椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
双曲线的焦点三角形面积的公式推导
双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。
在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。
让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。
双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。
它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。
现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。
在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。
我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。
我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。
现在，我们要计算这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。
通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。
然而，这只是一个简单的推导过程。
如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。
我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。
在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。
椭圆的焦点三角形面积公式
椭圆的焦点三角形面积公式
1、椭圆的焦点三角形面积公式:
椭圆的焦点三角形面积公式，指的是针对椭圆的一种特殊形状的三角形，是其面积计算公式。
具体计算公式为：S=1/2ab*sqrt(1-e2)，其中a、b、e分别表示椭圆长轴、短轴以及离心率，即椭圆椭圆小周长与大周
长之比，由此可以得出动态椭圆的焦点三角形面积。
2、离心率的计算方法：
离心率是指椭圆小周长与大周长之比，计算方法也很简单，通过将椭
圆的两个焦点到长轴上的距离除以长轴的长度，即可得到离心率的值。
这里要注意的是，离心率的值不能大于1，否则椭圆的小周长就大于大周长，椭圆就变成了另一种不同的形状了。
3、椭圆的焦点三角形面积计算实例：
具体计算实例，假设我们有一个椭圆，长轴长度为a=30，短轴长度为
b=20，离心率为e=0.6，则该椭圆的焦点三角形的面积计算公式为：
S=1/2ab*sqrt(1-e2)，其中的a、b、e分别表示椭圆的长轴、短轴以及离
心率，则本例中的面积计算结果为S=216，即椭圆的焦点三角形的面
积为216。
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆．2、推导过程：如图所示设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎩⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2,2,22122212212222121PF PF PF PF F F cb a a PF PFc F F ⇒ )cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=b c a PF PF ） )2tan()2(cos 22cos2sin2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+=+⨯==∆附：设γβ=∠=∠P F F P F F 1221,,则离心率γβγβsin sin )sin(++=e ．证明如下：)sin(2sin sin 2)sin[(sin sin )sin[()](sin[sin sin 212121212121γβγβγβγβγβγβπγβ+=+⇒+=+++=+-==∆ca F F PF PF F F F F PF PF P F F 由等比定理得：中，由正弦定理得：在故γβγβsin sin )sin(++==a c e二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆．2、推导过程：如图所示设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有⎪⎩⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF c F F ，，⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ） 12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF附：设γβ=∠=∠P F F P F F 1221,,则离心率γβγβsin -sin )sin(+=e ．证明如下：γβγβγβγβγβγβγβγβπγβsin -sin )sin()sin(2sin -sin 2)sin(sin -sin -)sin()](sin[sin sin 212121212121+==+=⇒+=+=+-==∆a c e ca F F PF PF F F F F PF PF P F F 故由等比定理得：中，由正弦定理得：在。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
怎样解答与焦点三角形有关的问题
焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点问题
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点问题专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其初步应用 【微点综述】圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考． 一、常用结论【结论1】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则0000,,y am bn bnx y c c x am===． 证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 又()()()2222222222222a n mbc b n c n b b n c +=++-=+，因此22202,a m amx x c c=∴=．又222222222200000022222201,11,,x y x y a m b n bn bn y b b y a b a c a c c x am ⎛⎫⎛⎫+=∴=-=-=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【结论2】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则1222221212,,PF F PF PF a m PF PF b n S bn ∆⋅=-⋅=-=．证明：由椭圆与双曲线的定义得12122,2,PF PF a PF PF m ⎧+=⎪⎨-=±⎪⎩两式分别平方再相减得2212PF PF a m ⋅=-．在12PF F ∆中，由余弦定理得22212122cos 4PF PF PF PF c θ+-⋅=，()()()222212121221cos 4,421cos 4PF PF PF PF c a PF PF c θθ∴+-⋅+=∴-⋅+=，()2121cos 2PF PF b θ∴⋅+=，同理可得()2121cos 2PF PF n θ⋅-+=-，()()()22221212121cos 1cos 2,cos PF PF PF PF b n PF PF b n θθθ∴⋅++⋅-+=-∴⋅=-，2212PF PF b n ∴⋅=-．由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得 1212222222tan ,tan ,22tan 2PF F PF F n n nS b S b bnb bθθθ∆∆==∴=∴=⋅=． 【结论3】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2222tan ,cos 2n b n b a m θθ-==-．证明：由结论2得222tan 2n bθ=，又tan 0,tan 22n b θθ>∴=． 注意到221212221212cos ,cos PF PF PF PF b n a mPF PF PF PF θθ⋅⋅-=∴==-⋅⋅．【结论4】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则222212n b b n e e ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：222222222222222222221212111,1,a b c b m c n n n b b n e c c c e c c c e e ⎛⎫⎛⎫+-===+===-∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【评注】结论4反映1212,,,e e b b 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2211,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是1b 与2b 的平方和．【结论5】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证明：证法1：在12PF F ∆中，由余弦定理得22212122cos 4PF PF PF PF c θ+-⋅=，即2222212122cos sin 422PF PF PF PF c θθ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，()()22221212222221212sin cos 4,sin cos 1222222PF PF PF PF PF PF PF PF c c c θθθθ⎛⎫⎛⎫+-∴++-=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为1b ，双曲线的虚半轴长为2b ，则121tan 2PF F S b θ=△，1222tan2PF F b S θ=△，所以2221tan 2tan 2b b θθ=，2221b a c =-，2222b c m =-， ()()22222tan 2a c c m θ-=-，整理得：222212sin cos 221e e θθ+=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．【结论6】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，点()00,P x y 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．证明：椭圆1C 在点()00,P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，该切线的斜率为20120x b k y a =-， 双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线00221x x y ym n-=，该切线的斜率为20220x n k y m =，222220001222222000x b x n x b nk k y a y m y a m∴=-⋅=-；又由结论1得222222222000122220,,1y b n y a m x b n k k x a m=∴=∴=-， 则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．【结论7】若点()00,P x y 是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>的一个公共点，且它们在点()00,P x y 处的切线相互垂直，则椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 因此()2222222222000222222222222222222211,11m b n x y x b n a m a m a n b m b n n a n a n b m a n b m ⎡⎤+⎛⎫+-⎢⎥==-=-= ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 由已知得222222222220000012222222222222222220001,,x b x n x b n x y b n a m k k y a y m y a m a m b n a n b m a n b m+-=-⋅=-=-∴=∴=++，22222222,,a m b n a b m n ∴-=+∴-=+∴椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．二、应用举例 （一）公共点问题1．已知点1F ，2F 分别为椭圆221:110x C y +=的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线222:18x C y -=的一个交点为P ，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则k =___________． （二）公共焦点三角形问题2．已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y m n-=>有公共焦点12,F F ，P是它们的一个公共点，则12PF F △的面积为_________，12PF F △的形状是_________． 例3．（2022·上海·高三专题练习）3．已知1(2,0)F -､2(2,0)F ，设P 是椭圆2228x y +=与双曲线222x y -=的交点之一，则12PF PF ⋅=___________.（三）角度问题4．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________． （四）公共点处切线有关问题5．已知椭圆221259x y +=与双曲线()2222:10,0x y C m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，点94,5P ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为_________________． （五）求离心率的值例5．（2022·云南云南·高二月考）6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点12F F 、，点P 是两曲线的一个公共点，且123F PF π∠=，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．7．若两曲线在交点P 处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点P 处正交．设椭圆()2221024x y b b +=<<与双曲线2212x y -=在交点处正交，则椭圆22214x y b+=的离心率为__________．不难看出，有了以上性质之后，在解决有关共焦点的椭圆与双曲线的相关问题时，处理起来往往会比较简便，真正达到“少算、巧算”的目的．当然在具体的题目中，以上性质是否有用，取决于相应的题目条件．在教学过程中我们可以适当引导学生作出相应的归纳总结，如本文中由于经常出现共焦点的椭圆与双曲线的相关问题，我们不妨将其进行有效地研究与归纳总结，帮助学生提高计算的准确性与方法选择的恰当性，从而高效地解决问题．（五）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题 （六）求12u ve e +（,u v 为正常数）型最值问题综上可知，共焦点的椭圆与双曲线一般有如下几类题型：一是求两离心率之积的取值范围或最值问题；二是求两离心率的倒数之和的最大值问题．不论是哪种题型，一般先由结论4或结论5得出12,e e 的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求12e e 的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理；若求12u ve e +（,u v 为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．8．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则2212212()e e e e +的值为A ．12B ．1C ．2D ．不确定9．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且122πFPF 3∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e .则221231(e e += ) A ．4B．C ．2 D ．310．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（ ） AB ．12CD例4．（2021·新江宁这育·高二期末）11．已知12,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且1223F PF π∠=，若椭圆1C 离心率记为1e ，双曲线2C 离心率记为2e ，则222127e e +的最小值为（ ） A ．25B ．100C ．9D ．36例5．（2021·全国高三专题练习）12．设1F ，2F 分别为椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()2222222210x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e ⎡∈⎢⎣⎦，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为________________________．例6．（2021·河南郑州市·高三一模（文））13．已知12,F F 知是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12,C C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则双曲线2C 的离心率为（ ） A ．65BCD例7．（2021·全国高二课时练习）14．椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点为P ，且123F PF π∠=，若椭圆的离心率___________. 例8．（2021·浙江绍兴市·高二期末）15．已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且1223F PF π∠=，若椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的最小值为（ ）A ．1BCD 例9．（2021·陕西渭南市，高二期末（理））16．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是AB C D ．2自我检测 （2014·湖北卷）17．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A B C ．3 D ．218．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，与双曲线()222210,0x y m n m n -=>>具有相同焦点F 1、F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，若∠F 1PF 2＝3π，则2212e e +的最小值是AB ．2CD 19．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22124e e +的最小值为（ ）A ．3B ．92C ．4D ．53（2021·江西南昌市·（理））20．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）A ．12B C ．1 D （2021·江苏徐州市高二月考）21．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若(2e ∈，则1e 的取值范围是（ ）A．⎝⎭B．⎝⎭C．⎝⎭D．⎝⎭（2021·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））22．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e 的最大值为（ ） A ．32BCD ．1（2021·江西高三其他模拟（文））23．已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e ，且满足21e ，1F ，2F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（ ）ABC ．2D（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三开学考试（理））24．已知椭圆与双曲线有公共焦点，1F ，2F ，1F 为左焦点，2F 为右焦点，P 点为它们在第一象限的一个交点，且124F PF π∠=，设1e ，2e 分别为椭圆双曲线离心率，则1211e e +的最大值为 AB．C．D．（2021·江苏省前黄高级中学高二期末）25．1F ，2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别为曲线1C ，2C 的离心率，P 为曲线1C ，2C 的一个公共点，若123F PF π∠=，且22e ⎤∈⎦，则1e ∈___________. （2021·天津静海区·高二期中）26．已知椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点12F F ，，M 为1C 与2C 的一个交点，12MF MF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若212e e =，则1e =_______． （2021·江苏省天一中学高三一模）27．设P 为有公共焦点12,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且12PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若213e e =，则1e =______________. （2021·江苏省如皋中学高二月考（文））28．设P 为有公共焦点12F F 、的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且12PF PF ⊥，若椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，则22129e e +的最小值为_________.（2019．湖北（理））29．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则22122e e +的最小值是__________．（2021·浙江嘉兴市·高二月考（理））30．设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,,F F P 是两曲线的一个公共点,则12cos F PF ∠的值等于 A ．13B ．14C ．19D ．35（2021·江苏泰州市·泰州中学高二开学考试）31．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 使两曲线的一个公共点，且1260F PF ∠=︒，若椭圆离心率1e =双曲线2C 的离心率2e =（ ） AB ．2 CD ．3（2021·江苏省镇江第一中学高二期末）32．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e 的最大值为（ ） A．3BC．D．（2021·全国高三专题练习（理））33．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122e e ，则2212e e +=__________.（2021·江西南昌市·南昌二中高二月考（文））34．椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则A ．222212cos sin 1e e θθ+=B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+=（2021·陕西汉中市·高三月考（理））35．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F ，2F 张的角为123F PF π∠=.椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则 A ．221231144e e += B ．221213144e e += C ．22124413e e +=D ．22214413e e +=参考答案：1【分析】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =；联立两方程解出0x ，0y ，即可代入得出答案.【详解】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =， 联立方程22110x y +=与2218x y -=消去y ，得：222108x x +=，解得x =0x =，代入22110x y +=解得：13y =±，即013y =±，00001y y k x x ∴====2． 1 直角三角形【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m n PF m n =+=-，进而根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积.【详解】不妨设P 在第一象限，12,F F 为左右焦点，焦距为2c ，由椭圆和双曲线的定义可得：12122,2PF PF m PF PF n +=-=，故12,PF m n PF m n =+=-，又22211m n c -=+=，故可得22122PF PF m n =-=且()()2222222212122,42PF PF m n F F c m n +=+==+，故 2221212PF PF F F +=，因此12PF F △形状是直角三角形，以P 为直角， 1212112122PF F SPF PF ==⨯=， 故答案为：1；直角三角形. 3．6【分析】由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出112||,||PF PF 即可得到答案.【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为22184x y +=、22122x y -=，可知两曲线共焦点， 设1122||,||PF r PF r ==，由定义有：121122r r r r r r ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩11226r r r r ⎧=⎪⨯=⎨=⎪⎩. 故答案为：6.4．13【详解】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理； 5．54##1.25【分析】依题意，注意到点94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆221259x y +=上，由此得到椭圆在点P 处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点P 处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点P 处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．【详解】根据结论6，由题意得椭圆221259x y +=在点94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为4912595x y +=⨯，即45250x y +-=，该直线的斜率为45-，由结论5得知，该双曲线在点P 处的切线的斜率为54． 故答案为：54.6【分析】设12,PF s PF t ==，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得,s t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值．【详解】设1212,,2PF s PF t F F c ===，P 为第一象限的交点，设椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，由椭圆和双曲线的定义可得22s t a s t m +=⎧⎨-=⎩，解得s a mt a m =+⎧⎨=-⎩，在三角形12F PF 中，123F PF π∠=，由余弦定理可得，()22222222242cos223c s t st a m am a m am a m π=+-=++++---，即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即为2212134e e +=，由双曲线为等轴双曲线，所以2e1e =7【分析】设椭圆与双曲线的交点为00(,)P x y ，联立两曲线方程解得00,x y 的值，再写出两曲线在P 的切线方程及斜率，由121k k =-解出b 的值，进而可求椭圆的离心率. 【详解】解：设椭圆()2221024x y b b +=<<与双曲线2212x y -=的交点为00(,)P x y ，解方程组2200222001412x y bx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，得220222024422b x b b y b ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ， 椭圆()2221024x y b b +=<<在P 处的切线方程为00214x x y y b +=，斜率20104x b k y =-；双曲线2212x y -=在P 处的切线方程为0012x x y y -=，斜率0202x k y =； 因为椭圆()2221024x y b b +=<<与双曲线2212x y -=在交点处正交，所以2001200142x b x k k y y =-⋅=-， 所以222008b x y =，即2222244822b b b b b +⋅=⋅++，解得1b =. 所以椭圆22214x y b+=的离心率c e a ===.8．C【分析】根据题意，设它们共同的焦距为2c 、椭圆的长轴长2a 、双曲线的实轴长为2m ，由椭圆和双曲线的定义及勾弦定理建立关于a 、c 、m 的方程，联解可得a 2+m 2=2c 2，再根据离心率的定义求解．【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴长2a ，双曲线的实轴长为2m ， 设P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF 1|﹣|PF 2|=2m ∠ 由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2a ∠ 又∠120PF PF ⋅=，∠12PF PF ⊥，可得∠F 1PF 2=900， 故|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2∠，∠平方+∠平方，得|PF 1|2+|PF 2|2=2a 2+2m 2∠将∠代入∠，化简得a 2+m 2=2c 2，即2222112c c a m+=， 可得2212112e e +=， 所以()2212212e e e e +=2212112e e +=. 故选：C 【点睛】9．A【分析】设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长a 2，焦距2c ．结合椭圆与双曲线的定义,得112PF a a =+，212PF a a =- ,在∠F 1PF 2中,根据余弦定理可得到12,a a 与c 的关系式,变形可得221231e e +的值. 【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1212PF PF a +=，1222PF PF a -=，∠112PF a a =+，212PF a a =-， 设122F F c =，122π3F PF ∠=，则 在12PF F 中由余弦定理得，()()()()222121212122π42cos3c a a a a a a a a =++--+-， ∠化简得2221234a a c +=，该式可变成2212314e e +=． 故选A ．【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c 的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c 的关系式求解. 10．A【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c ，2222111x y a b -=，c =根据123F PF π∠=，利用余弦定理得到2221340a a c +-=，进而得到2221314e e +=，再利用基本不等式求解.【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c 设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∠1m a a =+，1n a a =-． 因为123F PF π∠=，所以()22221cos 322m n c mn π+-==， 即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-． ∠2221340a a c +-=，∠2221314e e +=，∠4≥121e e ≤1e =2e =时取等号． 故选：A ． 11．A【解析】由椭圆与双曲线的定义得记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=，用余弦定理得出,m n 的关系，代入和与差后得12,e e 的关系式，然后用基本不等式求得最小值．【详解】记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=（双曲线的实轴长）， 又由余弦定理得2224m n mn c ++=，所以22231()()444m n m n c ++-=，即22234a a c '+=，变形为2212314e e +=，所以22222212121222221222273131127()(27)(82)2544e e e e e e e e e e +=++=++≥，当且仅当22122222273e e e e =，即213e e =时等号成立．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，122MF MF a +=，在双曲线中122MF MF a '-=，不能混淆．12．7⎡⎢⎣ 【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.【详解】由椭圆及双曲线定义得1212MF MF a +=，1221122MF MF a MF a a -=⇒=+，212MF a a =-，因为1290F MF ∠=︒，所以()()22212124a a a a c ++-=，222122a a c +=，2212112e e +=，因为134e ⎡∈⎢⎣⎦，2198,169e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，211916,89e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222111272,98e e ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则2e ∈⎣⎦，因为22a b >，221b a <，由22c e a ==<21e <<2e ∈⎣．故答案为：⎣. 13．B【解析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的c ，利用勾股定理和椭圆的定义求得12AF AF -得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率． 【详解】易知椭圆221:14x C y +=的焦点坐标为(，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则c记12,AF m AF n ==，由A在椭圆上有2224x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∠22222()2()()21248x y x y x y -=+-+=⨯-=，即2a x y =-=a = ∠双曲线离心率为c e a ===． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是利用双曲线与已知椭圆共焦点，有公共点求出半焦距c 和半实轴长a ，注意点椭圆与双曲线的定义的不同：椭圆中是122PF PF a +=，双曲线中是122PF PF a -=．14【解析】设点P 为第一象限内的点，设椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，两曲线的焦距为2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，利用余弦定理、椭圆和双曲线的定义可得出2221234a a c +=，进而可得出2221314e e +=，结合1e =2e 的值，即可得解. 【详解】设椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，两曲线的焦距为2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ， 不妨设P 为第一象限的点，在椭圆中：1212+=PF PF a ∠，在双曲线中：1222-=PF PF a ∠， 联立∠∠解得，112=+PF a a ，212=-PF a a ，在12PF F △中由余弦定理得：()22212122+2cos3c PF PF PF PF π=-⋅，即()()()()222121212121422c a a a a a a a a =++--+-⋅即()()2222222121212423c a a a a a a =+--=+，即22122234a a c c =+，所以，2221314e e +=，因为椭圆的离心率1e =24e =，【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 15．D【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，不妨设点P 在第一象限，然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ，再利用余弦定理列等式，转化为离心率的等式后，根据基本不等式可求得. 【详解】如图所示：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ， 不妨设点P 在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义得， 121||||2PF PF a += ，122||||2PF PF a -=，所以112||PF a a =+，212||PF a a =-， 设12||2F F c =，1223F PF π∠=， 在12PF F △中，由余弦定理得2221212121224()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-⨯， 化简可得：2221243c a a =+，所以222212314c c a a =+，即2212314e e +=，由221212314e e =+≥12e e ⋅≥. 故选：D 16．A【分析】设1PF x =，2PF y = (x > 0)y >，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为a ，根据余弦定理可得2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+-，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，椭圆的离心率为1e ，则11c e a =，11c a e =． 双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，ce a =，c a e=， 设1PF x =，2PF y = (x > 0)y >， 则2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+-，当点P 被看作是椭圆上的点时，有()22214343c x y xy a xy =+-=-， 当点P 被看作是双曲线上的点时，有24c = ()224x y xy a xy -+=+， 两式联立消去xy 得222143c a a =+，即222143c c c e e ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211134e e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又11e e =，所以2234e e+=，整理得42430e e -+=， 解得23e =或21e =（舍去），所以e =故选A ．【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目. 17．A【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为()11,a a a ＞，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知，设1122122PF r PF r F F c ===，，，，椭圆和双曲线的离心率分别为12e e ，12,3F PF π∠=∴由余弦定理可得2221212423c r r r r cosπ=+-（）（），∠在椭圆中，∠化简为即2212443c a r r =-，即122213114r r c e -＝，②在双曲线中，∠化简为即221244c a r r =+，即12222114r r c e -+＝，∠ 联立∠∠得，2212431e e +=，由柯西不等式得22212121111331e e e ⎛⎛⎫⎛⎫++≥⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即（21211443e e ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，即1211e e +≤=12e e A 考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理 18．A【分析】首先根据椭圆与双曲线的定义，得出1PF 与2PF 所满足的关系，列出式子，求得边长，之后借助于余弦定理，求得22234a m c +=，之后应用椭圆的离心率与双曲线的离心率的式子，化简应用基本不等式求得最小值.【详解】根据题意，可知12122,2+=-=PF PF a PF PF m ， 解得12,PF a m PF a m ，根据余弦定理，可知222(2)()()2()()cos 60c a m a m a m a m =++--+-， 整理得22234a m c +=，所以222222221222223344c c a m a m e e a m a m +++=+=+2222131()14m a a m =++≥=， 故选A.【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定理，椭圆和双曲线的离心率，基本不等式求最小值的问题，正确理解知识点是正确解题的关键. 19．B【分析】对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出22221222PF PF a m +=+，120PF PF ⋅=可得12PF PF ⊥，得222124PF PF c += ，就得到了,,a m c 的关系，最后利用基本不等式求得最小值. 【详解】解：由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴长2a ，双曲线的实轴长为2m ， 不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义122PF PF m -=①，由椭圆的定义122PF PF a +=②，又120PF PF ⋅=，故222124PF PF c +=③，22+①②得22221222PF PF a m +=+④，将④代入③得2222a m c +=，∠2222221222224525942222c c m a e e a m a m +=+=++≥+． 故选：B ． 20．B【分析】设P 为第一象限点，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，根据双曲线的124=，再根据基本不等式求解最值即可. 【详解】设P 为第一象限点，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩112212,PF a a PF a a ⇒=+=- 222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π⇒=++--+-⇒((22211124224c a a =+=12≥=⇒12e e . 故选：B. 21．D【解析】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,焦点坐标为(,0)c ±,由椭圆与双曲线的定义和余弦定理,可得2212314e e =-,再由2e ∈求1e 的取值范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a , 焦点坐标为(,0)c ±,不妨设P 为第一象限的点,由椭圆与双曲线的定义得1212PF PF a +=,∠,1222PF PF a -=,∠, 由余弦定理得22212124PF PF PF PF c ⋅++=,∠联立∠∠∠得2221234a a c +=,由11c e a =,22ce a =,得2212314e e +=, ∴2212314e e =-,2e ∈,∴22111(,)74e ∈,则21315(4e ∈,27)7, ∴2115(4e ∈,9)7,217(9e ∈,4)5, 又1(0,1)e ∈,1e ∴∈. 故选:D.【点睛】本题考查椭圆､双曲线的离心率的范围,考查余弦定理和定义法的运用,需要一定的计算能力,属于中档题. 22．B【分析】首先设椭圆的方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为2222221x y a b -=22(0,0)a b >>，点P 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，从而得到112=+PF a a ，212=-PF a a ，利用余弦定理得到2221234a a c +=，从而得到2221314e e +=，再利用基本不等式即可得到答案。
椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质
２
槡
２ ２ ２ ｂ ＋ ｃ ｔ ａ ｎ θ ＝ ． ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ 由圆锥曲线统一定义知
ｒ ｃ ｓ ａ， ｒ ｃ ｓ ａ， ｅ ｃ ｅ ｃ θ＋ θ－ １＝ ２＝ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ） 则ｒ ｒ ｃ（ ａ＝ ｂ＋ ｃ ｔ １＋ － ｔ ａ ｎθ ａ ｎ θ， １ ２＝ ｒｒ 所以 Ｒ＝ １ ２ ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ｂ ｔ ａ ｎ θ） 由三角形内心坐标公式知Ｉ（ ａ， ． １＋ｓ ｅ ｃ θ
ｓ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ α α 故ｔ ＝ ａ ｎ α＝ ２ ｃ ｏ ｓ α 槡 １－ｓ ｉ ｎ α ＝
ｃ ｓ ｃ ｉ ｎ θ ＝ ｓ ｉ ｎ θ． ２ ２ ２ ２ ｂ ｂｃ ａｓ ｃｓ ｏ ｓ ｉ ｎθ－ ｉ ｎθ θ＋ 槡
２ ２
ｒ １＋ ｅ 由 ① 知ｔ ａ ｎ α＝ ｂ １－ ｅ
槡
④
槡 （
ｂ－ ｃｓ ｉ ｎθ ＝ ２ ｂ ｓ ｉ ｎ θ
２
２
２
）
２
最后分母用均值不等式得
２ ８ １＋ ｅ ｅ时取等 当ｒ ＝ １－ Ｒ Ｓ≤ ｒ． ． ｅ ｂ １＋ ｅ 性质 １ 证毕 ．
数学通报 ２ ０ １ ７年 第５ ６卷 第４期 ｔ ａ ｎ θ 得ｒ＝ ｂ １＋ｓ ｅ ｃ θ （ ｒ Ｒ １＋ｓ ｅ ｃ ｒ ⑤ 与 ⑥ 式相乘得ｒ θ） １ ２ ＝２ 由 ⑥ 两边平方整理得 ２ ２ ２ ２ （ ２＋２ ＝ ｒ ｂ ｔ ｓ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ａ ｎ θ＋ θ） θ， ⑥ ⑦
（
）
槡Байду номын сангаас
槡
ｂ ｃ－ ａ ｓ ｓ ｃ） ｅ ｃ ｅ ｃ θ（ ａ θ＋ ， ｘ－ ａ ｎ θ＝ ｙ－ ｔ ２ ｔ ２ ｂ ａ ｎ θ
２ ２ ２ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ） ， 故令 ｘ＝０ 知 Ｗ （ ０， ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ２ ２ ２ ２ ） （ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ２ 得 Ｒ ＝ ＷＦ２ ＝ ｃ ＋ ２ ２ ４ ｂｔ ａ ｎθ
专题10 焦点三角形的面积公式 -高中数学必备考试技能之二级结论提高速度(解析版)
(1)在椭圆 + =1(a>b>0)中,F1,F2 分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF1F2 的面积
结
△
=b2·tan ,其中θ=∠F1PF2.
论 (2)在双曲线 - =1(a>0,b>0)中,F1,F2 分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF1F2 的面积
MF2F1
6
，即 F1MF2
2 3
，故∠F1PF2＝
3
，在△ F1PF2 中，
| F1F2 |2 | PF1 |2 | PF2 |2 2 | PF1 || PF2 | cos F1PF2 ，而 | PF1 PF2 | 2a ，
∴| PF1 |2 | PF2 |2 4a2 2 | PF1 || PF2 | ，即 4c2 4a2 2 PF1 PF2 1 cos F1PF2 ，
y2 b2
1
a 0,b 0
的左焦点，P 为 C 右支上一点.以 C 的实轴为直径的圆与
线段 PF 交于 A ， B 两点，且 A ， B 是线段 PF 的三等分点，则 C 的渐近线方程为（ ）
A． y 1 x 3
B． y 6 2 x C． y 5 2 x
5
12
D． y
97 x 5
例
F1PF2
π 2
， △F1PF2
的面积为
a2
，则双曲线 C
的渐近线方程为______.
【答案】 x y 0
解 【详解】 PF1 PF2 2a ， PF1 2 PF2 2 4c2 ，
则 2 PF1 PF2 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 2 4c 2 4a 2 4b 2 ，所以， PF1 PF2 2b2 ，
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椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
一、椭圆中的焦点三角形面积公式
1、公式：)2
tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程： 设椭圆的标准方程为：）（0122
22>>=+b a b
y a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则
在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=α
cos 222212
22
12
212222121PF PF PF PF F F c b a a
PF PF c
F F ⇒
)cos 1(2)(212
21221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒
α
α
cos 12cos 1(222
221+=+-=b
c a PF PF ）
)
2tan()
2(cos 22
cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221
sin 2122222
2121α
α
α
ααα
α
αα
b b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221α
b S F PF =∆．
二、双曲线中的焦点三角形面积公式
1、公式：1-2)2
tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：
设双曲线的标准方程为：），（001-22
22>>=b a b
y a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则
在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===α
cos 22-2212
2212
212
222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF c
F F ⇒ )cos 1(2)(212
21221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ α
α
cos 12cos 1(222
221-=--=b a c PF PF ）
1
22222
21)2
(tan )
2(sin 22
cos
2sin 2cos 1sin sin cos 12
21sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==ααα
ααα
α
αα
b b b b PF PF S F PF 即1
-2)2tan(21αb S F PF =∆．。