二次根式的除法法则
16.2.2二次根式的除法(教案)
在今天的课堂中，我们探讨了二次根式的除法，这是一个对学生来说相对新颖且具有一定难度的概念。我注意到，在引入新课时，通过联系日常生活的问题，学生的兴趣被成功激发，他们对接下来的学习内容充满了好奇心。
在理论介绍环节，我发现学生们对于被开方数相除的概念接受得比较快，但当我引入带分数的二次根式除法时，一些学生开始表现出困惑。我及时放慢了讲解速度，通过详细的步骤分解和例题演示，帮助学生逐步理解了这个难点。我认为，在未来的课程中，我需要准备更多的类似例题，让学生有更多的练习机会，以便更好地掌握这个知识点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式除法的基本概念。二次根式除法是指将两个含有二次根式的数相除，其基本法则是两个二次根式相除等于它们的被开方数相除。这个概念在数学运算和实际问题中都有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算√36 / √4，通过二次根式除法的法则，我们可以简化这个计算过程，得到3。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算一个数是另一个数的平方根的几倍的情况？”（例如，计算一个正方形的边长是另一个正方形边长的平方根的两倍）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式除法的奥秘。
初中数学 如何对两个二次根式进行除法运算
初中数学如何对两个二次根式进行除法运算对于两个二次根式进行除法运算，我们可以按照以下步骤和规则来进行计算。
理解并掌握这些方法，可以帮助我们更好地解决二次根式的除法问题。
步骤一：将两个二次根式写成标准形式首先，我们需要将两个二次根式写成标准形式，即确保根号下的数是最简形式且系数为整数。
如果有必要，我们可以进行化简或合并同类项。
步骤二：有理化分母在进行二次根式的除法运算时，如果分母是一个二次根式，我们需要有理化分母，即将分母中的二次根式去掉。
具体来说，如果分母是一个二次根式√(c)，其中c是一个非负实数，我们可以将分子和分母同时乘以√(c)来有理化分母。
步骤三：使用除法法则计算根号下的数根据除法法则，我们将两个二次根式进行除法运算时，可以将它们的根号下的数相除。
具体来说，如果有两个二次根式√(a)和√(b)，其中a和b都是非负实数，那么它们的除法为：√(a) / √(b) = √(a/b)。
步骤四：计算系数在进行根号下的数的除法计算后，我们需要计算系数的除法。
如果两个二次根式的系数都是整数，那么我们可以直接将它们的系数相除。
如果其中一个或两个二次根式的系数不是整数，我们需要将它们进行化简或分解，然后再进行系数的除法运算。
步骤五：合并结果在计算了根号下的数和系数后，我们将它们合并到一起，得到最终的结果。
如果根号下的数是一个完全平方数，我们可以将其提取出来，得到一个整数。
如果根号下的数不能被整除，我们将其保留在根号下，确保结果是最简形式。
让我们通过一些实际的例子来说明如何对两个二次根式进行除法运算：例子1：计算√(12) / √(3)。
首先，我们将根号下的数进行除法运算：√(12) / √(3) = √(12/3) = √(4) = 2。
因此，√(12) / √(3)等于2。
例子2：计算(3√(5)) / (√(15))。
首先，我们有理化分母，将分子和分母同时乘以√(15)：(3√(5)) / (√(15)) = (3√(5) * √(15)) / (√(15) * √(15)) = 3√(5*15) / 15 = 3√(75) / 15。
二次根式的除法运算法则
二次根式的除法运算法则
二次根式的乘除法法则运算：
1、乘法规定：(a≥0，b≥0)。
二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
(1)(a≥0，b≥0，c≥0)。
(2)(b≥0，d≥0)。
2、乘法逆用：(a≥0，b≥0)。
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;
3、除法规定：(a≥0，b>0)。
二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4、除法逆用：(a≥0，b>0)。
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意:此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2。
)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算—-分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式;②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算-—二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。
(1)二次根式基础知识点
32
2000
32
2001
______________
思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
类型六、化简求值 12、已知 4x +y -4x-6y+10=0，求(
2
2
+y
2
)-(x
2
-5x
)的值．
思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1) +(y-3) =0，即 x= 式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值． 举一反三
1 1 1 a 2 2 ，其中 a= ”，甲、乙两个学生的解答不同． + 2 a 5 a
甲的解答是：
1 1 1 1 2 49 1 1 a 2 2 = + ( a)2 = + －a= a + 2 a a a a a 5 a a 1 1 1 1 1 1 1 a 2 2 = + ( a)2 = +a－ =a= + 2 a a a a 5 a a
知识点三、二次根式的除法法则： 要点诠释：
，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意，其中
，因为 b 在分母上，
故 b 不能为 0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2
2
，y=3．其次，根据二次根
【变式 1】先化简，再求值．(6x
+
)-(4y
+
二次根式的混合运算 (1)
解题方法
本题解题的关键是先利用乘法分配律进行计算，再乘除，后将同类
二次根式进行加减。
乘法分配律： + = + .
加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
应用练习
3.3 化简：2
−2
−
3−2
2
−
7−1
0
1
+
.
2− 3
应用练习
3.4 化简： 12 +
1 −2
3
− −2
0
+ − 2
2
−
3−3 .
应用练习
3.5 计算：
2012 − 1
0
+
1 −1
−
3
−
2−2 −
1
.
2+1
应用练习
3.6 化简：
3−2
2015
∙
3+2
2016
− − 2
0
+ −
1 −1
①加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并。
②乘除运算法则：乘法法则： × = ≥ 0, ≥ 0
除法法则： ÷ =
≥ 0, > 0
知识讲解
三、相关知识点
①二次根式的性质:(1)
②分母有理化： (1)
1
(或先去掉括号).与整式的混合运算顺序相同.
易错点：
例题讲解
2.计算：
《二次根式》 讲义
《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中，＼（＼sqrt{｝＼）称为二次根号，＼（a\）叫做被开方数。
需要特别注意的是，二次根式有两个非常重要的限制条件：一是根指数为 2；二是被开方数必须是非负数。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）等都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a ＼geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。
2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））例如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。
3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4\times 3} ＝＼sqrt{4} ＼cdot ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）。
4、＼（＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼dfrac{3\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 3\）。
三、二次根式的化简化简二次根式是二次根式运算中的重要环节，其目的是将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足以下两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
二次根式的化简及计算
二次根式的化简及计算二次根式是指具有形式 $\sqrt{a}$ 的数，其中 $a$ 是一个非负实数。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和计算。
在本文中，我将对二次根式的化简和计算进行详细介绍。
首先，让我们来了解一些基本的二次根式化简规则。
1. 同号相乘法则：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$；2. 同底数幂法则：$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$；3. 分子分母同时乘以二次根式的共轭：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} =\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
基于这些规则，我们可以对二次根式进行化简和计算。
第一种情况是对一个二次根式的平方进行化简。
例如，对于$\left(\sqrt{2}\right)^2$，我们可以利用同底数幂法则得到$\sqrt{2}^2 = 2$。
第二种情况是对两个二次根式进行乘法计算。
例如，计算 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$，我们可以利用同号相乘法则得到 $\sqrt{2} \cdot\sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$。
第三种情况是对两个二次根式进行除法计算。
例如，计算$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，我们可以分子分母同时乘以$\sqrt{3}$的共轭 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
第四种情况是对一个二次根式的和或差进行化简。
例如，对于$\sqrt{2} + \sqrt{3}$，我们无法直接化简为一个二次根式。
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1.归纳： 一般地，二次根式的除法法则是：
a a (a 0, b＞0). b b
（讨论：二次根式乘除法的类同点与不 同之处.）
m－3
m－3 1、等式 ＝ 成立的条件是 m－5 m－5
m－3
成立的条件是 __________ __ 。
二次根式的除法公式的应用：
例4： 计算1 24 3 1 2 ， 2 18 3
1 1 32 1 5 2 6
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数。
a b
例5：化简
a a 0, b 0 b
75 (2) 27
3 (1) 100
3
25 x 9y
2
最简二次根式: 1.被开方数不含分母; 2.被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
性质的探究
问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
2 = （1 ） 3 ； ９ _______
16
４
2 4 = 3 9 _______ ；
4 16 4 = = （2 ） 5 5 ； 25 _______ ； 25 _______ 6 6 36 = = （3 ） 7 ； 49 _______ 7 49 _______ ．
1.计算：
3
(1)
32 2
7 10
50 (2) 10
1 4 5
－4 2 （5） 3 7
1 1 ( 4) 2 1 5 2 6 ____ 2Rh 1 (7) √_____ ____ √ 2Rh 2
2.化简
7 (1) 2 9
81 (2) x 0 2 25 x
16b2c (3) a 0, b 0 2 a
应用概念
最简二次根式：
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含开的尽方的因数或因式
问题3
辨别下列二次根式是否是最简二次根式．
1 2 2 x y ； ； （1） 12 ； （2） （3 ） （4） 3
x2 +y 2 .
(3) 0.3
(8) x 6 x 9 x
3 2
二、探究新知
我们把被开方数不含分母且被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫 做最简二次根式. （注：在二次根式的运算中，最后结果 中的二次根式一般要写成最简二次根式的形 式.）
0.09 ×169 (4) 0.64 ×196
2a （5） a＋b
2y （6） 4xy
2
2 1 2 (7 ) 1 2 1 3 3 5
拓展思考
问题7 观察下列各式，把不是最简二次根式的化 成最简二次根式．
（ 2 -1 ） = = = 2 -1 ； 2 +1 （ 2 +1 ）（ 2 -1 ） 2-1 （ 3- 2） = = = 3- 2 ； 3- 2 3 + 2 （ 3 + 2 ）（ 3 - 2） 1 1 （ 3 - 2） 1 1 （ 2 -1 ）
二次根式的除法
复习提问
1.二次根式的乘法：
a b ab
a≥0,b≥0
ab a b (a 0, b 0)
2.化简二次根式：
把开方开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
效果检测
2. 化简：
(1) 8 ____ 12 ____ 18 ____ 20 _____ 24 ____ 27 ____ 32 _____ 45 ____ 48 ____ 72 _____ 75 ____
同理可得
1 4+ 3
= 4 - 3 ，…
拓展思考
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算下面 式子的值．
（ 1 2 +1 + 1 3+ 2 + 1 4+ 3 + + 1 2002 + 2001 ）（ 2002 +1）
例6：化简
1
3 5
3 2 2 27
3
8 2a
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式. 把分母中的根号化去,使分母变成有理数, 这个过程叫做分母有理化。
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
1 （1 ） 2
2 （2） 3 40
3b (3) 2 a
注意：要进行根式化简，关键是要搞清 楚分式的分子和分母都乘什么，有时还 要先对分母进行化简。