直线中的最值问题专题练习
初中数学最值问题专题
中考数学最值问题【例题1】(经典题)二次函数y二2 (x-3) 2-4的最小值为.【例题2】(2018江西)如图，AB是。
的弦，AB=5,点C是。
上的一个动点，且NACB=45°,若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是___ .C【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y=ax2+bx+c (a不0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，与y 轴交于点C, OC=3.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM^BC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当^PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值;(4)若点Q为线段OC上的一动点，问AQ+ 2 QC是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.1.(2018河南)要使代数式V-2^37有意义，则乂的( )A.最大值为2B.最小值为2C.最大值为-D.最大值为°3 3 2 22.(2018四川绵阳)不等边三角形AABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为。
3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么“2+“〃 +从一” 的最小值为04.（2018云南）如图，MN是。
的直径，MN=4, NAMN=40° ,点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为.C5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同.（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1WxV15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R、P与x的关系式分别为R = 500 + 30x , P = 170 —2x。
中考最值问题大全
中考最值问题解题策略垂线段最短在最值问题中的应用模型一点到直线的所有线段中，垂线段最短点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，垂足为H，则点P到直线l的最短距离为线段PH的长，即“垂线段最短”．1、如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的取值围是_______________。
2、如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是________．3. 如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为________．模型二“胡不归”问题基本模型：两定一动，动点在定直线上问题：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使22AP＋BP 最小．解决：过点A作∠NAP＝45°，过点P作PE⊥AN，在直角三角形中将22AP转化为PE，使得22AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF的长度．此类题的解题步骤：第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)；第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形；第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”找到最小值的位置．4. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12BP＋PC的最小值是( )A BOMA. 3B.332 C. 3 D.3325. 如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB的长．6、如图6－2－4，二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，tan ∠CBO ＝2．⑴此二次函数的解析式为：______________________________________;⑵动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针方向旋转，到与直线AB 重合时终止运动，直线l 与线段BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点．①直接写出点P 所经过的路线长_________________________________________.②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC ， DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．ABOP x y C DABOxy C图6-2-47．如图6－2－5，等边△ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点A 出发，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2＝y ，则y 与x 的函数图象大致是（）8．如图6－2－6，O 为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A 、B 是第一象限横、纵坐标均为整数的两点，且OA ＝OB⑴则A 、B 两点的坐标分别为__________、______________；⑵画出线段AB 绕点O 旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留π）．9．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，cos ∠ABC ＝513探究：如图6－2－7①，AH ⊥BC 于点H ，AH ＝____________,AC ＝___________，△ABC 的面积S △ABC ＝___________________．拓展如图6－2－7②，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n （当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）⑴用x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；⑵求（m ＋n ）与x 的函数关系式，并求（m ＋n ）的最大值及最小值； ⑶对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值围．AB CD图6-2-5图6-2-6C对称性质在最值问题中的应用模型一两点一线类型1 异侧和最小值问题问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．问题解决：结论：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．类型2 同侧和最小值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．问题解决：结论：将两定点同侧转化为异侧问题，PA＋PB最小值为AB′．类型3 同侧差最小值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最小．问题解决：结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，当PA＝PB时，|PA－PB|＝0.类型4 同侧差最大值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．问题解决：结论：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，则|PA－PB|的最大值为线段AB 的长．类型5 异侧差最大值问题问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．问题解决：结论：将异侧点转化为同侧，同类型4，|PA－PB|的最大值为AB′.1.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM＝2，点N是对角线AC上一动点，则线段DN＋MN的最小值为________．2.如图，点C的坐标为(3，y)，当△ABC的周长最小时，则y的值为________．3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．A BCDPEAB CDPNAC BDEP图6-1-1③图6-1-1④图6-1-1⑤4、如图6－1－1④，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值＝ .5、如图6－1－1⑤，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝3，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 .6.（1）如图6－1－2①，在等边△ABC 中，AB ＝6，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使PB ＋PE 的值最小，最小值为 .（2）如图6－1－2②，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，则PA ＋PC 的最小值是 ；（3）如图6－1－2③，点D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边的中点，BC ＝6，BC 边上的高为4，P 在BC 边上，则△PDE 周长的最小值为 .7.（1）如图6－1－3①，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（1，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为 . （2）如图6－1－3② ，菱形ABCD 中AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，C图6-1-2① 图6-1-2② 图6-1-2③CD ，BD 上的任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 .M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 .8.（1）如图6－1－4①，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB上的动点，则△PQR 周长的最小值是 . （2）如图6－1－4②，点A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线y ＝3x (x <0)上，点P 、Q分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 在直线的解析式是（ ）.A .y ＝xB .y ＝x ＋1C .y ＝x ＋2D .y ＝x ＋3（3）如图6－1－3③，锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，AD 平分∠BAC ，C BP 图6-1-3②图6-1-3③ABOPRQab 图6-1-4①图6-1-59. 如图6－1－5已知，直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB ＝a 上找一点MMN ⊥a 且AM ＋MN ＋NB 的长度和最短，则此时AM ＋NB ＝（ A .6 B .8 C .10 D .1210、如图6－1－13③，一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 、y 轴分 别交于点A ，B ，D 为AB 的中点，C 、A 关于原点对称．P 为OB 上一动点，请直接写出︱PC －PD ︱的围：__________________．11．如图6－1－14，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是____________________． 12．在⊙O 所在的平面上有一点A ，它到⊙O 的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O 的半径为________________．13．在A 、B 均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6－1－15，若P 是x 轴上使得︱PA －PB ︱的值最大的点，OP ＝__________________.14．如图6－1－16，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1,0)、C (0,4)两点，与x 轴交于另一点B ．⑴抛物线及对称轴分别为________________________________;⑵点D 所在抛物线的对称轴上，求︱DB －DC ︱的最大值．模型二 一点两线类型1 一定点与两条直线上两动点问题问题：点P 在∠AOB 的部，在OB 上找一点D ，在OA 上找一点C ，使得△PCD 周长最小．图6-1-14图6-1-15图6-1-13③问题解决：结论：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可，则△PCD周长最小为线段的长．类型2 两定点与两条直线上两动点问题问题：点P、Q在∠AOB的部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小．问题解决：结论：将问题转化为类型1即可，PC＋CD＋DQ的最小值为线段P’Q ’长，则四边形PQDC的周长的最小值为P’Q’＋PQ的值．1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．2.如图，在直角坐标系中，已知A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．模块四“小虫爬行问题”A′B′C′D′例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC ＝2cm ，宽BC ＝1cm ，高AA ′＝4cm ，一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到B ′点的最短路径是多少？【规律】“小小相加凑一边时路径最短.” （2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm 、底面 周长为18cm ，在杯离杯底4cm 的点C 处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为多少cm ?【规律】“一点一点外要用轴对称.” 练习：1.（1）如图6－1－7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B 离点C 的距离为5，一只A（2）6－1－7②，底面半径为3cm 的圆锥的主视图是个正三角形，C 是母线OB 的中点，则从圆锥表面从A 到C 的最短距离等于 cm .（3）6－1－7③,圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，爬行的最短路程（π取3）是（ ）cm .A .20B .10C .14D .无法确定（4）如图6－1－7④，ABCDEFGH 是个无上底长方体容器，M 在容器侧，位于侧棱BF 上，已知AB ＝5，BF ＝9，FM ＝3，则从外部的点A 到部的点M 的最短距离等于 . 2.如图6－1－8，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？模块五 折叠最值【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合图6-1-7④图6-1-7 ③图6-1-7②图6－1－8A C ′ 蚂蚁蜜蜂A D ′情推理能力.方法是：（1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值.1、如图6－1－9，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点M、N 分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10，设AE＝x，则x的取值围是 .【规律】A、E重合时x最小为0，折痕的两端点在AB、CD上，不合题意，向下移动N 到C时，得x的最小值，继续沿BC向B移动N，使M上移至A时，得到满足条件的x最大值；2.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图6－1－11，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 .模块六圆中最长弦是直径解法归一：求对角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它．1、如图6－3－1，等腰直角△ABC斜边长为4，D为是斜边AB的中点，直角∠FDE分别交AC、BC于F、E，则线段EF的最小值是_________________．2．如图6－3－2，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交点G、H两点，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为____________．模块七、求两正数和的最小值[9]解法：①由（a－b）2≥0得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时成立；②对任意正数m,n可设m＝a2、n＝b2(a、b为正数)，则有m＋n＝a2＋b2≥2ab＝2即m＋n≥2m＝n时等号成立．这是高中两个最重要的不等式．求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数相等时和才取最小值．1、阅读理解：对任意实数a，b，∵（2≥0，∴a－b≥0，∴a＋b≥a＝b时，等号成立．根据上述容，回答下列问题：⑴若m＞0，只有m＝____时m＋1m有最小值______________；⑵若n＞0，只有n＝_____时n＋2n有最小值_____________；图6－1－9图6－1－11B′A′D′C′P′QA′图6-3-2图6-3-1⑶若x ＞0，只有x ＝______时，8x 2＋22x有最小值___________________; 2、如图6－4－1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上与点A 、B不重合的任意一点，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝a ，DB ＝b ．请用本题图验证a ＋b ≥并指出等号成立时的条件．3、如图6－4－2，已知A （－3，0），B （0，－4），P 为双曲线y ＝12x(x ＞0)上任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，求四边形ABCD 的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．4、公式：对于任意正数a 、b ，总有a ＋b ≥，并且只有当a ＝b 时，等号成立．直接应用或变形应用⑴已经y 1＝x （x ＞0），y 2＝1x（x ＞0），则当x ＝____________时，y 1 ＋y 2取得最小值___________.⑵已知函数y ＝x ＋ax(a ＞0，x ＞0)，当x ＝______________时，该函数有最小值_____________．⑶已知函数y 1＝x ＋1与函数y 2＝(x ＋1)2＋4，当x ＞－1时，求21yy 的最小值，并指出相应的x 的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设汽车一次运输的路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？模块八 二次函数最值解法归一：“二次整数ax 2＋bx ＋c 最值”完全可以借助二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法．（注：a ,b ,c 为常数，且a ≠0） 1、 ⑴x 2－2x ＋6的最小值是_______________________; ⑵二次函数y ＝－x 2＋6x 的最大值是______________________． 2、如图6－6－1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是B图6-4-1DEBC上任意一点（P不与B、C重合），过点P作AP⊥PE交CD于点Ｅ．设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？3、如图6－6－2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点B（1，0），C （5，0），交纵轴于点A，对称轴l与x轴相交于点M．⑴请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A的坐标;⑵在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.4、如图6－6－3，把一边长为4的正方形ABCD折叠，使B点落在AD上的E处，折痕为MN，设AE＝x，问x为何值时，折起的四边形MNFE面积最小，并求出这个最小面积的值．图6-6-2 图6-6-3模块九 几何探究最值类[8]1、请阅读下列材料：问题：如图6－7－1①，圆柱的高AB 和它的底面半径均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：走圆柱表面最短路线（即图6－7－1②侧面展开图中的线段AC ）． 路线2：走圆柱高线与度面直径（即图6－7－1①中的AB ＋BC 的长）设路线1的长度为l 1，设路线2的长度为l 2，则l 12＝AC 2＝AB 2＋2BDC l 22＝(AB ＋BC )2，将AB ＝5，BC ＝10，半圆弧BDC 长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：l 12＝AC 2＝ ；l 22＝(AB ＋BC )2＝ ； l 12－l 22＝ . ∴l 12>l 22 ∴l 1>l 2 ∴选择路线2较短.（1）小明对上述问题结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ,高AB 为5dm ”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）： 路线1：l 12＝AC 2＝ ；路线2：l 22＝(AB ＋BC )2＝ ；∵l 12 l 22，∴l 1 l 2（填>或<），所以选择路线 （填1或2）较短. （2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短.2、在河岸l 同侧有A 、B 两个村庄，A 、B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB ＝akm (a >1)现计划在河岸上建一抽水站P 向两个村庄供水.方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：图6－7－2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d ，且d 1＝PB ＋BA (km )(其中PB ⊥l 于P 点)；图6－7－2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2,且d 2＝PA ＋PB (km )(其中点A ′与点A 关于l 对称，A ′B 与l 交于点P ).观察与计算（1）在方案一中，d 1＝ km (用含a 的式子表示)；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图6－7－2③的辅助线，请你按小宇同学的思路C图6-7-1①图6-7-1②沿AB 剪开 摊平图6-7-2①图6-7-2②图6-7-2③P计算，d 2＝ km (用含a 的式子表示). 探索归纳：（1）①当a ＝4时，比较大小：d 1 d 2（填“>”或“＝”或“<”）；②当a ＝6时比较大小：d 1 d 2（填“>”或“＝”或“<”）；（2）请你就a （当a >1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？ 3、（1）如图6－7－3①，把矩形AA ′ B ′ B 卷成以AB 为高的圆柱形，则点A与 重合，点B与 重合.探究与发现（2）如图6－7－3②所示，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm ；（丝线的粗细忽略不计）（3）若用丝线从图6－7－3②圆柱底部A 处沿侧面缠绕4圈直到顶部B 处（如图6－7－3③所示），则至少需要多长丝线？ 创新与应用：（4）如图6－7－3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子的两端沿AE 、CF 方向进行裁剪，如图6－7－3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为α，则sin α＝ .4、如图6－7－4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图6－7－4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6－7－4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.（1）请计算图6－7－4②中裁剪的角度∠BAD ；′图6-7-4②图6-7-4①B C ′′ 图6-7-3⑤图6-7-4B 图6-7-3④BB A B ′’′ ’′图6-7-3① 图6-7-3②图6-7-3③（2）计算按图6－7－4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.。
直线中的最值问题
例2、已知定点 A( 0, 3 )，动点 B 在直线 1：
y = 1 上，动点C 在直线 2：y = －1 上，且
∠BAC = ，求△ ABC 面积的最小值。
2
解：设 B ( a , 1 )、C ( b , －1 )
在直线 ：3x －y －1 = 0 上求一点 M，
(1) 使| | MA | －| MB | | 为最大；
y
分析：先求B关于 的对称点B1
B (0, •
4)
M
由图知：A、B1、M三点共线
•B1(3,3) 且 M 在线段AB1的延长线上
• A(4,1) 时，| | MA | －| MB | | 最大
o
例1、已知直线
y=
1 2
x
和两定点
A(1,
1),
B(2,
2)
在此直线上取一点 P，使 | PA | 2 + | PB | 2 最小，
求点P的坐标。
解：设 P ( x, y )，则 y 1 x 2
又 |PA|2+|PB|2 =(x－1)2+(y－1)2 +(x－2)2+(y－2)2
10( y 9 )2 19 10 10
5
3、点 A ( 1 , 3 )、B ( 5 , －2 ) ，在 x 轴上选一 点 P，求 P 点的坐标： (1) 使 | | PA | －| PB | | 最大； (2) 使 | PA | + | PB | 最小。
4、在直线 y = x + 2 上，求与直线 3x－4y +8= 0
和直线 3x －y －1 = 0 的距离的平方和为最小的
与直线有关的最值问题-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册) (解析版)
直线专题：与直线有关的最值问题一、距离公式 1、点到点的距离公式平面内两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式为：()()22121212=-+-PP x x y y 2、点到直线的距离公式：点()00,P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离0022++=+Ax By Cd A B3、直线到直线的距离公式：两条平行直线11:0++=l Ax By C ，()2212:0++=≠l Ax By C C C ，它们之间的距离为：1222-=+C C d A B二、点关于直线的对称1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c（2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 三、线段和与差的最值问题解题思路1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短；2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短.题型一 两点间距离最值问题【例1】设()()()()2222R 1111a b a b a b ∈-+-++++，，的最小值为_______.【答案】22【解析】从几何意义看，()()2211a b -+-()()2211a b +++()a b ，到点()11，和()11，--距离的和， 其最小值为()1,1和()11，--两点间的距离2 故答案为：22【变式1-1】已知x ，y ∈R ，()()222211S x y x y =++-+S 的最小值是（ ）A ．0B ．2C ．4D 2【答案】B【解析】()()222211S x y x y =++-+P (x ，y )到点A (－1，0)与点B (1，0)的距离之和，如图所示：由图象知：PA PB AB+≥，当点P 在线段AB 上时，等号成立， 所以S 取得最小值为2．故选：B【变式1-2】已知实数x ，y 22222222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y ++--+-+-______. 【答案】22【解析】如图所示，设点(0,0)O ，(,)A x y ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，22222222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y ++--+-+-||||||||OA AD AB AC =+++. 因为||||||2OA AC OC +≥=||||||2AB AD BD +≥=所以||||||||22OA AD AB AC +++≥A 是OC 与BD 的交点时等号成立）． 22222222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y ++--+-+-22 故答案为：22【变式1-3】已知点(,)P x y 为直线0x y -=上的动点，2222(2)(4)(2)(1)m x y x y -+-++-m 的最小值为（ ）A ．5B ．6C 37D 39【答案】C【解析】2222(2)(4)(2)(1)m x y x y -+-++-(,)P x y 到点(2,4)B 和点(2,1)A -的距离之和．因为点(2,4)B 关于直线0x y -=的对称点为(4,2)B '，所以m 的最小值为点(4,2)B '与点(2,1)A -之间的距离，即22min (42)(21)37m AB '=+-==+ 此时点P 为AB 与y x =的交点.故选：C【变式1-4】直线1:20l x my --=与直线2:20l mx y ++=交于点Q ，m 是实数，O 为坐标原点，则OQ 的最大值是（ ）A ．2B ．22C ．23D ．4 【答案】B【解析】因为1:20l x my --=与2:20l mx y ++=的交点坐标为222222,11m m Q m m ---⎛⎫⎪++⎝⎭所以()()222222281222222111m m m OQ m m m +---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+， 当0m =时， max 22OQ = 所以OQ 的最大值是2 B.题型二 点到直线的距离最值问题【例2】已知直线l 经过2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，则点A (5,0)到l 的距离的最大值为________． 10【解析】联立方程25020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标为()2,1，直线l 经过点()2,1B ， 则点A (5,0)到l 的距离的最大值为AB 的长， 且()()22520110AB =-+-.【变式2-1】若点(,)P x y 在直线20x y +=上，则点P 到坐标原点的最小距离为（ ） A ．22 B 2 C ．1 D ．12 【答案】C【解析】由题意得：点(,)P x y 在直线20x y +=上，则点P 到坐标原点的最小距离为原点到直线20x y +的距离， 即212d -=，故选：C【变式2-2】设实数x ，y 满足4x y +=22222x y x y +-++ ） A 2 B ．4 C ．22 D ．8 【答案】C()()222222222212111x y x y x x y y x y +-++=-++++=-++22222x y x y +-++4x y +=上的点与点()1,1-的距离， 所以最小值为221142211d --=+故选：C.【变式2-3】设直线:3260+-=l x y ，(),P m n 为直线l 上动点，则()221m n -+的最小值为（ ）A ．913 B ．313 C 313 D 13【答案】A【解析】()221m n -+表示点(),P m n 到点1,0A 距离的平方，该距离的最小值为点1,0A 到直线l 361313-=则()221m n -+的最小值为913. 故选：A.【变式2-4】已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（ ）A ．12 B 2C ．14D 3【答案】A【解析】()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()2,2距离的平方，因为点()2,2到直线10x y --=的距离22d == 所以()2,2的最小值为212d =．故选：A题型三 线段和的最值问题【例3】已知点(1,3)A ，(5,2)B ，点P 在x 轴上，则||||AP PB +的最小值为（ ）A ．6B 41C 17D ．52【答案】B【解析】点(1,3)A ，(5,2)B ，点P 在x 轴上，点B 关系x 轴的对称点为(5,2)B '-，22(||||)||(51)(23)41min AP PB AB ∴+='-+--.故选：B.【变式3-1】已知两点()()4,8,2,4A B -，点C 在直线1y x =+上，则AC BC+的最小值为（ ）A ．213B ．9C 74D ．10 【答案】C【解析】依题意，若()2,4B 关于直线1y x =+的对称点(,)B m n '，∴41242122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得33m n =⎧⎨=⎩， ∴(3,3)B '，连接AB '交直线1y x =+于点C '，连接BC '，如图，在直线1y x =+上任取点C ，连接,,AC BC B C '， 显然，直线1y x =+垂直平分线段BB '，则有||||||||||||||||||AC BC AC B C AB AC B C AC BC '''''''+=+≥=+=+， 当且仅当点C 与C '重合时取等号， ∴22min ()||(43)(83)74AC BC AB '+=--+-AC BC + 74故选：C【变式3-2】设10x y -+=，求222261034430229d x y x y x y x y ++-++--+_______. 293【解析】222261034430229d x y x y x y x y =++-++--+2222(3)(5)(2)(15)x y x y ++--+-，即d 可看作点()3,5A -和()2,15B到直线10x y -+=上的点(),x y 的距离之和， 作()3,5A -关于直线10x y -+=对称的点()00,A x y '，由题意得0000351022513x y y x -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，解得004,2x y =⎧⎨=-⎩故()4,2A '-，则22min (42)(215)293d A B '=-+--=.【变式3-3】已知点M ，N 分别在直线1l ：0x y +=与直线2l ：30x y +-=，且1MN l ⊥，点()1,3P --，71,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PM QN +|的最小值为（ ） A 15B 15C 13D ．33【答案】C【解析】设(),M t t -，则直线MN 的方程为,2y t x t y x t +=-=-，由23232,3022y x t t t N x y =-⎧+-⎛⎫⇒⎨ ⎪+-=⎝⎭⎩， 所以PM QN +()()()()22221321t t t t ++--+-设()()(),,1,3,2,1A t t B C -，()()()()22221321t t t t ++--+-y x =上的点A 与,B C 连线的距离之和，()()()()22221321t t t t ++--+-223213BC +.故选：C【变式3-4】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,0A 处出发，河岸线所在直线的方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A 27B ．5C 15D 29【答案】D【解析】由()2,0B -关于3x y +=的对称点为(,)x y ，所以232212x yy x -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，可得35x y =⎧⎨=⎩，即对称点为(3,5)，又1,0A所以“将军饮马”22(31)529-+ 故选：D题型四 线段差的最值问题【例】已知点()，()2，在x 轴上找一点P 使AP BP -最大，则P 的坐标为（ ）A ．()1,0B ．17,05⎛⎫⎪⎝⎭C ．()5,0D ．()13,0【答案】D【解析】如下图所示：作点B 关于x 轴的对称点()5,2B '，由对称性可知BP B P '=，则AP BP AP B P ='--.当A 、B '、P 三点不共线时，由三角形三边关系得B A A P B P '-'<； 当A 、B '、P 三点共线时，B A A P B P '-'=.所以，B A A P B P '-'≤，当且仅当A 、B '、P 三点共线时，等号成立， 此时，直线AB '的斜率为321154k -==--， 直线AB '的方程为()1314y x -=--，即4130x y +-=， 在直线AB '的方程中，令0y =，解得13x =，即点()13,0P . 故选：D.【变式4-1】直线2360x y +-=分别交x 轴和y 于点,A B ，P 为直线y x =上一点，则PA PB -的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】依题意可知()()3,0,0,2A B ，()0,2B 关于直线y x =的对称点为()2,0C ，PB PC =，即求PA PB PA PC -=-的最大值，PA PC AC -≤，当,,A C P 三点共线，即P 与原点重合时，PA PC -取得最大值为1， 也即PA PB -的最大值是1. 故选：A【变式4-2】已知点(4,1)A ，(0,4)B ，直线:310l x y --=，点P 为直线l 上一点，则||||||PB PA -的最大值为________． 5【解析】如图，作B 关于l 的对称点B '，设(,)B a b '，则4310224310a b b a +⎧⋅--=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得33a b =⎧⎨=⎩，所以(3,3)B '．因为B '与B 关于l 对称，所以||PB PB ='，所以22||||||||||||(43)(13)5PA PB PA PB AB -=-≤=-+-'=' 当且仅当P 为AB '与l 的交点时取等号． 所以||||||PB PA -5【变式4-3】已知点R 在直线10x y -+=上，()1,3M ，()3,1N -，则RM RN -的最大值为（ ） A 5 B 7 C 10 D ．25【答案】C【解析】设点()1,3M 关于直线10x y -+=的对称点为(),M x y '，则311131022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，∴()2,2M '，又()3,1N -，∴10RM RN RM RN M N ''-=-≤故选：C.。
专题17 直线与圆及相关的最值问题(练)【原卷版】
第一篇 热点、难点突破篇专题17直线与圆及相关的最值问题（练）【对点演练】一、单选题1．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知点Q 在圆C ：22430x x y -++=上，点P 在直线y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．1CD ．22．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆221:460O x y y +--=与圆222:680x y O x y +-+=公共弦长为（ ）A BC ．D ．3．（2023·安徽·校联考模拟预测）抛物线2:4C y x =的准线被圆225x y +=所截得的弦长为（ ）A ．1 BC ．D ．44．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）若过点()0,4A 的直线l 与曲线22(2)1x y +-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．(),-∞⋃+∞B ．⎡⎣C ．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．⎣⎦5．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）过直线2y kx =-上任意一点，总存在直线与圆221x y +=相切，则k 的最大值为（ ）AB C ．1 D 6．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点，若CA CB AB +=，则点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点M 在C 上，圆M 的半径为1，过点F 的直线与圆M 相切于点N ，则FM FN ⋅的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2二、多选题8．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（ ） A．MA 长度的最小值为2B ．不存在点M 使得AMB ∠为60C ．当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D ．若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为28三、填空题9．（2023·北京顺义·统考一模）已知圆22:280M x y x +--=，点A 、B 在圆M 上，且(0,2)P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________．10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知圆C ：229x y +=，直线l ：y kx =+k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为________.【冲刺提升】一、单选题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，点()0,8A ，点M 满足MA =，又点M 在曲线y MO =（ ）A B ．C ．D2．（2022秋·安徽芜湖·高三统考期末）已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ C ．(][) ,21,-∞-⋃+∞ D ．[)()2,11,---+∞ 3．（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知圆C ：()()22114x y -+-=，直线:220,l x y M ++=为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线,MA MB ，切点为A ，B ，则CM AB ⋅最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．44．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（ ）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-二、多选题5．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）过点()0,1P 的直线l 与圆()22:19C x y -+=交于,A B两点，,M N 是圆C 上的两点，且MN = ）A ．AB 的最小值为B ．ABC 面积的最大值为92C ．+PM PN 的最小值为2D．PM PN ⋅的最大值为56．（2022·安徽黄山·统考一模）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线22:22C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，则（ ）A ．曲线C 围成的图形的周长是B ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过4C ．曲线C 围成的图形的面积是4(π2)+D．若(,)P m n 是曲线C 上任意一点，则4317m n --的最小值是10-7．（2023秋·江苏·高三统考期末）过直线:25l x y +=上一点P 作圆22:1O x y +=的切线,切点分别为,A B ,则（ ）A ．若直线AB l ∥,则ABB ．cos APB ∠的最小值为35C ．直线AB 过定点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．线段AB 的中点D 三、填空题 8．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知圆C 经过两点()0,5A ，()3,6B ，且圆心在直线270x y +-=上，则圆C 的方程为______.9．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）若圆2260x y x ++=与圆2222160x y my m +-+-=外离，则实数m 的取值范围是______.10．（2023秋·山东济南·高三统考期末）已知函数2()e e x x f x -=-，所有满足()()0f a f b +=的点(,)a b 中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的标准方程可以是_______.（写出一个满足条件的圆的标准方程即可）11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）经过坐标原点的圆C 与圆22:220P x y x y +++=相外切，则圆C 的标准方程可以是__________.(写出一个满足题意的方程即可)四、解答题12．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．。
专题02史上最全直线的最值问题(原卷版)
专题02史上最全直线的最值问题【题型归纳目录】题型一：“距离之和”型的最值问题 题型二：“距离之差”型的最值问题 题型三：“距离乘积”型的最值问题 题型四：“截距之和”型的最值问题 题型五：“周长”型的最值问题 题型六：“面积”型的最值问题 题型七：“平行线间距离”型的最值问题 题型八：“距离的平方和”型的最值问题 题型九：“点到直线距离”型的最值问题 题型十：“斜率”型的最值问题 【典型例题】题型一：“距离之和”型的最值问题例1．直线2360x y +-=分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，P 是直线y x =-上的一点，要使||||PA PB +最小，则点P 的坐标是()A ．(1,1)-B ．(0,0)C ．(1,1)-D ．1(2，1)2-例2．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的最大值是()A ．2B ．．3D ．2例3．已知直线:310l x y --=及点(4,1)A ，(0,4)B ，(2,0)C ． （1）试在l 上求一点P ，使||||AP CP +最小； （2）试在l 上求一点Q ，使||||AQ BQ -最大． 例4．直线:310l x y --=，在l 上求一点P ，使得． （1）P 到(4,1)A 和(0,4)B 的距离之差的绝对值最大； （2）P 到(4,1)A ，(3,4)C 的距离之和最小．例5．（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若()2,1A 、()1,2B 、()()0,R C y y ∈，则AC BC +的最小值是______．例6．（2022·宁夏·银川二中高一期中）平面直角坐标系内有四个定点A （-1，0），B （1，0），C （2，3），D （-2，6），在四边形ABCD 内求一点P ，使PA PB PC PD +++取得最小值时P 的坐标为_________． 例7．（2022·江苏·高二）已知点P 是x 轴上的任意一点，(0,2)A -，(3,0)B -，则2||||AP BP +的最小值为_________．例8．（2022·全国·高二课时练习）已知点(1,3)A ､(5,2)B ，点P 在x 轴上，则AP PB +的最小值为___________．题型二：“距离之差”型的最值问题例9．已知点(3,5)A -，(2,15)B 直线:3440l x y -+=． （1）在l 上求一点P ，使||||PA PB +的值最小； （2）在l 上求一点Q ，使||QA QB -的值最大．例10．已知直线:280l x y -+=和两点(2,0)A ，(2,4)B --． （1）在直线l 上求一点P ，使||||PA PB +最小； （2）在直线l 上求一点P ，使||||||PB PA -最大．例11．（1）已知两点(3,3)A -，(5,1)B ，直线:l y x =，在直线l 上求一点P ，使||||PA PB +最小． （2）已知两点(3,3)A -，(5,1)B ，直线:l y x =，在直线l 上求一点P ，使||||||PA PB -最大． 例12．已知两点(2,3)A 、(4,1)B ，直线:220l x y +-=，在直线l 上求一点P ． （1）使||||PA PB +最小； （2）使||||PA PB -最大．例13．已知直线:310l x y --=及点(4,1)A ，(0,4)B ，(2,0)C ． （1）试在l 上求一点P ，使||||AP CP +最小，并求这个最小值； （2）试在l 上求一点Q ，使||||||AQ BQ -最大，并求这个最大值．题型三：“距离乘积”型的最值问题例14．过点(2,1)P 作直线l 分别交x 轴的正半轴，y 轴的正半轴于A ，B 两点． （1）当||||OA OB 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程； （2）当||||PA PB 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程． 例15．过点(2,1)P 作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． （1）当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程； （2）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线l 的方程．例16．直线l 过点(2,3)P 且分别与x 、y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为原点．（1）当||||OA OB ⋅取最小时，求直线l 的方程； （2）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线l 的方程．例17．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是()A ．3B ．4C ．5D ．6例18．已知直线l 过点(2,1)M ，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当||||MA MB ⋅取得最小值时，直线l 的方程为．题型四：“截距之和”型的最值问题例19．过点(1,4)P 作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．例20．直线l 经过点(1,9)P ，且与两坐标轴的正半轴相交，当两截距之和最小时直线l 的方程为． 例21．若直线(0,0)ax by ab a b +=>>过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为() A ．1B ．2C ．4D ．8例22．若直线(0,0)ax by ab a b +=>>过点(1,4)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为() A ．1B ．4C ．9D ．16 例23．若直线:1(0,0)x yl a b a b+=>>经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为()A ．．3+D ．3+题型五：“周长”型的最值问题例24．（2022·重庆第二外国语学校高二阶段练习）已知在平面直角坐标系中直线l 恒过定点（2，1）．与x 正半轴y 正半轴分别相交A 、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 周长的最小值是_____________． 例25．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知定点()4,2A ，动点M N ､分别在直线y x =和0y =上运动，则AMN 的周长取最小值时点N 的坐标为__________．例26．（2022·江苏·高二）已知点(1,4)A --，试在y 轴和直线y x =上各取一点B 、C ，使ABC 的周长最小．（提示：尝试使用对称方法，用几何性质简化运算）例27．已知点(3,1)A ，在直线0x y -=和0y =上分别有点M 和N 使AMN ∆的周长最短，求点M 、N 的坐标．例28．已知点(3,5)M ，在直线:220l x y -+=和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ∆的周长最小．例29．在直角坐标系中，已知(2,1)M 和直线:0L x y -=，试在直线L 上找一点P ，在X 轴上找一点Q ，使三角形MPQ 的周长最小，最小值为． 题型六：“面积”型的最值问题例30．过点(2,1)P 作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当AOB ∆的面积为92时，求直线l 的方程； （2）当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．例31．已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q ，过P 、Q 作直线20x y +=的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 面积的最小值． 例32．已知直线:(1)()l y m x m m R =-+∈．（Ⅰ）若直线l 的倾斜角[,]43ππα∈，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若直线l 分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程． 例33．已知直线:1()4x y l m R m m+=∈-． （1）若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；（2）若直线l 分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求AOB ∆面积的最大值及此时直线l 的方程．例34．已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点M ． （Ⅰ）若l 经过点(5,0)A ，求l 的方程；（Ⅱ）若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使ABO ∆面积最小的直线l 若存在，求出直线l 方程；若不存在，请说明理由．例35．已知直线1:224l ax y a -=-，222:224l x a y a +=+，当02a <<时，直线1l ，2l 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a =．例36．已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1(1)2C ．1(1]3D ．11[,)32题型七：“平行线间距离”型的最值问题例37．已知1l ，2l 是分别经过(1,1)A ，(0,2)B -两点的两条平行直线，当1l ，2l 之间的距离最大时，直线1l 的例38．已知1l ，2l 是分别经过(2,1)A ，(0,2)B 两点的两条平行直线，当1l ，2l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是．例39．直线1l ，2l 是分别经过(1,1)A ，(0,1)B -两点的两条平行直线，当1l ，2l 间的距离最大时，直线1l 的方程是()A ．230x y +-=B ．30x y --=C ．230x y ++=D ．30x y -+= 题型八：“距离的平方和”型的最值问题例40．已知光线通过点(2,3)A ，经直线:10l x y ++=反射，其反射光线通过点(1,1)B ． （1）求反射光线所在的方程；（2）在直线l 上求一点P ，使PA PB =；（3）若点Q 在直线l 上运动，求22QA QB +的最小值．例41．已知直线l 过点(1,1)M ，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： （1）当||OA 十||OB 取得最小值时，直线l 的方程； （2）当22||||MA MB +取得最小值时，直线l 的方程．例42．已知三点(1,2)P ，(2,1)Q ，(3,2)R ，过原点作一直线，使得点P ，Q ，R 到此直线的距离的平方和最小，求此直线方程．例43．（2022·江苏·高二）已知直线():120l x a y +-+=，20l y +=，且12l l ⊥，则22a b +的最小值为（）A ．14B ．12CD ．1316题型九：“点到直线距离”型的最值问题例44．（2022·江苏·高二）点P 为直线3420x y+=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________．例45．（2022·江苏·高二）直线:3250l x y -+=，(,)P m n 为直线l 上动点，则22(1)m n ++的最小值为___________．例46．（2022·上海虹口·高二期末）已知点(,)M a b 在直线512260x y -+=________．例47．（2022·江苏盐城·高二期末）已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最A ．12B C ．14D 例48．已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点． （1）若点(5,0)A 到l 的距离为3，求l 的方程；（2）求点(5,0)A 到l 的距离的最大值，并求此时l 的方程．例49．已知(1,2)A ，直线l 经过直线250x y +-=与直线20x y -=的交点P ． （1）若直线l 与直线3250x y ++=平行，求直线l 的方程； （2）当点A 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．例50．若点(,)m n 在直线43100x y +-=上，则22m n +的最小值是．例51．已知动直线0:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(1,)P m 且(4,0)Q 到动直线0l 的最大距离为3，则122a c+的最小值为() A ．92B ．94C ．1D ．9 题型十：“斜率”型的最值问题例52．直线2cos 30([,])63x y ππαα--=∈的倾斜角的取值范围是()A ．[,]63ππB ．[,]43ππC ．[,]43ππD ．2[,]43ππ例53．设直线l 的斜率为k ，且1k <，则直线l 的倾斜角α的取值范围是() A ．2[0,](,)43πππB ．3[0,)[,)64πππC ．2[,)43ππD ．3(,]34ππ例54．已知(1,0)A -，(0,3)B ，若直线:210l ax y a ++-=上存在点P ，满足||||||PA PB AB +=，则l 的倾斜角的取值范围是()A ．3[0,][,)44πππB ．3[,]44ππC ．5[0,][,)66πππD ．5[,]66ππ例55．若直线:l y kx =-2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ．[,)63ππB ．[,]62ππC ．(,)32ππD ．。
名师系列：与直线相关的最值问题--8.5
与直线相关的最值问题浅析(一) 距离之和/差型的最值问题 a)两点在直线同侧【例题1】 已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大． 解析：(1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎨⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)． (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎨⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)． b)两点在直线两侧【例题2】 已知点(4,1)A ，(0,4)B ，直线:310l x y --= (1)在直线l 上求一点P ，使|P A |－|PB |最大，并求出最大值；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |+|P A ||最小，并求出最小值． 解析：（1）如图，作B 关于l 的对称点B '，设(,)B a b '则4310223(4)0a b a b +⎧⋅--=⎪⎨⎪+-=⎩， 求得33a b =⎧⎨=⎩，所以(3,3)B 'P由于B '与B 关于l 对称，所以有PB PB '= 所以PA PB PA PB '-=-根据三角形的两边之差小于第三边，有PA PB AB ''-≤=（当且仅当P 为AB '与l 的交点时取等号，求得(2,5)P ）PA PB -≤（2）易知直线AB 与直线l 相交时，交点为P ，此时（||P B |+|P A ||）min =|AB |=5【巩固1】 直线2x ＋3y －6＝0分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，P 是直线y ＝－x 上的一点，要使|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标是解析：由已知可得B (0,2)，A (3,0)，A (3,0)关于直线y ＝－x 的对称点为A ′(0，－3)，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |，由几何意义知，当B ，P ，A ′共线时|P A ′|＋|PB |最小，即|P A |＋|PB |最小，此时直线BA ′与直线y ＝－x 的交点为(0,0)，即使|P A |＋|PB |取得最小值的点P 的坐标为(0,0)(二) 距离乘积型的最值问题【例题3】 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．解析：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b ＝1. |MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1 ＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.【例题4】 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________.解析：由直线x ＋my ＝0求得定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0， 即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1，3).当m ＝0时，两条动直线垂直， 当m ≠0时，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|P A |·|PB |的最大值是5.【巩固2】 过点()1,2 P 做直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于 A 、B 两点（1（2解析：（1）x +2y -4=0; (2)x +y -3=0截距之和型的最值问题【例题5】 若直线a x ＋b y ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为解析：∵直线a x ＋b y ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.【巩固3】 过点()4,1P 做直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程 解析：周长型的最值问题【例题6】 已知点A (3,1),在直线y=x 和y=0上分别找一点M 和N ,使△AMN 的周长最短,最短周长为解析：设点A 关于直线y=x 的对称点为B (x 1,y 1),依题意可得解得即B (1,3),同样可得点A 关于y=0的对称点C (3,-1),如图所示,则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|, 当且仅当B ,M ,N ,C 共线时,△AMN 的周长最短,即|BC|==2.【巩固4】 点()5,3M ,在直线l ：022=+-y x 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ∆周长最小(三) 面积型的最值问题【例题7】 过点(2,1)P 作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使AOB ∆的面积最小时的直线l 的方程。
直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程五最值问题的面积最小时直线l的1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
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直线中的最值问题
基础卷
一．选择题：
1．设－π≤α≤π，点P (1, 1)到直线x cos α+y sin α=2的最大距离是 （A ）2－2 （B ）2+2 （C ）2 （D ）2
2．点P 为直线x －y +4=0上任意一点，O 为原点，则|OP |的最小值为 （A ）6 （B ）10 （C ）22 （D ）2
3．已知两点P (cos α, sin α), Q (cos β, sin β)，则|PQ |的最大值为 （A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）不存在
4．过点(1, 2)且与原点距离最大的直线方程是
（A ）x +2y －5=0 （B ）2x +y －4=0 （C ）x +3y －7=0 （D ）x －2y +3=0
5．已知P (－2, －2), Q (0, 1), R (2, m )，若|PR |+|RQ |最小，则m 的值为 （A ）21 （B ）0 （C ）－1 （D ）－3
4 6．已知A (8, 6), B (2, －2)，在直线3x －y +2=0上有点P ，可使|PA |+|PB |最小，则点P 坐标为
（A ）(2, 0) （B ）(－4, －10) （C ）(－10, －4) （D ）(0, 2)
二．填空题：
7．已知点A (1, 3), B (5, －2)，在x 轴上取点P ，使||PA |－|PB ||最大，则点P 坐标为 .
8．当2x +3y －7=0 (－1≤x ≤2)时，4x －5y 的最大、最小值分别为 .
9．函数y 的最小值为 .
10．给定三点A (0, 6), B (0, 2), C (x , 0)，当x <0且∠BCA 最大时, x = .
提高卷
一．选择题：
1．在直线y =－2上有一点P ，它到点A (－3, 1)和点B (5, －1)的距离之和最小，则点P 的坐标为
（A ）(1, －2) （B ）(3, －2) （C ）(194
, －2) （D ）(9,－2) 2．对于两条直线l 1: A 1x +B 1y +C 1=0, l 2: A 2x +B 2y +C 2=0，下列说法中不正确的是
（A ）若A 1B 2－A 2B 1=0，则l 112514449
7．若x +y +1=0的最小值为 .
8．直线l 在x 轴上的截距是1，又有两点A (－2, －1), B (4, 5)到l 的距离相等，则l 的方程为 .
9．过点P (2, 1)的直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于A , B 两点，当|PA |·|PB |取最小值时，直线l 的方程为 .
三．解答题：
10．某糖果公司的一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用(管理费、房租、还贷款、维修等)，它生产一千克糖果的成本是10元，而销售价是一千克15元，试问：每天应当生产并售出多少糖果，才能使收支平衡？即它的盈亏平衡点是多少？
综合练习卷
一．选择题：
1．已知A (－1, 1), B (1, 1)，在直线x －y －2=0上求一点P ，使它与A , B 的连线所夹的角最大，则点P 的坐标和最大角分别为
（A ）(－1, 1), 4π （B ）(1, －1), 4
3π （C ）(1, －1), 4π （D ）(－1, 1), 4
3π 2．已知直线l : y =4x 和点P (6, 4)，在直线l 上有一点Q ，使过P , Q 的直线与直线l 及x 轴在第一象限内围成的三角形面积最小，则点Q 坐标为 （A ）(2, 8) （B ）(8, 2) （C ）(3, 7) （D ）(7, 3)
3．已知三点P (1, 2), Q (2, 1), R (3, 2)，过原点O 作一直线，使得P , Q , R 到此直线的距离的平方和最小，则此直线方程为
（A ）y =(－
x （B ）y =(－1
x
（C ）y =
x （D ）y
x 4．过点M (4, 6)且互相垂直的两直线l 1, l 2分别交x 轴、y 轴于A , B 两点，若
线段AB 的中点为P ，O 为原点，则|OP |最小时，点P 的坐标为
（A ）(2, 3) （B ）(3, 2) （C ）(2, －3) （D ）(－3, 2)
5．集合A ={点斜式表示的直线}，B ={斜截式表示的直线}，C ={两点式表示的直线}，D ={截距式表示的直线}，则间的关系是
（A ）A =B =C =D （B ）A ÝB ÝC ÝD （C ）A =B , C =D （D ）A =B ÝC ÝD 6．已知两点A (8, 6), B (－4, 0)，在直线3x －y +2=0上有一点P ，使得P 到A , B 的距离之差最大，则点P 坐标为
（A ）(－4, 10) （B ）(4, －10) （C ）(－4, －10) （D ）(－10, －4)
二．填空题：
7．已知两点A (－2, －2), B (1, 3)，直线l 1和l 2分别绕点A , B 旋转，且l 18．已知三条直线l 1: 4x +y －4=0, l 2: mx +y =0, l 3: 2x －3my －4=0不能构成三角形，
则m 的值为 .
9．已知定点A (0, 3)，动点B 在直线l 1: y =1上，动点C 在直线l 2: y =－1上，且∠BAC =90°，则△ABC 面积的最小值为 .
10．有两直线ax －2y －2a +4=0和2x －(1－a 2)y －2－2a 2=0，当a 在区间(0, 2)内变化时，直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值为 .
三．解答题：
11．在呼伦贝尔大草原的公路旁，某镇北偏西60°且距离该镇30km 处的A 村和在该镇东北50km 的B 村，随着改革开放要在公路旁修一车站C ，从C 站向A 村和B 村修公路，问C 站修在公路的什么地方可使费用最省？
12．如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴(坐标原
点除外)上给定两点A , B ，试在x 轴的正半轴(坐标原点除
外) 上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。
参考答案。