4． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4n T <． 17．解析：（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，………………………………………………1分 当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， 1112(1)21n n n S n a a ---=-+-②……………………2分 -①②，得112(1)22n n n n n a na n a a a --=--+-，即1(1)n n na n a -=+，………………………………3分所以11n n a a n n -=+，且1122a =，………………………………………………………………………………4分 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，………………………………………………………………………………5分 112n a n =+，即1()2n n a n N *+=∀∈．……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得12n n a +=，所以22144114(1)(1)1n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪+++⎝⎭，…………………………8分 所以22224444234(1)n T n =+++++，………………………………………………………………9分4444122334(1)n n <++++⨯⨯⨯+，…………（没写也不扣分）……………………………………10分111111141223341n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………………………………………11分14141n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．……………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，60,ABC E ∠=︒是BC 中点，F 是PC 上的点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）若M 是PD 的中点，当AB AP =时，是否存在点F ，使直线EM 与平面AEF 的所成角的正弦值为15？若存在，请求出PF PC的值，若不存在，请说明理由． ABCDPF M18．解析：（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC △是正三角形， E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，……………………………………………………………………1分 又//,AD BC AE AD ∴⊥，……………………………………………………………………………2分PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，…………………………………………3分又,PAAD A AE =∴⊥平面PAD ，………………………………………………………………4分又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD ．……………………………………………………5分 （2）以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设2AB AP ==，则AE =则(0,0,0),,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)A C D P E M ，………………………………6分设,2)PF PC λλ==-，则(0,0,2),2),,22)AF AP PF λλλ=+=+-=-，……7分 又(3,0,0)AE =，设(,,)n x y z =是平面AEF 的一个法向量，则303(22)0n AE x n AF x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，取z λ=，得22,n λλ=-（0，），……………………………………………………………………9分 设直线EM 与平面AEF 所成角为θ，由(,1)EM =，得：1sin cos ,55EM n EM n EM nθ⋅====⋅．………………………………………10分化简得：2101340λλ-+=，解得12λ=或45λ=， 故存在点F 满足题意，此时PF PC 为12或45．………………………………………………………………12分B19．（本小题满分12分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．分局养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布(32,16)N ．（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g 的牡蛎的可能性有多大？（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x （人）与年收益增量y （万元）的数据如下：该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：ˆ 4.111.8yx =+； 模型②：有散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：y a =的附近，对人工投入增量x 做变换，令t =则y b t a =⋅+，且有7722.5,38.9,()()81.0,()3.8t y t t y y t t ==--=-=．（i ）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程（精确到0.1）；（ii ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．附：若随机变量2(,)Z N μσ～，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈；样本(,)(1,2,,)i i t y i n ⋯＝的最小二乘估计公式为：121()()ˆˆˆ,()nii i nii tt y y bay bt tt ==--==--∑∑， 另，刻画回归效果的相关指数22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑19．解析：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量(32,16)N ξ～，则32,4μσ==，…………………1分 由正态分布的对称性可知，111(20)[1(2044)][1(33)](10.9974)0.0013222P P P ξξμσξμσ<=-<<=--<<+=-=，…3分设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g 的牡蛎为X 只，故(10,0,0013)X B ～，…4分 故10(1)1(0)1(10.0013)10.98710.0129P X P X =-==--=-=≥，所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g 的牡蛎的可能性仅为1.29%．……………………5分 （2）（i ）由772112.5,38.9,()()81.0,()3.8iiii i t y t t y y tt ====--=-=∑∑，有71721()()81.0ˆ21.33.8()iii i i t t y y bt t ==--==≈-∑∑，………………………………………………………………6分 且ˆˆ38.921.3 2.514.4ay bx =-=-⨯≈-，……………………………………………………7分 所以，模型②中y 关于x 的回归方程为ˆ14.4y= ………………………………………………8分（ii ）由表格中的数据，有182.479.2>，即772211182.479.2()()iii i y y y y ==>--∑∑…………………………9分模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．……………………………………10分 当16x =时，模型②的收益增量的预测值为ˆ21.314.421.3414.470.8y==⨯-=（万元），…………………………………………11分 这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．……………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，点A 在椭圆C 上，12AF =，1260F AF ∠=︒，过2F 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若,P Q 的中点为N ，在线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得MN PQ ⊥？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 20．（1）由12c e a ==，得2a c =，……………………………………………………………………1分 122,22AF AF a ==-，………………………………………………………………………………2分在12AF F △中，由余弦定理得：2221212122cos AF AF AF AF A F F +-⋅=，代入化简得2440a a -+=，………………………………………………………………………………3分解得2a =，从而1c =，2223b a c =-=，………………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………………………………………5分 （2）存在这样的点M 符合题意．设112200(,),(,),(,)P x y Q x y N x y ，由2(1,0)F ，设直线PQ 的方程为(1),0y k x k =-≠，…………………………………………6分由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=，…………………………………………7分 22222(8)4(43)(412)144(1)0k k k k ∆=--+-=+>，由2122843k x x k +=+，得212024243x x k x k +==+，………………………………………………8分又点N 在直线PQ 上，所以2002243(1)14343k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭，……………………9分 所以22243,4343k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．若有MN PQ ⊥，则22230143443MNk k k k k m k --+==--+，……………………………………………………10分 整理得221k m ==，…………………………………………………………………………11分12分已知2()(2)(0)2x f x ax ax x e a =-++->． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在3个零点，求实数a 的取值范围．21．解析：（1）()(2)()()x x x f x ax a e x e x a e a '=-+++-=--……………………………………1分 因为0a >，由()0f x '=，得1x a =或2ln x a =．……………………………………………………2分 （i ）当0a e <<时，1ln a >，在(,ln )a -∞和(1,)+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在(ln ,1)a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，…………………………………………………………3分 （ii ）当a e =时，1ln a =，在(,)-∞+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，……………………4分（iii ）当a e >时，ln 1a >，在(,1)-∞和(ln ,)a +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在(1,ln )a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，…………………………………………………………5分（2）解法1：211()(2)(2)22x x f x ax ax x e x x e ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 有一个零点2x =．……………………………………………………………………………6分 要使得()f x 有3个零点，即方程10(2)2x ax e x -+=≠有2个实数根， 又方程120(2)(2,0)2x xe ax e x a x x -+=≠⇔=≠，令2()(2,0)x e h x x x=≠，………………7分 即函数y a =与()y h x =图像有两个交点，又22222(1)()0x x x xe e e x h x x x --'===，得1x =……………………………………………………8分 ()h x 的单调性如表：2(,)e +∞（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y a αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，0a >）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）设P 是曲线C 上的一个动点，若点P 到直线l 的距离的最大值为2，求a 的值； （2）若曲线C 上任意一点(,)x y 都满足2y x +≥，求a 的取值范围．22．解析：依题意得曲线C 的普通方程为22()4x y a +-=，…………………………………………1分因为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 4ρθρθ-=，因为cos ,sin x y ρθρθ==， 因为直线l 的直角坐标方程为4y x -=，即40x y -+=，…………………………………………2分所以圆心(0,)C a 到直线l 3分22=，…………………………………………………………………4分因为0a >，解得8a =．………………………………………………………………………………5分（2）因为曲线C 上任意一点(,)x y 都满足2y x +≥2，…………………………7分所以2a -≥2a -≤2a +≥9分又0a >，所以a 的取值范围为[2)++∞．…………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()22()f x x k x k =++-∈R ．（1）若4k =，求不等式2()24f x x x --≥的解集；（2）设4k <-，当[1,2]x ∈-时都有2()24f x x x -+≥，求k 的取值范围．23．解析：（1）因为4k =，所以()242f x x x =++-，所以32,2()6,2232,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-⎨⎪+>⎩≤≤…1分 当2x <-时，由2()24f x x x --≥，得23224x x x ----≥，即220x x +-≤，得12x -≤≤． 所以不等式无解………………………………………………………………………………………………2分当22x -≤≤时，由2()24f x x x --≥，得2624x x x +--≥，即23100x x --≤，得25x -≤≤．所以22x -≤≤………………………………………………………………………………………………3分 当2x >时，由2()24f x x x --≥，得23224x x x +--≥，即2560x x --≤，得16x -≤≤， 所以26x <≤…………………………………………………………………………………………………4分 综上所述，不等式2()24f x x x --≥的解集为：{|26}x x -≤≤．…………………………………5分。
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X
0
1
2
3
P
则X的数学期望 （）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】根据分布列概率的性质得到m的值，再由均值公式得到结果.
【详解】
由 ，得 ，所以 ．
故选：B
【点睛】
这个题目考查了离散型分布列的性质，以及均值的计算.
4．已知向量 ，若 ，则向量 与向量 的夹角为（）
三、解答题
17．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】(1)根据前n项和与通项间的关系得到， ， ，两式做差即可得到数列 ，数列 为常数列， ，即 ；（2）根据第一问得到 ，裂项求和即可.
【详解】
（1）当 时， ，即 ，
2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.
3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
15．在 的展开式中， 的系数为30，则实数 的值为______________．
【答案】-1
【答案】A
【解析】通过复数的除法运算得到 ，再由模的求法得到方程，求解即可.
【详解】
，因为 ， ，即 ，解得： 0
故选：A
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
5．一动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此动圆必过定点（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆和x轴相交于M点，根据圆的定义得到CA＝CM＝R，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M点为焦点.
【详解】
圆心C在抛物线上，设与直线 相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线 为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点 ．
【详解】
（1）连接 ，因为底面 为菱形， ，所以 是正三角形，
是 的中点， ，又 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ．
11．三棱锥 中， 平面 的面积为2，则三棱锥 的外接球体积的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据线面垂直以及三角形面积为2，得到 ，根据正弦定理得到底面三角形的外接圆的半径，将底面外接圆的圆心竖直向上提起，提到PA的一半，根据勾股定理和重要不等式得到结果.
【详解】
因为 平面 ，设 ，则 ，设 外接圆半径为 ， 的外接球半径为 ，则 ， ，将底面外接圆的圆心竖直向上提起，提到PA的一半，连接球心和底面外接圆半径，连接球心和点A，底面外接圆圆心和点A，根据直角三角形的垂直关系得到： ，即 的最小值为2，所以外接球的体积的最小值为 ．
18．如图所示，四棱锥 中， 菱形 所在的平面， 是 中点， 是 上的点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 是 的中点，当 时，是否存在点 ，使直线 与平面 的所成角的正弦值为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） 或
【解析】(1)根据底面菱形的特点得到 ，再由线面垂直得到 ， 平面 ，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式 ，求解即可.
10．过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，与双曲线的渐近线交于 两点，若 ，则双曲线离心率的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题可知 ， ， ，则 ， ， ， ， 所以 ，故选B．
【考点】1、双曲线的图像与性质;2、离心率范围．
【方法点睛】离心率的求解是近些年来的高考热点，属于难题.常有两种考法，一种是离心率求值，另一种是离心率范围的求解.主要是找到等式、不等式进行求解，方法灵活、类型多样，涉及知识点繁杂。主要从几何性质入手，作图要准确、精细，不可偷工减料，要将尽可能多的条件标到图上.本题涉及到垂径长 ，渐近线 ，对 的化简.
故选：B
【点睛】
这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。
6．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 在 上的最小值为（）
2019届广东省汕头市高三第一次模拟考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据对数不等式的解法得到集合A，再由集合交集运算得到结果.
【详解】
故选：D
【点睛】
这个题目考查了集合的交集运算，属于简单题.
2．已知 是虚数单位，复数 ，若 ，则 （）
A．0 B．2 C． D．1
故选：C
【点睛】
这个题目考查了古典概型的概率公式的应用，考查了基本事件个数的计算，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
8．在正方体 中，点 是四边形 的中心，关于直线 ，下列说法正确的是（）
A． B． C． 平面 D． 平面
【答案】C
7．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先分组，平均分为两组，共有20个基本事件，分情况讨论，满足题意的有9种，故概率为 .
【详解】
6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有 个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：甲指挥交通，乙和丙在另一组；或者丙乙指挥交通，甲在另一组；或者甲乙指挥交通，丙在另一组，共有 个，所以所求概率为 ．
故选：A
【点睛】
这个题目考查了椎体的外接球的求法，以及均值不等式求最值的应用,题目比较综合，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径。
12．定义在 上的函数 ，满足 ，且当 时， ，若函数 在 上有零点，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分段写出函数的解析式，原题转化为 的图象与 的图象有交点，结合函数图像得到结果.
【详解】
当 时， ，此时 ，所以 ，
画出函数 的图象，因为函数 在 上有零点，所以 的图象与 的图象有交点，由图，当直线 过点 时， ，由图象可得，实数 的取值范围是 ．
选项C，设 ，连接 ，则 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，C正确；
选项D，连接 ， 垂直于 , 垂直于 ,进而得到 垂直于面 ，故
垂直于 ，同理可证， 垂直于 ，进而得到 平面 ，所以 与平面 不垂直，D错．
故选：C
【点睛】
这个题目考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，异面直线的位置关系，题目较为综合.
【解析】对于A选项，连接 ，则 ，因为 与 相交，故选项错误；对于B，做平行线， ， 与 不垂直；对于C，做辅助线，通过平行四边形证明 ，进而得到线面平行；对于D，因为 平面 ，故得到 与平A错；
选项B，取 中点 ，连接 ，则 ，在 中， ，所以 与 不垂直，所以 与 不垂直，B错；
故选：D
【点睛】
本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
二、填空题
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据 得到两个向量垂直.
【详解】
，因为 ，所以 ，解得 ，当 时，
，所以向量 与向量 的夹角为 ．
故选：D
【点睛】
这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
当 时， ①， ② ，得 ，即 ，所以 ，且 ，所以数列 为常数列， ，即 ．
（2）由（1）得 ，所以 ，所以 ， ， ．
【点睛】
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
【解析】根据二项式的展开式的公式得到 的系数为 解方程即可.
【详解】
展开式中含 的项为 ，
所以 ， ， ，所以 ．
故答案为：-1
【点睛】
这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法、求导后赋值、积分后赋值等.