谓词演算推证举例
1.8谓词演算的推理规则
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
(4)存在指定规则(ES)/存在量词消去规则(EI)
∃xA( x) ∴ A(c)
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
这个规则的意思是说:如果个体域中存在着具 有性质A的元素,那么个体域中必有某一元 素c具有性质A. 该式成立的条件是: (1)c是使A为真的特定的个体常项; (2) c不在A(x)中出现; (3)若A(x)中除自由出现的x外,还有其它自由 出现的个体变项,此规则不能使用.
或
∀xA( x) ∴ A(c)
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
这个规则的意思是说:如果个体域中的所有元 素都具有性质A,那么个体域中的任一元素 (或某一个元素c)皆具有性质A. 两式成立的条件是: (1)在第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x) 中约束出现的个体变项; (2)在第二式中,c为任意的不在A(x)中出现过的 个体常项;
如果个体域中的所有元素都具有性质a那么个体域中的任一元素或某一个元素c皆具有性质a
离散数学
卓泽朋
zhuozepeng@
数学科学学院
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
主要内容 一. 推理规则 二. 推理举例
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
第1组: 命题演算中的推理规则都是谓词演 算中的推理规则(教材P26). 第2组:谓词演算中所有的永真蕴含式,恒等 式和代入规则都是推理规则(教材P45-P46).
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
例3 在个体域为实数集合上构造下列推理的 证明: 所有的有理数是实数.某些有理数是整数.因此 某些实数是整数.
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
注: (1)四种规则的意思和各式成立的条件务必 记住; (2)证明方法通常有直接证法和间接证法; (3)证明过程中要先引进带存在量词的前提.
谓词逻辑 有效式证明
谓词逻辑有效式证明什么是谓词逻辑谓词逻辑（Predicate Logic），也称为一阶谓词演算（First-order Predicate Calculus）或一阶逻辑（First-order Logic），是数理逻辑中的一个重要分支。
它是一种用于研究自然语言和数学推理的形式系统，能够精确地描述和分析复杂的命题、关系和推理。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来描述对象之间的关系，使用量词来表示命题的范围。
谓词是一个描述性质或关系的函数，它接受一些参数并返回真或假。
量词则用于限定谓词的范围，包括全称量词∀（for all）和存在量词∃（exists）。
通过合理地运用这些符号和规则，我们可以进行有效式证明，即证明某个命题在给定公理系统下是可证明的。
有效式证明的基本概念在进行有效式证明之前，我们首先需要了解一些基本概念。
命题命题是一个陈述句，它要么为真（True），要么为假（False）。
在谓词逻辑中，我们使用符号P、Q、R等来表示命题。
公理公理是谓词逻辑中的基本假设或前提，它是一个被认为是真的命题。
在进行有效式证明时，我们需要基于一组公理来推导出新的命题。
推理规则推理规则是用于从已知命题推导出新的命题的规则。
常见的推理规则包括：假言推理、析取三段论、合取三段论、全称推广、全称特指等。
有效式证明有效式证明是指使用一组公理和推理规则，通过一系列合法的推导步骤，从已知命题推导出目标命题。
如果我们能够按照一定的规则进行推导，并最终得到目标命题，则称该证明是有效式的。
谓词逻辑有效式证明的步骤进行谓词逻辑有效式证明时，通常需要按照以下步骤进行：1.确定目标：首先需要确定要证明的目标命题。
2.建立前提：根据已知信息和所给公理，建立起一组前提命题。
3.运用推理规则：根据前提和已有信息，运用合适的推理规则来进行推导。
4.反复应用：根据需要反复应用不同的推理规则，直到最终得到目标命题。
5.证明结束：当我们成功地从已知信息推导出目标命题时，证明结束。
1.7谓词演算的永真公式
P(x)：x今天没来校上课。
1 xP(x)：不是所有的大学生今天都来上课。
与 xP(x)：存在一些大学生今天没来上课。（含义相同）
2 xP(x)：今天没有(不存在)来上课的大学生。
与 xP(x)：所有的大学生今天都没来上课。（含义相同）
10
NUIST
3．量词辖域的扩张与收缩律
设P是不含自由变元x的任一谓词公式(包括命题公式)，
3
谓词公式类型的判断
NUIST
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也
是有限的时，原则上可以用真值表来判断。
方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释
是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
命题演算的等价式就转化为谓词演算的等价式。 依据：永真式的任何代入实例也必永真。 例如：1 由 P P
得： A(x) A(x) 2 由 P→Q P∨Q
得：xA(x)→xB(x) (xA(x))∨(xB(x))
二、由于引入量词而产生的谓词演算中特有的逻辑等价式、 永真蕴含式。
8
与量词有关的逻辑等价式
NUIST
1．量词的消去律
(1)设个体域为有限集D={a1, a2, …,an}时，则有
∀x P(x)
P(a1)∧P(a2)∧…∧P(an) （1）
∃x P(x)
P(a1) ∨P(a2) ∨…∨P(an) （2）
(2) 设A是不含自由变元x的谓词公式，则有
xA A
（3）
xA A
（4）
(因为A的真值与自由变元x无关)
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
18谓词演算的推理规则.
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取，其中没有x的自由出现。其意
义：若从Γ可推出A(x)，那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中，x必须不是自由的；且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
3
谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提：A1, A2, … , Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
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注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则，若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
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量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中，x不出现在量词y或 y的辖域之内，则称A(x)对y是自由的。
• 例如：B(x)= y P(y)Ｑ(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
谓词公式等值演算
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 无法证明，只能理解！
1、个体域为有限集D={a1,a2,...,an},则有 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
(1)/x(A(x)B)/xA(x)B A(x)含自由x (2)/x(A(x)B)/xA(x)B B不含有自由x 5 、约束变元改名规则 将A中某量词辖域中变元的每次约束出现，全部换成公 式中未出现的字母，所得到的公式记为B，则AB 6 、置换规则：公式局部等值变换后,仍与原公式等值。
例题、x(A(x)B)xA(x)B
例题、 xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y)) pqpq
xy( (F(x)G(y))H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y))
离散数学
1、 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) 个体域为有限 xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x) x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 4、量词作用域的收缩与扩张律
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x)
当否定符“”移过时，变成、变成、变 成、变成。
离散数学-谓词演算的推理规则
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
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例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
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二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
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设前提为∀x∃yF(x, y) ，下面的推证是否正确？
(1) ∀x∃yF(x, y) P
(2) ∃yF(y, y) T (1) US 解：推证不正确。
取解释I：个体域为R，在I下前提被解释为∀x∃y(x>y) ，为真；
而∃yF(y, y)被解释为∃y(y>y) ，为假。
所以推理不正确。
错误的原因是第(2)步违反了US规则成立的条件y不应在P(x)中约束出现。
设前提为∀x∃yF(x, y) ，下面的推证是否正确？
(1) ∀x∃yF(x, y) P
(2) ∃yF(t, y) T (1) US
(3) F(t, c) T (2) ES
(4)∀xF(x,c) T (3) UG
(5)∃y∀x F(x,y) T (4) EG 解：推证不正确。
取与例2.16相同的解释，则∀x∃yF(x,y)为真；
而∃y∀x F(x,y)意为“存在着最小实数”，是假命题，
所以推理不正确。
之所以出现这样的错误，是第(3)步违反了ES规则成立的条件
P(x)中除x外还有其他自由出现的个体变元时，不能用此规则。
试证明
∀x(P(x)→Q(x))∧∀x(Q(x)→R(x))⇒∀x(P(x)→R(x))证：(1)∀x(P(x)→Q(x)) P
(2)P(y)→Q(y)T (1) US
(3)∀x(Q(x)→R(x)) P
(4)Q(y)→R(y)T (3) US
(5)P(y)→R(y) T (2)(4) I
(6)∀x(P(x)→R(x)) T (5) UG
证毕。
试证明
∀x(C(x)→W(x)∧R(x))∧∃x(C(x)∧Q(x))⇒∃x(Q(x)∧R(x))证：(1) ∃x(C(x)∧Q(x))P
(2) C(a)∧Q(a)T (1) ES
(3) ∀x(C(x)→W(x)∧R(x))P
(4)C(a)→W(a)∧R(a)T (3) US
(5)C(a) T (2) I
(6)W(a)∧R(a) T (4)(5) I
(7)Q(a)T (2) I
(8)R(a)T (6) I
(9)Q(a)∧R(a)T (7)(8) I
(10)∃x(Q(x)∧R(x)) T (9) EG
证毕。
2.5.2 谓词演算推证举例
注意：
在推证过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词，而且选用的个体是同一个符号，则必须先使用规则ES，再使用规则US。
在例2.19的推理过程中(2)(3)与(4)两条就不能颠倒，若先用US规则得到C(a) W(a)∧R(a)，则再用ES规则时，不一定得到C(a)∧Q(a)，一般应为C(b)∧Q(b)，故无法推证下去。
例2.20
证明苏格拉底三段论：“所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。
”证：设H(x)：x是一个人，D(x)：x是要死的，a：苏格拉底。
则本论证形式化为：∀x(H(x)→D(x))∧H(a)⇒D(a);
(1)∀x(H(x)→D(x)) P
(2) H(a)→D(a) T (1) US
(3) H(a) P
(4) D(a) T (2)(3) I
证毕。
谓词演算推证中利用US,ES规则可将谓词演算的推证转化为命题演算的推证，再通过UG,EG转化回来。
关于四条规则使用的特别提示：
（1）当既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词，而且选用的个体是同一个符号，则必须先使用规则ES，再使用规则US。
然后再使用命题演算中的推理规则，最后使用规则UG或规则EG引入量词，得到所要的结论。
（2）如一个变量是用规则ES消去量词，对该变量在添加量词时，则只能使用规则EG，而不能使用规则UG；如使用规则US消去量词，对该变量在添加量词时，则可使用规则EG和规则UG。
（3）如有两个含有存在量词的公式，当用规则ES消去量词时，不能选用同样的一个常量符号来取代两个公式中的变元，而应用不同的常量符号来取代它们。
（4）在用规则US和规则ES消去量词时，此量词必须位于整个公式的最前端（一般化为前束范式）。
本小节内容思维形式注记图:
(A1∧A2∧…∧A k)→B是否为永真式
谓词演算推证
直接间接
归谬附加前提P规则 T规则 CP规则US,UG,ES,EG
推理规则。