江苏省启东市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(扫描版,无答案)
江苏省启东中学2019_2020学年高一数学上学期第一次质量检测试题(创新班,无答案)
江苏省启东中学2019～2020学年度第一学期第一次月考高一创新班数学试卷本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1A =，22cos 2θ，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ⊆，则θ= ( )A ．0B ．π2C ．πD ．3π22．已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos <m ，n 13>=．若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．4-C ．94-D ．943．下列说法正确的是( ) A ．因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；B ．因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；C ．因为π4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2是函数sin y x =的一个周期；D ．因为πcos()cos 3x x +≠，所以π3不是函数cos y x =的一个周期．4．将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(4P ，)t 向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '．若 P '位于函数sin 2y x =的图象上，则( )A ．12t =，s 的最小值为π6 B ．t ，s 的最小值为π6C ．12t =，s 的最小值为π3D ．t ，s 的最小值为π35．已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为( )A ．58-B ．18C ．14D ．1186．若π3cos()45α-=，则sin2α=( )A ．725 B ．15C ．15-D ．725-7．已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则 ABC △一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．正三角形8．已知α∈R ，sin 2cos αα+=，则tan2α=( )A ．43B ．34C ．34-D ．43-9．已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[1，2]C ．1[4-，2]D ．1[4-，)+∞10．已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则3πsin(5π)sin()2αα-⋅-=( )A ．34 B ．310C ．310±D ．310-11．如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4π(3，0)中心对称，则||ϕ的最小值为( )A ．π6B ．π4 C ．π3D ．π212．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-， 动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．494C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数2tan 1y x =-的定义域是 ．14．已知a r 的方向与x 轴的正向所成的角为120o ，且||2a =r，则a r 的坐标为 ． 15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =， 则b = ．16．设a ，b ∈R ，[0c ∈，2π)，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(a ，b ，)c 的组数为 ．三、解答题：本大题共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． ⑴证明：2a b c +=； ⑵求证：cos C ≥12． 18．(本题满分12分)已知α为第三象限角，且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋π）sin （π＋α）tan （2π－α）．⑴化简f (α)； ⑵若3π1cos()25α-=，求()f α的值； ⑶若32π3α=-，求()f α的值．19．(本题满分12分)已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =sin 2)x a -， ()f x OA OB =⋅．⑴求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间；⑵当[0x ∈，π]2时，()f x 的最大值为5，求a 的值；⑶当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π]2上恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本题满分12分)已知在ABC △中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1an 3t CAD ∠=．⑴求BAC ∠的值；⑵若AD =，求ABC △面积．21．(本题满分12分) 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为 S 1，正方形的面积为S 2．⑴用a ，θ表示S 1和S 2； ⑵当a 固定，θ变化时，求12S S 取最小值时的角θ．22．(本题满分12分)设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ，向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．⑴设函数ππ()2sin()cos()36h x x x =--+，求证：()h x S ∈；⑵记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x，若函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；⑶已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_18
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.。
江苏省启东中学高一上学期第一次质量检测数学试题含答案
江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期第一次月考高一数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若1∈{x，x2}，则x=（）A. 1B.C. 0或1D. 0或1或2.已知集合，集合，则P与Q的关系是A. B. C. D.3.已知集合A={a-2，2a2+5a，12}，-3∈A，则a的值为（）A. B. C. D.4.如果集合S={x|x=3n+1，n∈N}，T={x|x=3k-2，k∈Z}，则（）A. B. C. D.5.已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（）.A. B. C. D.6.函数f（x）=的定义域为，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是（）A. B. C. D.8.下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A. B. C.D.9.已知函数f（x）=4x2+kx-1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.10.已知函数y =f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，且f（2a-1）＜f（1-a），则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.函数的最小值为（）A. 0B.C.D.12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A. 0B. mC. 2mD. 4m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是______ ．14.设A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是______ ．15.已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______ ．16.已知函数是R上的递增函数，则实数m的取值范围是_____________.三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求值：（1）-（2-π）0-+；（2）已知0＜x＜1，且x+x-1=3，求．18.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．19.已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．20.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？21.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．22.已知二次函数满足，且．(Ⅰ)求a , b的值；(Ⅱ)若，在区间上的最小值为，最大值为，求的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，需要注意集合中元素的互异性，属于基础题.根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：x=1或者x2=1，每种情况下求出x的值，并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的表示方法，进行集合间的元素或判断集合间的关系时，应该先化简各个集合，再借助数轴或韦恩图进行运算或判断，属于基础题.通过求集合P中函数的定义域化简集合p，通过求集合Q中函数的值域化简集合Q，利用集合间元素的关系判断出集合的关系．【解答】解：依题意得，P={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，Q={y|y≥0}，∴Q⊆P，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】由于-3∈A则a-2=-3或2a2+5a=-3，求出a的值然后再代入再根据集合中元素的互异性对a进行取舍．本题主要考察了集合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的关键是求出a的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．【解答】解：∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a2+5a∴a=-1或a=-，∴当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去当a=-时，a-2=-，2a2+5a=-3，满足．∴a=-．故选B．4.【答案】A【解析】解：由T={x|x=3k-2=3（k-1）+1，k∈Z}={x|x=3（k-1）+1，k-1∈Z}令t=k-1，则t∈Z，则T={x|x=3t+1，t∈Z}通过对比S、T，且由常用数集N与Z可知N⊊Z故S⊊T故选A．若t=k-1，则将T化简为S的形式，对比常用数集即可得到答案本题考查了集合间相等关系的判断与应用，属于基础题5.【答案】C【解析】【分析】本题考查复合函数定义域的求解，是基础题.根据复合函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3，计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的定义域，考查含有参数的不等式恒成立问题，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于基础题．根据题意，可得在上恒成立，当时，有在上恒成立；当时，可得，即可求出结果.【解答】解：函数的定义域为，在上恒成立，①当时，有在上恒成立，符合条件；②当时，则，解得；综上，实数的取值范围是.故选.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性,同时考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∴不等式等价为f（|2x-1|），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴，解得．故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的单调性与单调区间的知识点，属于基础题.根据各选项逐一分析各函数的单调性即可得出答案．【解答】解：A.∵f（x）=3-x在（0，+∞）上为减函数，故A不正确；B.∵f（x）=x2-3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，故B不正确；C.∵f（x）=-在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，故C正确；D.∵f（x）=-|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，故D不正确，故选C.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的单调性的判断，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．求出f（x）的对称轴方程，讨论f（x）在区间[1，2]上是单调增函数和减函数，注意对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=4x2+kx-1的对称轴为x=-，若f（x）在区间[1，2]上是单调增函数，可得-≤1，解得k≥-8；若f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，可得-≥2，解得k≤-16，综上可得k的范围是.故选A.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的性质的运用，利用函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，将f（2a-1）＜f（1-a）转化为：2a-1＞1-a求解，注意定义域的范围．【解答】解：函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，则有：，解得：.故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的最值，属于基础题.利用换元方法，设,t≥0，则x=t2-1,将已知函数化为关于t的二次函数们进一步求出最小值.【解答】解：设=t,t≥0，则x=t2-1,,解析式化为y=,t≥0，所以t=1时，原函数的最小值为-1.故选C.12.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．根据已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又函数y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故x i=×2=m，故选B．13.【答案】(-1，+∞）【解析】【分析】本题考查集合之间的基本运算问题，是基础题．因集合M、N是数集，容易得出结论．【解答】解：∵集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}={x|x≤k}，且M∩N≠∅，∴k的取值范围是：(-1，+∞）．故答案为(-1，+∞）．14.【答案】m≤3【解析】【分析】A∩B=B⇔B⊆A，利用集合的基本关系转化为元素与集合，元素与元素的关系求解．注意B=∅情情形．本题考查的知识点是交集及其运算及集合的包含关系判断及应用，解答时容易漏掉B=∅的情况．【解答】解：①由B={x|m+1≤x≤2m-1}=∅，可得m+1＞2m-1，m＜2，满足A∩B=B．②B≠∅时，需，解得2≤m≤3，综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3．故答案为：m≤3．15.【答案】0或【解析】【分析】通过集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出a 的值即可．解题时容易漏掉a=0的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．【解答】解：因为集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，当a=0时，ax2-3x+2=0只有一个解x=，当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即△=9-8a=0即a=．所以实数a=0或．故答案为0或．16.【答案】m≤-10【解析】【分析】本题考查分段函数的单调性及一次、二次函数，函数f（x）是R上的单调递增函数，可得两段都是增函数，再结合函数在x=1时，二次函数的取值要大于或等于一次函数的取值，即可得出实数m的取值范围.【解答】解: 由题意可得，解得，所以m≤-10，故答案为m≤-10.17.【答案】解：（1）-（2-π）0-（+；原式=-1-+=-1-+=-+8=8.（2）由题意：0＜x＜1，∴＜0所以：（）2=x+x-1-2．∵x+x-1=3,∴（）2=1,故得=-1.【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）由题意0＜x＜1，且x+x-1=3，判断x-x的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．18.【答案】解：集合A={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|-3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|-4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（-4，3），∴2x2+ax+b=0的根是-4和3，由根与系数的关系得，解得a=2，b=-24．【解析】本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．（1）化简集合A、B，根据交集的定义进行计算即可；（2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、b的值．19.【答案】解：（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2+2x+1=0根的情况，是解答本题的关键．（1）若A中只有一个元素，表示方程ax2+2x+1=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，（2）A为空集，表示方程ax2+2x+1=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．20.【答案】解：（1）由题意得P（x）=12+10x，则f（x）=Q（x）-P（x）=,即为f（x）=；（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212-160=52万元当0≤x≤16时，函数f（x）=-0.5x2+12x-12，=-0.5（x-12）2+60，当x=12时，f（x）有最大值60万元，所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．【解析】本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，正确求出分段函数式，求出各段的最值是解题的关键，属于中档题．（1）先求得P（x），再由f（x）=Q（x）-P（x），由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．21.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式f（x2）-f（x）＞f（3x）的解集即可．22.【答案】解：（I）根据题意得，f(1)=a-4+b=-2，又因为f(x)=f(4-x)，所以二次函数的对称轴为，解得a=1，所以b=1，(II)由（I）可知，f(x)=，当m>2时，最小值，最大值，所以；当m+1<2<m+2，即0<m<1时，最小值为，最大值，所以；当m≤2<m+1，即1<m≤2，最小值为，最大值为，所以；当m+2≤2时，即m≤0时，最小值为，最大值，所以；所以，函数的图象如下：观察图象可知，函数的值域为.【解析】本题主要考查函数的解析式与分段函数，利用函数的图象求函数的值域，利用二次函数的性质研究最值.（1）利用二次函数的对称轴，即可得；（2）利用二次函数的性质，即可得最值，借助函数的图象，即可得分段函数的的值域.。
2019-2020学年江苏省南通市启东市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：1．（3分）sin()3π-的值是( )A ．12B C ．12-D ．2．（3分）函数()f x =的定义域为( ) A ．3(,]2-∞B ．3(,)2-∞C ．3(,2)(2,]2-∞--⋃D ．3(,2)(2,)2-∞--U3．（3分）满足{1}{1A ⊆Ü，2，3}的集合A 的个数为( ) A ．2B ．3C ．8D ．44．（3分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 是边CD 上的点，且13CE CD =．若记AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则(BE =u u u r ) A ．23a b -+r rB ．23a b +r rC ．43a b +r rD ．2133a b +r r5．（3分）已知5sin 13θ=-，θ是第三象限角，则cos()3πθ-的值为( )A B C D6．（3分）已知向量(2,1)m =r ，(0,1)n =r ，(3,4)p =r ，若R λ∈，()//m n p λ+r r r，则(λ=) A ．35B ．35-C ．53D ．53-7．（3分）已知321.4a -=，321.7b -=，21.7c -=，则( ) A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b c a <<8．（3分）在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P 的坐标是(,)x y ，它与原点的距离是(0)r r >，规定：比值y x r -叫做α的正余混弦，记作sch α．若1(0)5sch ααπ=<<，则tan (α= )A ．34-B ．34 C ．43-D ．43二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．（3分）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有( ) A ．A B B =IB ．A B B =UC ．()U A B =∅I ðD ．()U A B =∅I ð10．（3分）已知a r ，b r ，c r 是三个非零向量，则下列结论正确的有( ) A ．若||||a b a b =r rr r g，则//a b r r B ．若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r rC ．若a b b c =r r r r g g ，则a b =rrD ．若||||a b a b +=-r rr r ，则a b ⊥r r11．（3分）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上单调递减的函数是( ) A ．32y x =B ．||1()2x y =C ．121log ||y x = D ．sin y x =12．（3分）如图所示，点M ，N 是函数()2cos()(0,)22f x x ππωϕωω=+>-<<的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，若(1,0)M -，且当MPN ∆的面积最大时，PM PN ⊥，则( )A ．(0)2f =B ．2πωϕ+=C ．()f x 的单调增区间为[18k -+，18]()k k Z +∈D ．()f x 的图象关于直线5x =对称三、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．（3分）计算：1321()log 3264--= ．14．（3分）已知函数2323,,23(),1,24, 1.x x f x x x x x ⎧+-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎪⎩„…若()2f x =，则x = ．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴非负半轴和y 轴的非负半轴上滑动，顶点C 在第一象限内，2AB =，1BC =，设DAx θ∠=，若4πθ=，则点C 的坐标为：若(0,)2πθ∈，则OC OD u u u r u u u r g 的取值范围为 ．16．（3分）已知函数2|1|,1,()2(2), 1.ax x f x x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪-⎩…若函数()1y f x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设全集U R =，集合{|15}A x x m =-<-<，1|242x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．（1）当1m =时，求()U A B I ð；（2）在①A B =∅I ，②A B A =U ，③()U A B ⊆ð这三个条件中任选一个，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．已知函数()2cos (3cos )1f x x x x =+-． （1）求()f x 的周期和单调区间； （2）若8()5f α=，(4πα∈，)2π，求cos2α的值．19．已知函数()22x x f x -=-． （1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）求函数22()22()x x g x f x -=+-在区间[0，1]上的最小值和最大值． 20．如图，M ，N 分别是ABC ∆的边BC ，AB 上的点，且14BM BC =，12AN AB =，AM 交CN 于P ．（1）若AM xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，求x y -的值；（2）若4AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，求AP BC u u u r u u u rg 的值．21．“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利(0)a a >万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目．经过测算，发现该流水线改造后获利()f x 万元与技术投入x 万元之间满足的关系式：()4()f x x a x =-．该公司希望流水线改造后获利不少于2x λ万元，其中λ为常数，且1λ…．（1）试求该流水线技术投入x 的取值范围；（2）求流水线改造后获利()f x 的最大值，并求出此时的技术投入x 的值． 22．已知函数2()log f x x =，2()log (1)g x ax =+，a R ∈． （1）若2a =，解关于x 的方程()()0f x g x +=；（2）设t R ∈，函数()|()|h x f x t t =-+在区间[2，8]上的最大值为3，求t 的取值范围；（3）当0a >时，对任意1[,1]2m ∈，函数()()y g x f x =-在区间[m ，1]m +上的最大值与最小值的差不大于1，求a 的取值范围．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附标准答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. 或B. 或C. D. 或【答案】A【解析】解：；，或．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.，则A. 1B. 2C. 26D. 10【答案】B【解析】解：根据题意，，则；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得，进而计算可得答案．本题考查分段函数函数值的计算，注意分析函数的解析式．3.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为奇函数，不符合题意；对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；对于C，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；对于D，为奇函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．4.函数的零点在A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数定义域为，，，，，因为，根据零点定理可得，在有零点，故选：B．利用零点的判定定理检验所给的区间上两个端点的函数值，当两个函数值符号相反时，这个区间就是函数零点所在的区间．本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是看出函数在所给的区间上对应的函数值的符号，此题是一道基础题；5.某圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为A. B. C. D. 1【答案】C【解析】解：圆的一条弦长等于半径，所以弦所对的圆心角为．故选：C．直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可．本题考查扇形圆心角的求法，是基本知识的考查．6.已知点位于第二象限，那么角所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：点位于第二象限，可得，，可得，，角所在的象限是第三象限．故选：C．通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角所在的象限．本题考查三角函数的符号的判断，是基础题．7.己知，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，；．故选：D．容易看出，，从而可得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．8.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：当时，函数，为减函数，当时，函数，为增函数，且当时，即函数恒经过点，故选：D．先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点，问题得以解决．本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数恒经过点是关键，属于基础题．9.若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．10.已知幂函数过点则A. ，且在上单调递减B. ，且在单调递增C. 且在上单调递减D. ，且在上单调递增【答案】A【解析】解：幂函数过点，，解得，，在上单调递减．故选：A．由幂函数过点，求出，从而，在上单调递减．本题考查幂函数解析式的求法，并判断其单调性，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.数向左平移个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，则A. 为奇函数B. 的最大值为1C. 的一个对称中心为D. 的一条对称轴为【答案】D【解析】解：向左平移个单位，再向上平移1个单位后，可得的图象，在根据所得图象和的图象重合，故，显然，是非奇非偶函数，且它的最大值为2，故排除A、B；当时，，故不是对称点；当时，为最大值，故的一条对称轴为，故D正确，故选：D．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的图象，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．12.已知的三个顶点A，B，C及半面内的一点P，若，则点P与的位置关系是A. 点P在内部B. 点P在外部C. 点P在线段AC上D. 点P在直线AB上【答案】C【解析】解：因为：，所以：，所以：，即点P在线段AC上，故选：C．由平面向量的加减运算得：，所以：，由向量共线得：即点P在线段AC上，得解．本题考查了平面向量的加减运算及向量共线，属简单题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的定义域为______．【答案】【解析】解：，或．的定义域为．故答案为：．由分子根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0列式求解x的取值集合即可得到答案．本题考查了函数的定义域及其求法，属于基础题．14.已知角的终边过点，则______．【答案】【解析】解：角的终边过点，，则，故答案为：根据三角函数的定义求出r即可．本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义是解决本题的关键．15.已知向量，，，，则与夹角的余弦值为______．【答案】【解析】解：根据题意得，，，，故答案为：．运用平面向量的夹角公式可解决此问题．本题考查平面向量夹角公式的简单应用．16.已知函数，若有解，则m的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，若有解，就是关于的方程在上有解；可得：或，解得：或．可得．故答案为：．利用函数的值域，转化方程的实数解，列出不等式求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想有解计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.用定义法证明函数在上单调递增．【答案】证明：，设，则，又由，则，，，则，则函数在上单调递增．【解析】根据题意，将函数的解析式变形有，设，由作差法分析可得结论．本题考查函数单调性的证明，注意定义法证明函数单调性的步骤，属于基础题．18.化简下列各式：；【答案】解：；．【解析】直接利用对数的运算性质求解即可；直接利用三角函数的诱导公式求解即可．本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式及对数的运算性质，是基础题．19.已知函数求：的最小正周期；的单调增区间；在上的值域．【答案】解：函数，故函数的最小正周期为．令，求得，可得函数的增区间为，．在上，，，，即的值域为．【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．利用正弦函数的单调性，求得的单调增区间．利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，属于中档题．20.已知，，且．若，求的值；与能否平行，请说明理由．【答案】解：，，且．，，，，，．假设与平行，则．，则，，，，不能成立，故假设不成立，故与不能平行．【解析】推导出，从而，，进而，由此能求出假设与平行，则推导出，，由，得，不能成立，从而假设不成立，故与不能平行．本题考查向量的模的求法，考查向量能否平行的判断，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图，等腰梯形ABCD中，，角，，，F在线段BC上运动，过F且垂直于线段BC的直线l将梯形ABCD分为左、右两个部分，设左边部分含点B的部分面积为y．分别求当与时y的值；设，试写出y关于x的函数解析．【答案】解：如图，过A作，M为垂足，过D作，N为垂足，则，当时，，当时，．设，当时，，当时，；当时，．．【解析】过A作，M为垂足，过D作，N为垂足，则，由此能求出与时y的值．设，当时，，当时，；当时，由此能求出y关于x的函数解析．本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质、三角形及矩形形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m的取值范围．【答案】解：函数是奇函数，，故，故；当时，恒成立，即在恒成立，令，，显然在的最小值是，故，解得：．【解析】根据函数的奇偶性的定义求出a的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m的范围即可．本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．。
2019—2020年苏教版高一数学上学期期末模拟试卷及答案答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一高一上学期期末数学模拟试卷（一）一、填空题1．（3分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是．2．（3分）函数f（x）=的定义域为．3．（3分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=．4．（3分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．5．（3分）已知，，则tan（2α﹣β）=．6．（3分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．7．（3分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．8．（3分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）=．9．（3分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为．10．（3分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=．11．（3分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为．12．（3分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b 的值为．13．（3分）给出下列命题：①函数y=cos（x+）是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；⑤函数y=sin（2x+）的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为．14．（3分）若函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值是．二、解答题：15．（14分）（1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．18．（16分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？19．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．20．（16分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．高一上学期期末数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是4．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用任意角的三角函数的定义，求出它的正切值，即可得到a的值．解答：解：由题意可知：tan120°=，所以a=4故答案为：4点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2．（3分）函数f（x）=的定义域为（0，2）∪（2，3]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分母不为0，偶次方非负，对数的真数为正数，得到不等式组，求解即可．解答：解：要使函数有意义，必须：，解得x∈（0，2）∪（2，3]．所以函数的定义域是：（0，2）∪（2，3]．故答案为：（0，2）∪（2，3]．点评：本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查．3．（3分）若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k=2．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数零点的判定定理即可得出．解答：解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴函数y=lnx+2x﹣6的零点x0∈（2，3）．∴满足k≤x0的最大整数k=2．故答案为2．点评：熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键．4．（3分）函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：按照函数的图象平移的原则，左加右减、上加下减的方法，解出函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），求出函数解析式．解答：解：函数的图象向右平移个单位，得到函数=，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是：．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象的变换，注意左加右减，上加下减的原则，注意x的系数，考查计算能力．5．（3分）已知，，则tan（2α﹣β）=1．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知的等式的左边的分子利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可得到tanα的值，然后把所求的式子中的角2α﹣β变为α+（α﹣β），利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入即可求出值．解答：解：由==2tanα=1，解得tanα=，又tan（α﹣β）=，则tan（2α﹣β）=tan[α+（α﹣β）]===1．故答案为：1点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．6．（3分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简已知条件可得cos（﹣α）=＜，再由α∈（0，），可得﹣＜﹣α＜﹣，故sin（﹣α）=，要求的式子即sin（﹣α）﹣sinα，利用和差化积公式求出它的值．解答：解：∵cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），∴cos（α﹣）=﹣cos（α﹣+π）=﹣cos （α﹣）=，cos（α﹣）=．∴cos（﹣α）=＜．再由α∈（0，），可得﹣α＞（舍去），或﹣＜﹣α＜﹣，∴sin（﹣α）=．cos（α+）﹣sinα=sin（﹣α）﹣sinα=2cos sin=sin（﹣α）=．故答案为：．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式、和差化积公式的应用，求出sin（﹣α）=，是解题的难点．7．（3分）f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得可得﹣•2ω≥2kπ﹣，且•2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω的最大值．解答：解：∵f（x）=sin2ωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上为增函数，可得﹣•2ω≥2kπ﹣，且•2ω≤2kπ+，k∈z，求得ω≤，故ω的最大值为，故答案为：．点评：本题主要考查求正弦函数的单调性，属于基础题．8．（3分）已知m＞2，则函数f（θ）=sin2θ+mcosθ，θ∈R的最大值g（m）=m．考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：换元法可得y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]，结合m＞2和函数的单调性可得当t=1时，函数取最大值，代入计算可得．解答：解：由三角函数的知识可得f（θ）=sin2θ+mcosθ=﹣cos2θ+mcosθ+1，令cosθ=t，则t∈[﹣1，1]可得函数化为y=﹣t2+mt+1，t∈[﹣1，1]配方可得y=，可知关于t的函数图象为开口向下，对称轴为t=的抛物线一段，又m＞2，故，故函数在[﹣1，1]单调递增，故g（m）=﹣12+m×1+1=m故答案为：m点评：本题考查二次函数的区间最值，利用三角函数的关系换元是解决问题的关键，属中档题．9．（3分）已知函数log a（0＜a＜1）在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），则实数a的值为﹣1．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，y=log a在区间（a，1）上是增函数，利用函数在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），可得log a=1，即可求出实数a的值．解答：解：由题意，y=log a在区间（a，1）上是增函数，∵函数在区间（a，1）上的值域是（1，+∞），∴log a=1，∴=a，∴a2+2a﹣1=0，∵0＜a＜1，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查对数函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础．10．（3分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，则=﹣9．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；转化思想．分析：先根据已知条件把转化为f（﹣3）；再结合奇函数以及x＞0时，f（x）=1+2x即可得到结论．解答：解：因为：log8=﹣3；∴=f（﹣3）；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1+2x，∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（1+23）=﹣9．故答案为：﹣9．点评：本题主要考察函数的奇偶性性质的应用．属于基础题目．11．（3分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为和8．考点：函数与方程的综合运用；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式，可以确定2+m和2﹣m应该在两段函数上各一个，对2+m和2﹣m 分类讨论，确定相应的解析式，列出方程，求解即可得到实数m的值．解答：解：∵，∴f（x）在x≤2和x＞2时，函数均为一次函数，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴2﹣m和2+m分别在x≤2和x＞2两段上各一个，①当2﹣m≤2，且2+m＞2，即m＞0时，∴f（2﹣m）=3（2﹣m）﹣m=6﹣4m，f（2+m）=﹣（2+m）﹣2m=﹣2﹣3m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴6﹣4m=﹣2﹣3m，∴m=8，；②当2﹣m＞2，且2+m≤2，即m＜0时，∴f（2﹣m）=﹣（2﹣m）﹣2m=﹣2﹣m，f（2+m）=3（2+m）﹣m=6+2m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴﹣2﹣m=6+2m，∴m=．综合①②，可得实数m的值为和8．故答案为：和8．点评：本题考查了分段函数的解析式及其应用，考查了分段函数的取值问题，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．同时考查了函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．12．（3分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b 的值为1．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：首先把函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）转化为顶点式g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，从而确定函数的对称轴方程x=1，又因为a＞0，所以x∈[1，+∞）为单调递增函数，函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，所以g（2）=1，g（3）=4，进一步建立方程组求的结果．解答：解：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b转化为：g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a∴函数的对称轴方程x=1，∵a＞0，∴x∈[1，+∞）为单调递增函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，∴即解得∴a+b=1故答案为：1点评：本题重点考查的知识点：二次函数的顶点式与一般式的互化，单调性在函数值中的应用，及相关的运算问题．13．（3分）给出下列命题：①函数y=cos（x+）是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；⑤函数y=sin（2x+）的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为①④．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：利用诱导公式化简判断①；化积后求出sinx+cosx的最值判断②；举例判断③；分别求解三角函数值判断④⑤．解答：解：对于①，∵y=cos（x+）=﹣sin，∴函数y=cos（x+）是奇函数，命题①正确；对于②，∵sinx+cosx=，∴不存在实数x，使sinx+cosx=2，命题②错误；对于③，α=60°，β=390°是第一象限角且α＜β，tanα＞tanβ，命题③错误；对于④，当x=时，y=sin（2x+）=，∴x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴；对于⑤，当x=时，y=sin（2x+）=．∴x=是函数y=sin（2x+）的一条对称轴，命题⑤错误．∴正确命题的序号为①④．故答案为：①④．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．14．（3分）若函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值是6．考点：函数的最值及其几何意义．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：画出3个函数：y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，取3个图象中下方的部分，可得函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．解答：解：∵min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，∴画出3个函数：y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，取3个图象中下方的部分，可得函数f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}的图象：观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，当2≤x≤4时，f（x）=x+2，当x＞4时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故答案为：6．点评：本题考查了函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．二、解答题：15．（14分）（1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由于cos=x．可解得x=，r=2，由三角函数的定义，即可求出sinα+的值．（2）由诱导公式化简可得sinα=sinβ，cosα=sinβ，可解得cosβ=，由α，β∈（0，π），从而可求α，β的值．解答：解：（1）（满分14分）∵P（x，﹣）（x≠0），∴点P到原点的距离r=又cosα=x．∴cos=x．∵x≠0，∴x=，∴r=2…（6分）当x=时，P点坐标为（，﹣），由三角函数的定义，有sin α=﹣，，∴sinα+=﹣﹣=﹣；…（10分）当x=﹣时，同样可求得sin α+=…（14分）．（2）∵sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），∴由诱导公式化简可得sinα=sinβ，cosα=sinβ，∴两边平方后相加可得：1=2，可解得cosβ=∵α，β∈（0，π），∴可解得：，β=或，β=．点评：本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，任意角的三角函数的定义，解题时要注意讨论，不要丢值，属于基本知识的考察．16．已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．解答：解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．17．已知函数．（1）当时，若，求函数f（x）的值；（2）当时，求函数的值域；（3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数的基本关系由sinx求出cosx，从而求得f（x）的值．（2）根据x的范围，求得角x﹣的范围，可得sin（x﹣）的范围，利用两角差的正弦公式化简f（x）的解析式，利用二次函数的性质求的h（x）的值域．（3）根据向量平移得到g（x）的解析式，要使g（x）是偶函数，即要，求得a的解析式，通过|的解析式可得当k=﹣1时，最小．解答：解：（1）∵，∴，==．（2）∵，∴，，=．（3）设，所以，要使g（x）是偶函数，即要，即，，当k=﹣1时，最小，此时，b=0，即向量的坐标为．点评：本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，判断g（x）是偶函数的条件，是解题的难点．18．（16分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：（1）函数y=f（x）=出租自行车的总收入﹣管理费；当x≤6时，全部租出；当6＜x≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．解答：解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．当6＜x≤20时，y=[50﹣3（x﹣6）]x﹣115=﹣3x2+68x﹣115综上可知（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x﹣115是增函数，∴当x=6时，y max=185元．当6＜x≤20，x∈N时，y=﹣3x2+68x﹣115=，∴当x=11时，y max=270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．点评：本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，是基础题．19．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；（2）当a＞1时，f（x）在R上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）根据f（1）=，求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m．解答：解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数的性质和运算，考查学生的运算能力，综合性较强．20．（16分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）当，由方程f（x）=1，可得sinxcosx+sinx+cosx=1．令t=sinx+cosx，则t2=1+2sinxcosx，方程可化为t2+2t﹣3=0，解得t=1，即sinx+cosx=1，即，由此求得x的值的集合．（2）由题意可得t的取值范围是，g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，的最大值．直线是抛物线m（t）的对称轴，可分a＞0、a=0、a＜0三种情况，分别求得g（a）．解答：解：（1）由于当，方程f（x）=1，即，即，所以，sinxcosx+sinx+cosx=1 （1）．…1分令t=sinx+cosx，则t2=1+2sinxcosx，所以．…3分所以方程（1）可化为t2+2t﹣3=0，解得t=1，t=﹣3（舍去）．…5分所以sinx+cosx=1，即，解得所求x的集合为．…7分（2）令，∴t的取值范围是．由题意知g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，的最大值，…9分∵直线是抛物线m（t）=at2+t﹣a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）==．…11分②当a=0时，m（t）=t，，有g（a）=；…12分③当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即时，g（a）=，…13分若，即时，g（a）==．…15分综上所述，有．…16分．点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．13．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x35．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．67．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．78．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A．D（x）的值域是{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）是奇函数D．任意x∈R，都有f[f（x）]＝19．（5分）已知函数，则f（﹣6）+f（log26）＝（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．211．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．14．（5分）已知a＝1.010.01，b＝ln2，c＝log20.5，则a，b，c从小到大的关系是．15．（5分）＝．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5}；∴∁A B＝{0，2，4}．故选：A．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．1【分析】直接利用诱导公式化简求值．【解答】解：tan225°＝tan（180°+45°）＝tan45°＝1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l＝2，扇形的半径r＝OA＝1，∴则圆心角∠AOB的弧度数α＝＝＝2．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，属基础题．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x3【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y＝e x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝sin x是奇函数，在定义域上不是单调性函数，不满足条件．C．f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，∵y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则y＝2x﹣2﹣x是增函数，故C正确，D．y＝﹣x3是奇函数，则定义域上是减函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意利用正切函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期是＝2，故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．6．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．6【分析】由已知直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解tanα．【解答】解：由，得，即，解得tanα＝6．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．7【分析】由已知及向量基本运算可知，，然后结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：AD是BC边上的中线，∴，则＝＝＝＝﹣故选：B ．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．8．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（ ）A ．D （x ）的值域是{0，1}B ．D （x ）是偶函数C ．D （x ）是奇函数D ．任意x ∈R ，都有f [f （x ）]＝1【分析】根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．【解答】解：A ．函数的值域为{0，1}，故A 正确，B ．若x 是无理数，则﹣x 也是无理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝0，若x 是有理数，则﹣x 也是有理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝1，综上f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，故函数f （x ）是偶函数，故B 正确， C ．由B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C 错误，D ．当x ∈R 时，f （x ）＝1或0都是有理数，则f [f （x ）]＝1，故D 正确， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．9．（5分）已知函数，则f （﹣6）+f （log 26）＝（ ） A ．6B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （﹣6）与f （log 26）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f （﹣6）＝log 3[3﹣（﹣6）]＝log 39＝2，f （log 26）＝+1＝7，则f （﹣6）+f （log 26）＝2+7＝9； 故选：C ．【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．10．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由，，两边同时平方可求，||，进而可求在方向上的投影．【解答】解：∵||＝1，，，∴16＝，4＝，解可得，＝，||＝，则在方向上的投影为＝，故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x，（x∈[0，π]）设A（x，﹣sin x），则A，B关于x＝对称，此时B（π﹣x，﹣sin x），当0≤x≤时，|AB|＝π﹣x﹣x＝π﹣2x，当≤x≤π时，|AB|＝x﹣（π﹣x）＝2x﹣π，则对应的图象为D，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，其图象如图所示：在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x ，1），若⊥，则实数x 的值是 ．【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【解答】解：∵；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．14．（5分）已知a ＝1.010.01，b ＝ln 2，c ＝log 20.5，则a ，b ，c 从小到大的关系是 c ＜b ＜a ．【分析】容易得出，1.010.01＞1，0＜ln 2＜1，log 20.5＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵1.010.01＞1.010＝1，0＜ln 2＜lne ＝1，log 20.5＜log 21＝0； ∴c ＜b ＜a ．故答案为：c ＜b ＜a ．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．15．（5分）＝ 1 ．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝lg（）﹣2+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a 的最大值．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）在[0，a]是增函数，∴a+≤，∴a≤，则a的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得C⊆A，可得，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A＝4，ω＝2，，函数表达式为．补全数据如下表：（Ⅱ）∵，∴A＝[﹣4，4]，又A∪C＝A，∴C⊆A．依题意，∴实数m的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，集合中参数的取值范围，属于基础题．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．【分析】（Ⅰ）直接利用二倍角公式，求得sin2的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，求得cos（α+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值，可得β的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα＝，α∈（），所以cosα＝﹣＝﹣．从而sin2＝＝．（Ⅱ）因为α∈（），β∈（0，），所以α+β∈（，），所以cos（α+β）＝﹣＝﹣．∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•（﹣）﹣（﹣）•＝，∴β＝．【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，求出f（x）的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（Ⅱ）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝＝≥3﹣1＝，∴函数f（x）的值域为[，+∞）．（Ⅱ）令t＝ax2﹣4x+3，当a≥0时，t无最大值，不合题意；当a＜0时，∵t＝ax2﹣4x+3＝a（x﹣）2﹣+3，∴t≤3﹣，又f（t）＝3t在R上单调递增，∴f（x）＝3t≤＝81＝34，∴3﹣＝4，∴a＝﹣4．【点评】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得对称中心．（Ⅱ）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意有＝（2sin x，cos2x）•（cos x，﹣）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2x﹣＝kπ，则，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象．由，即，又x∈[0，π]，∴g（x）的单调增区间为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义判断即可；（Ⅱ）根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）又∵g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴g（x）为偶函数；（Ⅱ）依题意有g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（0）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，所以g（0）＝g（﹣2）＝g（2）＝0，要使得g（x）＜0，则x∈（﹣2，0）∪（0，2），由g（h（x））＜0得h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2）∵，∴，∴，∵a＞0，，又h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2），∴即，∴存在使得g（h（x））＜0恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，三角函数的性质，是一道综合题．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时求出总收益y＝y1+y2的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．（Ⅱ）根据条件转化为y＝+≥对任意x∈[0，5]恒成立，利用换元法转化为一元二次函数进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金5﹣x百万元当a ＝2时，y ＝y 1+y 2＝（5﹣x ）+•2＝，（0≤x ≤5），令t ＝，则0≤t ≤，y ＝﹣（t 2﹣2t ﹣5），其图象的对称轴t ＝1∈[0，]，∴当t ＝1时，总收益y 有最大值，此时x ＝1，5﹣x ＝4．即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………（5分）（Ⅱ）由题意知y ＝+＝≥对任意x ∈[0，5]恒成立，即﹣2x +2a+1≥0对任意x ∈[0，5]恒成立，令g （x ）＝2x +2a +1，设t ＝，则t ∈[0，]，则g （t ）＝﹣2t 2+2at +1，其图象的对称轴为t ＝，……………（7分）①当0＜≤，即0＜a ≤时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）≥g （），∴g （t ）min ＝g （）＝2a ﹣9≥0，得a ≥，又0＜a ≤∴≤a ≤②当＜≤，即＜a ≤2时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）＜g （），可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0，符合题意∴＜a ≤2③当＞，即2＜a ≤5时，易知g （t ）＝﹣2t 2+2at +1在[0，]单调递增可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0恒成立，2＜a ≤5综上可得≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[，5]．……………（12分）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_52
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页,22题,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷,草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由可求出，再结合即可求得.【详解】解：因为，所以,又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属基础题.2.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式,则四边形ABCD是( ) A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 平行四边形【答案】D【解析】【分析】由向量的减法运算可得，再结合相等向量的定义即可得解.【详解】解：由,得,即,故,得四边形ABCD是平行四边形，故选：D.【点睛】本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题.3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换求出，再结合三角函数的周期的求法求解即可.【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则,即函数的最小正周期是，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的周期，属基础题.4.函数零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来探究函数的图象特征,如函数的图象大致是( )A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得是偶函数，且,,再判断即可得解.【详解】解：由，有，即是偶函数，则的图像关于轴对称，结合特殊值,,即可判断选项A符合题意，故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.6.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.【详解】解：因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.7.设,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合指数幂及对数值的求法可得，得解.【详解】解：因为,,,所以.故选：B.【点睛】本题考查了求指数幂及对数值，属基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数,则( )A. B. C. 2 D. 5【答案】B【解析】【分析】由函数，则其定义域关于原点对称且，再求解即可.【详解】解：由函数是定义在上的奇函数,则其定义域关于原点对称且，得,所以,即,则，故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了求值问题，属基础题.9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可【详解】若点在第一象限,则,,则,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；故选：D【点睛】本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题10.函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.11.在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，将用向量表示，再由，把向量用向量表示，根据E，F，M 三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为，所以.因为，所以.因为E，F，M三点共线，所以，所以.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.【详解】解：因为,,所以.因为在区间内没有零点,所以.解得.因为,所以,因为.所以或.当时;当时,，故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数则______.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.已知角的终边经过点,则____________.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的定义求解即可.【详解】解：因为，则,所以,故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.15.已知为第三象限角,则____________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.【详解】解：，又为第三象限角,则，故原式，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.【详解】解：由于定义在R上的偶函数满足,所以的图象关于直线对称,画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.（1）;（2）.【答案】（1）-2 （2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.【详解】解:（1）由角的终边经过点,可知,则.（2）由已知有，所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.19.已知函数（且）.（1）判断并证明奇偶性;（2）求使的的取值范围.【答案】（1）奇函数,证明见解析（2）当时,;当时,【解析】分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断，得解.（2）由对数函数的单调性求解对数不等式即可.【详解】解:（1）由,得,解得,即函数的定义域为,显然关于原点对称.又,所以是定义域上的奇函数.（2）由,得,即,当时,不等式等价于,解得,当时,不等式等价于,解得,综上,当时, 的取值范围为;当时, 的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了对数不等式的解法，属中档题.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据:取）【答案】（1）（2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得,,所以当时,,即,解得,所以,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得,,整理得,,即,两边同时取常用对数,得,整理得,将代入,得,又因为,所以.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.21.已知函数的最大值是2,函数的图象的一条对称轴是,一个对称中心是.（1）求的解析式;（2）已知B是锐角,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图像的性质及函数的最值列方程，分别求出即可；（2）由B是锐角，结合求解即可.【详解】解:（1）设的最小正周期为T,∵图象的一条对称轴是,一个对称中心是,,,,,,∴.图象的一条对称轴是,,.,.又∵的最大值是2,∴,从而.（2）∵,∴,又，∴,∴.∴.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数求角问题，属中档题.22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页,22题,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷,草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由可求出，再结合即可求得.【详解】解：因为，所以,又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属基础题.2.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式,则四边形ABCD是( )A. 等腰梯形B. 正方形C. 菱形D. 平行四边形【答案】D【解析】【分析】由向量的减法运算可得，再结合相等向量的定义即可得解.【详解】解：由,得,即,故,得四边形ABCD是平行四边形，故选：D.【点睛】本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题.3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换求出，再结合三角函数的周期的求法求解即可.【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则,即函数的最小正周期是，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的周期，属基础题.4.函数零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来探究函数的图象特征,如函数的图象大致是( )A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得是偶函数，且,,再判断即可得解.【详解】解：由，有，即是偶函数，则的图像关于轴对称，结合特殊值,,即可判断选项A符合题意，故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.6.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.【详解】解：因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.7.设,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合指数幂及对数值的求法可得，得解.【详解】解：因为,,,所以.故选：B.【点睛】本题考查了求指数幂及对数值，属基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数,则( )A. B. C. 2 D. 5【答案】B【解析】【分析】由函数，则其定义域关于原点对称且，再求解即可.【详解】解：由函数是定义在上的奇函数,则其定义域关于原点对称且，得,所以,即,则，故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了求值问题，属基础题.9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可【详解】若点在第一象限,则,,则,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；故选：D【点睛】本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题10.函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.11.在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，将用向量表示，再由，把向量用向量表示，根据E，F，M三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为，所以.因为，所以.因为E，F，M三点共线，所以，所以.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.【详解】解：因为,,所以.因为在区间内没有零点,所以.解得.因为,所以,因为.所以或.当时;当时,，故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数则______.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.已知角的终边经过点,则____________.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的定义求解即可.【详解】解：因为，则,所以,故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.15.已知为第三象限角,则____________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.【详解】解：，又为第三象限角,则，故原式，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.【详解】解：由于定义在R上的偶函数满足,所以的图象关于直线对称,画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.（1）;（2）.【答案】（1）-2 （2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.【详解】解:（1）由角的终边经过点,可知,则.（2）由已知有，所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.19.已知函数（且）.（1）判断并证明奇偶性;（2）求使的的取值范围.【答案】（1）奇函数,证明见解析（2）当时,;当时,【解析】分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断，得解.（2）由对数函数的单调性求解对数不等式即可.【详解】解:（1）由,得,解得,即函数的定义域为,显然关于原点对称.又,所以是定义域上的奇函数.（2）由,得,即,当时,不等式等价于,解得,当时,不等式等价于,解得,综上,当时, 的取值范围为;当时, 的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了对数不等式的解法，属中档题.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据:取）【答案】（1）（2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得,,所以当时,,即,解得,所以,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得,,整理得,,即,两边同时取常用对数,得,整理得,将代入,得,又因为,所以.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.21.已知函数的最大值是2,函数的图象的一条对称轴是,一个对称中心是.（1）求的解析式;（2）已知B是锐角,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图像的性质及函数的最值列方程，分别求出即可；（2）由B是锐角，结合求解即可.【详解】解:（1）设的最小正周期为T,∵图象的一条对称轴是,一个对称中心是,,,,,,∴.图象的一条对称轴是,,.,.又∵的最大值是2,∴,从而.（2）∵,∴,又，∴,∴.∴.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数求角问题，属中档题. 22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.点（1，-1）到直线y=x+1的距离是（）A. B. C. D.2.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是（）A. B. C. D.3.已知两条平行直线l1：3x+4y+5=0，l2：6x+by+c=0间的距离为3，则b+c=（）A. B. 48 C. 36 D. 或484.下列命题中正确的个数是（）①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A. 1B. 2C. 3D. 45.如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A.B.C.D.8.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为（）A. B. C.D.9.已知a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A. B. C. D.10.过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A. B. C. D.11.如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为（）A. B. C. D.12.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. 4：3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．14.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是______．15.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成的二面角为______．16.已知两点A（-3，2），B（2，1），点P（x，y）为线段AB上的动点，假设m=，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17.求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．18.△ABC中，已知C（2，5），角A的平分线所在的直线方程是y=x，BC边上高线所在的直线方程是y=2x-1，试求顶点B的坐标．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．20.当0＜a＜2时，直线l1：ax-2y=2a-4与l2：2x+a2y=2a2+4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．21.如图所示，正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】解：点（1，-1）到直线y=x+1的距离：d==．故选：D．利用点到直线的距离公式直接求解．本题考查点到直线方程的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．2.【答案】C【解析】解：因为圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，所以圆心坐标（1，-3），代入选项可知C正确．故选：C．求出圆的圆心坐标，验证选项即可．本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，因为两条直线平行，所以b=8．由=3，解得c=-20或c=40．所以b+c=-12或48故选D．将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，利用两条直线平行及距离为3，即可求得结论．本题考查两条平行线间距离的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①若直线a不在α内，则a可能和α相交，所以①错误．②a和α相交时，直线l上有无数个点不在平面α内，但此时l∥α不成立，所以②错误．③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都没有公共点，所以直线可能平行或异面，所以③错误．④根据线面平行的定义可知，若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，以④正确．⑤根据线面平行的性质可知平行于同一个平面的两两条直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，所以⑤正确．故正确的是：④⑤．故选B．①根据直线和平面的位置关系判断．②利用直线和平面的位置关系判．③利用线面平行的定义判断．④利用线面平行的性质判断．⑤根据线面平行的性质判断．本题主要考查空间直线和平面平行判定和性质，要求熟练掌握线面平行的定义和性质．5.【答案】B【解析】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选：B．化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．6.【答案】A【解析】解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．故选：A．对选项进行分析，即可得出结论．本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据主视图和左视图可知正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，∴它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以实线画出的三角形，左上角是一个实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图，其俯视图应选C．故选C．正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，它的正视图外围是一个正方形，正方形的左上角是以虚线画出的三角形，右上角是一个实线画出的三角形，看出结果．本题考查简单空间图形的三视图，本题解题的关键是通过两个视图，想象出正方体的形状和位置，注意虚线和实线的区别．解：因为a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0化为（1-2b）x+3y+b=0，即x+3y+b（-2x+1）=0恒成立，，解得，所以直线经过定点（）．故选：B．利用已知条件，消去a，得到直线系方程，然后求出直线系经过的定点坐标．本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点的求法，考查计算能力．10.【答案】A【解析】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于-，由点斜式求得所求直线的方程为y-2=-（x-1），化简可得x+2y-5=0，故选A．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：设正四面体P-ABC，棱长为a，高为PO，O为底面正三角形外心（重心），∴底面正三角形高为AD=，S△ABC=，∵AO=，∴PO=，∴V===9，解得a=3（dm），∴表面积S=4×=18（dm2）．故选：B．先由正四面体的体积为9dm3，计算正四面体的棱长，即可计算表面积S的值．本题考查正四面体的体积、表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度13.【答案】6【解析】解：如下图示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．故答案为：6本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC-A1B1C1，结合图象分析即可得到答案．要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．14.【答案】160【解析】解：设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C=9，BD1=15，∵A1A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴A1A⊥AC，Rt△A1AC中，A1A=5，可得AC==，同理可得BD===10，∵四边形ABCD为菱形，可得AC、BD互相垂直平分，∴AB===8，即菱形ABCD的边长等于8．因此，这个棱柱的侧面积S侧=（AB+BC+CD+DA）×A1A=4×8×5=160．故答案为：160根据线面垂直的定义，利用勾股定理结合题中数据算出底面菱形的对角线长分别为和10，再由菱形的性质算出底面的边长为8，根据直棱柱的侧面积公式加以计算，可得该棱柱的侧面积．本题给出直棱柱满足的条件，求它的侧面积．着重考查了线面垂直的定义、菱形的性质和直棱柱的侧面积公式等知识，属于中档题．15.【答案】60°【解析】解：过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，由三垂线定理知CD⊥SE，所以∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，在Rt△SOE中，SE===2，OE=1，所以cos∠SEO=，则∠SEO=60°，故答案为：60°．过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，易证∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，通过解直角三角形可得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查学生推理论证能力，属中档题．16.【答案】（-∞，-1]∪[1，+∞），【解析】解：设C（0，-1），则m==k PC，表示PC的斜率观察图形，直线PA的倾斜角总是钝角，由此可得当P与A重合时，k PC==-1达到最大值；当P与B重合时，k PC==1达到最小值∴k PC∈（-∞，-1]∪[1，+∞），即m∈（-∞，-1]∪[1，+∞），故答案为：（-∞，-1]∪[1，+∞），根据直线的倾斜公式，设C（0，-1）得m=，表示PC的斜率．由此作出图形并观察PC倾斜角的变化，即可得到m=，的取值范围．本题给出线段AB，求直线斜率的范围并求距离和的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、点关于直线对称和两点的距离公式等知识，属于基础题．17.【答案】解：设直线方程为：y=x+b．可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（-b，0）．由=6，化为：b2=9，解得b=±3．∴要求的直线方程为：y=x±3．【解析】设直线方程为：y=x+b．可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（-b，0）．由=6，解得b即可得出．本题考查了直线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：依条件，由解得A（1，1）．因为角A的平分线所在的直线方程是y=x，所以点C（2，5）关于y=x的对称点C'（5，2）在AB边所在的直线上．AB边所在的直线方程为y-1=（x-1），整理得x-4y+3=0．又BC边上高线所在的直线方程是y=2x-1，所以BC边所在的直线的斜率为-．BC边所在的直线的方程是y=-（x-2）+5，整理得x+2y-12=0．联立x-4y+3=0与x+2y-12=0，解得B（7，）．【解析】首先求出A点的坐标，进而求出AB边所在的直线方程，然后根据两直线垂直求出BC边所在的直线的斜率和方程，最后联立方程即可求出B得的坐标．考查了直线的一般方程和直线的截距方程、直线的位置关系等知识，属于基础题．19.【答案】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积△ ．因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积△ ．由V A-PBC=V P-ABC，△ ，得，故点A到平面PBC的距离等于．【解析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC 的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等，而三棱锥P-ACB体积易求，三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．20.【答案】解：如图，由已知l1：a（x-2）-2（y-2）=0，l2：2（x-2）+a2（y-2）=0．∴l1、l2都过定点（2，2），且l1的纵截距为2-a，l2的横截距为a2+2．∴四边形面积S=×2×（2-a）+×2×（2+a2）=a2-a+4=（a-）2+，又0＜a＜2，故当a=时，S min=．【解析】=S△BCE-S△OAB即可得出S=（a-）2+，结合二次函数最值根据S四边形OCEA的求法解答．本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角．∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO=，设AB=a，AO=a，∴PO=AO•tan∠POA=a，tan∠PMO==．∴∠PMO=60°．（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE⊂平面PBD，∴AO⊥OE．∵OE=PD==a，∴tan∠AEO==；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．又PM=PN，∠PMN=60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC=PN，∴MG⊥平面PBC．∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．【解析】（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tan∠PAO=，设AB=a，则AO=a，PO=AO•tan∠POA=a，MO=a，tan∠PMO=，∠PMO=60°；（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB，故△AOE为直角三角形，OE=PD==a，所以tan∠AEO==；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA 的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置．本题考查二面角及平面角的求法，异面直线所成角的正切值的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题附标准答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合，，则．故选：A．化简集合A、B，根据交集的定义写出．本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2.若一个圆锥的表面积为，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则，又，由解得，，高．故选：C．设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，列方程组求得r、l和h的值．本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，是基础题．3.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】B【解析】解：由，解得．函数的定义域为．故选：B．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.已知直线与直线垂直，则a的值为A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】解：时，两条直线不垂直．，由，解得：．综上可得：．故选：C．对a分类讨论L利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了直线垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.若幂函数的图象过点，则函数的零点为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：设幂函数为常数．幂函数的图象过点，，解得．，令，即，解得：，，故选：D．求出幂函数的解析式，解方程求出函数的零点即可．本题考查了求幂函数的解析式问题，考查方程问题，是一道常规题．6.设，表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】解：A中缺少的情况；B中，也可能相交；C中缺少的情况；故选：D．前三个选项都漏掉了一种情况，最后一项有定理作保证，故选D．此题考查了直线，平面之间的位置关系，难度不大．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解：由题意可知几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，所以几何体的体积为：．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积．本题考查空间几何体的体积的求法，三视图的应用，考查计算能力．8.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，；．故选：A．容易得出，，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义，以及对数的换底公式．9.已知直线l：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则A. B. 4 C. D. 6【答案】B【解析】解：圆心到直线l的距离，圆的半径，，设直线l的倾斜角为，则，，过C作l的平行线交BD于E，则，，．故选：B．利用垂径定理计算弦长，计算直线l的倾斜角，利用三角函数的定义计算CD．本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程，属于中档题．10.关于x的方程的所有实数解的和为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：方程，可得或，即有或，可得或，则关于x的方程的所有实数解的和为4．故选：B．由绝对值的意义和对数的运算性质解方程即可得到所求和．本题考查方程的解的和的求法，注意绝对值的定义和对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．11.在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，则该四棱锥的体积为A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】解：在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，该四棱锥的体积．故选：A．作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，由此能求出该四棱锥的体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数且，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数且，当时，当时，有，而二次函数开口向下，此时函数的值域不可能为R；当时，当时，，当时，，若的值域为R，只需，可得．综上可得a的取值范围是故选：B．对a讨论，分和，结合指数函数的单调性和值域，以及二次函数的值域求法，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用，考查函数的值域的求法，注意运用指数函数的单调性和值域，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，则______．【答案】【解析】解：点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，3，，．故答案为：．利用线段中点坐标公式求出3，，再由两点间距离公式能求出的值．本题考查线段长的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14.若，则______．【答案】【解析】解：，则，，，，故答案为：．先求出，即可求出答案．本题考查了指数幂和对数的运算，属于基础题．15.一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，则______．【答案】【解析】解：一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，设斜边长为2，则直角边长为，，，．答案为：．设斜边长为2，则直角边长为，从而，，由此能求出．本题考查两个旋转体的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.定义域为的减函数是奇函数，若，则对所有的，及都成立的实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：根据题意，为定义域为的奇函数，则，则有，当时，即恒成立，令，必有，解可得：，则a的取值范围为；故答案为：．根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得，进而可得当时，即恒成立，令，分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数，，．求函数的解析式；求函数在上的值域．【答案】解：，；；解得，；；在上单调递增；；在上的值域为．【解析】根据，即可求出，，从而得出；容易判断在上是增函数，从而求出即可得出在上的值域．考查函数值域的概念及求法，一次函数和反比例函数的单调性，增函数的定义．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，，垂足为E．证明：平面ABE；若，，M是BC中点，点N在PD上，平面ABE，求线段PN的长．【答案】证明：底面ABCD，，，，平面PAC，平面PAC，，，，平面ABE．解：平面ABE，设过MN与平面ABE平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，又ABCD是平行四边形，，，平面MFNG，，是BC中点，是CE中点，，，．【解析】推导出，，从而平面PAC，由此能证明平面ABE．设过MN与平面ABM平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，，，从而平面MFNG，进而，由此能求出PN．本题考查线面垂直的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知函数且，在上的最大值为1．求a的值；当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并求函数的值域．【答案】解：根据题意，函数且，在上的最大值为1，若，则为增函数，则有，解可得；若，则为减函数，则有，解可得；故a的值为2或；根据题意，若函数为增函数，则，；有，解可得，即函数的定义域为；又由，则函数为偶函数；又由，设，，则，又由，则，则，故的值域为．【解析】根据题意，结合对数函数的最大值，分与两种情况讨论，求出a的值，即可得答案；根据题意，求出的解析式，分析可得与的关系，可得为偶函数，设，，则，分析t的取值范围，由对数函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与值域，中注意结合函数的单调性分析a的值．20.如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，，D是线段AB的中点．证明：平面；求三棱锥的体积．【答案】解：证明：在中，，D为中点，，平面，平面，平面；为中点，，易得：，在等腰三角形CAB中，，平面，且，，．故三棱锥的体积为：12．【解析】利用中位线易得线线平行，进而得线面平行；利用底或高的关系，把所求体积转化为三棱锥体积的一半，得解．此题考查了线面平行，转化法求体积等，难度适中．21.已知．判断的单调性，并用定义法加以证明；若实数t满足不等式，求t的取值范围．【答案】解：令x，，则，，任取，，且，，，，即，在R上是增函数不等式化为在R上是增函数，，的取值范围是【解析】先用换元法求出函数的解析式，再用复合函数单调性判断方法得到单调性，最后用定义证明即可；根据函数的单调性可解得．本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．22.已知圆M过点且与圆N：为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C．若直线被圆M截得的弦长为，求m的值；设直线：与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值．【答案】解：圆N的圆心为，故可设圆M的方程为，则，圆M的标准方程为，直线被圆M截得的弦长为，到直线的距离，或联立方程，消y可得，设，，则，，，，，解得或，但不满足，【解析】根据圆的标准方程，弦心距，点到直线的距离，即可求出，联立方程，消y可得，设，，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．。