2020-2021高一数学上期末试题(含答案)(2)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】
试题分析：在同一坐标系中分别画出 y
2x,
y
1 2
x
，
y
log2
x， y
log 1
2
x 的图
象，
y
2x
与
y
log 1
2
x
的交点的横坐标为 a
，
y
1 2
x
与
y
log 1
2
x
的图象的交点的横坐标
为b
，
y
1 2
(3)当 x (1,3] 时， f tx2 f (x 1) 0 恒成立，求实数 t 的取值范围.
23．对于函数 f x ax2 1 b x b 1a 0 ，总存在实数 x0 ，使 f x0 mx0 成
立，则称 x0 为 f (x) 关于参数 m 的不动点．
（1）当 a 1， b 3 时，求 f x 关于参数1的不动点；
18．若函数
f
(x)
(2x
x 1)( x
a)
为奇函数，则
f
(1)
___________.
19．已知函数 f x log1 mx2 m 2 x m 2 ，若 f x 有最大值或最小值，则 m
2
的取值范围为______．
20．已知函数 f x 为 R 上的增函数，且对任意 x R 都有 f f x 3x 4 ，则
g
x
a
在
0,
2
有
2
个不同的实数解，求实数
a
的取值范围.
25．义域为 R 的函数 f x 满足：对任意实数 x,y 均有 f x y f x f y 2，且
f 2 2 ，又当 x 1时， f x 0 .
（1）求 f 0. f 1 的值，并证明：当 x 1时， f x 0 ；
x
与
y
log 2
x
的图象的交点的横坐标为 c
，从图象可以看出
．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同
一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
由已知得 B x | 2 x 1，
C．
1,
3 2
D． (1, +)
4．已知函数 f (x)
1
；则 y f (x) 的图像大致为（ ）
ln(x 1) x
A．
B．
C．
D．
5．设 a log6 3 ， b lg 5 ， c log14 7 ，则 a,b, c 的大小关系是（ ）
A． a b c
B． a b c
C． b a c
A． 1, 0
B．0,1
C． 1, 0,1
D．0,1, 2
3．已知函数
f
(x)
log x2
2 x ,x 2x,
0，
关于
x 0.
x
的方程
f
(x)
m,m R
，有四个不同的实数
解 x1, x2 , x3, x4 ,则 x1 x2 +x3 x4 的取值范围为（ ）
A． (0, +)
B．
0,
1 2
【分析】
求出函数 f x log1 x2 2x 的定义域，然后利用复合函数法可求出函数 y f x 的
2
单调递增区间. 【详解】
解不等式 x2 2x 0 ，解得 x 0 或 x 2 ，函数 y f x 的定义域为 ,0 2, .
内层函数 u x2 2x 在区间 ,0 上为减函数，在区间 2, 上为增函数，
f 4 ______.
三、解答题
21．计算或化简：
1
1
（1）
31 16
2
27 64
3
0
log2 16
；
（2） log3 27 log3 2 log2 3 6log6 2 lg 2 lg 5 .
22．已知函数
f
(x)
a2x 2 2x 1
是奇函数.
(1)求 a 的值;
(2)求解不等式 f (x) 4 ;
当1 x 2 时， f x x2 x 2 2 x3 4 ；
所以
f
x
x 4, 2 x 1
x3
4,1
x
2
，
易知， f x x 4 在2,1 单调递增， f x x3 4在 1, 2 单调递增，
且
2
x
1 时，
f
x max
3，1
x
2 时，
f
x min
3
，
则 f x 在2,2 上单调递增，
解析：B 【解析】
试题分析：设 g(x) ln(1 x) x ，则 g(x) x ，∴ g(x) 在 1,0 上为增函数,在
1 x
0, 上为减函数，∴
g(x)
g
0
0
，
f
(x)
1 g(x)
0
，得
x
0 或 1
x
0均有
f
(x)
0 排除选项
A，C，又
f
(x)
ln( x
1 1)
x
中,
x 1 0 ln(x 1)
又 a f 6 ， b f 10， c f 14 ，故 a b c .
故选 A 【点睛】 本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
42
2
2
2
因为 a 23 =43 , b 33 , c 53 ，且幂函数 y x3 在 (0, ) 上单调递增，所以 b<a<c.
x
，得
0
x
1且
x 0 ，故排除 D.综上，符合的只有选项 B.故选 B.
考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
构造函数
f
x
log x
x 2
，利用单调性比较大小即可.
【详解】
构造函数
f
x
log x
x 2
1
logx 2
1
1 log2 x
，则
f
x 在 1, 上是增函数，
得 f x0 m 或 g x0 m，则实数 a 的取值范围是____________.
16．若函数
f
x
x2 2x, x g x, x
0 0
为奇函数，则
f
g
1
________．
17．函数
f
x
3x 1
3x
x 0 1 x
0
，若函数
y
m的图像与函数
y
f
x 的图像有公共
点，则 m 的取值范围是______.
A． f (x 1)
B． f (x 1)
C． f (x) 1
D． f (x) 1
12．对数函数
且
与二次函数
在同一坐标系内的图象
可能是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13． f (x) 是 R 上的奇函数且满足 f (3 x) f (3 x) ，若 x (0,3) 时， f (x) x lg x ， 则 f (x) 在 (6, 3) 上的解析式是______________．
故选 A. 点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两
个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ,0,0,1,1, ）；二是利
用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助 于中间变量比较大小.
7．C
解析：C 【解析】
当 2 x 1时， f x 1 x 22 x 4；
f m 1 f 3m的实数的取值范围是（ ）
A．
1 2
,
B．
1 2
,
2
8．函数 y＝a|x|(a>1)的图像是( )
C．
1 2
,
2 3
D．
1,
2 3
A．
B．
C．
D．
9．对于函数 f (x) ，在使 f (x) m 恒成立的式子中，常数 m 的最小值称为函数 f (x) 的
“上界值”，则函数
2
当 x 时， f x 取得最大值 3 2 ，当 x 2 时， f x 取得最小值 2 .
6
2
3
2
(1)求函数 f x 的解析式，并求 f x 在[0， ]上的单调递增区间.
(2)将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到函数
12
2
g
x
的图象，方程
14．对于函数 f（x），若存在 x0∈R，使 f（x0）=x0，则称 x0 是 f（x）的一个不动点，已知 f（x）=x2+ax+4 在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数 a 的取值范围______.
15．已知
f
(x)
|
x 1|
|
x 1|，
g(x)
x
a x
，对于任意的 m R
，总存在
x0
R
，使
2 m 1 2 和单调性的双重要求，则 2 3m 2 ，解得答案．
m 1 3m 8．B
解析：B 【解析】
2020-2021学年安徽省合肥十中高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年安徽省合肥十中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，则A ∩B =( )A. {1,3，5}B. {2,4，6}C. {2,3，4，5，6}D. {1,2，3，4，5，6，8}2. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1>0，则￢p( )A. ∃x ∈R ，x 2−x +1≤0B. ∀x ∈R ，x 2−x +1≤0C. ∃x ∈R ，x 2−x +1>0D. ∀x ∈R ，x 2−x +1≥03. 设α的终边上一点(−3,4)，则sinα=( ) A. 4 B. −3 C. 45 D. −354. 若幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，则实数m 的值为( )A. 1B. −1C. −2D. −2或1 5. 函数y =√log 12(5x −2)的定义域为( )A. (−∞,35]B. (25,35)C. (25,35]D. [35,+∞) 6. 智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线y =Asin(x +φ)(A >0,0≤φ<π2)的振幅为2，经过点(π6,√3)，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为( )A. y =2sin(x +π6)B. y =−2sin(x +π6) C. y =2sinxD. y =−2sinx 7. 函数f(x)=x−x −12|x|+x 2的大致图象为( )A. B.C. D.8.已知函数f(x)=3−4||x−1|−1|，则函数y=f(x)−lg|x|的零点个数为()A. 2B. 3C. 4D. 以上都不对二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.“xx−2≤0”的充分条件有()A. 0<x<2B. −1<x<2C. 0≤x<2D. 0≤x≤210.已知函数f(x)=cos(2x+π3)，则下列说法正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 当x=kπ−π6(k∈Z)时，f(x)取得最大值1C. 函数f(x)图象的一个对称中心是(5π6,0)D. 将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π12个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为y=cos4x11.下列说法不正确的是()A. 函数f(x)=1x在定义域上是减函数B. 函数f(x)=2x−x2有且只有两个零点C. 已知x>0，y>0，且1x +1y=1，若x+y>m2+3m恒成立，则−4<m<1D. 若f(x)={−x 2+(3a−1)x−8,x≤1ax,x>1，在R上是增函数，则实数a的取值范围是[1,+∞)12.若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，都有f(x+T)=f(x)+T，则称f(x)为类周期函数，T为f(x)的类周期.则()A. 函数f(x)=x是类周期函数B. 函数f(x)=2x是类周期函数C. 若函数f(x)是类周期为T 的类周期函数，则函数y =f(x)−x 为周期函数D. 若f(x)=sinx +kx 为类周期函数，则k =1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知扇形的圆心角为23π，半径为2，则该扇形的面积为______ ．14. 已知函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1，其中a >0，a ≠1.若f(f(−12))=2，则实数a 的值是______ ． 15. 已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2x −x ，则f(0)的值为______ ：若函数ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2有唯一零点，则实数λ的值为______ ．16. 已知函数f(x)=x 2+2ax +8(a >0)，集合A ={x|f(x)≤0}，B ={x|f(f(x))≤8}，若A =B ≠⌀，则a 的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|(x +2)(x −3)<0}，B ={x|k +2<x <3−k}．(1)当k =−3时，求A ∪B ；(2)若A ∪B =B ，求实数k 的取值范围．18. 在①tan(π+α)=2，②sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α)，③2sin(π2+α)=cos(3π2+α)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：已知_______，(1)求3sinα+2cosαsinα−cosα的值；(2)当α为第三象限角时，求sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)的值．19.已知函数f(x)=log a(1+x)+log a(1−x)(a>0,a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)证明：f(x)为偶函数；(3)求关于x的不等式f(x)≥log a(x2+x)的解集．20.已知函数f(x)=2sin(12x+π6)，x∈R．(1)用“五点法”画出函数f(x)一个周期内的图象；(2)求函数f(x)在[−π,π]内的值域；(3)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[−π,π]内的单调增区间．21.在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米(0<t<4)；曲线AOD是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=−x23，记窗户的高(点O到BC边的距离)为f(t)．(1)求函数f(t)的解析式；(2)要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？(3)要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？22. 已知函数f(x)=(12)x ，g(x)=f(x)+af(x)是定义在R 上的奇函数．(1)求实数a 的值(2)用单调性的定义证明：g(x)是减函数；(3)若函数ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2．(ⅰ)求实数m 的取值范围；(ⅰ)求证：x 1+x 2>log 2(2+√3)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，∴A ∩B ={2,4，6}．故选：B ．进行交集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为∃x ∈R ，再将不等号>变为≤即可．故选：A ．命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．3.【答案】C【解析】解：∵x =−3，y =4，∴|OP|=√(−3)2+42=5，∴sinα=y |OP|=45，故选：C ．直接利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题． 4.【答案】A【解析】解：因为幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，所以有{m 2+m −1=0m +1>0， 解得m =1．故选：A ．直接利用幂函数的定义以及幂函数的单调性列出关于m的关系，求解即可．本题考查了幂函数的应用，涉及了幂函数的定义以及幂函数的单调性，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质．5.【答案】C【解析】解：由题意得：0<5x−2≤1，解得：25<x≤35，故选：C．根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了二次根式的性质，考查对数函数的性质，是一道基础题．6.【答案】B【解析】解：因为振幅为2，所以A=2，又经过点(π6,√3)，则有2sin(π6+φ)=√3，所以sin(π6+φ)=√32，因为0≤φ<π2，所以φ=π6，故噪音的声波曲线为y=2sin(x+π6)，又反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，所以反向波曲线为y=−2sin(x+π6)．故选：B．利用振幅求出A，然后利用特殊点求出φ，从而得到噪音的声波曲线，再利用反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，即可得到答案．本题考查了函数解析式的求解，此类问题的一般解法是：利用最值可以求A的值，周期可以求ω的值，特殊点可以求φ的值．7.【答案】D【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=− x+x−12|−x|+(−x)2=−x−x−12|x|+x2=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x>1时，f(x)>0，排除C，故选：D．判断函数的奇偶性和对称性，结合当x>1时，函数值的符号进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及特殊值的对应性，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】C【解析】解：因为函数y=f(x)−lg|x|的零点个数即为y=f(x)与y=lg|x|的交点个数，在同一直角坐标系中画图可得：即有4个不同的交点，故有4个零点，故选：C．可化为函数y=f(x)与y=lg|x|有几个不同的交点，作函数的图象求解．本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由xx−2≤0，得{x−2<0x≥0，解得：0≤x<2，故xx−2≤0”的充分条件有(0,2)，[0,2)，故选：AC．根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．10.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos(2x +π3)，对于A ：函数f(x)的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：当x =kπ−π6(k ∈Z)时，f(x)取得最大值1，故B 正确；对于C ：函数f(x)图象的一个对称中心是(5π6,0)，故C 错误；对于D ：将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π12个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为y =cos4x ，故D 错误；故选：AB ．直接利用余弦型函数的性质的应用判定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 11.【答案】ABD【解析】解：对于A ：函数f(x)=1x 在(−∞,0)和(0,+∞)为单调减函数，故A 错误；对于B ：当x =2和4时，函数f(x)=2x −x 2满足f(2)=f(4)=f(x 1)=0，如图所示：故函数有且只有三个零点，故B 不正确；对于C ：已知x >0，y >0，且1x +1y =1，若x +y >m 2+3m 恒成立，只需满足(x +y)min =4>m 2+3m ，整理得m 2+3m −4<0，解得−4<m <1，故C 正确；对于D ：若f(x)={−x 2+(3a −1)x −8,x ≤1ax,x >1，在R 上是增函数，故{3a−12≥1a >0a ≥−1+3a −1−8，解得a ∈[1,5]，故D 错误． 故选：ABD ．直接利用函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：对于A ，因为对于非零常数T ，f(x +T)=x +T =f(x)+T 对任何x ∈R 成立，函数f(x)=x 是类周期函数，则A 对；对于B ，假设函数f(x)=2x 是类周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， 2x+T =2x +T ⇒2x ⋅2T =2x +T ⇒2x(2T−1)=2x +T ⇒2T −1=1+T 2x 令x →+∞得：2T −1=0⇒T =0，与假设矛盾，则B 错；对于C ，令f(x)=x ，由A 知f(x)是类周期函数，F(x)=f(x)−x =0，假设非零常数T ，为F(x)的类周期，所以，F(x +T)=F(x)+T ⇒0=0+T ⇒T =0，与假设矛盾，则C 错；对于D ，因为f(x)=sinx +kx 为类周期函数，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， ⇒sin(x +T)+k(x +T)=sin(x)+kx +T ⇒sin(x +T)−sin(x)=(1−k)T ⇒2cos(x +T 2)sin(T 2)=(1−k)T ，由x ∈R ，所以sin(T 2)=0⇒(1−k)T =0⇒1−k =0⇒k −1，则D 对；故选：AD ．由类周期函数定义判断AB ，用举反例法判断C ，用三角函数公式判断D ．本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦函数和差化积公式，理解新定义解题关键，属难题． 13.【答案】4π3【解析】解：由扇形的圆心角为23π，半径为2，所以该扇形的面积为S =12αr 2=12×2π3×22=4π3． 故答案为：4π3．由扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．14.【答案】3【解析】解：因为函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1， 所以f(−12)=(14)−12+6=2+6=8， 所以f(f(−12))=f(8)=log a (8+1)=log a 9=2，所以a 2=9，又中a >0，a ≠1，所以a =3．故答案为：3．先利用分段函数的解析式求出f(−12)，再利用f(f(−12))=2，求出a 的值即可．本题考查了函数求值问题，涉及了分段函数的应用，对于分段函数问题，一般会运用分类讨论或是数形结合法求解． 15.【答案】1 −1或12【解析】解：因为g(x)是定义在R 上的奇函数，所以有g(0)=0，因为f(x)+g(x)=2x −x ，所以f(0)+g(0)=1，所以f(0)=1，令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以F(−x)=2|−x|−λf(−x)−2λ2=2|x|−λf(x)−2λ2=f(x)，所以F(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2=F(x −2021)，所以ℎ(x)的图象关于x =2021对称，因为ℎ(x)有唯一零点，所以ℎ(2021)=0，即1−λf(0)−2λ2=0，即1−λ−2λ2=0，解得λ=−1或12．故答案为：1，−1或12．由奇函数的性质可得g(0)=0，从而可求得f(0)，令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，可得F(x)为偶函数，可得ℎ(x)的图象关于x=2021对称，由题意可知ℎ(2021)=0，从而可解得λ的值．本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，属于中档题．16.【答案】[2√2,4]【解析】解：因为函数f(x)=x2+2ax+8(a>0)，集合A={x|f(x)≤0}，A≠⌀，所以函数f(x)=x2+2ax+8与x轴有交点，△=(2a)2−4×8≥0，解得a≤−2√2或a≥2√2，B={x|f(f(x))≤8}，令t=f(x)，f(f(x))=f(t)≤8，而f(0)=f(−2a)=8，根据二次函数的对称性有−2a≤t≤0，即−2a≤f(x)≤0，所以B={x|−2a≤f(x)≤0}，而A=B，所以−2a≤(x2+2ax+8)min=f(−a)=8−a2，解得：−2≤a≤4，而a≤−2√2或a≥2√2，所以a的取值范围为[2√2,4]．故答案为：[2√2,4]．根据集合A非空可求出a的一个范围，然后令t=f(x)，可求出f(x)的值域，最后根据A=B建立关系式，即可求出所求．本题主要考查了二次函数的值域，以及复合函数的性质，解题的关键是化简集合B，同时考查了学生的推理能力和换元的思想．17.【答案】解：(1)A={x|−2<x<3}，k=−3时，B={x|−1<x<6}，∴A∪B={x|−2<x<6}；(2)∵A∪B=B，∴A⊆B，∴{k+2≤−23−k≥3，解得k≤−4，∴实数k的取值范围为：(−∞,−4]．【解析】(1)可求出A={x|−2<x<3}，k=−3时求出集合B，然后进行并集的运算即可；(2)根据A∪B=B可得出A⊆B，然后即可得出{k+2≤−23−k≥3，从而解出k的范围即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)若选①，tan(π+α)=tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8；若选②，sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α)，可得：sinα−cosα=cosα，即tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8； 若选③，2sin(π2+α)=cos(3π2+α)，可得2cosα=sinα，即tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8；(2)当α为第三象限角时，tanα=2，sin 2α+cos 2α=1，解得sinα=−2√55，cosα=−√55， 所以sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)=−sinα+cosα+sinαcosα=2√55−√55+(−2√55)×(−√55) =2+√55．【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)若选①或②或③，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，利用诱导公式化简即可求解． 19.【答案】(1)解：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)中，令{1+x >01−x >0，解得−1<x <1； 所以函数f(x)的定义域为(−1,1)．(2)证明：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)，定义域为(−1,1)；任取x ∈(−1,1)，都有f(−x)=log a (1−x)+log a (1+x)=f(x)，所以函数f(x)是定义域(−1,1)上的偶函数．(3)解：不等式f(x)≥log a (x 2+x)等价于log a (1−x 2)≥log a (x 2+x)，当a >1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≥x 2+x， 解得−1<x ≤12，所以不等式的解集为(−1,12].当0<a <1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≤x 2+x ，解得12≤x<1，所以不等式的解集为[12,1)．综上知，a>1时，不等式的解集为(−1,12]；0<a<1时，不等式的解集为[12,1)．【解析】(1)利用对数的定义列不等式组求出解集即可．(2)根据偶函数的定义证明f(−x)=f(x)即可．(3)不等式等价于log a(1−x2)≥log a(x2+x)，讨论a>1和0<a<1时，求出不等式的解集即可．本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想，是中档题．20.【答案】解：(1)列表如下：1 2x+π6π2π3π22πx−π32π35π38π311π3y=2sin(12x+π6)020−20描点连线，可得函数图象如下：(2)∵x∈[−π,π]，∴12x+π6∈[−π3,2π3]，∴f(x)=2sin(12x+π6)∈[−√3,2]，即函数f(x)在[−π,π]内的值域为[−√3,2]．(3)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin[12(x−π6)+π6]=2sin(12x+π12)的图象，令2kπ−π2≤12x+π12≤2kπ+π2，可解得4kπ−7π6≤x≤4kπ+5π6，k∈Z，又x∈[−π,π]，可得函数f(x)的单调增区间是[−π,5π6].【解析】本题主要考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．(1)根据已知中函数的解析式，描出函数图象上几个关键点的坐标，进而可得函数f(x)一个周期内的图象；(2)根据已知先求得12x+π6∈[−π3,2π3]，利用正弦函数的性质即可求解；(3)利用三角函数的平移变换可求函数g(x)，进而根据正弦函数的单调性即可求解．21.【答案】解：(1)由题意知，2|CD|+|BC|=8，∴|CD|=8−2t2=4−t，∵BC边的长为2t厘米，且点D在抛物线y=−x23上，∴D(t,−t23)，∴f(t)=t23+(4−t)=t23−t+4(0<t<4)．(2)由(1)知，f(t)=t23−t+4=13(t−32)2+134，∵0<t<4，∴当t=32，即2t=3时，f(t)取得最大值，为134，故要使得窗户的高最小，BC边应设计成3厘米．(3)f(t)|BC|=t23−t+42t=t6+2t−12≥2√t6⋅2t−12=2√33−12，当且仅当t6=2t，即t=2√3，也即2t=4√3时，f(t)|BC|最小，故要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成4√3厘米．【解析】(1)推导出|CD|=4−t，D(t,−t23)，再写出函数f(t)的解析式，即可；(2)利用配方法对(1)中的函数f(t)进行整理，即可得解；(3)f(t)|BC|=t6+2t−12，再结合基本不等式，即可得解．本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】(1)解：g(x)是R上的奇函数，则有g(0)=0，所以有f(0)+a f(0)=1+a=0，解得a=−1；(2)证明：g(x)=f(x)+af(x)=12x−2x，设x 1<x 2，则g(x 2)−g(x 1)=(12x 2−2x 2)−(12x 1−2x 1)=(2x 1−2x 2)⋅(122+1)，因为x 1<x 2，所以2x 1−2x 2<0，12x 1+x 2+1>0，则g(x 2)−g(x 1)<0，即g(x 2)<g(x 1)，所以函数g(x)是减函数．(3)(i)解：ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)=122x +22x −2m(12x −2x )=(2x −12x )2+2m(2x −12x )+2，令t =2x −12x ，x >0，则t >0，令μ(t)=t 2+2mt +2，由(2)知g(x)为减函数，令t =−g(x)，则−g(x)为增函数，t 与x 一一对应，故ℎ(x)在(0,+∞)上有2个不同的零点x 1，x 2，即μ(t)在(0,+∞)上有2个不同的零点t 1，t 2，则t 1=−m −√m 2−2，t 2=−m +√m 2−2，故△=4m 2−8>0，−m −√m 2−2>0，解得m <−√2；(ii)证明：由(i)可知t 1+t 2=2m ，t 1t 2=2，又t 1=2x 1−121，t 2=2x 2−122，则t 1t 2=(2x 1−12x 1)(2x 2−12x 2)=2x 1+x 2+12x 1+x 2−(2x 22x 1+2x 12x 2)， 因为2x 22x 1>0，由x 1≠x 2， 所以2x 22x 1+2x 12x 2>2，则t 1t 2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，所以2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，故(2x 1+x 2)2−4⋅2x 1+x 2+1>0，解得2x 1+x 2>2+√3或2x 1+x 2<2−√3，由x 1+x 2>0，则2x 1+x 2>1>2−√3，故2x 1+x 2>2+√3，所以x 1+x 2>log 2(2+√3)．【解析】(1)直接利用奇函数的性质g(0)=0，求解即可；(2)利用函数单调性的定义的步骤进行证明即可；(3)(i)利用换元，令t=2x−1，x>0，则t>0，令μ(t)=t2+2mt+2，转化为μ(t)在(0,+∞)上有2个2x不同的零点t1，t2，求解即可；(ii)利用(i)中的结论，结合基本不等式进行分析证明即可．本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数奇偶性、单调性的应用，同时考查了函数的零点问题以及不等式的证明，综合性强，属于中档题．。
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。
福建省福州市福清市高中联合体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(含解析)
福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x >D. 00x ∃≥，00sin x x ≤3. 函数()f x x =是（ ） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减D. 偶函数，且在R 上单调递增4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（ ）A. B. 12-C.12D.25. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,56. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度D. 向右平移24π个单位长度7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（ ） A. 20CB. 20.5CC. 21CD. 21.5C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. 22a -≤≤B. 2a ≥-C. 2a ≤D. 22a -<<11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（ ） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在[],ππ-有2个零点D. ()f x 的最大值为212. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在()2018,2020上单调递增C. 4是函数()f x 的周期D. ()f x 在()2018,2020上单调递减第Ⅱ卷注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．14. 已知22tan 31tan αα=--，且α为锐角，则α=________．15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．16. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值： （1）(0312932224-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知函数()kf x kx x=-，且_______， （1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin cos 222αα-= （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？ 22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间； （3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 取值范围．福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（解析版）（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B ，再根据交集定义直接得结果.【详解】因为{}()312B x x =-<=+∞，，又{}1,0,1,2,3A =-，所以{}3A B ⋂=， 故选：A.2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x > D. 00x ∃≥，00sin x x ≤【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“0x ∀≥，sin x x ≤” 的否定是00x ∃≥，00sin x x >.故选：C3. 函数()f x x =是（ ） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减 D. 偶函数，且在R 上单调递增【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据函数的解析式判断单调性. 【详解】函数的定义域为R ，关于原点对称，又()(()f x x x f x -=-+=-+=-，所以()f x是奇函数，又,y x y ==R 上的增函数，所以()f x 是R 上的增函数， 故选：B4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（ ）A. B. 12-C.12D.【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义，求出sin α和cos α，再由二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】因为角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，所以sin 2α==-，1cos 2α==-，因此1sin 22sin cos 22ααα⎛⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：D.5. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的零点存在定理求解.【详解】由函数()38ln f x x x =-+， 因为()()2ln 220,3ln310f f =-<=+>， 所以函数的零点所在区间应是()2,3 故选：B6. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度 D. 向右平移24π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用平移变换求解. 【详解】因为sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需由sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标向右平移24π个单位长度，故选：D 7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为55510log log 4log 514a >==->-=-，15110144b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4441log log 5log 415c ==-<-=-，所以b a c >> 故选：C8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（ ） A. 20C B. 20.5CC. 21CD. 21.5C【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出关于A 、a 的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令10x =可得结果.【详解】由题意可得sin 2923sin 172A a A a A a a A ππ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪+=-=⎪⎩，解得623A a =⎧⎨=⎩，所以，函数解析式为()6sin 3236y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦， 在函数解析式中，令10x =，可得716sin236232062y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭. 因此，10月份的月均温为20C . 故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐一判断即可.【详解】对于A ，1y x x =+，当0x >时，12y x x =+≥=，当且仅当1x =时取等号；当0x <时，12y x x ⎛⎫=--+≤-=- ⎪-⎝⎭， 当且仅当1x =-时取等号，故A 不正确；对于B ，2y=≥=，当且仅当1x =时取等号. 对于C ，()2223122y x x x =++=++≥，当1x =-时，取最小值；对于D ，e e 2x x y -=+≥=，当且仅当0x =时取等号； 故选：BCD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. 22a -≤≤ B. 2a ≥- C. 2a ≤ D. 22a -<<【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，命题为真可得()240a ∆=--≤，求出a 的取值范围，再根据必要不充分条件即可求解. 【详解】由命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题，可得()240a ∆=--≤，解得22a -≤≤， 对于A ，22a -≤≤是命题为真的充要条件； 对于B ，由2a ≥-不能推出22a -≤≤，反之成立， 所以2a ≥-是命题为真的一个必要不充分条件； 对于C ，2a ≤不能推出22a -≤≤，反之成立， 所以2a ≤也是命题为真的一个必要不充分条件； 对于D ，22a -<<能推出22a -≤≤，反之不成立， 22a -<<是命题为真的一个充分不必要条件.故选：BC11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（ ） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C. ()f x在[],ππ-有2个零点 D. ()f x 的最大值为2【答案】BC 【解析】 【分析】分sin 0x ≥，sin 0x <，将函数转化(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，再逐项求解判断.【详解】当sin 0x ≥，即22k x k πππ≤≤+时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当sin 0x <，即222ππππ+<<+k x k 时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，A.因为函数定义域为R ，关于原点对称，又()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故错误；B.当,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 53,,42422x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故正确； C. 令()04f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则4x k ππ+=，因为[]0,x π∈，解得34x π=，又因为()f x 是偶函数，所以函数()f x 在[],ππ-有2个零点，故正确； D. ()f x，故错误； 故选：BC【点睛】关键点点睛：将函数变形为(),224,2224x k x k f x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭是本题求解的关键.12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在()2018,2020上单调递增 C. 4是函数()f x 的周期 D. ()f x 在()2018,2020上单调递减【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 由()1y f x =-的图象与()y f x =的图象关系判断；C.由()f x 满足()()4f x f x +=判断；BD.由对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，得到()f x 在[]0,2上递增，再结合函数的周期性判断.【详解】因为()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =的图象关于直线0x =对称，所以()f x 是偶函数，故A 正确；()f x 满足()()4f x f x +=，所以4是函数()f x 的周期，故C 正确；因为对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在[]0,2上递增，又()()()()20182,20200f f f f == ，所以()f x 在()2018,2020上单调递减，故D 正确B 错误； 故选：ACD第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数每段的定义域求解.【详解】因为函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩所以()01f =， 所以()()()012ff f ==，故答案为：214. 已知22tan 1tan αα=-α为锐角，则α=________． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据二倍角的正切公式，求出tan2α，再由α为锐角，即可求出α.【详解】因为22tan tan 21tan ααα==-α为锐角，所以02απ<<， 因此223πα=， 所以3πα=.故答案为：3π.15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．【答案】2 【解析】 【分析】设出点(),2tA t ，根据题意可知//AB x 轴，从而可得出点B ，进而可得点C ，代入对数函数的解析式即可求解.【详解】设出点(),2tA t ，ABC 是直角三角形，且B ，C 两点关于x 轴对称，∴//AB x 轴，A 和B 纵坐标相同，2t x ∴=4t x ∴=，()4,2t t B ∴，则()4,2t t C -，C 在12log y x =的图象上，则12log 42t t=-，整理可得22t t -=-，()1t >，解得2t =. 故答案为：216. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________． 【答案】113-<<x【解析】 【分析】根据cos y x =和y x =-的单调性，又 cos 1π=-，得到()f x 在 [0,)+∞上递减，再根据()f x 是偶函数，将不等式()()12f x f x +<转化为()()12fx f x +<求解.【详解】当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩当01x ≤<时， 0x ππ≤<，因为 cos y x =在 []0,π上递减，所以 ()f x 在 [0,1)上递减，当1≥x 时，y x =-递减，又 cos 1π=-，所以()f x 在 [0,)+∞上递减， 又因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 则不等式()()12f x f x +<可化为：()()12f x f x +<，所以12x x +>， 解得113-<<x ， 故答案为：113-<<x四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值： （1）(03129324-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 【答案】（1）3；（2）1. 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式=33=+=（2）原式51lg 25lg 2log (3)15lg 2lg5=⨯+⨯ 152lg5lg 2log 5lg 2lg5-=+⨯ 12=-+ 1=.18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|4x x ；（2）()2,+∞. 【解析】 【分析】（1）由2a =得到{}|1A x x =>-，再利用集合的补集和并集运算求解. （2）化简|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{}|14B x x=-，再由B A ⊆求解.【详解】（1）当2a =时，集合{}|1A x x =>-，{}|1UxA x -=,因为()(){}|140B x x x =+-，所以{}|14B x x=-， 所以{}()|4U A B x x=.（2）因为{}|20A x x a =+>， 所以|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 由（1）知，{}|14B x x=-，又因为B A ⊆，所以12a-<-， 解得2a >，所以实数a 的取值范围()2,+∞.19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知函数()kf x kx x=-，且_______，（1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性； （2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】选择①1k =-，可得1()f x x x =-，选择②1k =，可得1()f x x x=-. （1）使函数()f x 有意义，只需0x ≠；再求出()f x -与()f x 的关系即可求解. （2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明. 【详解】选择①1k =-，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-. （1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以()f x 为奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数． 证明如下： 12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 121212()x x x x x x -=-+12121()1)x x x x =-+（ ()121212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，1210x x +>， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在区间(0,)+∞为增函数； 同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为增函数；所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数． 选择②1k =，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-． （1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以()f x 奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数． 证明如下：12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 212112()x x x x x x -=+- 21121()1x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()211212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >，1210x x +>， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 故函数()f x 在区间(0,)+∞为减函数； 同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为减函数； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα-=. （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 【答案】（1）；（2. 【解析】 【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.【详解】（1）将sincos222αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以cos 2α==-.（2）由（1）知，1sin ,cos 2αα==， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-，所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯， 【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？ 【答案】长为14米，宽为14米；196平方米. 【解析】 【分析】先设泳池的长为x 米，宽为y 米，列出式子，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：设游泳池的长为x 米，宽为y 米，则场地长为(4)x +米，宽为(4)y +米，()1000,0xy x y =>>，(4)(4)S x y =++ 4()16xy x y =+++ 100164()x y =+++ 1164()x y =++1168xy ≥+11680=+196=，当且仅当“10x y ==”时取等号．∴当10x y ==时，S 取得最小值为196平方米，此时场地长为14米，宽为14米.22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间；（3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）对称轴方程为()31x k k Z =+∈，递增区间为[]()62,61k k k -+∈Z ；（3）[1,2]．【解析】 【分析】（1）由[]0,6x ∈，计算出36x ππ+的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）解方程()362x k k Z ππππ+=+∈可得出函数()f x 的对称轴方程，解不等式()222362k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈可得函数()f x 的单调递增区间；（3）利用（1）中的图象结合()12f x ≤≤可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,6x ∈时，13,3666x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 列表如下：x0 1 524112636xππ+6π2ππ32π2π136πy 1 2 0 2-0 1作图如下：（2）因为()2sin36f x xππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()362x k k Zππππ+=+∈，解得()31x k k Z=+∈，令()222362k x k k Zππππππ-≤+≤+∈，解得()6261k x k k Z-≤≤+∈，所以()f x的对称轴方程为()31x k k Z=+∈，递增区间为[]()62,61k k k-+∈Z；（3）[]0,x m∈，,36636mxπππππ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，又()12f x≤≤，由（1）的图象可知，12m≤≤，m∴的取值范围是[]1,2．【点睛】方法点睛：函数()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法：（1）五点法：用“五点法”作()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的简图，主要是通过变量代换，设z xωϕ=+，由z取0、2π、π、32π、2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；（2）三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．。
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共5页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|4}A x x =>，{|2}B x x ，则A B =（ ）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (2,4)D. (,4)-∞【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】{|{|2}4}{|4}x A B x x x x x =>>=>故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2.sin(600)-︒的值是（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()()()sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒= 故选C ．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 3.下列各函数的值域与函数y x =的值域相同的是（ ） A. 2yxB. 2xy =C. sin y x =D.2log y x =【答案】D 【解析】 【分析】分别求出下列函数的值域，即可判断. 【详解】函数y x =的值域为R20y x =≥，20x y =>则A ，B 错误；函数sin y x =的值域为[]1,1-，则C 错误； 函数2log y x =的值域为R ，则D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.4.已知函数42,0,()log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩则((1))f f -=（ ）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】B 【解析】 【分析】分别计算(1)f -，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得出答案.【详解】121(1)2f --==，241211log log 12222f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以1((1))2f f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了已知自变量求分段函数的函数值，属于基础题. 5.函数log ||()(1)||a x x f x a x =>图象的大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，取特殊值排除C ，即可得出答案. 【详解】log ||log ||()()||||a a x x x x f x f x x x ---==-=--所以函数()f x 为奇函数，故排除BD.log ||()10||a a a f a a ==>，排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.6.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B【解析】 【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.7.已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ，它从初始位置01(,22P 开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A. sin(),03y t t π=+≥ B. sin(),06y t t π=+≥ C. cos(),03y t t π=+≥D. cos(),06y t t π=+≥【答案】A 【解析】当时间为t 时，点P 所在角的终边对应的角等于3t π+, 所以点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为sin(),03y t t π=+≥.8.已知函数()f x 为定义在(0,)+∞的增函数，且满足()()()1f x f y f xy +=+.若关于x 的不等式(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a >- B. 14a >-C. 1a >D. 2a >【答案】D 【解析】 【分析】将题设不等式转化为2(cos )(cos )f x f a x <+，根据函数()f x 的单调性解不等式得出2cos cos x a x <+，通过换元法，构造函数2()g x t t =-，[]1,1t ∈-求出最大值，即可得到实数a 的取值范围.【详解】(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+(1sin )(1sin )(cos )(1)f x f x f a x f ∴-++<++因为()()()2(1sin )(1sin )1sin 1sin 1(cos)1f x f x fx x f x -++=-++=+，(cos )(1)(cos )1f a x f f a x ++=++所以2(cos )(cos )f x f a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立故2cos cos x a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立，即2cos cos x x a -<在(0,)x ∈+∞恒成立 令[]cos ,1,1x t t =∈-，则22()cos cos g x x x t t =-=-所以函数2()g x t t =-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(1)2(1)0g g -=>= 所以2a > 故选：D【点睛】利用函数的单调性解抽象不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设11,,1,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为奇函数的α值可以是（ ）A. 1-B.12C. 1D. 3【答案】CD 【解析】 【分析】求出对应α值函数y x α=的定义域，利用奇偶性的定义判断即可.【详解】当α的值为11,2-时，函数y x α=的定义域分别为()(),00,-∞+∞，[)0,+∞当1α=时，函数y x =的定义域为R ，令()f x x =，()()f x x f x -=-=-，则函数y x =为R 上的奇函数当3α=时，函数3y x =的定义域为R ，令3()f x x =，3()()f x x f x -=-=-，则函数3y x=为R 上的奇函数故选：CD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题. 10.要得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动5π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B. 向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数的伸缩变换以及平移变换一一判断选项即可. 【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动5π个单位长度，得到函数n 5si y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度，得到25sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的伸缩变换以及平移变换，属于基础题.11.对于函数()sin(cos )f x x =，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的一个周期为2πC. ()f x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 在[]0,π单调递增【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义以及周期的定义判断A ，B 选项；利用换元法以及正弦函数的单调性判断C 选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D 选项. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称()()()()sin cos sin cos ()f x x x f x -=-==，则函数()f x 偶函数，故A 正确；()()()sin co 22s sin cos ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 的一个周期为2π，故B正确；令[]cos ,1,1t x t =∈-，则()sin f x t =，由于函数sin y t=[]1,1-上单调递增，则()sin 1()sin1sin1()sin1f x f x -≤≤⇒-≤≤，故C 正确；当[]0,x π∈时，函数cos t x =为减函数，由于[]cos 0,1t x =∈，则函数sin y t =在0,1上为增函数，所以函数()f x 在[]0,π单调递减，故D 错误； 故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性，求函数值域，复合函数的单调性，属于中档题.12.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数B. 若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C. ()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D. 若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅= 所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题. 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.函数()1xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过点__________【答案】()0,2 【解析】分析：根据指数函数xy a =过()0,1可得结果.详解：由指数函数的性质可得xy a =过()0,1，所以1xy a =+过()0,2，故答案为()0,2.点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题. 14.已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【答案】6π 【解析】 【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为r 由扇形的面积公式得：216212r ππ=⨯，解得2r该扇形的弧长为2126ππ⨯=故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及弧长公式，属于基础题. 15.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______；【答案】[2] 【解析】 【分析】由x 的范围，确定23x π-的范围，利用换元法以及正弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦令22,333t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2sin g t t =在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减2si ()(n 33)g ππ--==2si 2()2n 2g ππ==， 222sin (3)3g ππ==所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2]故答案为：[2]【点睛】本题主要考查了正弦型函数的值域，属于中档题. 16.已知函数1()f x x=，()2sin g x x =，则函数()f x 图象的对称中心为_____，函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为____. 【答案】 (1). (0,0) (2). 0 【解析】 【分析】判断函数()f x ，()g x 为奇函数，即可得出函数()f x ，()g x 图象的对称中心都为原点； 根据对称性即可得出所有交点的横坐标与纵坐标之和. 【详解】1()()f x f x x-=-=-，则函数()f x 为奇函数，即函数()f x 图象的对称中心为(0,0) ()()2sin 2sin ()g x x x g x -=-=-=-，则函数()g x 为奇函数，即函数()g x 的对称中心为(0,0)所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点都关于原点对称 即所有交点的横坐标之和为0，纵坐标之和也为0则函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为0 故答案为：(0,0)；0【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用以及对称性的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知α为锐角，且3cos 5α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos sin(2)2παπα⎛⎫-+-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）-7（2）4425【解析】 【分析】（1）利用平方关系以及商数关系得出tan α，再利用两角和的正切公式求解即可； （2）利用诱导公式以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为α为锐角，且3cos 5α=. 所以24sin 1cos 5αα， 所以sin 4tan cos 3ααα==， 所以41tan tan34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--⨯. （2）因为cos sin 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， sin(2)sin 2παα-=，所以cos sin(2)sin sin 22παπααα⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭sin 2sin cos ααα=+4432555=+⨯⨯ 4425= 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，二倍角的正弦公式，属于中档题. 18.已知集合{}|2216xA x =<<，{|sin 0,(0,2)}B x x x π=>∈. （1）求AB ；（2）集合{|1}C x x a =<<()a ∈R ，若AC C =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|04}A B x x ⋃=<<（2）4a 【解析】 【分析】（1）利用指数函数以及正弦函数的性质化简集合,A B ，再求并集即可；（2）由题设条件得出C A ⊆，分别讨论集合C =∅和C ≠∅的情况，即可得出答案.【详解】解：（1）依题意{|14}A x x =<<，{|0}B x x π=<<，所以{|04}A B x x ⋃=<<. （2）因为AC C =，所以C A ⊆.①当C =∅时，1a ，满足题意；②当C ≠∅时，1a >，因为C A ⊆，得4a ≤，所以14a <； 综上，4a .【点睛】本题主要考查了集合的并集运算以及根据集合间的包含关系求参数范围，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）最小正周期为π.（2）单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】 【分析】利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式得出第一问；根据正弦函数的单调增区间和减区间求()f x 的单调区间，即可得出第二问. 【详解】解：因为2()2sin 2sin cos f x x x x =+⋅22sin sin 2x x =+1cos2sin2x x =-+ sin2cos21x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）由222,242k x k k πππππ-+-+∈Z ，得3222,44k x k k ππππ-++∈Z ， 即3,88k xk k ππππ-++∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，同理可得，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最小正周期以及单调区间，属于中档题. 20.已知2()1x af x x bx +=++是定义在[1,1]-上的奇函数. （1）求a 与b 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若[0,2)απ∈时，试比较(sin )f α与(cos )f α的大小.【答案】（1）0a =. 0b =.（2）()f x 在[1,1]-单调递增.见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-，求解方程，即可得出a 与b 的值； （2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别讨论α的取值使得sin cos αα=，sin cos αα<，sin cos αα>，结合函数()f x 的单调性，即可得出(sin )f α与(cos )f α的大小.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，所以(0)0f =，得0a =.又由(1)(1)f f -=-，得到1122b b -=--+，解得0b =. （2）由（1）可知2()1xf x x =+，()f x 在[1,1]-上为增函数.证明如下：任取12,[1,1]x x ∈-且设12x x <， 所以()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++ ()()()()122112221211x x x x x x x x -+-=++()()()()21122212111x x x x xx --=++由于12x x <且12,[1,1]x x ∈-，所以210x x ->，且2110x x -<，又2110x +>，2210x +>，所以()()()()211222121011x x x x xx --<++，所以()()12f x f x <，从而()f x 在[1,1]-单调递增. （3）当4πα=或54πα=时，sin cos αα=，所以(sin )(cos )f f αα=；当04πα<或524παπ<<时，sin cos αα<， 又因为sin [1,1]α∈-，cos [1,1]α∈-，且()f x 在[1,1]-上为增函数，所以(sin )(cos )f f αα<当544ππα<<时，sin cos αα>，同理可得(sin )(cos )f f αα>； 综上，当4πα=或54πα=时，(sin )(cos )f f αα=；当50,,244ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα<；当5,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα>.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求参数，判断函数的单调性以及利用单调性比较函数值大小，属于中档题.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： .（1）设港口在x 时刻的水深为y 米，现给出两个函数模型：sin()(0,0,)y A x h A ωϕωπϕπ=++>>-<<和2(0)y ax bx c a =++≠.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出7x =时，港口的水深.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？【答案】（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合. 水深为3米 （2）货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【解析】 【分析】（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合，由表格数据得出,,,A h ωϕ的值，将7x =代入解析式求解即可； （2）由题意 5.5y 时，船可以进港，解不等式2.5sin4.255.56x π+，得出x 的范围，由x的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间. 【详解】解：（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知 4.25h =6.75 1.752.52A -==因为12T =，所以22126T πππω===， 所以 2.5sin 4.256y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为0x =时， 4.25y =，代入上式得sin 0ϕ=，因为πϕπ-<<，所以0ϕ=， 所以 2.5sin4.256y x π=+.当7x =时，712.5sin4.25 2.5 4.25362y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以在7x =时，港口的水深为3米（2）因为货船需要的安全水深是4 1.5 5.5+=米， 所以 5.5y 时，船可以进港， 令2.5sin4.255.56x π+，则1sin62xπ， 因为024x <，解得15x 或1317x ，所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港. 因为(51)(173)8-+-=，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【点睛】本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题. 22.已知函数3(1)log (1)f x a x +=+，且(2)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()f x 的定义域为[2,)+∞. （ⅰ）求()41xf +的定义域；（ⅱ）若方程()()412xxf f k k x +-⋅+=有唯一实根，求实数k 取值范围.【答案】（1）2()log f x x =（2）（ⅰ）[0,)+∞.（ⅱ）1k = 【解析】 【分析】（1）利用换元法以及(2)1f =，即可求解()f x 的解析式；（2）（ⅰ）解不等式412x +≥，即可得出()41xf +的定义域；（ⅱ）根据()41xf +，()2x f k k ⋅+的定义域得出1k ，结合函数()f x 的解析式将方程化为()2(1)2210x x k k -⋅+⋅-=，利用换元法得出2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，讨论k的值，结合二次函数的性质即可得出实数k 的取值范围.【详解】解：（1）令1(0)t x t =+>，则3()log f t a t =，所以3()log f x a x =， 因为3(2)log 21f a ==，所以231log 3log 2a ==， 所以3232()log log 3log log f x a x x x ==⨯= （2）（ⅰ）因为()f x 的定义域为[2,)+∞， 所以412x +≥，解得0x ， 所以()41xf +的定义域为[0,)+∞.（ⅱ）因为0,22,x x k k ⎧⎨⋅+⎩，所以221xk +在[0,)+∞恒成立， 因为221x y =+在[0,)+∞单调递减，所以221x y =+最大值为1，所以1k .又因为()()412xxf f k k x +-⋅+=，所以()()22log 41log 2xxk k x +-⋅+=， 化简得()2(1)2210xx k k -⋅+⋅-=，令2(1)xt t =，则2(1)10k t k t -⋅+⋅-=在[1,)+∞有唯一实数根， 令2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，当1k =时，令()0g t =，则1t =，所以21x =，得0x =符合题意，所以1k =； 当1k >时，2440k k ∆=+->，所以只需(1)220g k =-，解得1k ，因为1k >，所以此时无解； 综上，1k =.【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.。
甘肃省临夏州临夏中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
2020-2021学年甘肃省临夏州临夏中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（共60分）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}2．（5分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．3．（5分）若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．4．（5分）函数y＝x2﹣2x﹣3的零点是（）A．1，﹣3B．3，﹣1C．1，2D．（3，0），（﹣1，0）5．（5分）函数f（x）＝+lg的定义域是（）A．（2，4）B．（3，4）C．（2，3）∪（3，4]D．[2，3）∪（3，4）6．（5分）函数的零点一定位于下列哪个区间（）A．B．C．D．7．（5分）已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．（5分）已知幂函数f（x）＝kx a的图象过点（2，），则k+a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣29．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝5，AD＝4，AA1＝3，且此长方体内接于球O，则球O的表面积为（）A．B．C．50πD．200π10．（5分）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法错误的是（）A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增B．f（x）在区间（1，4）上单调递减C．f（x）的图象关于直线x＝1对称D．f（x）的图象关于点（1，0）对称二、填空题（共20分）13．（5分）若直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则直线a与b的位置关系为．14．（5分）设g（x）＝，则g（g（））＝．15．（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于．16．（5分）给出下列结论：①；②y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限：④函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）．其中正确的序号是．三、解答题（共70分）17．（10分）（1）计算：；（2）计算：．18．（12分）已知函数的定义域A，g（x）＝﹣x2+1的值域为B，C＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）求A∩B；（2）若B∪C＝B，求实数a的取值范围．19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD ＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，E．F分别为A1B，A1C 的中点，D为B1C1上的点，且A1D⊥B1C．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）若三棱柱所有棱长都为a，求二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角的正切值．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点．（1）求证：AN⊥平面BCM；（2）设G为BE上一点，且，求点G到平面BCM的距离．22．（12分）已知函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）解不等式f（lnx）＞0．2020-2021学年甘肃省临夏州临夏中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共60分）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】判定函数为奇函数排除B，C；分别求出f（）与f（1）的值排除D．【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，又f（﹣x）＝，∴f（x）为奇函数，排除B，C；又f（）＝＞0，f（1）＝0，∴排除D．故选：A．【点评】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数奇偶性的判定及其应用，是基础题．3．（5分）若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．【分析】根据对数的运算性质判断每个选项的等式是否恒等即可．【解答】解：A．lgx+lgy＝lg（xy）≠lgx•lgy，∴该式不恒等；B．lgx2＝2lgx≠（lgx）2，∴该式不恒等；C.，∴该式恒等，该选项正确；D.，∴该式不恒等．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数y＝x2﹣2x﹣3的零点是（）A．1，﹣3B．3，﹣1C．1，2D．（3，0），（﹣1，0）【分析】函数y＝x2﹣2x﹣3的零点即对应方程的根，故只要解二次方程即可．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝0，x＝3或x＝﹣1，所以函数y＝x2﹣2x ﹣3的零点是3或﹣1故选：B．【点评】本题考查函数的零点的概念和求法．属基本概念、基本运算的考查．5．（5分）函数f（x）＝+lg的定义域是（）A．（2，4）B．（3，4）C．（2，3）∪（3，4]D．[2，3）∪（3，4）【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得：2≤x＜3或3＜x＜4，故函数的定义域为[2，3）∪（3，4）．故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决此类问题的关键．6．（5分）函数的零点一定位于下列哪个区间（）A．B．C．D．【分析】判断函数是连续函数，利用零点判断定理，判断选项即可．【解答】解：函数是连续函数，f（2）＝+2﹣2＝＞0，f（）＝+2＝＜0，可得f（2）f（）＜0，由零点判断定理可知函数的零点在（，2）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．7．（5分）已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log20.2＜log21＝0，20.2＞20＝1，0＜0.20.3＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故选：D．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于简单题．8．（5分）已知幂函数f（x）＝kx a的图象过点（2，），则k+a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】由幂函数的定义和解析式求出k的值，把已知点代入求出a的值，可得答案．【解答】解：∵f（x）＝k•x a是幂函数，∴k＝1，幂函数f（x）＝x a的图象过点（2，），∴2a＝，则a＝﹣2，则k+a＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了幂函数的定义与解析式的应用，属于基础题．9．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝5，AD＝4，AA1＝3，且此长方体内接于球O，则球O的表面积为（）A．B．C．50πD．200π【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC1的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，∴长方体的对角线，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为，可得半径，因此，该球的表面积为，故选：C．【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养，球的表面积的计算等知识，属于基础题．10．（5分）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2＝R2+r2，∴R2＝r2，∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为：πr2＝πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选：A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．【分析】作出平面AMN的过直线BD的平行平面a，求解即可【解答】解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截该正方体所得截面为平面BDFEBD＝，EF＝＝，DF＝，梯形BDFE如图：过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，∴FG＝＝＝，故四边形BDFE的面积为＝．故选：B．【点评】本题考查正方体截面面积的求法，平面平行的判定，等知识，综合考查证明和计算，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法错误的是（）A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增B．f（x）在区间（1，4）上单调递减C．f（x）的图象关于直线x＝1对称D．f（x）的图象关于点（1，0）对称【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断单调区间，根据f（1+x）＝f（1﹣x）判断函数对称轴，判断f（2﹣x）＝﹣f（x）是否成立，从而判断函数是否关于（1，0）对称．【解答】解：由f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），可得：，解得﹣2＜x＜4，因为f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x）＝ln[（x+2）（4﹣x）]＝ln（﹣x2+2x+8），令t（x）＝﹣x2+2x+8，开口向下，对称轴为x＝1，所以函数t（x）在（﹣2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，根据复合函数的单调性可得f（x）在（一2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，故A，B正确；因为f（1﹣x）＝ln（3﹣x）+ln（3+x），f（1+x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x），所以f（1+x）＝f（1﹣x），所以函数f（x）的图象关于x＝1对称，故C正确，因为f（2﹣x）＝ln4+ln（x+2），﹣f（x）＝﹣ln（x+2）﹣ln（4﹣x），因为f（2﹣x）≠﹣f（x），所以f（x）的图象不关于点（1，0）对称，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了复合函数的单调性，“同增异减”，利用判定函数的对称轴，注意复合函数的定义域是研究单调区间的前提，属于中档题．二、填空题（共20分）13．（5分）若直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则直线a与b的位置关系为平行或异面．【分析】以长方体为截体，列举出所有情况，由此能判断线a与b的位置关系．【解答】解：直线a∥平面α，直线b⊂平面α，如图，在正方体AC1中，A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AB∥A1B1；A1B1∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，A1B1与BC是异面直线．则直线a与b的位置关系为平行或异面．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查空间中线线间的位置关系的判断等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．14．（5分）设g（x）＝，则g（g（））＝．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）＝，∴g（）＝ln＝﹣ln2＜0，∴g（g（））＝g（﹣ln2）＝e﹣ln2＝＝2﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．15．（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于3π．【分析】根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【解答】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于2∴圆锥的高AO＝×，底面半径r＝×2＝1∴这个圆锥的表面积：S＝πrl+πr2＝π×1×2+π×12＝3π．故答案为：3π．【点评】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）给出下列结论：①；②y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限：④函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）．其中正确的序号是③④．【分析】由题意，①可根据指数的运算判断；②可由二次函数的性质判断；③由幂函数的性质判断；④由指数函数的性质判断．【解答】解：①不正确，因为等号左边是正数，右边是负数；②∵y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，∴y在x＝0时取到最小值1，故函数的值域不是[2，5]，此结论错误；③幂函数图象一定不过第四象限，由幂函数的性质知，此结论正确：④对于函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0，a≠1），令x+1＝0解得x＝﹣1，此时函数f（x）的值是﹣1，故函数的图象过定点（﹣1，﹣1），此结论正确．综上得，③④结论正确．故答案为：③④．【点评】本题考查命题真假的判断，解答的关键是熟练掌握所判断的命题的背景知识及命题真假判断的原理，本题属于简单题，三、解答题（共70分）17．（10分）（1）计算：；（2）计算：．【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数、指数性质、运算法则直接求解．【解答】解：（1）＝+100+﹣3+＝100．（2）＝﹣﹣2+1＝﹣．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知函数的定义域A，g（x）＝﹣x2+1的值域为B，C＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）求A∩B；（2）若B∪C＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B．（2）由B∪C＝B，知C⊆B，当C＝∅时，则2a＞a+3，当C≠∅时，则，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域A，g（x）＝﹣x2+1的值域为B，由题，可得，解得﹣1≤x＜2且x≠1，∴函数f（x）的定义域A＝{x|﹣1≤x＜2且x≠1}，∵对任意x∈R，x2≥0，所以﹣x2+1≤1，∴函数g（x）的值域B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜1}．（2）C＝{x|2a≤x≤a+3}，由B∪C＝B，知C⊆B，当C＝∅时，则2a＞a+3，解得a＞3；当C≠∅时，则，解得a≤﹣2．综上，实数a的取值范围为{a|a＞3或a≤﹣2}．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD ＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．【分析】四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面＝S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面，V＝V圆台﹣V圆锥，进而得到答案．【解答】（12分）解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面＝S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面＝π×52+π×（2+5）×5+π×2×2＝（4+60）π．V＝V圆台﹣V圆锥＝π（+r1r2+）h﹣πr2h′＝π（25+10+4）×4﹣π×4×2＝π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆台和圆锥的体积和表面积，难度中档．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，E．F分别为A1B，A1C 的中点，D为B1C1上的点，且A1D⊥B1C．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）若三棱柱所有棱长都为a，求二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角的正切值．【分析】（1）由EF∥BC，即可证EF∥平面ABC；（2）由A1D⊥平面BCC1B1，即可证平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）由二面角的平面角的作法可得：∠A1HD是二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角，再运算即可得解．【解答】（1）证明：因为E，F分别为A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，故EF∥平面ABC；（2）证明：∵BB1⊥平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥A1D，∵A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1，∴A1D⊥平面BCC1B1，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）解：此时，D为B1C1的中点，过点D作B1C垂线，垂足为H，连接A1H，∵A1D⊥B1C，DH⊥B1C，A1D∩DH＝D，∴B1C⊥平面A1DH，B1C⊥A1H，则∠A1HD是二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角，∴，，，故二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角的正切值为．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点．（1）求证：AN⊥平面BCM；（2）设G为BE上一点，且，求点G到平面BCM的距离．【分析】（1）根据AC2+BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四边形ACMN为正方形，进而即可求证；（2）先算出点M到平面GBC的距离即为AC＝2，由，可求出，设点G到平面BCM的距离为h，则，进而求出点G到平面BCM的距离．【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点，∵AC＝BC＝2，，∴AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴BC⊥平面ACFD，则BC⊥AN，∵M、N分别为AD、CF的中点，且AD＝4，AC＝2，∴四边形ACNM为正方形，则CM⊥AN，又BC∩CM＝C，∴AN⊥平面BCM；（2）由（1）知，即AC⊥BC，又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，∴MA∥FC，则点M到平面GBC的距离即为AC＝2，∴＝，由（1）知，BC⊥CM，且，∴，设点G到平面BCM的距离为h，则，∴，则，即点G到平面BCM的距离为．【点评】本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．22．（12分）已知函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）解不等式f（lnx）＞0．【分析】（1）由定义在R上的奇函数f（0）＝0，即可求得a值；（2）判断f（x）在R上是增函数，利用单调性的定义即可证明；（3）由f（lnx）＞0，可得，解之即可得解．【解答】解：（1）∵e x+1≠0的解集是R，∴f（x）的定义域是R．又∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝0．∴f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1．经检验知，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x），符合题意．（2）由（1）知，经判断可知f（x）在R上是增函数．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣＝，∵y＝e x为增函数，x1＜x2，∴0．∴＞0，＞0 ＜0．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在R上是增函数．（3）由，可得，∴，解得x＞1，∴原不等式的解集为（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式的解法，属于中档题．。
2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天二、多选题（共4小题）.9．下列各式中，值为的有（）A．sin7°cos23°+sin83°cos67°B．C．D．10．有如下命题，其中真命题的标号为（）A．若幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（3）＞B．函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2）C．函数有两个零点D．若函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）的最小正周期是πB．函数f（x）的图象关于点成中心对称C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度后关于原点成中心对称12．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（）A．B．f（x）＝e xC．f（x）＝lg（x2+2）D．f（x）＝cosπx三、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分.13．如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则|sinθ﹣cosθ|+cosθ的化简为．14．命题p：∀x≥0，x2﹣ax+3＞0，则￢p为．15．已知tan（α+）＝2，则＝．16．已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足g（x）+h（x）＝e x+sin x﹣x，则函数g（x）的解析式为；若函数f（x）＝3|x﹣2020|﹣λg（x﹣2020）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为．四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝{x|≤≤4}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}．（1）若m＝3，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝B，求m的取值范围；18．（10分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．19．（12分）因病毒疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n（n∈N+）年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．（1）写出f（n）关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由．20．（12分）若函数f（x）满足f（log a x）＝•（x﹣）（其中a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．21．（12分）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．（1）求f（x）的解析式；（2）若对任意，[f（x）]2﹣af（x）+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．22．（14分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝2﹣f（x），则称“局部中心函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a+1（a∈R），试判断f（x）是否为“局部中心函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝4x﹣m•2x+1+m2﹣3是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}解：∵全集U＝{x∈N*|x≤4}＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，∴∁U B＝{1，3}，则A∪（∁U B）＝{1，2，3}．故选：C．2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．解：sin（﹣1380°）＝sin（﹣1440°+60°）＝sin（﹣4×360°+60°）＝sin60°＝．故选：D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点．再根据函数零点的判定定理可得函数f（x）零点所在区间．解：令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点，再由f（0）＝1﹣8＝7＜0，且f（1）＝e＞0，可得函数f（x）在（0，1）上有零点．故选：C．4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log45＞log44＝1，∴a＞1，∵＝，∴b＝，∵，∴，即，∴b＜c＜a，故选：A．5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x＝时，f（）＝sin＝＞0，故排除D，故选：A．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出x＝，y＝，r＝＝3，再由＝tanα﹣sinα，求出结果．解：∵角α的终边经过点，∴x＝，y＝，r＝＝3，∴＝tanα﹣sinα＝＝﹣＝﹣．故选：D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）【分析】由外层函数y＝log0.5t为减函数，把问题转化为内层函数t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a的不等式组求解．解：∵外层函数y＝log0.5t为减函数，∴要使在（3，+∞）上单调递减，则需要t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，即，解得﹣2≤a＜0．∴a的取值范围为[﹣2，0）．故选：C．8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【分析】根据所给模型求得r＝0.38，令t＝0，求得I，根据条件可得方程e0.38t＝2，然后解出t即可．解：把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．故选：B．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年南通一中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年南通一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.函数f(x)=8x 的值域是( )A. (−∞,+∞)B. (−∞,0)C. (0,+∞)D. (−∞,0)∪(0,+∞)2.已知sin(π+α)=−12，那么cosα的值为( )A. ±12B. 12C. √32D. ±√323.对于正弦函数y =sinx 的图象，下列说法错误的是( )A. 向左右无限伸展B. 与y =cosx 的图象形状相同，只是位置不同C. 与x 轴有无数个交点D. 关于y 轴对称4.设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2k e 2⃗⃗⃗ ，若A ，B ，D 共线，则k 的值为( )A. −94B. −49C. −38D. 不存在5.如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为(−35,45)，β=30°，则sin(α−β)=( )A. 4+3√310B. 4√3+310C. 4−3√310D. 4√3−3106.将最小正周期为3π的函数f(x)=cos(ωx +φ)−sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向左平移π4个单位，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为( )A. 7π12B. −5π12C. −π4D. π47.的最大值为( )A.B.C. D.8.已知扇形的面积为4，弧长为4，求这个扇形的圆心角是( )A. 4B. 2°C. 2D. 4°9.设A,B,C ∈(0,π2)，且cosA +cosB =cosC ，sinA −sinB =sinC ，则C −A =( )．A. −π6B. −π3C. π3D. π3或−π310. 如图，在△ABC 中，∠A =π2，AB =3，AC =5，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 34 B. 12 C. −2 D. −1211. 定义域为R 的函数y =f(x)，若对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①y =−x 3+x +1②y =3x −2(sinx −cosx)③y =e x +1④f(x)={ln|x|,x ≠00,x =0其中为“H 函数”的有( )A. ①②B. ③④C. ②③D. ①②③12. 设向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(λ,−1)，且|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2+b⃗ 2，则λ等于( ) A. 2 B. ±2 C. −2 D. 0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设0<θ<π2，向量a ⃗ =(sin2θ,cosθ)，b ⃗ =(cosθ,1)，若a ⃗ //b ⃗ ，则cos2θ=______． 14. 已知(a +1)−23<(3−2a)−23，则a 的取值范围 ． 15. 抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点、，使得，则的取值范围是 ．16. 在下列四个命题中，正确的命题有______．①若实数x ，y 满足x 2+y 2−2x −2y +1=0，则y−4x−2的取值范围为[43,+∞)；②点M 是圆(x −3)2+(y −2)2=2上一动点，点N(0,−2)为定点，则|MN|的最大值是7；③若圆(x −3)2+(y +5)2=r 2(r >0)上有且只有两个点到直线4x −3y =2的距离为1，则4<r <6；④已知直线ax +by +c −1=0(bc >0)经过圆x 2+y 2−2y −5=0的圆心，则4b +1c 的最小值是10． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，记m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗(I) 若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求实数k 的值；(II) 当k =−43时，求向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角θ．18. 已知函数f(x)=cosωx(sinωx +√3cosωx)(ω>0)． (1)求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)=√32在区间[0,π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围．19. 设函数f(x)=log 3(9x)⋅log 3(3x)，19≤x ≤9，若t =log 3x. (1)求t 的取值范围． (2)求f(x)的值域．20. 如图，在菱形ABCD 中，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，∠BAD =60°，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ，μ，x ，y 的值； (2)求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 已知函数f(x)=3xx+2,x ∈[0,4)． (1)判别f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)的最值．22. 设函数y =f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A.如果∃x 1，x 2∈I ，使得f(x 1)f(x 2)<0，那么称函数y =f(x)为区间I 上的“变号函数”．(1)判断下列函数是否为区间I上的“变号函数”，并说明理由．,+∞)；①p(x)=1−3x，I=[13)；②q(x)=sinx−cosx，I=(0,π2,1]上的“变号函数”.求实数a的取值范围．(2)若函数r(x)=ax2+(1−2a)x+1−a为区间[−12参考答案及解析1.答案：D解析：解：令y =8x ，则解析式中y 的取值范围即为函数的值域 则原函数的解析式可变形为x =8y ， 要使该表达式有意义，分母y ≠0． ∴y ∈(−∞,0)∪(0,+∞) 故选：D ．根据已知中函数的解析式，我们可使用“反表示法”求函数的值域，即根据已知函数的解析式，写出用y 表示x 的形式，令表达式有意义，即可求出满足条件的y 的取值范围，即原函数的值域． 本题考查的知识点是函数的值域，函数的值域的求法是函数中的难点之一，其中根据函数的解析式形式，选择适当的方法是求值域的问题．2.答案：D解析：利用诱导公式求出sinα，再利用同角三角函数关系式求出cosα即可． 本题考查诱导公式，同角三角函数关系式的应用．属于基础题．解：sin(π+α)=−12，则sinα=12，cosα=±√32．故选D ．3.答案：D解析：解：y =sinx 是周期函数，图象可以向左右无限伸展，故A 正确，y =sin(x +π2)=cosx ，则与y =cosx 的图象形状相同，只是位置不同，故B 正确， 与x 轴有无数个交点，故C 正确，y =sinx 是奇函数，图象关于原点对称，故D 错误， 故选：D ．根据y =sinx 的图象和性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数图象和性质，结合三角函数的图象是解决本题的关键．比较基础．4.答案：D解析：解：e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2k e 2⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−k)e 1⃗⃗⃗ −(2k +1)e 2⃗⃗⃗ ，若A ，B ，D 共线， 则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(3−k)e 1⃗⃗⃗ −(2k +1)e 2⃗⃗⃗ =λe 1⃗⃗⃗ +2λe 2⃗⃗⃗ ，∴{3−k =λ−(2k +1)=2λ, 解得k 的值不存在． 故选：D ．根据平面向量的线性运算法则，利用共线定理和向量相等列出方程组，即可求出k 的值不存在． 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理和向量相等的应用问题，是基础题目．5.答案：B解析：解：以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为(−35,45)，β=30°， 可得sinα=45，cosα=−35，sin(α−β)=sinαcos30°−cosαsin30°=45×√32+35×12=3+4√310． 故选：B ．利用任意角的三角函数的定义，求出α、β的三角函数值，然后利用两角差的正弦函数求解． 本题考查三角函数的定义的应用，两角差的正弦函数，考查计算能力．6.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Acos(ωx +φ)的部分图象求解析式，函数y =Acos(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的奇偶性，属于基础题．由周期求得ω，可得函数f(x)的解析式，再根据函数y =Acos(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 解：由于函数f(x)=cos(ωx +φ)−sin(ωx +φ)=√2cos(ωx +φ+π4)的最小正周期为3π=2πω，求得ω=23，∴函数f(x)=√2cos(23x +φ+π4).再把f(x)的图象向左平移π4个单位，得到偶函数y =√2cos[23(x +π4)+φ+π4] =√2cos(23x +5π12+φ)，则满足题意的φ的一个可能值为−5π12， 故选B ．7.答案：C解析：试题分析：因为函数，所以因此结合不等式的性质，得到，可知函数的最大值为4.选C．考点：本题主要考查三角函数的性质中值域的求解运用。
福建省福州市第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 答案和解析
福建省福州市第一中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎛ ⎝⎭，则sin cos αα-=（ ）A ．BC ．5D ． 2．一钟表的秒针长12cm ，经过25s ，秒针的端点所走的路线长为（ ） A ．10cmB ．14cmC ．10cm πD ．14cm π3．函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()27,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 4．已知平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为()4,6A 、()2,1B -、()4,1C -，G 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()13AG AB AC =+，则G 点的坐标为（ ） A ．()2,2B ．()1,2C ．()2,1D ．()2,45．sin4，4cos ，tan4的大小关系是（ ） A ．sin4tan4cos4<< B ．tan4sin4cos4<< C ．cos4sin4tan4<<D ．sin4cos4tan4<<6．将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数22sin y x =-的图象，那么ϕ可以取的值为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()0f x f x π++=，且当()0,x π∈时，()sin f x x =，则233f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ． D二、多选题8．下列关于函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的相关性质的命题，正确的有（ ） A ．()f x 的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭ D ．()f x 的对称中心是(),028k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ 9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC C ．a b⊥D ．()6a b BC +⊥10．以下函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调增函数的有（ ）A ．sin cos y x x =+B ．sin cos y x x =-C ．sin cos y x x =D ．sin cos xy x=11．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形三、填空题12．已知()()sin 2cos 0παπα-++=，则1sin cos αα=________.13．已知tan 2α=，()tan αβ+=tan β=_________. 14．已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______.四、双空题15．已知O 为ABC ∆的外心，6AB =，10AC =，AO x AB y AC =+，且263x y +=；当0x =时，cos BAC ∠=______；当0x ≠时，cos BAC ∠=_______.五、解答题16．在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =.（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥，求实数t 的值.17．已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（Ⅰ）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）请描述如何由函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 18．某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()16cos1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于17C ，则在哪个时间段实验室需要降温？ 19．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()f x 图象上两相邻对称轴之间的距离为2π；_______________； （Ⅰ）在①()f x 的一条对称轴3x π=-；②()f x 的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭；③()f x 的图象经过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（Ⅱ）若动直线[]()0,x t t π=∈与()f x 和()cos g x x x =的图象分别交于P 、Q 两点，求线段PQ 长度的最大值及此时t 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，4AB =，2BC =，60ABC ∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上（含端点），且BE mBC =，DF nDC =且（m 、n 为常数），设AB a =，BC b =.（Ⅰ）试用a 、b 表示AE 和AF ； （Ⅱ）若1m n +=，求AE AF ⋅的最小值. 21．已知函数()()()()22f x x m x m R =-+∈.（Ⅰ）对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数m 取最小值时，讨论函数()()2cos 15F x f x a =+-在[)0,2x π∈时的零点个数.参考答案1．A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义得出sin α和cos α的值，由此可计算出sin cos αα-的值. 【详解】由三角函数的定义得cos α=，sin α=，因此，sin cos αα-=故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案. 【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为2552606ππ⨯=， 因此，秒针的端点所走的路线长()512106cm ππ⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【分析】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即可得出函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间. 【详解】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：D. 【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题. 4．A 【分析】设点G 的坐标为(),x y ，根据向量的坐标运算得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数，可得出点G 的坐标. 【详解】设点G 的坐标为(),x y ，()6,5AB =--，()0,7AC =-，()4,6AG x y =--，()()()1160,572,433AG AB AC =+=-+--=--，即4264x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，因此，点G 的坐标为()2,2. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【分析】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出sin4、4cos 、tan4的大小关系. 【详解】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则sin MP α=，cos OM α=，tan AT α=，其中虚线表示的是角54π的终边， 544π>，则0MP OM AT <<<，即sin4cos4tan4<<. 故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 6．B 【分析】写出平移变换后的函数解析式，将函数22sin y x =-的解析式利用二倍角公式降幂，化为正弦型函数，进而可得出ϕ的表达式，利用赋特殊值可得出结果. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为()sin 221y x ϕ=+-，22sin cos 21sin 212y x x x π⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，()222k k Z πϕπ∴=+∈，解得()4k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求参数，解题的关键就是结合图象变换求出变换后所得函数的解析式，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】先推导出函数()y f x =的周期为2π，可得出2333f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用函数()y f x =的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，且()()0f x f x π++=，()()f x f x π∴+=-，()()()2f x f x f x ππ∴+=-+=，所以，函数()y f x =的周期为2π，则23sin 33332f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题. 8．AC 【分析】分别求出函数()y f x =的定义域、最小正周期、单调递增区间和对称中心坐标，即可判断出四个选项的正误. 【详解】对于A 选项，令()242x k k Z πππ+≠+∈，解得()28k x k Z ππ≠+∈， 则函数()y f x =的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，A 选项正确； 对于B 选项，函数()y f x =的最小正周期为2π，B 选项错误； 对于C 选项，令()2242k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得()32828k k x k Z ππππ-<<+∈， 则函数()y f x =的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，令()242k x k Z ππ+=∈，解得()48k x k Z ππ=-∈， 则函数()y f x =的对称中心为(),048k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查正切型函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题. 9．ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题. 10．BD 【分析】先利用辅助角、二倍角以及同角三角函数的商数关系化简各选项中的函数解析式，然后利用正弦函数和正切函数的单调性判断各选项中函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，由此可得出结论. 【详解】对于A 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以，函数sin cos y x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调；对于B 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以，函数sin cos y x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 对于C 选项，1sin cos sin 22y x x x ==，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈， 所以，函数sin cos y x x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 对于D 选项，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan cos x y x x ==，所以，函数sin cos x y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 故选：BD. 【点睛】本题考查三角函数单调性的判断，解题的关键就是将三角函数解析式化简，并利用正弦、余弦和正切函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题. 11．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos CA B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 12．52【分析】利用诱导公式化简等式()()sin 2cos 0παπα-++=，可求出tan α的值，将所求分式变形为221sin cos sin cos sin cos αααααα+=，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，将所求分式转化为只含tan α的代数式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2cos 0παπα-++=，sin 2cos 0αα∴-=，tan 2α∴=，因此，22221sin cos tan 1215sin cos sin cos tan 22αααααααα+++====.故答案为：52. 【点睛】本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出tan α的值，考查计算能力，属于基础题. 13．4【分析】利用两角差的正切公式可计算出()tan tan βαβα=+-⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】由两角差的正切公式得()()()tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβααβα+-=+-==⎡⎤⎣⎦++=. 【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14．18 【分析】利用向量数量积的几何意义得出2a b ⋅=，在等式24a b -=两边平方可求出b 的值，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出()2b a b ⋅+的值. 【详解】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=. 故答案为：18. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题. 15．35 59【分析】（1）由0x =可得出O 为AC 的中点，可知AC 为ABC ∆外接圆的直径，利用锐角三角函数的定义可求出cos BAC ∠；（2）推导出外心的数量积性质212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由题意得出关于x 、y 和AB AC ⋅的方程组，求出AB AC ⋅的值，再利用向量夹角的余弦公式可求出cos BAC ∠的值. 【详解】当0x =时，由263x y +=可得12y =，12AO xAB y AC AC ∴=+=， 所以，AC 为ABC ∆外接圆的直径，则2ABC π∠=，此时3cos 5AB BAC AC ∠==； 如下图所示：取AB 的中点D ，连接OD ，则⊥OD AB ，所0DO AB ⋅=，()212AO AB AD DO AB AD AB AB ∴⋅=+⋅=⋅=，同理可得212AO AC AC ⋅=. 所以，()()221212263AO AB xAB y AC AB AB AO AC xAB y AC AC AC x y ⎧⋅=+⋅=⎪⎪⎪⋅=+⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，整理得361810050263x y AB AC xAB AC y x y ⎧+⋅=⎪⋅+=⎨⎪+=⎩，解得356x =，2756y =，1003AB AC ⋅=，因此，5cos 9AB AC BAC AB AC ⋅∠==⋅. 故答案为：35；59. 【点睛】本题考查三角的外心的向量数量积性质的应用，解题的关键就是推导出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，并以此建立方程组求解，计算量大，属于难题.16．（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-.【分析】（Ⅰ）求出向量3a b -和a kb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可；（Ⅱ）由()a tb b -⊥得出()0a tb b -⋅=，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可. 【详解】 （Ⅰ）()1,2a =-，()3,4b =，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-，()()3//a b a kb -+，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---，()a tb b -⊥，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.17．（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）答案不唯一，见解析. 【分析】 （Ⅰ）分别令23x π+取0、2π、π、32π、2π，列表、描点、连线可作出函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）根据三角函数图象的变换原则可得出函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的变换过程.【详解】（Ⅰ）列表如下：函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图如下图所示：（Ⅱ）总共有6种变换方式，如下所示： 方法一：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法二：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法三：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象向左平移6π个单位，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法四：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法五：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法六：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象向左平移3π个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【点睛】本题考查利用五点作图法作出正弦型函数在一个周期内的简图，同时也考查了三角函数图象变换，考查推理能力，属于基础题.18．（Ⅰ）4C ；（Ⅱ）从中午12点到晚上20点. 【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式化简函数()y f t =的解析式为()162sin 126f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由此可得出实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）由[)0,24t ∈，得出13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，令()17f t >，得到1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，解此不等式即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）()16cos162sin 1261212f t t t t ππππ⎛⎫+ ⎪-=-⎝=-⎭，[)0,24t ∈. 因此，实验室这一天的最大温差为4C ； （Ⅱ）当[)0,24t ∈时，13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， 令()162sin 17126f t t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，所以71161266t ππππ<+<，解得1220t <<，因此，实验室从中午12点到晚上20点需要降温. 【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．（Ⅰ）选①或②或③，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【分析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数()y f x =的最小正周期，进而得出2ω=. 选①，根据题意得出()232k k Z ππϕπ-+=+∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式； 选②，根据题意得出()56k k Z πϕπ+=∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式； 选③，根据题意得出51sin 32πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，利用三角恒等变换思想化简函数()y h x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出()h t 在[]0,t π∈上的最大值和最小值，由此可求得线段PQ 长度的最大值及此时t 的值. 【详解】（Ⅰ）由于函数()y f x =图象上两相邻对称轴之间的距离为2π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，222T ππωπ∴===，此时()()2sin 21f x x ϕ=++. 若选①，则函数()y f x =的一条对称轴3x π=-，则()232k k Z ππϕπ-+=+∈，得()76k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<，当1k =-时，6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； 若选②，则函数()y f x =的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，则()56k k Z πϕπ+=∈， 得()56k k Z πϕπ=-∈，22ππϕ-<<，当1k =时，6π=ϕ， 此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；若选③，则函数()y f x =的图象过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则552sin 1063f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得51sin 32πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，7513636πππϕ∴<+<， 51136ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.综上所述，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）令()()()2sin 21cos 6h x f x g x x x x π⎛⎫=-=++- ⎪⎝⎭122cos 212cos 21022x x x x ⎛⎫=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，()cos21PQ h t t ∴==+， []0,t π∈，[]20,2t π∴∈，当20t =或22t π=时，即当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 20．（Ⅰ）AE a mb =+，12n AF a b +=+；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，证明出2AM BM CD ===，从而得出2AB CD =，然后利用向量加法的三角形法则可将AE 和AF 用a 、b 表示；（Ⅱ）计算出2a 、a b ⋅和2b 的值，由1m n +=得出1n m =-，且有01m ≤≤，然后利用向量数量积的运算律将AE AF ⋅表示为以m 为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出AE AF ⋅的最小值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，由于ABCD 为等腰梯形，则2AD BC ==，且60BAD ABC ∠=∠=，//AB DC ，即//CD BM ，又//DM BC ，所以，四边形BCDM 为平行四边形，则2DM BC AD ===，所以，ADM ∆为等边三角形，且2AM =，2CD BM AB AM ∴==-=，2AB CD ∴=， AE AB BE AB mBC a mb =+=+=+，()()111122n AF AB BC CF AB BC n CD a b n a a b +=++=++-=+--=+； （Ⅱ）2216a AB ==，1cos1204242a b AB BC ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，224b BC ==， 由题意可知，01m ≤≤，由1m n +=得出1n m =-， 所以，1112222n m mAF a b a b a b +-+-=+=+=+， ()()22222222m m m m AE AF a mb a b a a b a b mb---⎛⎫∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅+ ⎪⎝⎭()222812224m m m =-+=-+，令()()2224f m m =-+，则函数()y f m =在区间[]0,1上单调递减，所以，()()min 16f m f ==，因此，AE AF ⋅的最小值为6. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．（Ⅰ）[)0,+∞；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由[]sin 12,0α-∈-可知，区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，由此可得出实数m 的不等式，解出即可；（Ⅱ）由题意可知，0m =，则()224f x x x =+，令()0F x =，可得出()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，对实数a 的取值范围进行分类讨论，先讨论方程()15a f t -=的根的个数及根的范围，进而得出方程2cos t x =的根个数，由此可得出结论.【详解】（Ⅰ）1sin 1α-≤≤，2sin 10α∴-≤-≤，对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，则区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，02m ∴≥，解得0m ≥， 因此，实数m 的取值范围是[)0,+∞；（Ⅱ）0m ≥，由题意可知，0m =，()()22224f x x x x x =+=+， 令()0F x =，得()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，则()15a f t -=，作出函数15y a =-和函数()y f t =在[]2,2t ∈-时的图象如下图所示：作出函数2cos t x =在[)0,2x π∈时的图象如下图所示：①当152a -<-或1516a ->时，即当1a <-或17a >时，方程()15a f t -=无实根， 此时，函数()y F x =无零点；②当152a -=-时，即当17a =时，方程()15a f t -=的根为1t =-，而方程2cos 1x =-在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ③当2150a -<-<时，即当1517a <<时，方程()15a f t -=有两根1t 、2t ，且()12,1t ∈--，()21,0t ∈-，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，方程22cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有四个零点；④当150a -=时，即当15a =时，方程()15a f t -=有两根分别为2-、0，方程2cos 2x =-在区间[)0,2π上只有一个实根，方程2cos 0x =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有三个零点；⑤当01516a <-<时，即当115a -<<时，方程()15a f t -=只有一个实根1t ，且()10,2t ∈，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ⑥当1516a -=时，即当1a =-时，方程()15a f t -=只有一个实根2，方程2cos 2x =在区间[)0,2π上只有一个实根，此时，函数()y F x =只有一个零点. 综上所述，当1a <-或17a >时，函数()y F x =无零点；当1a =-时，函数()y F x =只有一个零点；当115a -<<或17a =时，函数()y F x =有两个零点；当15a =时，函数()y F x =有三个零点；当1517a <<时，函数()y F x =有四个零点.【点睛】本题考查利用二次不等式求参数，同时也考查了复合型二次函数的零点个数的分类讨论，解题时要将函数分解为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.。
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题及答案
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．8- B ．7-C ．72-D ．72答案：B求出直线方程，令0y =可得结论． 解：由题意直线方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=，令0y =得7x =-， 所以直线在x 轴上截距为7-． 故选：B ．2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3答案：D由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，根据补集、交集定义即可求出.解：由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，{}3B x R x =∈>，{}3U B x R x ∴=∈≤,(){}0,1,2,3U B A ∴⋂=.故选：D.3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()f x =()2g x =D ．()1f x =，()0g x x =答案：A两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数.解：A.两个函数的定义域相同，并且函数()lg10xg x x ==，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；B.函数()211x f x x -=+的定义域是{}1x x ≠-，函数()1g x x =-的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；C.函数()f x =R ，函数()2g x =的定义域是[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；D.函数()1f x =的定义域是R ，函数()0g x x =的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数； 故选：A4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（ ）A B ．C ．D ．6答案：B根据空间直角坐标系中的对称性写出P '坐标，然后计算线段长．解：由题意(1,1,1)P '---，∴PP '== 故选：B ．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π答案：C由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 解：由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．点评：关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．6．已知ln 2a =，b =21log c e=，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>答案：D根据对数函数的单调性求出,a c 范围即可比较. 解：0ln1ln 2ln 1e =<<=，01a ∴<<，1b =>，22110log log c e=<=， b a c ∴>>.故选：D.7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：A证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 解：∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．点评：思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-答案：B令()23x x a g ax -+=，则可得()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解出即可. 解：令()23x x a g ax -+=，其对称轴为2a x =， 要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，则应满足()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解得44a -<≤.故选：B.9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c 被圆222x y +=所截得的弦长为（ ） A ．22B 2C ．2D ．22答案：C求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．解：∵222+=a b c （0c ≠），圆心O 到直线的距离为1d ==，圆半径为r =所以弦长为2l ===． 故选：C ．10．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断答案：A利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 解：∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m= -2或m=3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m=3（m= -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>． 故选：A点评：(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．11．已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B在平面直角坐标系中作出曲线24y x =-，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论． 解：曲线24y x =-是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率， 由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．点评：方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D作出函数()f x 的图象，设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，由图象的性质 求得12+2x x =-，341x x ⋅=，再利用双勾函数求得34522x x <+≤，代入可得选项． 解：作出函数()f x 的图象如下图所示：设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，且()12+212x x =⨯-=-，当2324log log x x =时，即2324log log x x -=，所以()2324234log +log log 0x x x x ⋅==，所以341x x ⋅=，当2log 1x =时，解得312x =，42x =，所以412x <≤ 设34441t x x x x =+=+，又函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增， 所以44111521+2+122t x x =<=+≤=，即34522x x <+≤， 所以123452+22+2x x x x -<+++≤-，即1234102x x x x <+++≤， 故选：D ．点评：关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围． 二、填空题 13．函数()21f x x =--的定义域为______.答案：[2,3)(3,)⋃+∞． 求得使函数式有意义的x 的范围．解：由题意020210x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠．故答案为：[2,3)(3,)⋃+∞．14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.答案：16或-2讨论0a >和0a ≤两种情况讨论，解方程，求a 的值. 解：当0a >时，2log 416a a =⇒=，成立，当0a ≤时，1422aa ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，成立， 所以16a =或2-. 故答案为：16或2-15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______. 答案：2求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得化切线的条数．解：圆1O 标准方程是22(1)(2)25x y -++=，1(1,2)O -，半径为5R =，圆2O 标准方程是22(2)(4)36x y ++-=，2(2,4)O -，半径为6r =，又12O O ==∵12R r OO R r -<<+，∴两圆相交，公切线有2条． 故答案为：2．点评：结论点睛：本题考查两圆公切线问题，根据两圆位置关系可得公切线条数： 相离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：无公切线． 16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.答案：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭分析出函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得出()()log 31a f f ≥，可得出lg lg3a ≤且1a ≠，利用对数函数的单调性解此不等式即可得解.解：函数()()1ln 11f x x x=+-+的定义域为R ， ()()()()11ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=+-+，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，函数()()1ln 1ln 1y x x =+=+单调递增，函数21111y x x ==++单调递减，所以，函数()()1ln 11f x x x=+-+在[)0,+∞上单调递增， 由()()log 31a f f ≥可得()()log 31a f f ≥，则log 31a ≥，即lg31lg a≥，可得lg lg3a ≤，所以，1lglg3lg lg33a =-≤≤，解得133a ≤≤且1a ≠.因此，实数a 的取值范围是(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 故答案为：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.点评：方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、解答题 17．设集合1,202xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若AC C =，求t 的取值范围.答案：（1）{}1x x e ≤≤（2）2t ≤.（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，化简集合A,B ，再利用集合的交集运算求解. （2）根据AC C =，则C A ，然后分C =∅和 C ≠∅两种情况讨论求解.解：（1）因为集合{}14A y y =≤≤，{}1B x x e =≤≤， 所以AB {}1x x e =≤≤；（2）因为A C C =，则C A ，当C =∅时，12t t +≥，解得 1t ≤，当 C ≠∅时，则 121124t t t t +<⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，解得 12t <≤，综上：实数t 的取值范围是2t ≤.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l的距离为+a b 的值.答案：（1）220x y +-=；（2）7．（1）求出12,l l 交点坐标，再由垂直得斜率（可设出直线方程），从而得直线方程；（2）由点到直线距离公式列出关于,a b 的方程解之可得．解：（1）由31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，即两直线交点为()2,6-， 由l 与直线230x y --=垂直，则2l k =-，∴l 方程为62(2)y x -=-+，即220x y +-=；（2）∵第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，所以2b =，0a >，又P 到直线l的距离为=，5a =（∵0a >），∴7a b +=． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB平面ACM；（2）求三棱锥P ACM-的体积.答案：（1）证明见解析；（2）23．（1）连接BD交AC于点O，由中位线定理得//OM PB，从而得证线面平行；（2）由M是PD中点，得12M ACD P ACDV V--=，求出三棱锥P ACD-的体积后可得．解：（1）如图，连接BD交AC于点O，连接OM，则O是BD中点，又M是PD中点，∴//OM PB，又PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以//PB平面ACM；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACDV S PA-=⋅=⨯⨯=△，又M是PD中点，所以1223M ACD P ACDV V--==，所以23P ACM P ACD M ACDV V V---=-=．点评：思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？答案：（1）()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧=⎨+->⎩；（2）131 （1）根据题意分别求出0100x ≤≤和100x >时的解析式即可；（2）可判断100x >，利用（1）中解析式即可求出.解：（1）由题可得当0100x ≤≤，0.05y x =，当100x >时，()()221000.05log 10015log 99y x x =⨯+-+=+-，()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧∴=⎨+->⎩； （2）105>，100x ∴>，则()25log 9910x +-=，解得131x =，所以他的年销售利润是131万元.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π．（1）设BD C O =，由1//AC OE ，得证线面平行；（2）证明BD ⊥平面1ACC ，可得证面面垂直；（3）证明EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，求出此角即可．解：（1）证明：设BD C O =，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点， ∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥，∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角， 由已知112CC AA AB ==，而2AC AB =，,E O 分别是1,CC AC 中点， ∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．点评：关键点点睛：本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．22．已知圆22:2410C x y x y +--+=.（1）若过点()0,5A 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.答案：（1）13±；（2）341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，由圆心到切线的距离等于半径求得k 值得切线方程；（2）设(,)P x y ，由已知求出P 点轨迹方程，得P 轨迹是直线，要使PM 最小，则只要PC 最小，因此只要有PC 与轨迹直线垂直即可，由此可求得P 点坐标．解：（1）圆C 标准方程是22(1)(2)4x y -+-=，圆心为(1,2)C ，半径为2r ， 过A 所作圆C 的切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，即50kx y -+=，2=，解得13k =± （2）设(,)P x y ，则由PM PA =得．=，化简得：3120x y -+=，此即为点P 的轨迹方程，轨迹是直线． 要使得PM 最小，则只要PC 最小即可，所以CP l ⊥，设(,)P m n ，则3120231m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得3104110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点评：关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，考查切线长最短问题．直线与圆相切的一般解法是圆心到切线的距离等于圆的半径，只要设出切线方程，由此列式可求得参数值，切线长最短，根据切线长的求法，只要圆外的点到圆心距离最小，则切线长最短．再利用圆外点的轨迹河得求解方法．。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数111y x =-+的值域是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知101x ≠+，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：101y x =≠+，则1111y x =-≠+，故值域为()(),11,+-∞⋃∞. 故选：C.2．若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ ）A ．ab bc >B ．ac bc >C ．a b b c >D ．ab ac > 【答案】D【分析】已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】a b c >>且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a <<,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,当1a =,0b =,1c =-时,ab bc =,故A 项错误;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故D 项正确.故选：D3．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ ）A ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格减函数B ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增.故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ） AB ．2C ．4 D．【答案】A 【分析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+-211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=， 当且仅当1()15ab a a b a c =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =2b =5c =时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为：[]7,10.6．设实数a 满足2log 4a =，则a =_________.【答案】16【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，故答案为：167．已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】2【分析】先由幂函数的定义求出m ，再检验得解.【详解】依题意得11m -=，解得2m =．此时()771f x x x -==，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m 的值为2．故答案为: 28．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故答案为：3a ≥9．函数22()log (1)f x x =-的定义域为_________.【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】()()22log 1f x x =-， 210x ∴->，解得11x -<<所以函数()()2log 1a f x x =-的定义域为()1,1-， 故答案为：()1,1-10．设函数f （x ）200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或209αα⎧⎨=⎩＞， ∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】12【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-单调递增，所以24a =，解得2a =，当1x =-，1min 1()(1)22f x f -=-==， 故答案为：1212．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是______. 【答案】13- 【分析】根据函数的对称性求出()f x 的解析式，代入a 求解即可.【详解】解：因为函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，则()3log g x x =， 又函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则13a =-. 故答案为：13- 【点睛】知识点点睛：（1）()y g x =与x y a =图像关于直线y x =对称，则()log a g x x =；（2）()y f x =与()y g x =关于y 轴对称，则()()f x g x =-；（3）()y f x =与()y g x =关于x 轴对称，则()()f x g x =-；13．如果关于x 的方程53x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)8,+∞【分析】根据绝对值的几何意义求得53x x -++最小值为8，即可求出实数a 的取值范围．【详解】因为53x x -++表示数轴上的x 对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8， 故当8a ≥时，关于x 的方程53x x a -++=有解，故实数a 的取值范围为[8,)+∞，故答案为：[8,)+∞．14．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出()0f x >和()0f x <的解集，再分别讨论当0x >和0x <时()0xf x >的解集即可求出结果.【详解】解：因为()f x 为奇函数，且有(4)0f -=，则()f x 在(,0)-∞上是也严格递增，且(4)0f =，所以()0f x >的解集为：()()4,04,-+∞；()0f x <的解集为：()(),40,4-∞-，则当0x >时，()0xf x >的解为()4,+∞，当0x <时，()0xf x >的解为(),4-∞-故()0xf x >成立的x 的取值范围是()(),44,-∞-+∞. 故答案为：()(),44,-∞-+∞【点睛】思路点睛：类似求()0xf x >或求()0f x x >的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出()0f x >或()0f x <的解，再结合x 的范围进行求解.15．函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】](,1-∞-【分析】函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，即()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设()221x x g x a -=++-，由()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，知()221x x g x a -=++-可以取所有的正值，又()22111x x g x a a a -=++-≥-=+，当且仅当0x =时等号成立，故()g x 的值域为[1,)a ++∞，所以只需满足[)()1,0,a ++∞⊇+∞即可，即1a ≤-故答案为：](,1-∞-【点睛】关键点点睛：求出()221x x g x a -=++-的值域，由题意知()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，转化为()g x 的值域包含()0,∞+是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0(){2,0x x x x f x x e++<=≥，则()f x 的“友好点对”有 个. 【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数()y f x =在区间[3,2]-上的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（1）增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）18a =或1a =-. 【分析】（1）求出()f x 的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出()3f x y =的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论0a <，0a =，0a >不同范围下()f x 的最值，解出a .【详解】解：（1）1a =时，()221f x x x =++，在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；则()3f x y =的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞.（2）()()222111f x ax ax a x a =++=++-，对称轴为1-， 当0a <时，()f x 在1x =-处取得最大值，()112f a -=-=，解得：1a =-当0a =时，()1f x =不成立；当0a >时，()f x 在()3,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，且对称轴为1x =-，()max f x =()2f ()2912f a a =+-=，解得：18a =综上所述：1a =-或18a =. 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）()221f x ax ax =++的最高次项系数为a ，不一定为二次函数，需讨论a 与0的关系； 18．设函数()|2|,()2f x x a g x x =-=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12. 【答案】（1）1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，|2x －1|≤x ＋2， 化简可得12122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-≤+⎩或12212x x x ⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩ 解得1132x -≤≤或132x <≤ 综上，不等式的解集为)1|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)证明：假设1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则1122112211122a ba ba⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得－12<a<12与第三式12<a<32矛盾.因此假设不成立，故1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x∈时，曲线是函数0.880log()y x a=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x=的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log(15)80,(16,40]x xf xx x⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x∈和(16,40]x∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x∈和(16,40]x∈时，令()68f x<，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b=-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.20．已知1()log 1a mx f x x -=-(0a >､1a ≠)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值.【答案】（1）1m =-；（2）1a >时()f x 在(1,)+∞上严格减；01a <<时.()f x 在(1,)+∞上严格增；（3）21a n ==.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （﹣x ）+f （x ）＝0，建立关于m 的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a 的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n ，a ﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n 和a 的值．【详解】（1）∵函数()11amx f x log x -=-（a ＞0，a ≠1）是奇函数． ∴f （﹣x ）+f （x ）＝0 即11log log 011aa mx mx x x +-+=---， 所以11log 011a mx mx x x +-⋅=---， 即222111m x x-=- 解得1m =±，当1m =时，1()log log (1)1a a xf x x -==--无意义，舍去. 故1m =-.（2）由（1）及题设知：()11ax f x log x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当x 1＞x 2＞1时，()()()211212122221111x x t t x x x x --=-=---- ∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知11121an log n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当1≤n ＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩得2a =+n ＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.21．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x x =是，2()h x x =不是，理由见解析；(2)9；(3)(1,1)a ∈-. 【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得； (2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f (x )的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】(1)g (x )定义域R ，3333[1,0],(),()()()02222x x R g x g x x x ∀∈-+∈+-=+-=>，g (x )是， 取x =-1，311(1)()1(1)224h h h -+==<=-，h (x )不是， 函数()g x x =是区间[]1,0-上的32-增长函数，函数2()h x x =不是；(2)依题意，2[4,2],()()||||20x f x n f x x n x nx n ∀∈--+>⇔+>⇔+>， 而n>0，关于x 的一次函数22nx n +是增函数，x =-4时22min (2)8nx n n n +=-， 所以n 2-8n>0得n>8，从而正整数n 的最小值为9；(3)依题意，2222222,?(),?2,?x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，而,(4)()x R f x f x ∀∈+>， f (x )在区间[-a 2,a 2]上是递减的，则x ，x +4不能同在区间[-a 2,a 2]上，4>a 2-(-a 2)=2a 2， 又x ∈[-2a 2，0]时，f (x )≥0，x ∈[0，2a 2]时，f (x )≤0，若2a 2<4≤4a 2，当x =-2a 2时，x +4∈[0，2a 2]，f (x +4)≤f (x )不符合要求， 所以4a 2<4，即-1<a<1.因为：当4a 2<4时，①x +4≤-a 2，f (x +4)>f (x )显然成立；②-a 2<x +4<a 2时，x <a 2-4<-3a 2，f (x +4)=-(x +4)>-a 2，f (x )=x +2a 2<-a 2，f (x +4)>f (x )； ③x +4>a 2时，f (x +4)=(x +4)-2a 2>x +2a 2≥f (x )，综上知，当-1<a<1时，()f x 为R 上的4-增长函数， 所以实数a 的取值范围是(-1，1).【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.。