高数(1)-13-14-2(A)答案

广东海洋大学 2013—2014学年第 二 学期 《 高 等 数 学 》课程试题 课程号： 19221101x2 □√ 考试 □√ A 卷 □√ 闭卷 □ 考查 □ B 卷 □ 开卷
一 . 填空（3×7=21分） 1. 设,{}{}1,0,1,0,1,1a b =-=r r ，则=⨯ {}1,1,1- 2. 过点()1,1,1且与x 轴垂直相交的直线方程为 1,x y z == 3. 过()1,0,1与平面21x y z ++=平行的平面方程为 22x y z ++= 4. 函数222z x y x =+-的驻点为 （1，0） 5. 幂级数16n n i x n =∑的收敛半径为 1 6. 曲线222,0z x y x z =++=在xoy 面上的投影曲线的方程为 220,0x x y z ++== 7. 微分方程y y '=-满足(0)2y =的特解为 2x y e -= 二 .计算题（7×2=14分） 1. 设sin x z y =，求dz . 解：21
cos ,cos z
x z x x
x y y y y y ∂∂==-∂∂…………………………（4分）
21cos cos x x
x dz dx dy y y y y =-…………………………（3分）
班
级
：
姓名： 学号： 试题共
5
页
加
白纸
3
张
密
封
线
GDOU-B-11-302
2.设),(y x f z =是由方程0z e x yz -+=所确定的具有连续偏导数的函数，求,z z x y
∂∂∂∂. 解：两边对x 求偏导，得…………………………………………（1分）
110z z z z z e y x x x e y
∂∂∂-+=⇒=∂∂∂+………………………………（3分） 两边对y 求偏导，得
0z z z z z z e z y y y y e y
∂∂∂-++=⇒=∂∂∂+ ………………………………（3分）
三 .计算下列积分（7×4=28分）
1.()D
x y d σ-⎰⎰，其中D 是由x 轴y 轴以及直线22x y +=所围成的闭区域。

解：积分区域D 可表示为02201
y x x ≤≤-⎧⎨≤≤⎩…………………………（2分） ()D x y d σ-⎰⎰=12200()x dx x y dy --⎰⎰ ……………………………………（3分） =13
- ……………………………………………………（2分）
2.证明曲线积分(2,1)(0,0)(2)(2)x y dx x y dy +++⎰在整个xoy 平面内与路径无关，
并计算积分值。

解：设2,2P x y Q x y =+=+，则2Q P x y ∂∂==∂∂…………………………（2分） 故曲线积分与路径无关。

…………………………………（2分） (2,1)(0,0)(2)(2)x y dx x y dy +++⎰=210013(4)2
xdx y dy ++=⎰⎰ ………………（3分）
3. 计算63xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰Ò,其中∑是某边长为2的正方体的整
个边界曲面的外侧。

解：设V 是由∑围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式得 63xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò=(6)(3)(
)V x y z dv x y z
∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰………………（3分） =10V
dv ⎰⎰⎰ ………………（1分）
=10V ……………………（2分） =310280⋅= ……………………（1分）
4.计算22
x y D e d σ+⎰⎰，其中D 是由224x y +≤围成的闭区域。

解：积分区域D 在极坐标下可表示为0202r θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩ ……………（2分） 22x y D e d σ+⎰⎰
=22200r d e rdr πθ⎰⎰ …………………………………（3分） =4(1)e π- ……………………………………（2分）
四 .计算题（8×4=32分）
1. 判别级数 21n n n e
∞=∑ 是否收敛。

解：因为2
2122(1)(1)1lim lim 1n n n n
n n e n en e
e +→∞→∞++==< ………………………………（4分） 所以级数21n n n e
∞=∑收敛。

……………………………………（3分）
2. 将函数3()x f x e = 展开为x 的幂级数。

解：0!n x n x e n ∞
==∑ （x -∞<+∞）………………………………（4分） 3()x f x e ==00(3)3,()!!n n
n n n x x x n n ∞
∞===-∞<<+∞∑∑ ………………（4分）
3. 求微分方程2y y x '+=的通解。

解：0y y '+=的通解为x y ce -= ………………（2分） 设原方程的通解为()x y c x e -=，代入方程得 ()2x c x xe '=，得()2(1)x c x x e c =-+ ……………………（4分） 故原方程的通解为：22x y x ce -=-+ ……………………（2分）
4.求微分方程566y y y '''-+=的通解。

解：特征方程为2560λλ-+=，得特征根为122,3λλ== ……（2分） 对应的齐次方程的通解为：2312x x y c e c e =+………………（2分） 1y =是原方程的一个特解。

……………………………（2分） 原方程的通解为：23121x x y c e c e =++ ………………（2分）
五.证明 ()000sin sin y x x dy e xdx x e xdx ππ
πππ--=-⎰⎰⎰（5分）
证明：设积分区域D 为00y x y π≤≤⎧⎨≤≤⎩，则D 可表示为0x x y ππ≤≤⎧⎨≤≤⎩……（2分） 000sin sin y x x x dy e xdx dx e xdy πππππ--=⎰
⎰⎰⎰ =0()sin x x e xdx π
ππ--⎰……………………………………（3分）。