新思维--丰富的图形世界(完整版)(精选.)
七年级新思维20-丰富的图形世界
20.丰富的图形世界问题解决例1（四川省中考题）如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么x y+=_______．【答案】281014x y x y==+=，，．例2（成都市中考题）如图，由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）．左视图俯视图主视图A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】D例3（贵阳课改实验区中考题）由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图．（1）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，求n的值．【答案】（1）左视图有以下5种情形：（2）891011n=，，，例4（江苏省常州市中考题）如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？【答案】4；9 提示：最下面正方体1个面的面积是1，侧面露出的面积和是4，每相邻两个正方体中上面的1个正方体每个面的面积都正好是其下面正方体1个面面积的12，所有正方体侧面面积之和加上所有正方体的上面露出的面积和（正好是最下面正方体上底面的面积1）即是这些正方体露在外面的面积和．如：2个正方体露出的面积和是44172++=，3个正方体露出的面积和是4441824+++=，y2x81088俯视图主视图4个正方体露出的面积和是4441 4182482 ++++=，5个正方体露出的面积和是44443 418248164+++++=，6个正方体露出的面积和是444447 418 24816328++++++=，……故随着小正方体木块的增加，其外露的面积之和都不会超过9．例5（江城国际数学竞赛题）要把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等），画图表示．分析与解本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力，需要把图形性质与计算恰当结合．为方便起见，设正方体的棱长为6个单位，首先不能切出棱长为5的立方体，否则不可能分割成49个小正方体．设切出棱长为1的正方体有a个，棱长为2的正方体有b个，如果能切出1个棱长为4的正方体，则有864216491a ba b++=⎧⎨+=-⎩，解之得6147b=，不合题意，所以切不出棱长为4的正方体．设切出棱长为1的正方体有a个，棱长为2的正方体有b个，棱长为3的正方体有c个，则82721649a b ca b c++=⎧⎨++=⎩，解得3694a b c===，，，故可分割棱长分别为1、2、3的正方体各有36个、9个、4个，分法如图所示．欧拉公式例6 建立模型18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数()V、面数()F、棱数()E之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．正十二面体正八面体长方体四面体（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_______．（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x y+的值．解 （1）6；6；2V F E +-= （2）20（3）这个多面体的面数为x y +，棱数为243362⨯=（条）． 根据2V F E +-=，可得24()36214x y x y ++-=∴+=，． 模型应用（宁波市中考题改编）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数．解 设足球表面的正五边形有x 个，正六边形有y 个，总面数F 为x y+个．因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数E 为1(56)2x y +，又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数121(56)(56)233V x y x y =+⋅=+⋅由欧拉公式2V F E +-=得11()(56)(56)232x y x y x y +++-+=，解得12x =．所以正五边形只要12个．又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，所以六边形个数5203x=，即需20个正六边形． 数学冲浪知识技能广场 1．（山东省菏泽市中考题）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是_______．456123（第1题）（第2题）俯视图左视图主视图【答案】6 2．（武汉市中考题）由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是_______． 【答案】5 3．（山东省烟台市中考题）一个长方体的左视图，俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为_______．俯视图左视图（第3题）【答案】84．（山东省青岛市中考题）如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面．．．涂色的小立方体共有_______个．（第4题）图①图②图③【答案】4(21)n5．（山东省烟台市中考题）一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为（）．A．19m2B．41m2C．33m2D．34m2【答案】C6．（河南省中考题）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）．A．3 B．4 C．5 D．6（第7题）（第6题）主视图俯视图【答案】B7．（河北省中考题）从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（）．A．20 B．22 C．24 D．26（第5题）8．（2012年温州市中考题）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ）．少图少图少图主视方向乙甲（第8题）C.A.D.B.【答案】B 9．（广州市中考题）5个棱长为1的正方体组成如图的几何体． （1）该几何体的体积是_______（立方单位），表面积是_______（平方单位）；（2）画出该几何体的主视图和左视图． 【答案】（1）5；22；（2）略 10．（“创新杯”邀请赛试题）用同样大小的正方体木块搭建的几何体，从正面看到的平面图形如图①所示，从上面看到的平面图形如图②所示．（第10题）图①图②（1）如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成，试画出从左面看这个几何体所得到的所有可能的平面图形．（2）这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左面看到的所有可能的平面图形．【答案】（1）（2）11；（第9题）11．（《时代学习报》数学文化节试题）如图，是一个正方体表面展开图，请在图中空格内填上适当的数，使这个正方体相对两个面上标的数值相等．【答案】上空格填12，下空格填2（第11题）（第12题）主视图俯视图12．（江苏省江阴市中考题）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能的值之和为_______．【答案】3813．（“华罗庚金杯赛”试题）如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米，则立体图形的体积为_______立方厘米．【答案】2π（第13题）（第14题）左视图俯视图主视图14．（江苏省常州市中考题）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是（）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B15．（“创新杯”邀请赛试题）由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D 设大立方体的棱长为3n n>，，若6n=，即使6个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有3464=个>45，故45n=或．除掉已漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方形，设其长、宽、高分别为a b c、、，45abc=，只能是33545⨯⨯=，故5n=．16．（浙江省竞赛题）小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的小正方体的个数是（）．A．22 B．23 C．24 D．25【答案】C 提示：若分割出棱长为3的正方体，则棱长为3的正方体只能有1个，余下的均是棱长为1的正方体，共37个不满足要求．设棱长为2的正方体有x 个，棱长为1的正方体有y 个，则29864x y x y +=⎧⎨+=⎩，得524.x y =⎧⎨=⎩17．（江苏省竞赛题）墙角处有若干个大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走多少个小正方体？【答案】有不同的拿法．为保证“影子不变”，可依如下原则操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不动以外，该行（列）的其余各摞都搬成只剩最下面的一个小正方体．如图所示，20个方格中的数字，表示5行6列共20摞中在搬完以后最终留下的正方体个数．照这样，各行可搬个数累计为9+9+5+4+0=27，即最多可搬走27个小正方体．4-3-12-455-56-2-163-231351324-3244-45-26（第17题）18．（江苏省竞赛题）一个长方体纸盒的长、宽、高分别是()a b c a b c >>、、厘米．如图，将它展开成平面图，那么这个平面图的周长最小是多少厘米？最大是多少厘米？【答案】要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长就要尽量小，因此要选剪开四条高（因为c 最小），再剪开一条长a 厘米的棱（否则，不能展开成平面图），最后再剪开两条宽b 厘米的棱（如图中所示表示的①~⑦这七条棱）．由此可得图甲，这时最小周长是842248c b a a b c ⨯+⨯+⨯=++（厘米）．c b ac b a cb ac b a cb ac bacb a cb ac b a c b ac b a cac b a 图乙图甲（第18题）（第17题）b c a⑦⑥⑤④③②①（第18题）要使平面展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱（长a），再剪开两条次条的棱（宽b），最后剪开一条最短的棱（高c），即得图乙，这时最大周长是842842a b c a b c⨯+⨯+⨯=++（厘米）．应用探究乐园19．（世界数学团体锦标赛试题）王老师将底面半径为20厘米、高为35厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒入如图所示的杯子中，若杯口直径为20厘米，杯底直径为10厘米，杯高为12厘米，杯身长13厘米，问果汗可以倒满多少杯？G（第19题）（第20题）【答案】如图，由题意知1051213AB CD AC BD====，，，，过点D作DE垂直于E，则12DE=，于是Rt BDE△中5BE=．延长AC BD，交于F，则由51012CD AB==∶∶∶知1224CF AF==，．于是一个杯子的容积等于两个圆锥的体积之差，即22311π1024π512700π(cm)33V=⋅⨯-⋅⨯=．而大容器内果汁的体积是23π203514000π(cm)⨯==，所以果汁可以倒满14000π700π20÷=()杯．20．（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的．P为上底面ABCD的中心，如果挖去（如图）的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括多少个完整的棱长是1厘米的小正方体？【答案】剩下的部分：从上往下，第一层有25-1=24个；第二层有25-9=16个；第三层有25-9=16个；第四层、第五层有0个，故共有56个完整的棱长是1厘米的小正方体．FB（第19题）（第20题）。
第一章：丰富的图形世界
◆初一(上)数学讲义第一章：丰富的图形世界◆1.1生活中的立体图形1．生活中常见的立体图形(1)常见的立体图形和对应的几何体图(1)是生活中几种常见的实物图形，其对应的几何体如图(2)所示．图(1) 图(2)生活中蕴含着大量的几何图形，这些几何图形可以抽象为几何体。
常见的几何体有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球和棱柱等．注意：棱锥也是一种常见的几何体．如上面的最后一图．(2)几何体的组成几何体是由平面或曲面围成的立体图形．如果围成的面都是平的，叫做多面体．【例1】下列图形中，上面一行是一些具体的实物图形，下面一行是一些几何体，试用线连接几何体和类似的实物图形．2．几何图形的构成(1)几何图形的构成几何图形包括立体图形和平面图形，几何图形是由点、线、面构成的．面有平面和曲面，面不分厚薄；线有直线和曲线，线不分粗细．面与面相交得到线，线与线相交得到点，点不分大小．(2)点、线、面的关系从运动的角度看，点动成线，线动成面，面动成体．例如，把笔尖看做一个点，笔尖在纸上移动就能形成一条线，即点动成线．点动成线的实例还有：流星划过天空、粉笔在黑板上划动、保龄球滚动过的路线等．钟表的分针旋转一周形成一个圆面，即线动成面．线动成面的实例还有：汽车上的雨刷扫过玻璃窗、用刷子涂油漆等．长方形绕它的一边旋转一周就能形成一个圆柱，即面动成体．面动成体的实例还有：以三角形的一边为轴旋转一周形成的几何体等．【例2】如图所示的立体图形，是由__________个面组成的，其中有__________个平面，有__________个曲面；面与面相交成__________条线，其中曲线有__________条．◆初一(上)数学讲义点技巧线与面的数法对于几何体，面与面相交得到线，线与线相交得到点．在数面时可先数底面，再数侧面；数线时，可先数底面与侧面相交成的线，再数侧面与侧面相交成的线．3．立体图形的识别几何图形的特征：(1)圆柱：两个底面是等圆，侧面是曲面．如八宝粥盒、茶杯等．(2)圆锥：底面是圆，侧面是曲面．像锥子．如烟囱帽、铅锤、漏斗等．(3)长方体：有6个面，底面是长方形，相对的两个面平行且完全相同．如砖、文具盒等．(4)正方体：6个面是大小完全相同的正方形．如魔方等．(5)棱柱：所有侧棱长都相等，底面是多边形，上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．(6)球：由一个曲面组成，圆圆的．如足球、乒乓球等．(7)棱锥：一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形．多边形的面称为棱锥的底面，其余各面称为棱锥的侧面．根据底面的边数可将棱锥分为三棱锥、四棱锥……谈重点：从哪几个方面认识几何体的特征？①有几个面围成，是平面还是曲面；②有无顶点，有几个顶点；③侧面是平面还是曲面；④底面是什么形状，是多边形还是圆，有几个底面等．【例3－1】请在每个几何体下面写出它们的名称．【例3－2】如图，在下面四个物体中，最接近圆柱的是( )．4.几何体的分类(1)几何体按柱、锥、球的特征分为：◆初一(上)数学讲义(2)按围成的面分为：分类是数学中的基本方法，在分类时要统一标准，做到不重不漏．【例4－1】在粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐瓶、书本、热水瓶胆等物体中，形状类似于棱柱的有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个【例4－2】将下列几何体分类，并说明理由．5．几何体的形成(1)长方形绕其一边所在直线旋转一周得到圆柱；(2)直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥；(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周得到球体．释疑点旋转体的形成①平面图形旋转会形成几何体；②平面图形绕某一直线旋转一周才可以形成几何体；③由平面图形旋转而得到的几何体有：圆柱、圆锥、球以及它们的组合体．【例5】我们曾学过圆柱的体积计算公式：V＝Sh＝πR2h(R是圆柱底面半径，h为圆柱的高)，现有一个长方形，长为2 cm，宽为1 cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？◆初一(上)数学讲义6. 简单多面体定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体。
新思维--丰富的图形世界(完整版)
20.丰富的图形世界1.如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之各的最小值是___________.解析:根据相对面相隔一个面得到的相对的2个数，相加后比较即可.根据题设可得2和6是相对的两个面；3和4是相对两个面；1和5是相对的两个面∵2+6=8，3+4=7，1+5=6所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是6.2.由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是________________.解析:综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有2+1=3个小正方体；第二层应该有1个小正方体；第三层应该有1个小正方体；因此搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1+1=5个.3.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为________.解析:由左视图可得长方体的高为2；由俯视图可得长方体的长为4。
∵主视图表现长方体的长和高，由长方形面积公式可得主视图的面积为248S ab ==⨯=4.如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面涂上颜色(底面不涂色)，则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有_________个.解析:由题意可知:(1)第1个几何体中只有两个面涂色的小正方体有4个(2)第2个几何体中只有两个面涂色的小正方体有12个(3)第3个几何体中只有两个面涂色的小正方体有20个(4)第4个几何体中只有两个面涂色的小正方体有28个以上数据表明，只有两个面涂色的小正方体的数量是4的倍数414=⨯，1234=⨯，2054=⨯，2874=⨯，依此类推可得第n 个几何体中只有两个面涂色的小正方体的个数为(21)484n n -⨯=-5.一个画家有14个边长为1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为( )A.19m 2B.41m 2C.33m 2D.34m 2解析:第一步:先把露出的表面分面两部分-------向上的部分和面向侧面的部分(包括面向前后左右的)，先计算面向上面的:显然，把它们压力到一个平面上就会发现这部分的面积总和相当于9个正方形的面积。
《丰富的图形世界》教案（精选3篇）
《丰富的图形世界》教案（精选3篇）《丰富的图形世界》篇1第一章教学评价指导一、总体设计思路：1、通过观察现实生活中的物体，认识基本几何体及点、线、面。
2、通过展开与折叠活动，认识棱柱的基本性质。
3、通过展开与折叠、切与截、从不同方向看等数学实践活动，积累数学活动经验。
4、通过平面图形与空间几何体相互转换的活动过程中，建立空间观念，发展几何直觉。
5、由空间到平面，认识常见的平面图形.——观察、操作、描述、想象、推理、交流.二、总体教学建议：1、充分挖掘图形的现实模型，鼓励学生从现实世界中“发现”图形.2、充分让学生动手操作、自主探索、合作交流，以积累有关图形的经验和数学活动经验，发展空间观念。
其中动手操作是学习过程中的重要一环---在学生学习开绐阶段，它可能帮助学生认识图形，发展空间观念，以后，它可以用来验证学生对图形的空间想象。
因此，学习之初，教师要鼓励学生先动手、后思考，以后，则鼓励学生先想象，再动手。
3、教学中应有意识地满足多样化的学习需要，发展学生的个性。
如开展正方体表面展开、棱柱模型制作等教学。
几点说明:1、为什么安排展开与折叠、切与截、从不同方向看等那么多实践活动，目的是什么？2、教学中要处理好动手操作和思考想象的关系？3、生活中的立体图形性质的认识过程用自己语言充分地描述----点、线、面之间的关系-----通过操作归纳出比较准确的数学语言-------更好地想象图形。
4、展开与折叠的目的与处理（想和做的关系：先做后想----先想后做）三、总体评价建议1、关注学生在展开与折叠、切截、从不同方向看等数学活动中空间观念的发展。
2、关注学生是否能正确认识现实生活中大量存在的柱、锥、球的实物模型。
3、关注学生在观察、操作、想象等数学活动中的主动参与的程度以及是否愿意与同伴交流各自的想法。
4、要帮助学生建立自己的数学学习成长记录袋，让他们反思自己的数学学习情况和成长的历程。
四、每一节的教学目标、重难点、教学建议与评价方法第一节：生活中的立体图形第一课时：1.经历从现实世界中抽象出几何图形的过程，感受图形世界的丰富多彩。
第一章《丰富的图形世界(共11课时)
第一章丰富的图形世界导学案本章我们将走进丰富的图形世界，认识生活中的立体图形，学习图形的展开与折叠，研究截面的形状，从不同的方向看物体，会画几何体的三视图，进一步认识生活中的平面图形，学习本章，你将进入一个绚丽多彩的图形世界，感受图形的美丽，更加热爱我们的生活。
1.1．1 生活中的立体图形Ⅰ、教师寄语丰富的图形世界，展现了时间的色彩斑斓和千姿百态，走进形世界，使我们的生活更美。
Ⅱ、学习目标1、知识与技能：在具体的情景中认识圆柱、圆锥、长方体、正方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征。
2、过程与方法：经历从现实世界中抽象出图形的过程，通过丰富的生活实例，进一步认识立体图形的形状及结构特征3、情感、态度与价值观：在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，并敢于表现自己，丰富学习数学的成功体验，激发对空间与图形的好奇心。
Ⅲ、学法指导本节的重点是认识常见的几何体，并用语言描述它们的某些特征，了解点、线、面及其之间的关系,在中学阶段,常见的几何体是重要的研究对象,是中考内容之一,同学们应结合具体的实例来认识并了解他们的特征.本节难点是对几何体的分类,因为初中同学对分类标准不熟悉,所以同学们可从某些几何体的特征入手,找出共同特征作为一类。
在学习中注意两点:①多与现实生活联系；⑵多动手制作实践或画图。
Ⅳ、学习过程一、前置准备1.你学过长方体,正方体吗?画出其立体图形,并描述一下它的形状组成.长方体立方体2.长方体\立方体都是几何体,你平常在生活中还见过那些几何体?讨论并答出:圆柱\棱柱\圆锥\棱锥\圆台\棱台\球.试一试:描述它们的形状特征二、自主学习(出示挂图)1.看书思考;p1---42.问题导学:①试一试,把挂图中的几何体分类；②议一议,描述棱柱与圆柱的相同点和不同点三、合作交流：①学生发表见解；②自主思考, p4想一想。
联系实例:饮水机\蒙古包,分析多个几何体构成的物体结构.四、归纳总结----柱体---圆柱\棱柱几何体------ ---- 锥体---圆锥\棱锥----球体五、例题解析1.下列图形中那些是柱体？引导：⑴按柱、锥、球分；⑵按组成几何体的面的平曲分；⑶按有没有顶点分六、当堂训练：随堂练习2.习题1.1 1----3题七、课堂小结：本节课你得到了那些知识？学习了那些方法？课下训练1、下面几种图形①三角形、②长方形 ③正方体、④圆 ⑤圆锥 ⑥圆柱。
《丰富的图形世界》全章教案
《丰富的图形世界》全章教案一、教学目标：1. 让学生了解和认识各种基本的二维图形和三维图形。
2. 培养学生观察、思考、分析和解决问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
二、教学内容：1. 基本二维图形（三角形、四边形、五边形、六边形等）2. 基本三维图形（立方体、长方体、圆柱体、圆锥体等）3. 图形的分类和特征4. 图形的变换（平移、旋转、轴对称等）5. 图形在实际生活中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：让学生掌握基本二维图形和三维图形的特征及变换方法。
2. 难点：培养学生解决实际问题时对图形的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索和发现。
2. 运用多媒体辅助教学，直观展示各种图形的特征和变换。
3. 组织学生进行小组讨论和动手操作，提高学生的实践能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引出本章的主题——丰富的图形世界。
2. 新课导入：介绍基本二维图形和三维图形的特征。
3. 实例分析：分析实际生活中的图形应用，让学生感受图形的重要性。
4. 课堂练习：让学生动手绘制和变换图形，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本章内容进行总结，布置课后作业，引导学生进一步探索图形的世界。
教案模板：一、教学目标：1. 让学生了解和认识【基本概念1】的概念和特征。
2. 培养学生【技能1】的能力。
3. 培养学生的【能力1】和【能力2】。
二、教学内容：1. 【内容1】：介绍【基本概念1】的定义和特征。
2. 【内容2】：讲解【基本概念1】的运用和实际意义。
3. 【内容3】：探讨【基本概念1】在生活中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：让学生掌握【基本概念1】的定义和特征。
2. 难点：培养学生解决实际问题时对【基本概念1】的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索和发现。
2. 运用多媒体辅助教学，直观展示【基本概念1】的特征和运用。
3. 组织学生进行小组讨论和动手操作，提高学生的实践能力。
丰富的图形世界新思维初中数学
18.丰富的图形世界解读课标20世纪初，伟大的法国建筑家列·柯尔伯齐曾说：“我想，到目前为止，我们从没有生活在这样的几何时期，周围的一切都是几何学.”生活中蕴含着丰富的几何图形，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不断移动、反转、放大缩小的电视画面图形有的是立体的，有的是平面的，立体图形与平面图形之间的联系，从以下方面得以体现：1.立体图形的展开与折叠；2.从各个角度观察立体图形；3.用平面去截立体图形.观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索是探索图形世界的基本方法.问题解决例1 如图是一个正方体的表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么x+y=___.（四川省中考题）例1图例2图试一试展开与折叠是两个步骤相反的过程，从折叠还原成正方体入手.例2 如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）（成都市中考题）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个试一试根据三视图和几何体的关系，分别确定该几何体的列数和每一列的层数.例3 如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图.(1)请你画出这个几何体的一种左视图；(2)若组成这个几何体的小正方形的块数为n，请你写出n的所有可能值.（贵阳课改试验区中考题）试一试本例可以在“脑子”中想象完成也可以用实物摆一摆.从操作实验入手，从俯视图可推断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论，则可避免重复与遗漏.例4 如图是由若干个正方体形状的木块堆成的.平放于桌面上,其中,上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点,如果最下面的正方体的棱长为1.且这些正方体露在外面的面积和超过8,那么正方体的个数至少是多少?按此规律堆下来,这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少?(提示:所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和,就是需求的面积.从简单入手,归纳规律).（江苏省常州市中考题）试一试所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积，就是需求的面积.从简单入手，归纳规律.例5 要把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等），画图表示.（江城国际数学竞赛题）欧拉公式瑞士数学家欧拉是历史上最多产的数学家，一生发表过800多篇（本）论文、著作.他28岁时解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，其主要思想是将原问题转化为一笔画问题.法国著名数学家拉普拉斯曾说：“读读欧拉，他是我们所有人的导师.”例6 建立模型十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。
(完整)六年级数学丰富的图形世界
《第一章 丰富的图形世界》复习教案一、学习目标1．能在具体情境中，认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球等几何体，并能用自己的语言描述它们的特征．2．了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作简单的立体图形． 3．亲身经历切截正方体的过程，体会面与体的转换，提高动手操作能力．4．会从不同方向观察同一个物体，能识别简单物体的三种视图，会画立方体及简单组合的三种视图，并能在小正方形内填上表示该位置小立方块的个数．5．能在具体情境中认识多边形，拓展思维空间． 二、知识网络三、重点、难点1．常见的几何体及其特点长方体：有8个顶点，12条棱，6个面，且各面都是长方形．正方体是特殊的长方体． 棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其他各面称为棱柱的侧面．长方体也是棱柱． 圆柱：有上下两个底面和一个侧面，两个底面是半径相等的圆． 圆锥：有一个底面和一个顶点，且侧面展开图是扇形． 球：由一个面围成的几何体． 2．展开与折叠（1）棱柱：如图1所示的棱柱，上底面是五边形A ′B ′C ′D ′E ′，下底面是五边形ABCDE ，这两个五边形的大小、形状都相同；这个棱柱有5个侧面，当它为直棱柱时，5个侧面都是长方形，当它为斜棱柱时，5个侧面都是平行四边形．在棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱柱的棱，其中相邻两个侧面的交线都叫做棱柱的侧棱．图1中的棱柱有15条棱，其中有5条侧棱，这5条侧棱的长相等．将这个棱柱展开是一个长方形（图2是图1中棱图1图2柱的侧面展开图），反过来可以将一个长方形折叠成一个棱柱的侧面．当一个棱柱的底面是三角形时，称为三棱柱；当一个棱柱的底面是四边形时，称为四棱柱（长方体、正方体都是四棱柱）；当一个棱柱的底面是五边形时，称为五棱柱（图1就是五棱柱）；……；当一个棱柱的底面是n 边形时，称为n 棱柱．一般地，有2n 个顶点，3n 条棱，n ＋2个面（其中2个底面，n 个侧面）．（2）圆柱和圆锥的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是一个长方形，圆柱的底面周长和高分别是这个长方形的长与宽．圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径就是圆锥的母线（即圆锥的顶点与圆锥底面上任意一点的连线）长，而扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．反过来，可以将一个扇形围成一个圆锥的侧面．3．感悟截一个几何体用一个截面去截长方体或正方体，截面可能是等腰三角形、等边三角形，但不可能是直角三角形，也可能是正方形、长方形、梯形、五边形等，最多可截得六边形．用一个截面去截圆柱，截面可能是正方形、长方形、梯形、圆或椭圆． 用一个截面去截圆锥，截面可能是等腰三角形、圆或椭圆． 4．关于三种视图我们从不同方向观察物体时，从正面看到的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的视图叫做俯视图．如图3，左边是一个由小立方块组成的几何体，右边是这个几何体的三种视图．常见几何体的三种视图：正方体的三种视图都是正方形；圆柱的三种视图中有两个是长方形，一个是圆；圆锥的三种视图有两个是三角形，另一个是圆；球的三种视图都是圆．学会运用观察、类比、由特殊到一般的方法，理解三种视图：主视图、左视图中的竖行表示构成几何体的小物体（如立方体）排有多少列，横行表示小物体排有多少层，俯视图的小正方形中的数字表示在该位置小物体的层数．5．认识生活中的平面图形我们生活中所见的平面图形有：三角形、四边形、五边形、…、圆等．其中多边形是由一些不在同一直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形；圆是由曲线组成的封闭图形，圆上两点之间的部分叫做弧，主视图左视图俯视图图3由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．设一个多边形的边数为n ，从这个n 边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与n 边形的其他各个顶点（与这个顶点相邻的顶点除外），可以得到（n －3）条对角线，（n －2）三角形．一个圆可以被它的半径分割成若干个扇形．四、典型例题透析例1 如图4，在下列8个立体图形中，（1）找出与图②具有共同特征的图形，并说出相同的特征是什么？ （2）找出其他具有相同特征的图形，并说出相同的特征是什么？析解：答案不唯一．（1）图④与图②底面都是五边形；图②、图⑤和图⑦都是锥体；（2）图①和图④都是棱柱，图①、图③和图④都是柱体，图①和图⑥底面都是四边形，图③和图⑤底面都是圆．例 2 哪种几何体的表面能展开成下面的图形？先想一想，再折一折，并说出折叠后的几何体的各底面的形状、侧面形状、棱数、侧棱数、顶点数．析解：左边的图形是（正）五棱柱：底面是正五边形，侧面是长方形，有15条棱，5条侧棱，10个顶点．右边的图形是（正）三棱柱：底面是三角形，侧面是长方形，有9条棱，3条侧棱，6个顶点．例3 如图6是由六块积木搭成的几何体，这几块积木都是相同的正方体，请画出这个图形的 析解：这个几何体横行有2行，竖列有2列，最高有3层． 它的主视图、左视图和俯视图如图7所示．例4 图8是用小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，请画出它们的主视图与左视图．① ② ③ ④⑥ ⑦ ⑧图4 5主视图 左视图 俯视图图7234 2图8 图6析解：根据俯视图上小正方形的数字，先确定主视图有3列，然后再根据每一列中最大的数字确定这一列的层数，第一列有3层，第2列有4层，第3列有2层；同理，左视图有2列，第一列有4层，第2列有2层．这个几何体的主视图与左视图如图9所示．例5 如图10，你能数出图中有多少个三角形吗？ 解：共有10个三角形，应按一定的规律找．方法1：先找单独的，然后找两个、三个、四个合并在一起的． 方法2：在公共边上共有10条线段．例6 用一个平面去截正方体，截得的多边形从边数来看，可能有哪些结果？请画出这些可能的结果．析解：当平面只截了过同一个顶点的三个面时，截得的是三角形一定是锐角三角形，并且可能是等腰三角形，也可能是等边三角形；平面截正方体所得的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形（但不可能是一般的一对对边平行的四边形）；平面截正方体所得的多边形最多为六边形，因为每一条边正好是平面与正方体的六个面相交所得到的．用一个平面去截正方体，截面示意图如图11：图9主视图 左视图图10三角形 四边形 五边形 六边形图11。
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20.丰富的图形世界1.如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之各的最小值是___________.解析:根据相对面相隔一个面得到的相对的2个数，相加后比较即可.根据题设可得2和6是相对的两个面；3和4是相对两个面；1和5是相对的两个面∵2+6=8，3+4=7，1+5=6所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是6.2.由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是________________.解析:综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有2+1=3个小正方体；第二层应该有1个小正方体；第三层应该有1个小正方体；因此搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1+1=5个.3.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为________.解析:由左视图可得长方体的高为2；由俯视图可得长方体的长为4。
∵主视图表现长方体的长和高，由长方形面积公式可得主视图的面积为248S ab ==⨯=4.如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面涂上颜色(底面不涂色)，则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有_________个.解析:由题意可知:(1)第1个几何体中只有两个面涂色的小正方体有4个(2)第2个几何体中只有两个面涂色的小正方体有12个(3)第3个几何体中只有两个面涂色的小正方体有20个(4)第4个几何体中只有两个面涂色的小正方体有28个以上数据表明，只有两个面涂色的小正方体的数量是4的倍数414=⨯，1234=⨯，2054=⨯，2874=⨯，依此类推可得第n 个几何体中只有两个面涂色的小正方体的个数为(21)484n n -⨯=-5.一个画家有14个边长为1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为( )A.19m 2B.41m 2C.33m 2D.34m 2解析:第一步:先把露出的表面分面两部分-------向上的部分和面向侧面的部分(包括面向前后左右的)，先计算面向上面的:显然，把它们压力到一个平面上就会发现这部分的面积总和相当于9个正方形的面积。
(想象一下从上面俯视时看到的景象)。
第二步:计算面向侧面的，最下面的一层，面积和为3412⨯=第二层248⨯=，第三层144⨯=，所以这部分的面积总和为128424++=综上所述，露出的表面积总和为22292433m m m += 选C 。
6.一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( )A.3B.4C.5D.6解析:由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，由此可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，有可能两行都是两层。
所以图中的小正方体最少4块，最多5块。
综上所述，答案的4块，选B.7.从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是( )A.20B.22C.24D.26解析:把凹进去的三个面移动至如图位置，则这个零件的表面各等于原正方体的表面积.所以2266224S a ==⨯=8.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( )A．B．C．D．解析:根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体，进而得出答案即可利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，综上所述，选项B正确9.5个棱长为1的正方体组成如图的几何体.(1)该几何体的体积是_________(立方单位)，表面积是________(平方单位)；(2)画出该几何体的主视图和左视图.解析:⨯=(1)第个正方体的体积为1，∴组合几何体的体积为515⨯=个正方形，上下共有6个正方形，左右共有6该组合几何体的前面和后面共有5210个正方形，每个正方形的面积为1++=∴组合几何体的表面积为106622(2)主视图和左视图作图如下：10.用同样大小的正方体木块搭的几何体，从正面看到的平面图形如图①所示，从上面看到的平面图形如图②所示.(1)如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成，试画出从左面看到这个几何体所得到的所有可能的平面图形.(2)这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左面看到的所有可能的平面图形.解析:1、在图2的六个小正方形内，分别填入适当的正整数，结合1的要求，有两种填法：1 113 1 23 111 1 2（不写数字的空格去掉）从左面看这个几何体所得的平面，有两种可能：AAA A AAA AA A A(不写A 的空格去掉） 2.用1知的方法，在图2的六个正方形知分别填上适当的正整数，显然所填的六个正整数之和最大为11.311 3 1 2（不写数字的空格去掉）故这样的几何体最多由11块小正方体木块构成，从左边看这个几何体所得到平面图形是 AA AA A A A(不写A 的空格去掉）11.如图，是一个正方体表面展开图，请在图中空格内填上 适当的数，使这个正方体相对两个面上标注的数值相等.解析:如图所示，设两空格处分别为x ，y∵a 与2-是相对两面上的数所以2a =-∴2a -=又∵a -与y 相对∴2y =∵x 与1a -相对，∴112x a =-=12.如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n,则n 的所有可能的值之和为__________.解析:主视图最右边可能有4或5或6个小正方体；而由主视图最左边看到只有一列，俯视图也只有一列，所以右边有一个小正方体； 主视图中间有两列，俯视图亦有两列，则中间可以有3或4个小正方形．∴n 的值可能为：1+4+3=8，1+5+3=9，1+6+3=10，1+4+4=9，1+5+4=10，1+6+4=11， 则n 的所有可能的值之和=8+9+10+11=38．故本题答案为:3813.如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米，求立体图形的体积为解析:这个立体图形可以看作由上下两部分组成下部分是一个底面直径为2，高为1的圆柱体，上部分是一个底面直径为2，高为2的圆柱体的一半(纵向切割)它的体积是: 2222()1()22222πππππ⨯⨯+⨯⨯÷=+=14.若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是正面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，正方体的个数至少是多少个。
A.2B.3C.4D.5解析：∵要求塔形露在外面的面积超过7（不包括下底面），最下面的立方体棱长为1， ∴最下面的立方体露出的面积为：4×（1×1）+0.5=4.5；那么上面一层假如有立方体的话露出的面积为4×0.5+0.5×0.5=2.25，这两层加起来的面积为：6.75．那么上面一层假如还有立方体的话露出的面积为4×0.25+0.25×0.25=1.0625，这三层加起来的面积为：7.8125．∴立方体的个数至少是3．15.由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是( )A.1B.2C.3D.4解析:设大立方体的棱长为n ,3n ＞,若6n =，即使6个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有346445=＞,故45n =或.除掉已漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，设其长、宽、高分别为a 、b 、c ,45abc =,只能是33545⨯⨯=，故5n =,所以大立方体的四个面油漆过，选项D 正确16.小明把棱长为4的正文体分割成29个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的小正方体的个数是( )A.22B.23C.24D.25解析:若分割出棱长为3的正方体，则棱长为3的正方体只能有1个，余下的均是棱长为1的正方体，共37个不满足要求.设棱长为2的正方体有x 个,棱长为1的正方体有y 个，则有29864x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得524x y =⎧⎨=⎩所以选项C 正确17.墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制)，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平等光线照射是，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走多少个小正方体？解析:有不同的拿法.为保证“影子不变”，可依如下原则操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不动以外，该行(列)的其余各摞都搬成只剩最下面的一个小正方体.如图所示，20个方格中的数字，表示5行6列共20摞中在搬完后最终留下的正方体个数.照这样，各行可++++=,即最多可搬走27个小正方体.搬个数累计为995402718.一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a 、b 、c(a ＞b ＞c)厘米.如图，将它展开成平面图，那么这个平面图的周长最小是多少厘米？最大是多少厘米？解析:周长最小时:要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长就要尽量小，因此要先剪开四条高(因为c 最小)，再剪开一条为a 厘米的棱(否则不能展开成平面图)，最后再剪开两条宽b 厘米的棱(如图中所表示的①~⑦这七条棱).由此可得图甲，这时最小周长时842248()c b a a b c ⨯+⨯+⨯=++厘米周长最大时:要使平面展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱(长c)，再剪开两条次长的棱(宽b)，最后剪开一条最短的棱(高c)，即得图乙，这时最大周长为 842842()a b c a b c ⨯+⨯+⨯=++厘米19.王老师将底面半径为20厘米、高为35厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒入如图所示的杯子中，若杯口直径为20厘米，杯底直径为10厘米，杯高为12厘米，杯身上13厘米，问果汁可以倒满多少杯？解析:如图，由题意知AB=10，CD=5，AC=12，BD=13，过点D 作DE ⊥AB ，则DE=12，于是Rt BDE △中BE=5.延长AC ，BD 交点F ，则由CD:AB=5:10=1:2知CF=12，AF=24.于是一个杯子的容积等于两个圆锥的体积之差，即223111014512700()33V cm πππ=⋅⨯-⋅⨯= 而大容器内果汁的体积是23203514000()cm ππ⨯⨯= 所以果汁可以倒满1400020()700ππ=杯20.一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的.P 为上底面ABCD 的中心，如果挖去(如图)的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括多少个完整的棱长是1厘米的小正方体？解析:剩下的部分:从上往下，第一层有25-1=24个；第二层有25-9=16个；第三层有25-9=16个；第四层、第五层有0个，故共有24-16-16=56个完整的棱长是1厘米的小正方体。