北京中考专项--代几综合

(08北京)24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点． （1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．解：（1）（2）（3）1 O y x2 3 4 4321-1 -2 -2-1（09西城一）23已知：反比例函数2yx =和8y x= 在平面直角坐标系x O y 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x= 的图象上，A B ∥y 轴，与2y x=的图象交于点B ， A C 、B D 与x 轴平行，分别与2y x =、8y x=的图象 交于点C 、D .（1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；（2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小，并说明理由； （3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标.（09西城一）24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线364y x=-+与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形O D A P为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出QA QO-的取值范围.（09西城二）23．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF＝a．(1)判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，请说明理由；(2)若∠BFE＝∠FBC，求tan∠AFB的值；(3)在(2)的条件下，若将“E为CD的中点”改为“CE＝k·DE”，其中k是为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值．(用k的代数式表示)第23题图（09西城二）24．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A (0，1)，与x 轴的一个交点B 的坐标为(2，0)．点P 在抛物线上，它的横坐标为2n (0＜n ＜1)，作PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说明CD PD 与OBOC的大小关系； (3)若将原题中“0＜n ＜1”的条件改为“n ＞1”，其他条件不变，请通过计算说明(2)中的结论是否仍然成立．第24题图（09海淀一）25．已知抛物线经过点A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，与x轴正半轴交于点D．(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；(2)在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P(x，0)，△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．第25题图（09海淀二）24、如图，已知抛物线y=（3－m）x2＋2（m－3）x＋4m－m2的顶点A在双曲线y=3x上，直线y=mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交与点C.（1）、确定直线AB的解析式：（2）、将直线AB绕点O顺时针旋转900，与x轴交与点D，与y轴交与点E，求sin∠BDE的值；（3）、过点B作x轴的平行线与双曲线交与点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB＋∠ANB=450的点N 的坐标.（09东城一）24．(本题满分7分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y ＝ax2＋ax－2经过点B．(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图（09东城二）25．(本题满分8分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝10，AD＝6，DC＝8，BC＝12，点E在底边BC上，点F在AB上．(1)若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积．(2)是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．(3)若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1∶2两部分，将△BEF的面积记为S1，五边形AFECD的面积记为S2，且S1∶S2＝k，求出k的最大值．第25题图（09朝阳一）24. （本小题7分）抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.如图，点A在x轴的负半轴上，OA＝4，AB＝OB＝5将△ABO绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A1B1O，再继续旋转90°，得到△A2B2O．抛物线y＝ax2＋bx＋3经过B、B1两点．(1)求抛物线的解析式．(2)点B2是否在此抛物线上?请说明理由．(3)在该抛物线上找一点P，使得△PBB2是以BB2为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．(4)在该抛物线上，是否存在两点M、N，使得原点O是线段MN的中点?若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．第23题图将边长OA＝8，OC＝10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A 分别在x轴和y轴上．在OA、OC边上选取适当的点E、F，连结EF，将△EOF沿EF折叠，使点O落在AB边上的点D处．第24题图(1)如图①，当点F与点C重合时，OE的长度为________；(2)如图②，当点F与点C不重合时，过点D作DG∥y轴交EF于点T，交OC于点G．求证：EO＝DT；(3)在(2)的条件下，设T(x，y)，写出y与x之间的函数关系式：________，自变量x的取值范围是________；(4)如图③，将矩形OABC变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC＝10，OC边上的高等于8，点F与点C不重合，过点D作DG∥y轴交EF于点T，交OC于点G，求出这时T(x，y)的坐标y与x之间的函数关系式(不求自变量x的取值范围)．（10西城一）25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数333+=x y 的图象与x轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标为（3,0），连结BC ．（1）求证：△ABC 是等边三角形；（2）点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点D ，分别连结EA 、EP ．①若CP ＝6，直接写出∠AEP 的度数； ②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重合），∠AEP 的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP 的度数；（3）在（2）的条件下，若点P 从C 点出发在BC 的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC 与AP于点F ，设△AEF 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2，y ＝S 1－S 2，运动时间为t （t >0）秒时，求y 关于t 的函数关系式．yO A B C 1 1 x（10西城二）25． 在平面直角坐标系中，将直线l ：2343--=x y 沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C ：232x y =沿x 轴平移，得到一条新抛物线2C 与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线2C 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，求直线m 的解析式．（10海淀一）23．关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数.（1）求c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.（10海淀一）24. 点P 为抛物线222y x mx m =-+(m 为常数，0m >)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点.（1）当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标；（2）设点(,)Q a b ，用含m 、b 的代数式表示a ；（3) 如图，点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上，点C 为OD 的中点，QO 平分AQC ∠，2AQ QC =，当QD m =时，求m 的值.（10东城一）24．如图，在平面直角坐标系中，A （23，0），B （23，2）.把矩形OABC 逆时针旋转30︒得到矩形111OA B C .（1）求1B 点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形111OA B C 面积的直线l 方程；（3）设（2）中直线l 交y 轴于点P ，直接写出1PC O ∆与11PB A ∆的面积和的值及1POA ∆与11PB C ∆的面积差的值.备用图A B E P xO C D y（10东城二）24. 如图, 二次函数过A(0, m )、B(3-, 0)、C(12, 0), 过A 点作x 轴的平行线交抛物线于一点D , 线段OC 上有一动点P , 连结DP , 作PE ⊥DP , 交y 轴于点E .(1) 求AD 的长；(2) 若在线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2, 使相应的点1E 、2E 都与点A 重合,试求m 的取值范围.(3) 设抛物线的顶点为点Q , 当6090BQC ︒≤∠≤︒时, 求m 的变化范围.（10朝阳一）24．（本小题满分7分）已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．（10朝阳二）23. (本小题7分)如图, 平行四边形ABCD中, AD=8,CD=4,∠D=60°, 点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点, 点P以每秒1个单位长度的速度, 从点C运动到点D, 点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动．当其中一个点到达终点时, 另一个点随之停止运动．点P与点Q同时出发, 设运动时间为t, △CPQ的面积为S．(1) 求S关于t的函数关系式；(2) 求出S的最大值；(3) t为何值时, 将△CPQ以它的一边为轴翻折, 翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．（10朝阳二）25. (本小题8分)如图, 边长为2的正方形ABCO中, 点F为x轴上一点, CF=1, 过点B作BF的垂线, 交y轴于点E．(1) 求过点E、B、F的抛物线的解析式；(2) 将∠EBF绕点B顺时针旋转, 角的一边交y轴正半轴于点M, 另一边交x轴于点N, 设, EM与NO有怎样的数量关BM与(1)中抛物线的另一个交点为点G, 且点G的横坐标为 65系? 请说明你的结论．(3) 点P在(1)中的抛物线上, 且PE与y轴所成锐角的正切值为 3, 求点P的坐标．2（10北京）24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上.（1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）.①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）.过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）.若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值.。