考前冲刺卷01-2021年高考数学(理)一模考前冲刺集训卷(解析版)
2021年高考数学冲刺卷01 理(新课标Ⅰ卷)答案
2021年高考数学冲刺卷01 理（新课标Ⅰ卷）答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A2.【答案】B 【解析】试题分析：因为α为锐角，且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以23sin()1cos ()665ππαα+=-+=，所以 3424sin 2sin 22sin cos 236665525ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.3.【答案】D【解析】若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少一个为真命题，因此p q ∧不一定为真命题，所以选项A 错误；“0a >，0b >”时“22b a b a a b a b +≥⨯=”，充分性成立，而2()2200b a b a a b a b a b ab-+≥⇒+-≥⇒≥ 0ab ⇒>，即“0a >，0b >”不一定成立，即必要性不成立，所以选项B 错误；命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，所以选项C 错误； 命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥，所以选项D 正确.故选D.4.【答案】A【解析】设两个腊肉馅的粽子为a ，b ，三个豆沙馅的粽子为d ，e ，f ，事件A 含有的基本事件有“ab ，de ，df ，ef ”4个，事件B 含有的基本事件有“de ，df ，ef ”3个，所以()34P B A =，故选A ．5.【答案】C【解析】因为222246c a b =+=+=，所以6c =()1F 6,0，()2F 6,0，不妨设l 的方程为2y x =，设()002x x P ，则()100F 6,2x x P =--，()200F 6,2x x P =-，因为12F F 0P ⋅P =，所以()206620x x x-+=，解得02x =±P 到x 022=，故选C.6.【答案】B【解析】由俯视图知点M 为1D A 的中点、N 与C 重合、Q 与1D 重合，所以三棱锥Q -BMN 的正视图为1CD ∆P ，其中点P 为1DD 的中点，所以三棱锥Q -BMN 的正视图面积为211224a a a ⨯⨯=，故选B.7.【答案】C【解析】6nx x x ⎛+ ⎪⎝⎭的通项为1566()21rn r r n r r r n n T C x C x x x --+== ⎪⎝⎭，由15602n r -=得：54n r =，因为n 为正整数，所以当4r =时，n 的最小值是5，故选C.8.【答案】A9.【答案】D【解析】由程序框图得()()()12342013201420152016012101S a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++++=++-+++()()()()()504410120141012016166665043024+++⋅⋅⋅+++-+++++=++⋅⋅⋅+=⨯=个，故选D.10.【答案】B【解析】设C B 的中点为D ，则C 2D OB +O =O ，∵()()C C 20OB -O ⋅OB +O -OA =，∴()C 2D 20B⋅O -OA =，即C 2D 0B⋅A =，∴C D B ⊥A ，故C ∆AB 是以C B 为底边的等腰三角形，故选 B ． 11.【答案】B【解析】三棱锥CD A-B 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对22212314++，它的外接球半径是142，外接球的表面积是2144142ππ⎛⨯= ⎝⎭．故选B ．12.【答案】D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.【答案】232π+ 【解析】试题分析：12311112|33x dx x --==⎰，而根据定积分的定义可知1211x dx --⎰表示圆心在原点的单位圆上半部分半圆的面积，∴11222221112(1)132x x dx x dx x dx π---+-=+-=+⎰⎰⎰. 14. 【答案】[)3,+∞【解析】若20x y m -+≥总成立2m y x ⇔≥-总成立即可，设2z y x =-，即求出z 的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图四边形C OAB 内部（含边界），由2z y x =-得2y x z =+，平移直线2y x z =+，当其过点()C 0,3时，直线的截距最大，此时z 最大，此时3203z =-⨯=，∴3m ≥，故m的取值范围是[)3,+∞．15. 2516.【答案】230【解析】设x AC =，在ABC ∆中，由余弦定理有：B B x cos 1620cos 42242222-=⨯⨯-+=，同理，在ADC ∆中，由余弦定理有：D D x cos 3034cos 53253222-=⨯⨯-+=，即7cos 8cos 15=-B D ①，四边形ABCD 面积为)sin 15sin 8(21sin 5321sin 4221D B D B S +=⨯⨯+⨯⨯=，即8sin 15sin B D + 2S =②，①②平方相加得264225240(sin sin cos cos )494240cos()B D B D S B D ++-=+-+24240S =-，当π=+D B 时，S 取最大值302.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．【解析】解：（1）由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈ …………………1分 ∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列 ……………………………………3分 由125,,a a a 成等比数列得2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =…………………………4分 ∴*21()n a n n N =-∈………………………………………………………5分（2）由（1）可得2(21)(2)(21)2n n n b n n =-⋅=-……………………………………6分 ∴1231n n n T b b b b b -=+++++即123123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①…………………………………………8分23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②……………………………10分①—②可得：23122(222)(21)2n n n T n +-=++++--∴1(23)26n n T n +=-+………………………………………………………………12分 18.（本小题满分12分）【答案】（1）ˆ8.69 1.23y x =-；（2）2.72吨．【解析】解：(1)()11234535x =++++=，()17.0 6.5 5.5 3.8 2.255y =++++=…………………2分 5117.02 6.53 5.54 3.85 2.262.7i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑522222211234555ii x==++++=∑………………4分∴5152221562.7535ˆ 1.2355535i ii i i x y x ybx x==-⋅⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑…………………6分()ˆˆ5 1.2338.69ay bx =-=--⨯=…………………7分 ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ8.69 1.23yx =-…………………8分 (2)年利润(8.69 1.23)2z x x x =-- …………………10分21.23 6.69x x =-+…………………11分所以当 2.72x =时，年利润z 最大.…………………12分 19.（本小题满分12分） 【答案】（1）证明见解析；（2）155．则（2）法2：由（1）可知AP AD AE ,,两两垂直，以A 为坐标原点，以AP AD AE ,,分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设a AP =…………………6分 则)2,21,23(),0,0,3(),,0,0(),0,2,0(),0,1,3(),0,1,3(),0,0,0(a F E a P D C B A - ),22,0(λλa H -（其中]1,0[∈λ）)),1(2,3(λλa --=∴面PAD 的法向量为)0,0,1(=()()222222233sin cos ,487341n aa θλλλλ=HE==+-++-+EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为26∴78)4(3sin 222+-+=λλθa 的最大值为53即78)4()(22+-+=λλa a f 在]1,0[∈λ的最小值为5函数)(a f 对称轴)1,0(442∈+=a λ ∴=min )(a f 5)44(2=+a f ，计算可得2=a …………………………8分 ∴)1,21,23(),0,0,3(==→→AF AE 设平面AEF 的一个法向量为),,(111z y x m =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•→→→→0AF m AE m因此⎪⎩⎪⎨⎧=++=02123031111z y x x ，取11-=z ，则)1,2,0(-=→m …………9分 )0,3,3(-=BD 为平面AFC 的一个法向量.…………………………10分∴515||||,cos =>=<BD m BD m BD m ………………………………11分 ∴所求二面角的余弦值为515…………………………………12分 20.(本小题满分12分)【答案】（1）2；（2）2l 恒过定点(2,0)，理由见解析.21.（本小题满分12分）【答案】（1）0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞，0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞，0<b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(-∞，),1(+∞-b ；（2）)21,22(-e ． 【解析】（1）当21=a ，xe bx x xf -++=)1()(2， x e b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2，……………………………1分令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12.当0=b 时，0)(≤'x f ，……………………………2分当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f ，……………………………3分 当0<b ，b x -<<11时，0)(>'x f ，b x ->1或1<x 时，0)(<'x f ，…………4分 ∴0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞；当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当4ea ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当441ea <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，∴)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h ，……………………………8分 若)(x h 有两个零点，则有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h ，)441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(ea e a a ab a a a a h <<-+-=--=，……………………………9分设)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，则x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =，当e x <<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减，01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，∴0))4(ln(<a h 恒成立，……………………………10分由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得2122<<-a e ， 当2122<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为1x ，2x ，则)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，∴0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，则)(x g 在),(21x x 内有零点， 综上，实数a 的取值范围是)21,22(-e .……………………………12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本题满分10分） 【答案】（1）证明见解析；（2）45．（2）解：连结BF ∵C B 为圆O 的直径∴BF EC ⊥ ………………………………6分 由BF CE BE BC S BCE ⋅=⋅=∆2121 得552521=⨯=BF …………………………8分 又在Rt BCE ∆中，由射影定理得542==⋅BF FC EF ……………………10分 FC23.（本题满分10分）【答案】（1）()2211x y -+=；（2）3332. 【解析】（1）由θρcos 2=，可得：θρρcos 22=，所以x y x 222=+故在平面直角坐标系中圆的标准方程为()2211x y -+= ………………5分（2）在直角坐标系中，(0,33A ，333,22⎛⎫B ⎪ ⎪⎝⎭所以3)33233()023(22=-+-=AB ，直线AB 的方程为：333=+y x 所以圆心到直线AB 的距离34333=-=d ，又圆C 的半径为1，所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为13+故ABP ∆面积的最大值为233331321+=⨯+=）（S ………………10分 24.（本题满分10分）【答案】（1）(),2(0,)-∞-+∞；（2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
数学(新高考)2022届高考考前冲刺卷(一)教师版
（新高考）2022届高考考前冲刺卷数 学 （一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}05,U x x x =<<∈N ，{}2560M x x x =-+=，则U M =（ ） A ．{}2,3 B ．{}1,5C ．{}1,4D ．{}2,3,5【答案】C【解析】由题设，{2,3}M =，{1,2,3,4}U =，所以{1,4}U M =，故选C ． 2．复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则i z ⋅=（ ） A ．2i -+ B ．2i +C ．2i --D ．2i -【答案】D【解析】依题意12i z =-+，12i z =--，()i 12i i 2i z ⋅=--⋅=-，故选D ．3．函数sin()()e ex xx f x π-=+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】函数sin()()e e x x x f x π-=+定义域为R ，sin()sin()()()e e e ex xx x x x f x f x ππ-----===-++， 即()f x 是奇函数，A ，B 不满足；当(0,1)x ∈时，即0x ππ<<，则sin()0x π>， 而e e 0x x -+>，因此()0f x >，D 不满足，C 满足， 故选C ．4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是直角三角形，且1AB BC AA ==，D 为棱11B C 的中点，点E 在棱BC 上，且4BC BE =，则异面直线AC 与DE 所成角的余弦值是（ ）A ．3417B ．3434C ．105D ．1010【答案】B【解析】如图所示，在棱BC 上取点F ，使CF BE =，连接11,,C F AF A F ， 因为1AB BC AA ==，D 为棱11B C 的中点，点E 在棱BC 上，且4BC BE =，设14AB BC AA ===，可得1BE CF ==，3BF =，1142AC AC ==，2EF =， 在ABF △中，因为4,3AB BF ==，所以22435AF =+=， 在直角1A AF △中，221141A F AA AF =+=，在直角1C CF △中，221117C F CC CF =+=，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号因为D 是11B C 的中点，所以12C D =，所1EF C D =，又因为11BC B C ∥，所以1EF C D ∥，所以四边形1C DEF 是平行四边形， 所以1DE C F ∥，所以11A C F ∠是异面直线AC 与DE 所成的角，在11A C F △中，由余弦定理可得1132174134cos 3424217AC F +-∠==⨯⨯， 即异面直线AC 与DE 所成角的余弦值是3434，故选B ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足10a <，916S S =，则（ ） A ．0d < B ．n S 的最小值为25SC ．130a =D ．满足0n S >的最大自然数n 的值为25【答案】C【解析】由于916S S =，101112131415160a a a a a a a ++++++=，∴上式中等差中项130a =，13110120a a a d -=-=>，即0d >，故A 错误； 由等差数列的性质可知2513250S a ==，110S a =<，即125S S <，故B 错误； 由以上分析可知C 正确，D 错误， 故选C ．6．从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（ ） A ．57B ．35C ．25D ．13【答案】A【解析】随机取出三个小球共有3735C =种情况，任意两个小球编号都不相邻的基本事件有()1,3,5，()1,3,6，()1,3,7，()1,4,6，()1,4,7，()1,5,7，()2,4,6，()2,4,7，()2,5,7，()3,5,7共有10种，故所求概率为35105357-=，故选A ． 7．已知函数()21ln ,02,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩，则函数[()1]y f f x =+的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】令()()21ln 1,011,0x x x t f x x x ⎧-+>⎪=+=⎨⎪+≤⎩． ①当0t >时，1()ln f t t t=-，则函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，由于(1)10f =-<，1(2)ln 202f =->，由零点存在定理可知，存在1(1,2)t ∈，使得()10f t =；②当0t ≤时，2()2f t t t =+，由2()20f t t t =+=，解得2320t t =-=，． 作出函数()1t f x =+，直线120t t t t ==-=、、的图象如下图所示：由图象可知，直线1t t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点； 直线0t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点； 直线2t =-与函数()1t f x =+的图象有且只有一个交点， 综上所述，函数()1y f f x ⎡⎤=+⎣⎦的零点个数为5，故选D ．8．已知两条直线1:2320l x y -+=，2:3230l x y -+=，有一动圆（圆心和半径都在变动）与12,l l 都相交，并且12,l l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．()22165y x --= B ．()22165x y --= C ．()22165y x -+= D ．()22165x y +-=【答案】D【解析】设动圆圆心(),P x y ，半径为r ， 则P 到1l的距离1d =，P 到2l的距离2d =因为12,l l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，24∴==，化简后得222212169,144r d r d -=-=，相减得222125d d -=，将1d =，2d =()22165x y +-=，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数是7B ．若随机变量1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()4=9D X C ．若事件A ，B 满足()()()1P AB P A P B ⎡⎤=⋅-⎣⎦，则A 与B 独立 D ．若随机变量()2~2,X N σ，()10.68P X >=，则()230.18P x ≤<= 【答案】CD【解析】A ：由1070%7⨯=，所以70%分位数是787.52+=，错误； B ：由题设，()1146(1)333D X =⨯⨯-=，错误；C ：因为()()()P AB P AB P A +=，即()()()P AB P A P AB =-， 又()()()[1]P AB P A P B =⋅-，即()()()()P A P B P A P AB =-， 所以()()()B P AB P A P =，故A 与B 独立，正确；D ：由题设，()P X 关于2X =对称，所以()2(1)1230.182P X P x >-≤<==，正确，故选CD ．10．已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ） A ．()00g =B ．()g x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增 C ．()g x 的图象关于4x π=-对称D ．()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是1 【答案】AC【解析】由题意222ππω=，2ω=，所以()cos(4)6f x x π=-， 1()cos[4()]cos(4)sin 4662g x x x x πππ=+-=+=-，()sin 2g x x =-，(0)0g =，A 正确； 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220,x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =递增，()g x 递减，B 错；()sin()142g ππ-=--=是最大值，C 正确；,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =的最小值是12-，()g x 的最大值是12， D 错， 故选AC ．11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ） A ．若O 为线段PQ 中点，则2PF =B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ⊥ D ．PFQ △面积的最小值为2【答案】AD【解析】抛物线24y x =的准线为1x =-，焦点()1,0F ， 若O 为PQ 中点，所以1P x =，所以12p PF x =+=，故A 正确；若4PF =，则413P x =-=，所以OP ===，故B 错误；设()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21,2FP a a =-，22,QF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22224220FP QF a a ⋅=-+=+>，所以FP 与FQ 不垂直，故C 错误；212112212PFQ P Q S a OF a y a a y =+=⋅⨯⨯=+⋅-≥△，当且仅当1a a=，即1a =±时，取等号， 所以PFQ △面积的最小值为2，故D 正确， 故选AD ．12．定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”．根据定义可得（ ） A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数”B ．()ex x f x =在()1,2上是“弱减函数”C ．若()ln x f x x=在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤ 【答案】BCD【解析】对于A ，1y x =在()0,+∞上单调递减，()1y xf x ==不单调，故A 错误； 对于B ，()e x x f x =，()1ex xf x -'=在()1,2上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，()2e x x y xf x ==，()2220e ex xx x x x y --'==>，∴y 在()1,2单调递增，故B 正确； 对于C ，若()ln x f x x =在(),m +∞单调递减，由()21ln 0xf x x-'==，得e x =， ∴e m ≥，()ln y xf x x ==在()0,+∞单调递增，故C 正确；对于D ，()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()sin 20f x x kx '=-+≤在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立minsin 2x k x ⎛⎫⇒≤ ⎪⎝⎭， 令()sin x h x x =，()2cos sin x x x h x x-'=，令()cos sin x x x x ϕ=-，()cos sin cos sin 0x x x x x x x ϕ'=--=-<，∴()x ϕ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()()00x ϕϕ<=，∴()0h x '<，∴()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()22h x h ππ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，∴212k k ππ≤⇒≤，()()3cos g x xf x x x kx ==+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()2cos sin 30g x x x x kx =-+≥'在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，∴2maxsin cos 3x x x k x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 令()2sin cos x x x F x x -=，()23cos 2cos 0x x x F x x+'=>， ∴()F x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()22F x F ππ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，∴2233k k ππ≥⇒≥，综上：213k ππ≤≤，故D 正确，故选BCD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()(),2λλ=∈R m ，()3,3=-n ，若()3⊥+n m n ，则实数λ=______． 【答案】20【解析】依题意()()()3,233,39,11λλ+=+-=-m n ，若()3⊥+n m n ，则()()()33,39,11327330λλ⋅+=-⋅-=-++=n m n ，解得20λ=， 故答案为20．14．将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有n 种不同的放法，则在nx ⎛ ⎝的展开式中，含2x 项的系数为________． 【答案】70【解析】由题意得328n ==，在8x ⎛ ⎝展开式中，818(r r r r T C x -+=， 当1822r r --=，即4r =时，该项为270x ，故答案为70．15．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S ，a ，b ，c 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；,,a b c h h h分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则111222a b c S ah bh ch ====．若在ABC △中，2a h =，7b h =，c h =__________．【答案】3【解析】由a b c ah bh ch ==，知111::::8:7:5a b ca b c h h h ==，设8,7,5a k b k c k ===，则2S ===，又182S k =⨯=，∴2=，∴1k =，∴8,7,5a b c ===，∴2221cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈，∴3B π=，∴该三角形外接圆的直径2sin 3b R B ===，．16．定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”．已知A ，B ，C，D 是半径为2的球面上四点，AB CD ==AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为__________；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为___________． 【答案】(]0,2，4【解析】设O 为,,,A B C D 所在球面的球心，∴2OA OC==． ∵AB CD ==,E F 分别是,AB CD 的中点， ∴OE AB ⊥，OE CD ⊥，且AE CF == ∴1OE OF ==，则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点， 若以EF 为直径作球，则02EF OE OF <≤+=， 即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0,2]． ∵E 是AB 中点，∴223A BCD A CDE CDE V V S d --==⋅△， d为点A 到平面CDE 距离，d AE ≤=，又12CDE S CD h =⋅△，h 为点E 到CD 距离，2h EF ≤≤，∴22323432A BCDV -⨯≤⨯⨯=，当且仅当,E O ，F 三点共线，且AB ⊥CD 时，等号成立． 故答案为(0,2]，4．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C -=． （1）求角B 的大小；（2）已知3b =，若D 为ABC △外接圆劣弧AC 上一点，求AD DC +的最大值．【答案】（1）3π；（2）23 【解析】（1）法一：∵22cos a c b C -=， 由正弦定理得2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=， ∴2(sin cos sin cos )sin 2sin cos B C C B C B C +-=， ∴()sin 2cos 10C B -=， ∵sin 0C ≠，∴1cos 2B =， 又∵0B π<<，∴3B π=． 法二：∵22cos a c b C -=，由余弦定理得22222222222a b c a c b a ac a b c ab +--=⋅⇒-=+-， ∴222a cb ac +-=，∴2221cos 22a cb B ac +-==，∵0B π<<，∴3B π=．（2）由（1）知，3B π=，而四边形ABCD 内角互补，则23ADC π∠=，法一：设DAC ∠θ=，则3DCA πθ∠=-，由正弦定理得232sin sinsin 33AD DC ACππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭∴33AD πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23DC θ=，∴23233cos 3232333AD DC ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+=+=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3AD DC ==AD DC +的最大值为23法二：在ADC △中，23ADC π∠=，3AC =， 由余弦定理得22222cos 3AC AD DC AD DC π=+-⋅，∴22()()994AD DC AD DC AD DC ++=+⋅≤+，∴23AD DC +≤当且仅当3AD DC ==AD DC +的最大值为2318．（12分）已知数列{}n a 满足113a =，1111n n a a ++=+． （1）设1n nb a =，证明：{}n b 是等差数列； （2）设数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）()()3234212n n S n n +=-++．【解析】（1）因为111111111111111n n n n n n n n n n n n a b b a a a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-++，∵1n nb a =，∴1113b a ==，所以数列{}n b 是以3为首项，1为公差的等差数列． （2）因为1113b a ==，所以3(1)12n b n n =+-⨯=+， 由12n n a =+，得12n a n =+， 故()1111222n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以1212n n a a a S n=++⋅⋅⋅+ 1111111111111112322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111111232435112n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭()()111113113231221222124212n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭． 19．（12分）如图1，在平面四边形PDCB 中，PD BC ∥，BA PD ⊥，1PA AB BC ===，12AD =．将PAB △沿BA 翻折到SAB △的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，如图2所示．（1）设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：BC l ⊥；（2）在线段SC 上是否存在一点Q （点Q 不与端点重合），使得二面角Q BD C --的余弦值为66，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --的余弦值为66，理由见解析．【解析】（1）证明：延长,BA CD 相交于点E ，连接SE ， 则SE 为平面SCD 与平面SBA 的交线l ． 证明如下：由平面SAB ⊥平面ABCD ，BA AD ⊥，AD ⊂平面ABCD ， 且平面SAB平面ABCD AB =，所以AD ⊥平面SAB ，又由AD BC ∥，所以BC ⊥平面SAB ，因为SE ⊂平面SAB ，所以BC SE ⊥，所以BC l ⊥． （2）解：由（1）知：,,SA AB AD AB SA AD ⊥⊥⊥，以A 为坐标原点，以,,AD AB AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得1(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(,0,0),(0,0,1)2A B C D S ，则1(,1,0)2BD =-，设SQ SC λ=(其中01)λ<<，则(,,1)Q λλλ-，所以(,1,1)BQ λλλ=--，设平面QBD 的法向量为(,,)x y z =n ，则()()102110BD x y BQ x y z λλλ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+-+-=⎩n n ，令2x =，可得131,1y z λλ-==-，所以13(2,1,)1λλ-=-n ， 又由SA ⊥平面BDC ，所以平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，则21361cos ,135()11λλλλ-⋅-==⋅-+⋅-m n m n m n ，解得12λ=， 所以存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --6．20．（12分）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m （其中：100400m ≤≤），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值m150≤m <350 100≤m <150或350≤m ≤400等级A 级B 级（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的60%分位数；（2）从样本的B 级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A 级零件的利润是10元，一个B 级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润．【答案】（1）2875．；（2）分布列见解析，数学期望为32；（3）每箱零件的利润是4750元．【解析】（1）前三组的频率和为00010002000350030.6++⨯=<（...）.，前四组的频率和为030008500706+⨯=>．．．．， 设60%分位数为x ，(250,300)x ∈，0.3(250)0.0080.6x +-⨯=，解得2875x =.，∴产品的质量指标值的60%分位数为2875．． （2）()0.0010.0015010010+⨯⨯=，所以样本的B 级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，故ξ可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为30553101(0)12C C P C ξ===，()21553105112C C P C ξ===，()12553105212C C P C ξ===，03553101(3)12C C P C ξ===，随机变量ξ的分布列为ξ123P112512512112所以期望()1212122E ξ=++=． （3）设每箱零件中A 级零件有X 个，则B 级零件有()500X -个，每箱零件的利润为Y元，由题意知：()10550052500Y X X X =+-=+，由（2）知：每箱零件中B 级零件的概率为()0.0010.001500.1+⨯=，A 级零件的概率为10109-=．．，所以()~500,0.9X B ，所以()5000.9450E X =⨯=， 所以()()()52500525004750E Y E X E X =+=+=(元)， 所以每箱零件的利润是4750元．21．（12分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，点11,4T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在E 上． （1）求TF ；（2）O 为坐标原点，E 上两点A 、B 处的切线交于点P ，P 在直线2y =-上，P A 、PB 分别交x 轴于M 、N 两点，记OAB △和PMN △的面积分别为1S 和2S ．试探究：12S S 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．【答案】（1）54；（2）是，12S S 为定值2．【解析】（1）因为点11,4T ⎛⎫⎪⎝⎭在E 上，于是112p =，解得2p =，所以15424p TF =+=．（2）抛物线方程为24x y =，故214y x =，所以12y x '=． 设A 、B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P A 的方程为2111()24x x y x x =-+，即21124x x y x =-；同理PB 的方程为22224x x y x =-， 联立P A ，PB 方程得122P x x x +=，124P x xy =， 所以P 、M 、N 的坐标分别为1212,24x x x x+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1224x x =-，128x x =-， 设AB 的直线方程为y kx b =+，联立24y kx bx y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx b --=，由韦达定理可知1248x x b =-=-，所以2b =， 故直线AB 过定点(0,2)，所以11212122S x x x x =⋅⋅-=-，12122122222x x x x S -=⋅⋅-=，因此，122S S =，故12SS 为定值2． 22．（12分）已知函数2()1e x ax f x =-，0a ≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >，0a >时，e ()x f x bx ≥，证明：32e 27ab ≤． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()()()2222e e e e x xxxax x ax ax f x --'=-=．①当0a >时，当(,0)x ∈-∞或(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．②当0a <时，当(,0)x ∈-∞或(2,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2）由e ()x f x bx ≥，得2e 0x ax bx --≥，因为0x >，所以e 0x ax b x--≥， 令()()e 0xg x ax b x x =-->，则()()21e x x g x a x-'=-， 设()()()21e 0x x h x ax x-=->，则()()2322e 0xxx h x x-+'=>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增， 又因为()10h a =-<，()()()()21221e 1011aa a a h a a a a a a a +⋅++=->-=-=++，（由（1）知当1a =时，()()24210e f x f ≥=->，所以当0x >时，210ex x ->，即2e x x >．） 所以，存在0(1,1)x a ∈+，使得0()0h x =，即()0021e x x a x-=．所以，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()0000e 0x g x g x ax b x ≥=--≥，所以()()000000001e 2e e xxx x x b x x x --≤-=，所以()()()222000033032e 12e x x x x x x ab xx-+---≤=．设()()()22332e 1xx x F x x x -+-=>，则()()()2322244232227106e e xx x x x x x x F x x x--+-+-'=-⋅=-⋅， 当312x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；当32x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 所以()332e 227F x F ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以32e 27ab ≤．。
2021-2022年高三考前冲刺模拟 数学理
2021-2022年高三考前冲刺模拟 数学理一、选择题（共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一个是对的，共60分）1. 已知集合A={-2,-1,0,1,2}，}0)2)(1(|{<+-=x x x B ，则 等于 （ ）A. B. C. D.2. 设复数满足，则（ ）A.B.C.D.3. 下列说法错误的是 ( ) A. 命题"若 ，则 "的逆否命题是："若 ，则 " B. " "是" "的充分不必要条件C. 若 且 为假命题，则 、 均为假命题D. 命题 " ，使得 "，则 " ，均有 "4. 函数的图象的图象（ ）A. 关于原点对称B. 关于直线 对称C. 关于 轴对称D. 关于直线 对称5. 已知公差不为零的等差数列，若成等比数列，则等于（ ） A. B.C.D.6. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A. B. 1 C. D. 27. 执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D.8. 设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，9. 将4名大学生分配到A 、B 、C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有 （ ）A. 种B.C. 种D. 种10. 若33)24cos(,31)4cos(,0220=-=+<<-<<βπαπβππα，，则=（ ）A.B.C.D.11. 已知抛物线的焦点为F ，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为（ ）A.B.C.D.12. 已知定义在R 上的奇函数,设其导函数为.当时,恒有,令，则满足的实数x 的取值范围是 ( )A.B.C. D.第II 卷二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 等腰中，则 ．14. 已知正数满足约束条件，则的最小值为 ．15. 数列的前n 项和满足，若，则A= ，数列的前n 项和= ． 16. 在锐角三角形中，若，则的最小值是 ．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 某同学用“五点法”画函数)2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．求的图象离原点O 最近的对称中心．18. 如图，在直三棱柱中，，，点D 是BC 的中点． （1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）判断在线段上是否存在一点M ，使得? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19. 某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．（1）求比赛三局甲获胜的概率； （2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望．20. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x E ：的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为．（1）求椭圆E 的离心率；（2）如图，AB 是圆25)1()2(22=-++y x M ：的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程．21. 已知函数bx ax x f x g x x f ++==2)()(,ln )(，其中函数的图象在点处的切线平行于x 轴．（1）确定 与 的关系； （2）若，试讨论函数的单调性；（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点)()()(212211x x y x B y x A <，，，，,求证：．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2021年高考考前冲刺卷1答案与解析(新)——2021年高考数学模拟试卷
列判断正确的是
A. 若 ， m ， n ，则直线 m 与 n 一定平行 B. 若 m ， n ， ，则直线 m 与 n 可能相交、平行或异面
C. 若 m ， l // ，则直线 m 与 n 一定垂直 D. 若 m ， n ， // ，则直线 m 与 n 一定平行
直角三角形，同理
也为等腰直角三角形，
所以 所以
ᩀ ， 트ᩀ ， ᩀ平面 BSH，
트= ，
所以二面角 − − 트 的平面角为 트 = ，
因为 = 트 = ，所以 트 为正三角形，
取 BH 的中点 Q，连结 SQ，则 ᩀ 트 ，所以 = ，
因为 ᩀ平面 BSH， 平面 BSH，所以 ᩀ ，
又 ᩀ트 ，
트 = ，AM，트 平面 ABCD，所以
x
_____ .
【答案】： 4 ， 28 . 3 75
15.已知直线 l : y x 4 和圆 C : x2 y2 1 ，P1, P2 为直线 l 上的两个不同点，过点 Pi (i 1, 2)
做圆 C 的两条切线，切点分别为 A1, B1 和 A2 , B2 ，记直线 A1B1 为 l1 ， A2B2 为 l2 ，则 l1, l2 的
此处方法有三种.
方法一（递推式作差）
将 n 1 an1 nan 3与 () 作差得，
n 1 an1 2n 1 an n 1 an1 0n 2 ，即 an1 an1 2an ， 所以an 为等差数列.由 2S1 a1 3 a1 3 ，得 an n 4.
方法二（累加求和）
()
2021 年高考考前冲刺卷 1 答案与解析（ ） wyq 数学名师工作室编制
1.设集合 A {x | x 2}， B {y | y 2x 1, x A} ，则 A B （ ）
2021年高三下学期考前冲刺卷(一)数学(理)试题 含答案
绝密★启封并使用完毕前2021年高三下学期考前冲刺卷（一）数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数，则a+b等于( ).A. 1B. 3C. -1D. -32．已知全集U={x∈Z|x2-9x+8<0}，M={3,5,6}，N={x|x-9x+20=0}，则集合{2,7}为( ).A. M∪NB. M∩NC. CU(M∪N)D. CU(M∩N)3．设x∈R，向量a=(2,x)，b=(3,-2)，且a⊥b，则|a-b|等于( ).A. 5B.C.D. 64．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为().A. B. C. D.5．将函数的图象向右平移个单位后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间为().A. B.C. D.6．如果执行如图所示的程序框图，输出的S=240，那么判断框中为().A. k≥15?B. k≤16?C. k≤15?D. k≥16?7．已知中心在坐标原点的双曲线C与拋物线x2=2py(p>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥y轴，则双曲线的离心率为().A. B. C. D.8．已知实数x,y满足如果目标函数z=5x-4y的最小值为-3，那么实数m等于().A. 3B. 2C. 4D.9．已知四面体ABCD中，AB=AD=6，AC=4，CD=，AB⊥平面ACD，则四面体ABCD外接球的表面积为().A. 36πB. 88πC. 92πD. 128π10．设函数f(x)=2a-x-2kax(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是减函数，则g(x)=loga(x-k)的图象是().11．若直线y=-nx+4n(n∈N*)与两坐标轴所围成封闭区域内(不含坐标轴)的整点的个数为an(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点)，则等于().A. 1012B. 2012C. 3021D. 400112．定义在实数集R上的函数y=f(x)的图象是连续不断的，若对任意实数x存在实常数t使得f(t+x)=-tf(x)恒成立，则称f(x)是一个“关于t函数”.有下列“关于t函数”的结论：①f(x)=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f(x)=x2是一个“关于t函数”.其中正确结论的个数是().A. 1B. 2C. 3D. 0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三数学理高考冲刺之热身考试题 含答案
2021年高三数学理高考冲刺之热身考试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1、设全集R，{|(2)0},{|ln(1)},=-<==-则（）A x x xB x y xA． B． C． D．2、已知复数z的实部为，虚部为2，则= （）A． B． C． D．3、已知，则“”是“恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4、函数（）A．是偶函数，且在上是减函数； B．是偶函数，且在上是增函数；C．是奇函数，且在上是减函数； D．是奇函数，且在上是增函数；5、已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A. B. C. D.6、图1是某市参加xx年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜97、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）A. 60B. 48C. 42D. 368、称为两个向量间的距离。
若满足：① ②； ③对任意的恒有，则 （ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）9、某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容量为___________ 10、设满足约束条件,则的 最大值是_________.11 、已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥的体积为 . 12、若23*0123(1)()n n n x a a x a x a x a x n N -=++++⋅⋅⋅+∈，且，则13、数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若，第k 行的第s 个数（从左数起）记为。
2023-2024学年河北高考考前冲刺数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北高考考前冲刺数学模拟试题（一模）一、单选题1．设集合U =R ，集合{|24}A x x =-<<，集合{}2|7100B x x x =-+<，则U A B =I ð（）A ．{|22}x x -<<B ．{|22}x x -<≤C ．{|25}x x <<D ．{|25}x x <≤【正确答案】B【分析】化简集合B ，根据集合的补集和交集的运算性质求U A B ð即可.【详解】不等式27100x x -+<的解集为{|25}x x <<，所以{|25}B x x =<<，故{|2U B x x =≤ð或5}x ³，又{|24}A x x =-<<，所以{|22}U A B x x =-<≤ ð，故选：B ．2．已知复数z 满足12i 1z=-，则z 的共轭复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据复数运算即可求得复数z ，再得共轭复数z ，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】111i 2i 2z -==- ，11i 2z ∴=+，11i 2z ∴=-，故z 在复平面内对应的点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D ．3．若函数()af x x x=+()R a ∈在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，若直线l 与圆222:(0)C x y r r +=>相切，则r 的值为（）A B C D ．3【正确答案】A【分析】结合导数的几何意义列方程求a ，由切点坐标与切线的关系求b ，根据直线与圆的位置关系列方程求r .【详解】函数()af x x x =+的导函数2()1a f x x'=-，因为函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，所以1(2)142a f '=-=，解得2a =，2()f x x x∴=+，故(2)3f =，切点(2,3)在直线l 上，1322b ∴=⨯+，解得2b =，直线1:22l y x =+与圆222:(0)C x y r r +=>相切，∴圆心(0,0)到直线lr =，故选：A ．4．已知向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ．若//a b r r，则λ=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【正确答案】B【分析】根据向量平行的坐标表示，列式即可求得答案.【详解】因为向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ，//a b r r，所以26λ=-，解得3λ=-，故选：B ．5．已知数列{}n a 的首项11a =，0n a >，前n 项和n S 满足2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=，则数列{}n a 的前n 项和n S 为（）A ．(1)2n n +B ．12n -C ．221n -D ．21n -【正确答案】A【分析】由题可得22n n n S a a =+，进而可得2211n n n n a a a a ++-=+，然后可得11n n a a +-=，利用等差数列的定义及求和公式即得.【详解】由2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=得2211122n n n n n n n S S S S S S S ---=-++-，即()()2112n n n n n S S S S S --=-+-，所以22n n n S a a =+，所以21112n n n S a a +++=+，两式作差，得()221112n n n n n a a a a a +++=+-+，即2211n n n n a a a a ++-=+，所以()()1110n n n n a a a a ++--+=，所以11n n a a +-=或10n n a a ++=，又0n a >，故11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列{}n a 的前n 项和(1)(1)22n n n n n S n -+=+=.故选：A.6．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB ，的夹角为3π，2AB =，则棱1AA ，1CC 的夹角为（）A ．3πB ．4πC ．23πD ．2π【正确答案】D【分析】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，从而可得2PA PC ==，从而可求出答案.【详解】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB 的夹角为3π，2AB =，所以△PAB 是边长为2的等边三角形，所以2PA PC ==.又在正方形ABCD 中，2AB =,则AC =所以222AC PA PC =+，所以PA PC ⊥，所以棱1AA ，1CC 的夹角为2π，7．已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++=【正确答案】C【分析】设(,)M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】设(,)M x y ，则(),A A A x y 满足3,(,)22A A x y x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩.故23(2),A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故2222(231)(2)4(1)1x y x y -++=⇒-+=.故选:C本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.8．设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（）A ．0.78B ．0.8C ．0.82D ．0.84【正确答案】C【分析】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘动车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知()0.6,()0.4,(|)0.9,(|)0.7P B P C P A B P A C ====.由全概率公式得()()(|)()(|)0.60.90.40.7P A P B P A B P C P A C =+=⨯+⨯0.280.540.82=+=。
2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学考前冲刺试卷(附答案详解)
2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学考前冲刺试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|y=√x−2}，B={y|y=√x−2}，C={(x,y)|y=√x−2}，则下列集合不为空集的是()A. A∩BB. A∩CC. B∩CD. A∩B∩C2.已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根x1，x2，则“x1⋅x2>4且x1+x2>4”的_____________是“x1>2且x2>2”.()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知数列{a n}，a n=1f(n)，其中f(n)为最接近√n的整数，若{a n}的前m项和为20，则m=()A. 15B. 30C. 60D. 1104.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢()A. 3B. 4C. 5D. 65.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它对应的方程为|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π，其中记[x]为不超过x的最大整数)，且过点P(π4,2)，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为5π3，则点M到x轴的距离为()A. 14B. √34C. 12D. √326.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A、B、C出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A进行比赛，假设甲与A或B比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响，那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为()A. 0.24B. 0.25C. 0.38D. 0.57.如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID−19的概率统计表：单独防疫措施戴口罩勤洗手接种COVID−19疫苗感染COVID−19的概率p 145(1−p)p100一次核酸检测的准确率为1−10p.某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID−19疫苗，感染COVID−19的概率都为0.01.这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的.他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测.以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID−19的概率为依据，这10次核酸检测中，有X 次结果为确诊，X的数学期望为()A. 1.98×10−6B. 1.98×10−7C. 1.8×10−7D. 2.2×10−78.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜(CD始终在桌面上)，则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为()A. √55B. 12C. 2√55D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()A. i +i 2+i 3+i 4=0B. 复数z =3−i 的虚部为−iC. 若z =(1+2i)2，则复平面内z −对应的点位于第二象限D. 已知复数z 满足|z −1|=|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线10. 函数f(x)的定义域为I.若∃M >0使得∀x ∈I 均有|f(x)|<M ，且函数f(x +1)是偶函数，则f(x)可以是( )A. f(x)=|ln x2−x | B. f(x)=sin(π2x)+cos(2πx) C. f(x)=12x +2−14D. f(x)={0,∁R Q1,x ∈Q11. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列正确的是( )A. 双曲线的方程为x 29−y 227=1 B. |PF 1||PF 2|=2 C. |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√6D. 点P 到x 轴的距离为3√15212. 将平面向量a ⃗ =(x 1,x 2)称为二维向量，由此可推广至n 维向量a⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n ).对于n 维向量a ⃗ ，b ⃗ ，其运算与平面向量类似，如数量积a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=∑x i n i=1y i (θ为向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角)，其向量a ⃗ 的模|a ⃗ |=√∑x i 2n i=1，则下列说法正确的有( )A. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≤(∑x i n i=1y i )2可能成立 B. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≥(∑x i n i=1y i )2一定成立 C. 不等式n ∑x i 2n i=1<(∑x i n i=1)2可能成立D. 若x i >0(i =1,2，⋯，n)，则不等式∑1x in i=1∑x i n i=1≥n 2一定成立 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设(x −√x )6的展开式中x 3的系数为a ，则a 的值为______ ．14. 锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+bc ，b =2，则△ABC 的面积的取值范围是______ ．15. 如果数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且a n−1−ana n−1a n =a n −a n+1a n a n+1(n ≥2)，则这个数列的第2021项等于______ ．16. 函数f(x)=(x 2−10x +26)e x ，若∀x 1，x 2∈I ，x 1≠x 2，都有f(x 1+x 22)>f(x 1)+f(x 2)2成立，则满足条件的一个区间I 可以是______ (填写一个符合题意的区间即可)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =2√7，求梯形ABCD 的面积； (2)若AC ⊥BD ，求tan∠ABD ．18. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n+2=2a n+1+3a n ，设数列b n =a n+1+a n ．(1)求证：数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{94b nS n ⋅S n+1}的前n 项和为T n ，求证：T n <14．19. 某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A 1，A 2，A 3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B 1，B 2中的一个．(1)记事件E n ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐A 1，A 2，A 3玩偶；事件F n ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐B 1，B 2玩偶；求概率P(E 6)及P(F 5)；(2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为Q n ． ①Q n ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．20. 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD⏜的中点，且C 、E 、D 、G 四点共面． (1)证明：平面BFD ⊥平面BCG ；(2)若平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值为√155，求直线DF 与平面ABF 所成角的大小．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l ：x =1与C 的两个交点和O ，B 构成一个面积为√6的菱形． (1)求C 的方程；(2)圆E 过O ，B ，交l 于点M ，N ，直线AM ，AN 分别交C 于另一点P ，Q ，点S ，T 满足AS⃗⃗⃗⃗⃗ =13SP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =13TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和的最大值．22. 已知函数f(x)=12e 2x +be x +ax 在x =0处取得极值f′(x)为f(x)的导数．(1)若a >0，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)<f′(x)−x ，a 的取值集合是A ，求A 中的最大整数值与最小整数值． 参考数据：ln16∈(2.77,2.78)，ln17∈(2.83,2.84)，ln18∈(2.89,2.90)答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|y=√x−2}={x|x≥2}，B={y|y=√x−2}={y|y≥0}，C={(x,y)|y=√x−2}，∴A∩B=[2,+∞)，A∩C=⌀，B∩C=⌀，A∩B∩C=⌀，故选：A．求出集合A，B，利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】A【解析】解：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同的实数根，①当x1>2且x2>2时，可得x1⋅x2>4，x1+x2>4，②当x1=10，x2=0.5时，满足x1⋅x2>4且x1+x2>4，此时不满足x1>2且x2>2，∴x1⋅x2>4且x1+x2>4的充分不必要条件为x1>2且x2>2，故选：A．利用不等式的性质和充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查不等式的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=2，f(5)=2，f(6)=2，f(7)=3，f(8)=3，f(9)=3，f(10)=3，f(11)=3，f(12)=3，...，可得依次为2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，...，因此a1+a2=2×1=2，a3+a4+a5+a6=4×12=2，a7+a8+...+a12=6×13=2，a13+a14+...+a20=8×14=2，...，由20=10×2，可得m=2+4+6+8+...+20=12×10×(2+20)=110．故选：D．写出f(n)的前几项，求出一些项的和，由等差数列的求和公式，可得所求值．本题考查数列的求和，注意总结规律，考查归纳推理能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，设该数列为{a n}，前n项和为S n，小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为12的等比数列，设该数列为{b n}，前n项和为T n，则S n=1×(1−2n)1−2=2n−1，T n=1×(1−12n)1−12=2−12n−1，若S n+T n=(2n−1)+(2−12n−1)≥16，即2n−12n−1)≥15，又由n≥1且n∈Z，必有n≥4，故选：B．根据题意，分析可得大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为12的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S n+T n=(2n−1)+(2−12n−1)≥16，分析可得n的取值范围，即可得答案．本题考查等比数列的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π)，过点P(π4,2)，∴2=(2−12[2π×π4])|sinπ4ω|，∴2=(2−12[12])|sinπ4ω|，∴|sinπ4ω|=1，即sinπ4ω=±1，∴π4ω=π2+kπ(k∈Z)，∴ω=2+4k(k∈Z)，由图像|y|上下对称可知：T=π4×4=π，∴k=0，ω=2，∴|y|=(2−12[2xπ])|sin2x|(0≤x≤2π)，∵点M到y轴的距离为5π3，∴x=5π3，当x=5π3时，|y|=(2−12[2π×5π3])|sin2×5π3|=(2−12×3)|sin10π3|=12×√32=√34，∴点M到x轴的距离为√34．故选：B．由|y|=(2−12[2xπ])|sinωx|(0≤x≤2π)，过点P(π4,2)，可求出ω的值，从而得到|y|的解析式，再令x=5π3求出|y|的值即可求出结果．本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了学生的运算能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”的事件分别为D、E、F，由E，F互斥，且P(D)=P(E)+P(F)，若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，∴甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率为：P(E)=0.6×(0.4×0.5×0.5+0.6×C21×0.5×0.5)=0.24，若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5，各场比赛的结果互不影响，∴A所在球队恰好经过4场比赛获利胜利的概率为：P(F)=0.4×(0.6×0.5×0.5+0.4×C21×0.5×0.5)=0.14，∴恰好经过4场比赛分出胜负的概率为：P(D)=P(E)+P(F)=0.38．故选：C．记“恰好经过4场比赛分出胜负”、“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”、“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”的事件分别为D、E、F，由E，F互斥，且P(D)=P(E)+P(F)，若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，求出甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率；若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，求出A所在球队恰好经过4场比赛获利胜利的概率．由此能求出恰好经过4场比赛分出胜负的概率．本题考查概率的运算，涉及到相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可知p=0.01，3人都落实了表中的三项防疫措施，也被感染的概率为：0.01×145(1−0.01)×0.01100=2.2×10−8，又因一次核酸检测的准确率为1−10×0.01=0.9，所以这3人一次检测能确诊的概率为：2.2×10−8×0.9=1.98×10−8，∴10次检测中确诊的期望为：10×1.98×10−8=1.98×10−7，故选：B．利用题中的条件确定3人落实三项防疫措施任然被感染的概率，进而确定数学期望．本题考查了统计与概率，二项分布的数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意知，水的体积为4×4×2=32，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC=3，水的体积为S BCPN⋅CD=32，∴BN+CP2⋅BC⋅CD=32，即BN+32×4×4=32，∴BN=1．在平面BCC1B1内，过点C1作C1H//NP，交BB1于H，则四边形NPC1H是平行四边形，NH=C1P=1，∴B1H=BB1−NH−BN=4−1−1=2，∵侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，∴∠HC1C即为所求，而∠HC1C=∠B1HC1，在Rt△B1HC1中，tan∠B1HC1=B1C1B1H =42=2，∴侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为2．故选：D．由题意知，水的体积为32，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，则PC=3，此时水的体积为S BCPN⋅CD，从而求得BN=1；在平面BCC1B1内，过点C1作C1H//NP，交BB1于H，侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，故∠HC1C即为所求，再在Rt△B1HC1中，由tan∠HC1C=tan∠B1HC1=B1C1B1H即可得解．本题考查二面角的求法，将所求的角逐步转化为边长已知的直角三角形中的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A：i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A正确；对于B：复数z=3−i的虚部为−1，故B错误；对于C：若z=(1+2i)2=1+4i−4=−3+4i，所以z−=−3−4i，则复平面内z−对应的点位于第三象限，故C错误；对于D：复数z满足|z−1|=|z+1|，表示z到A(1,0)和B(−1,0)两点的距离相等，即z 的轨迹为线段AB的垂直平分线，故D正确．故选：AD．直接利用复数的定义，复数的运算和几何意义判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：复数的定义，复数的运算和几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：当x →0时，x2−x →0，则ln x2−x →−∞，f(x)→+∞，f(x)无界，A 错误； f(x +1)=sin(π2x +π2)+cos(2πx +2π)=cos π2x +cos2πx 为偶函数，且|f(x +1)|≤2，B 正确；因为2x >0，2+2x >2， 所以−14<12+2x <14，所以|f(x)|<14，存在符合题意的M ， 因为f(x +1)=12x+1+2−14， f(−x +1)=12−x+1+2−14=2x 2+2x+1−14， 所以f(−x +1)+f(x +1)=12x+1+2−14+2x2+2x+1−14=1+2x2+2x+1−12=0， 故f(x +1)为奇函数，不符合题意； f(x)={0,∁R Q1,x ∈Q，则|f(x)|≤1，因为−x +1与x +1要么都是有理数，要么都是无理数， 所以f(x +1)=f(−x +1)， 故f(x +1)为偶函数，符合题意． 故选：BD ．结合选项分析各函数的取值范围，然后检验f(x +1)与f(−x +1)的关系进行判断即可． 本题以新定义为载体，主要考查了函数的值域的求解及函数奇偶性的判断，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：∵渐近线l 的方程为y =√3x ，∴ba =√3， ∵F 1(−c,0)到l 的距离为3√3，∴3√3=|b a⋅(−c)|√1+(ba )2=b ，∴a =3，∴双曲线的标准方程为x 29−y 227=1，即选项A 正确；∵c =√a 2+b 2=√9+27=6， ∴F 1(−6,0)，F 2(6,0)，由角分线定理知，|PF 1||PF 2|=|F 1Q||QF 2|=84=2，即选项B 正确；由双曲线的定义知，|PF 1|−|PF 2|=2a =6， ∴|PF 1|=12=|F 1F 2|，|PF 2|=6， 在等腰△PF 1F 2中，cos∠PF 2F 1=12|PF 2||F 1F 2|=312=14， ∴sin∠PF 2F 1=√1−cos 2∠PF 2F 1=√154， ∴x P =|OF 2|−|PF 2|⋅cos∠PF 2F 1=6−6×14=92， y P =|PF 2|⋅sin∠PF 2F 1=6×√154=3√152，即选项D 正确；∴|OP|=(92)(3√152)=3√6，∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OP|=6√6，即选项C 错误． 故选：ABD ．选项A ，易知b =3√3，a =3，从而写出双曲线的标准方程； 选项B ，由角分线定理知，|PF 1||PF 2|=|F 1Q||QF 2|；选项D ，结合选项B 中结论和双曲线的定义，可得|PF 1|=12，|PF 2|=6，再利用三角函数，求得点P 的坐标；选项C ，由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得解．本题考查双曲线的定义与几何性质，角分线定理，三角函数的简单计算，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(y 1,y 2,⋯,y n )， 所以|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b⃗ |⇒|x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n √y 12+y 22+⋯+y n n ⇒(∑x i n i=1y i )²≤∑x i n i=1²∑y i n i=1²，当且仅当x 1y 1=x 2y 2=⋯=xny n 时取“=”，例如(a²+1)(b²+1)≥(ab +1)²，当a =b =1时取“=”，故A 正确； 对于B ，由A 的分析过程知，B 正确；对于C ，构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(1,1，⋯，1)，知|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒|x 1+x 2+⋯+x n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n ⋅√n ， 所以n ∑x i n i=1²≥(∑x i ni=1)²，故C 错误；对于D ，构造a ⃗ =(√1x 1,√1x 2,⋯,√1x n)，b ⃗ =(√x 1,√x 2,…,√x n )，所以|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒√1x 1+1x 2+⋯+1x n√x 1+x 2+⋯+x n ≥n ⇒∑1x in i=1⋅∑x i ni=1≥n²，D 正确． 故选：ABD ．构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(y 1,y 2,⋯,y n )，利用平面向量的推广运算即可判断选项A ，B ；构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(1,1，⋯，1)，利用平面向量的推广运算即可判断选项C ；构造a ⃗ =(√1x 1,√1x 2,⋯,√1x n)，b ⃗ =(√x 1,√x 2,…,√x n )，利用平面向量的推广运算即可判断选项D ．本题主要考查类比推理，向量的数量积公式以及向量模的公式，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：二项式(x −√x )6的展开式为：T r+1=C 6r x 6−r ⋅(−2)r ⋅(x)−r2=C 6r ⋅(−2)r ⋅x6−32r ，所以6−32r =3，解得r =2， 故x 3的系数为a =15×4=60。
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2021年高考模拟冲刺卷一(全国卷)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数1iz i-=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 ∵1i z i-=11i +=-1i =--， ∴复数z 的虚部是1-， 故选：B ．2.已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<< D ．{}25x x -<<【答案】B 【解析】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B.3.某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月结余=月收入一月支出）（ ）A ．上半年的平均月收入为45万元B ．月收入的方差大于月支出的方差C ．月收入的中位数为70D ．月结余的众数为30【答案】C 【解析】由图可得，上半年的平均月收入为406030305060456+++++=万元，故A 正确由图可得，月收入的方差大于月支出的方差，故B 正确由图可得，112-月的月收入（单位：万元）分别为：40、60、30、30、50、60、80、70、70、80、90、80所以月收入的中位数为：6070652+=，故C 错误 由图可得，112-月的月结余（单位：万元）分别为：20、30、20、10、30、30、60、40、30、30、50、30所以月结余的众数为30，故D 正确 故选：C4.记n S 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2=2，S 3=–6．则{a n }的通项公式为A ．(2)nn a =- B ．2nn a =- C ．(3)nn a =-D ．3nn a =-【答案】A【解析】根据题意，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，又由22S =，36S =-，则有()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得12a =-，2q =-，则()2nn a =-，故选A ． 5.若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3) B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 【答案】B 【解析】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B6.已知非零向量,a b ,满足||4||,a b =||[1,3]b ∈且()1,a b b -⋅=记θ是向量a 与b 的夹角，则θ的最小值是（） A ．6π B ．4π C ．13D ．3π 【答案】D【解析】由题意知非零向量a ，b 满足4||||b a =，[1,3]b ∈且()1,a b b -⋅=，可得21a b b -=，即2cos 1a b b θ=+，所以22221111cos 444b b a bbb θ++===+ 因为1,3b ⎡⎤∈⎣⎦，所以[]21,3b ∈，所以21111cos ,4324b θ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦因为[]0,θπ∈，且余弦函数cos y x =在[]0,π上单调递减， 所以min 3πθ=7.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403πB ．56πC ．1843πD ．104π【答案】C 【解析】=，高为6，设球的半径为R ，可得(()2226R R =+-，解得4R =，所以该几何体的体积为(23411846333R π⨯π⨯-⨯⨯π=. 故选：C ．8.抛物线24y x =的焦点为F ，点()3,2A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 4+D. 5+【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为求PA PF +的最小值，根据抛物线的定义可知PF PD=，即求PA PD+的最小值，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD+最小，由()()min1314A PA PD x +=--=+=即可求解.【详解】由抛物线为24y x =可得焦点坐标()1,0F ，准线方程为1x =-． 由题可知求PAF △周长的最小值．即求PA PF +的最小值． 设点p 在准线上的射影为点D ． 则根据抛物线的定义．可知PF PD =．因此求PA PF +的最小值即求PA PD+的最小值．根据平面几何知识，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD+最小．所以()()min1314A PA PD x +=--=+=．又因为AF ==所以PAF △周长的最小值为422+． 故选：C ．9.已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】绘制函数()12,021,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图所示，令()f x t =，由题意可知，方程230t t a -+=在区间()1,2上有两个不同的实数根， 令()()2312g t t t a t =-+<<，由题意可知：()()113024603990242g a g a g a ⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，据此可得：924a <<.即a 的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 本题选择D 选项.10.已知函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩，()3g x x =，则方程()()1f x g x =-所有根的和等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设点(),x y 是函数lg ,1y x x =≥图象上任意一点，它关于点()1,0的对称点为()'',x y ，则22,0x x x x y y y y +==-⎧⎧∴⎨⎨+=='-''⎩'⎩，代入lg y x =，得()()'''''lg 2,lg 2,1y x y x x -=-∴=--≤.∴函数lg ,1y x x =≥的图象与函数()lg 2,1y x x =--≤的图象关于点()1,0对称，即函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩的图象关于点()1,0对称，易知函数()f x 在定义域R 上单调递增.又函数()3g x x =的图象关于原点()0,0对称，∴函数()1y g x =-的图象关于点()1,0对称，且函数()1y g x =-在定义域R 上单调递增.又()()0111,1f g x =-=∴=是方程()()1f x g x =-的一个根.当1x ≥时，令()()()()31lg 1h x x x g x f x -=--=-，则()h x 在[)1,+∞上单调递减.()()33331313lg 210,lg lg lg100,202222822h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-=-=>∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=根据零点存在定理，可得()h x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，根据()h x 的单调性知()h x 在()1,+∞上有且只有一个零点1x ，即方程()()1f x g x =-在()1,+∞上有且只有一个根1x .根据图象的对称性可知方程()()1f x g x =-在(),1-∞上有且只有一个根2x ，且122x x +=. 故方程()()1f x g x =-所有根的和等于1213x x ++=.11.已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45︒的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率= ABC．2D．3【答案】D【解析】椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+，联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +++-=（）， 因为直线交椭圆于A ，B ，设1122A x y B x y （，），（，），由韦达定理可得22222121222222,cb c b a b y y y y a b a b-+=-=++， 且112F B AF =，可得212y y =-，代入韦达定理表达式可得 2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++，即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 化简可得229c 2a =，所以3c e a ==，故选D ． 12.三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM与平面PBC所成的正切的最大值是2P ABC -的外接球的体积是（ ） A ．2π B ．4πC ．83πD ．43π 【答案】D 【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，PA PB PC，，互相垂直，AMP∴∠就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM BC⊥时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大.此时62 APPM=，6PM=，在直角PBC中，2612PB PC BC PM PC PC PC⋅=⋅⇒=+⨯⇒=. 三棱锥P ABC-扩充为长方体，则长方体的对角线长为1122++=.∴三棱锥P ABC-的外接球的半径为1R=，∴三棱锥P ABC-的外接球的体积为34433Rππ=.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。