数学分析(1)第二章 数列极限复习自测题

数学分析（1）第二章 数列极限复习自测题

一、仔细体会并熟练掌握lim n n a A →∞

=的N ε-定义（注意体会并正确理解ε和N 在定义中

的作用和含义，掌握用定义验证数列极限的基本思想【对任意给定的正数ε，寻找在n →∞的过程中，使得n a a ε-<实现的标准N 】和实现基本思想的具体实施方法【对任意给定的正数ε，求解关于n 的不等式“n a a ε-<”，得出“n >某常数”的这种形式的解】），并用此定义证明下列极限：

（1）21(1)lim 0n n n

n →∞+-=，0n →∞=； （2）2233lim 212

n n n n →∞+=-；

（3）1n =；

（4）1n =；

（5）若0n a ≥，lim n n a a →∞

=，则对于任意给定的正整数k ，lim n =

称为极限

的开方法则）。

二、正确理解并掌握lim n n a A →∞

=和lim n n a A →∞

≠的几何意义，并用此几何意义解决下面的问题：

（1）若221lim lim n n n n a a A +→∞

→∞

==，则lim n n a A →∞

=；

（2）若lim n n a A →∞

=，则lim n k n a A +→∞

=，k 为固定的正整数；

（3）数列{}n a 收敛（也称lim n n a →∞

存在）是指：存在数A ，使得lim n n a A →∞

=；数列{}

n a 发散（也称lim n n a →∞

不存在）是指：对任意的数A ，lim n n a A →∞

≠。

证明：对任意的数A ，lim(1)n

n A →∞

-≠，即{}

(1)n

-发散。

（4）试写出lim n n a A →∞

=的对偶命题（称为lim n n a A →∞

=的否定形式），即lim n n a A →∞

≠的精

确的不等式表示。

三、仔细体会并熟练掌握数列极限的常用性质【极限的惟一性，有界性，保号性，保不等式性，运算性（包括四则运算性，迫敛性或夹逼性），子列性】以及常用性质的证明方法（注意体会定义在讨论数列极限问题中的作用），并用这些性质解决下面的问题：

1、用四则运算性计算下列极限（注意体会四则运算法则使用的前提条件）：

（1）223lim 21n n n

n →∞+-；)n n →∞

；（2）n →∞+ ； （3）22lim(1)(1)(1)n

n ααα→∞

+++ ，其中1α<。

2、用迫敛性或夹逼法则计算或证明下列极限（注意体会夹逼法则使用的前提条件）：

（1）

n →∞

+ ；

（2）n ；

（3）若lim 0n n a A →∞

=>，则1

lim []n n na A n

→∞=，1n =（注意体会与极限的开方

法则的区别）；

3、用保号性证明：若lim n n a A →∞

=，lim n n b B →∞

=且A B >，则存在正数N ，当n N >时

有n n a b >（称为数列极限保序性的一般形式）；

4、利用子列性证明1

lim[(1)]n

n n →∞

-+和lim cos

2

n n π

→∞

不存在（注意子列性在讨论数列发散问题中的作用）。

（注：子列性的一个典型的作用是提供判断某些数列发散的有效方法） 四、仔细体会并熟练掌握关于数列极限存在性的单调有界定理和柯西准则，并用它们解决下面的问题：

1、分别用单调有界定理和柯西准则两种方法证明数列

11

111!2!

!n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭ 和11112n ααα⎧⎫

+++⎨

⎬⎩⎭

（其中2α≥）

； 收敛；

2、（1）若数列{}n a 满足：1a =1n a +=1,2,n = ），证明lim n n a →∞

存在，

并求其值；

（2）若数列{}n a 满足：设0c >，1a =1n a +=1,2,n = ），证明lim n

n a →∞

存在，并求其值。

3、（1）体会柯西准则【{}n a 收敛⇔对任意给定的正数ε，存在0N >，当n N >时，对一切自然数p ，总有n p n a a ε+-<】中，标准0N >与p 的关系；

（2）写出柯西准则的对偶命题；

（3）用柯西准则的对偶命题可得一个有用的结论：若存在{n a }的两个子列{k n a }和{k n b }，使得lim()0k k n n k a b →∞

-≠，则lim n n a →∞

不存在，即{n a }发散。试利用此结论证明：

lim(1)n n n →∞

-和11lim(1)2n n

→∞

+

++ ， 都不存在。

4*、记111ln 2 n U n n =+

++-，11

1ln(1)2 n V n n

=+++-+，则 （1）n n V U ≤；

（2） n U ， n V ；（注意：利用不等式，当1x >-时，ln(1)x x +≤）

（3）lim n n U →∞

和lim n n V →∞

都存在，且lim lim n n n n U V →∞

→∞

=；（注意：利用（1）和（2）以及单

调有界定理，以及()lim 0n n n U V →∞

-=）

（4）11lim 12 n n →∞

⎛

⎫+

++=+∞ ⎪⎝⎭，从而1

112

n ⎧⎫+++⎨⎬⎩⎭发散；

（注意：利用（3）和11

1ln 2 n U n n

+++=+）

； （5）1

11lim ln 2122 n n n n →∞⎛⎫+++=

⎪++⎝

⎭。

五、（1）归纳已学过的求数列极限的方法（定义法、定义的几何意义法、极限的性质法、利用极限存在的条件的方法等）；

（2）归纳已学过的判断数列极限不存在的判别方法（极限定义的对偶命题、极限定义几何意义的对偶命题、子列性产生的方法、柯西准则的对偶命题）。

六、第二章的学习报告

要求至少包括两个方面：

1、通过本章的学习（特别是在学习过程中）所获得的收获；

2、在学习过程中还存在的问题，拟解决这些问题的计划。